Capítulo 6 Transformação de tensão no plano

Capítulo 6
Transformação de
tensão no plano
Resistência dos Materiais I – SLIDES 06
Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
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Objetivos do capítulo


Transformar as componentes de tensão
associadas a um determinado sistema de
coordenadas em componentes associadas a um
sistema de coordenadas com uma orientação
diferente
Obter a tensão normal máxima e a tensão de
cisalhamento máxima em um ponto e determinar
a orientação dos elementos sobre os quais elas
agem
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6.1 Transformação de tensão no plano
O estado geral de tensão no plano em um ponto é representado
por uma combinação de duas componentes de tensão normal, σx
e σy, e uma componente de tensão de cisalhamento, τxy.
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6.1 Transformação de tensão no plano
=
O estado plano de tensão em um ponto é representado
exclusivamente por três componentes que agem sobre um
elemento que tenha uma orientação específica neste ponto.
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Tensões em planos inclinados
=
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Tensões em planos inclinados

Exemplo 6.1

Represente o estado de tensão no
ponto em um elemento orientado a
30º no sentido horário em relação
à posição mostrada.
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
Exemplo 6.1


Represente o estado de tensão no ponto
em um elemento orientado a 30º no sentido
horário em relação à posição mostrada.
Tensões no plano a-a:
DCL
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
Exemplo 6.1

Equilíbrio: ΣFx’ = 0 e ΣFy’ = 0
DCL
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
Exemplo 6.1

Tensões no plano b-b (ortogonal ao plano a-a)
DCL
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
Exemplo 6.1

Equilíbrio: ΣFx’ = 0 e ΣFy’ = 0
DCL
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
Exemplo 6.1

Apresentação da Solução:

Extra → 1º Invariante de tensões

A soma de tensão normais em quaisquer dois planos mutualmente
normais é invariante, isto é:
 x   y   x'   y '  constante
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Objetivo:
Transformar as componentes de tensão
normal (σ) e de cisalhamento (τ) dos eixos x, y
para os eixos coordenados x’, y’ por meio de
equações.
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Convenção de sinal positivo:
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
(a)
(b)
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
(c)
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Componentes de tensão normal e de
cisalhamento

 x' 
Aplicando as equações de equilíbrio ao
diagrama de corpo livre (c), obtêm-se:
 x  y
 x' y'  
2

 x  y
2
 x  y
2
 cos 2    xy  sin 2 
 sin 2    xy  cos 2 
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(6.1)
(6.2)
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Componentes de tensão normal e de
cisalhamento

Para a obtenção das
tensões no plano
normal ao eixo y’,
faz-se a substituição
de θ por θ+90º nas
equações
anteriores:
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Componentes de tensão normal e de
cisalhamento

 y' 
Para a obtenção das tensões no plano normal
ao eixo y’, faz-se a substituição de θ por θ+90º
nas equações anteriores:
 x  y
 x' y'  
2

 x  y
2
 x  y
2
 cos 2    xy  sin 2 
 sin 2    xy  cos 2 
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(6.3)
(6.4)
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Exemplo 6.2

Represente o estado de tensão no ponto em um
elemento orientado a 30º no sentido horário em
relação à posição mostrada.
Utilizar as equações
de transformação de
tensão.
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano

Exemplo 6.2
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6.3 Tensões principais e tensão de
cisalhamento máxima no plano
Na prática da engenharia é importante determinar
a orientação dos planos que fazem com que a
tensão normal seja máxima e mínima ou o plano
em que a tensão de cisalhamento seja máxima.
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Tensões principais no plano
Diferencia-se a equação (6.1) em relação a θ e
igua-la a zero para obter σmax e σmin.
 x  y  x  y
 x' 

 cos 2    xy  sin 2 
(6.1)

2
2
 x  y
d x '

 2  sin 2   2  xy  cos 2   0
d
2
Resolvendo-se essa equação,
obtém-se a orientação dos
planos de tensão normal
máxima e mínima:
tan 2 p  
2  xy

x
 y 
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(6.5)
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Tensões principais no plano
A solução tem duas raízes, θp1 e θp2, cujos valores de seno e
de cosseno podem ser atribuídos à equação (6.1) e obter:
 1, 2 
 x  y
2
  x  y 
2
   xy
 
 2 
2
(6.6)
Nota :
1   2
Os valores de σ1 e σ2 são denominados tensões principais no
plano e os planos correspondentes sobre os quais agem são
denominados planos principais de tensão (ver figura).
Substituindo θp1 e θp2 na equação (6.2) obtém-se τx’y’= 0, isto é,
nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos
principais.
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Tensões principais no plano
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Tensão de cisalhamento máxima no
plano
A orientação de um elemento
cujas faces estão submetidas
à tensão de cisalhamento
máxima é obtida tomando-se
a derivada da equação (6.2)
em relação a θ e igualando a
zero:


tan 2   
s
x
 y 
2  xy
(6.7)
Usando qualquer uma das
duas raízes θs1 ou θs2, podese determinar a τmax tomando
os valores de sen (2θs) e de
cos(2θs) e substituindo na
equação (6.2). Resultado:
  x  y 
 max  

2
2
   xy 2

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(6.8)
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Tensão de cisalhamento máxima no
plano
Substituindo os valores de
sen (2θs) e de cos (2θs) na
equação (6.1), obtém-se a
tensão normal nos planos em
que ocorre a τmax:
 med 
 x  y
2
(6.9)
Cisalhamento Puro:
Corresponde ao estado de
tensão em que o elemento
está sujeito a apenas tensões
de cisalhamento.
Desta forma, não há tensões
normais atuando nas faces
do elemento.
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