O Teorema dos Números Primos

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Universidade Federal do Maranhão
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Matemática
ARCELINO BRUNO LOBATO DO NASCIMENTO
O Teorema dos Números Primos
uma prova analı́tica elementar
São Luis
2014
ARCELINO BRUNO LOBATO DO NASCIMENTO
O Teorema dos Números Primos
uma prova analı́tica elementar
Monografia apresentada ao Curso de Matemática
da UFMA, como requisito para a obtenção parcial
do grau de LICENCIADO em Matemática.
Orientador: Arlane Manoel da Silva Vieira
Mestre em Matemática - UFMA
São Luis
2014
Nascimento, Arcelino Bruno Lobato do
O Teorema dos Números Primos
uma prova analı́tica elementar/ Arcelino Bruno Lobato do Nascimento.–
São Luis, 2014
118.p
Impresso por computador (fotocópia).
Orientador: Arlane Manoel da Silva Vieira.
Monografia (Graduação) – Universidade Federal do Maranhão,
curso de Matemática, 2014
1. Números Primos.2. Teorema dos Números Primos 3. Análise
Complexa. 4. função ζ de Riemann.. I.Tı́tulo.
CDU 511.333
ARCELINO BRUNO LOBATO DO NASCIMENTO
O Teorema dos Números Primos
uma prova analı́tica elementar
Monografia apresentada ao Curso de Matemática
da UFMA, como requisito para a obtenção parcial
do grau de LICENCIADO em Matemática.
Aprovado em 23 de agosto de 2014
BANCA EXAMINADORA
Arlane Manoel da Silva Vieira
Mestre em Matemática - UFMA
Anselmo Baganha Raposo Junior
Mestre em Matemática - UFMA
José Antônio Pires Ferreira Marão
Doutor em Matemática - UFMA
A todos.
E em especial a:
Iady Lobato,
Iara,
Wellington,
Claudete e
Adreia Rodrigues.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer aqui sem citar nomes àqueles que tornaram possı́vel a
realização deste trabalho. Obrigado!
“Todo erro se deve a fatores extrı́nsecos,
como a emoção e a educação. A verdadeira razão nunca erra.”
(Kurt Gödel)
Resumo
Apresentaremos uma prova analı́tica a um teorema da teoria dos números, a saber, O
Teorema dos Números Primos. Esta prova é dita analı́tica devido ao uso que se faz de
argumentos e ferramentas da análise matemática. Para tanto, no intúito de obtermos um
texto o mais autocontido possı́vel, fez-se necessário apresentarmos também o arcabouço
teórico preliminar que consiste basicamente nos resultados da Análise Complexa e alguns
tópicos relacionados como, por exemplo, o estudo da função ζ de Riemann. A prova
análitica dada deve-se ao matemático Donald Joseph Newman (1930-2007) publicada no
jornal The American Mathematical Monthly sob o tı́tulo: Simple Analytic proof of the
Prime Number Theorem [Ne].
Palavras-chaves: primos, zeta, Riemann, análise, números.
Abstract
Will present an analytic proof to a theorem of number theory, namely, the prime number
theorem. This proof is said a analytic proof because of use of mathematical analysis
arguments and mathematical analysis tools. For this purpose, in order to obtain a more
possible self-contained text, also did himself necessary to present the primary theoretical
support with that basically consist in the Complex Analysis results and some related
topics which, for example, the study of the Riemann ζ Function. The analytic proof
given here due to the mathematician Donald Joseph Newman(1930-2007) published in
the American Mathematical Montly under the title: Simple Analytic proof of the Prime
Number Theorem[Ne].
Keywords: primes, zeta, Riemann, analysis, numbers.
Sumário
1 Introdução
7
2 Resultados Preliminares.
9
2.1
Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Resultados úteis da Análise Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3 Produtos Infinitos e Funções Holomorfas com zeros prescritos
3.1
Produtos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1
3.2
28
Convergência de produtórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Produto infinito de funções holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1
Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2
Funções holomorfas com zeros prescritos. . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3
O Teorema do Produto de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 A função zeta de Riemann
63
4.1
A fórmula do produto de Euler para a função ζ de Riemann . . . . . . . . 65
4.2
Extensão da função ζ de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 O teorema dos números primos.
75
6 Conclusão
112
Referências Bibliográficas
113
7
1 Introdução
Na Teoria dos Números um número primo é definido como sendo o número
inteiro cujos únicos divisores são os triviais, isto é, o número 1 e ele próprio. Tais números
são de fundamental importância nesta teoria. Um grande problema na Teoria dos Números
é se entender a distribuição dos números primos. Euclides em OS Elementos, há 23 séculos
atrás, provou que existem infinitos números primos.
O Teorema dos Números Primos é um resultado de grande importancia na
Teoria dos Números. Este teorema é uma resposta à pergunta sobre a quantidade de
números primos menores do que ou igual a um número arbitrário positivo dado. Permaneceu aproximadamente 1 século como uma conjectura devida aos matemáticos Gauss
e Legendre. O teorema foi estabelecido em 1896 independentemente por Hadamart e
La Vallée-Poussin. O teorema afirma que a quantidade de números primos menores do
x
π(x)
= 1, onde
que x real positivo é assintoticamente igual a
, isto é, limx→+∞ x
log(x)
log(x)
π(x) é a quantidade de números primos que são menores do que ou iguais a x. O que é
surpreendente diante da forma aleatória com que os números primos se distribuem.
Enquanto conjectura o atual Teorema dos Números Primos impulsionou o
desenvolvimento de técnicas, métodos em Análise Funcional, Análise de Furier, Teoria
dos teoremas Tauberianos, etc. Riemann(1826-1866) em busca de uma prova para a
conjectura desenvolveu inúmeras técnicas em Análise Complexa o que o levou a anunciar
a sua Hipótese de Riemann que permanece sem resposta até hoje.
Todas as provas dadas ao teorema, excetuando-se uma prova, devido a Atle
Selberg (1917-2007) e Paul Erdös (1913-1996), envolvem a função ζ de Riemann e usam
fortimente resultados da Análise Complexa. Em 1980 o matemático Donald Joseph
Newman(1930-2007) obtém a mais elementar prova analı́tica já obtida para o Teorema
dos Números Primos, nela são superadas as difı́ceis estimativas da função ζ no infinito e
os argumentos da Teoria Tauberiana, mas no entanto, não nos é dado o termo do erro
que sabe-se estar intrisicamente ligado com a determinação da região do plano em que a
função ζ de Riemann não se anula. Os matemáticos Don Bernard Zagier e J. Korevaar
públicaram outras duas provas a partir do método introduzido por Newman em sua prova.
8
Neste trabalho discorreremos sobre a prova dada por Newman.
Para tanto são necessários resultados preliminares, que consistem basicamente
em resultados da Análise Complexa, que possibilitarão o entendimento e o desenvolvimento da prova do teorema. No segundo capı́tulo é apresentado toda parte preliminar
referente à Análise Complexa. No terceiro capı́tulo, ainda dentro da Análise Complexa
estudamos os produtos infinitos numéricos, os produtos infinitos de funções e o Teorema
de Weiertrass. No quarto capı́tulo fazemos um breve estudo da função ζ de Riemann, estabelecendo os resultados necessário para a nossa prova do Teorema dos Números Primos.
E por fim, no quinto capı́tulo provamos o Teorema dos Números Primos.
9
2 Resultados Preliminares.
No presente capı́tulo tratamos de apresentar algumas das notações que mais faremos uso
no texto. Poderı́amos simplesmente deixar que cada notação fosse apresentada no texto
apenas em seu momento oportuno, no entanto, isso seria um problema para um leitor que,
por exemplo, estiver a consultar apenas uma parte do texto e que de repente se deparar
com uma notação que fora apresentada em uma parte anterior não contida na que já
tenha lido. Depois, prosseguimos apresentando alguns resultados da Análise Complexa
que serão úteis para o desevolvimento do texto. Alguns serão provados. Para uma prova
dos resultados carentes de prova apresentdos abaixo no cosulte [Re.1], [Ga], [Si], [Ru],
[Re.2].
2.1
Notações
• N := {0, 1, 2, · · · };
• Seja f : Ω ⊂ C −→ C, denotaremos |f |Ω := sup{|f (z)|; z ∈ Ω};
• Hol(Ω) := {f : Ω −→ C; f é holomorfa em Ω};
• C n (I) :={f : I ⊂ R −→ R; fé n vezes derivável em I e f (n) é contı́nua em I};
• C 0 (I) :={f : I ⊂ R −→ R; f fé contı́nua em I};
• Dada x ∈ R, Hx := {z ∈ C; Re(z) > x} e H x := {z ∈ C; Re(z) ≥ x};
2.2
Resultados úteis da Análise Complexa
Definição 2.1. A um subconjunto Ω ⊂ C de C aberto e conexo em C chamaremos de
domı́nio.
Definição 2.2. Seja f : Ω −→ C uma função e Ω ⊂ C um aberto, diremos que
(1) f é holomorfa em Ω se existir a derivada de f em todo ponto de Ω. Em particular
se f for holomorfa em todo C, diremos que f é uma função inteira.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
10
(2) f é analı́tica em Ω se para cada ponto z0 ∈ Ω existir uma vizinhança V de z0 na
qual a função f é igual a uma série de potências que converge pontualmente para
f (x) para todo x ∈ V e converge uniformemente nas partes compactas de V para f .
Quando estiver claro quem é o domı́nio da f e esta for holomorfa em todo seu
domı́nio, diremos simplesmente que f é holomorfa.
Definição 2.3. Se Ω ⊂ C não é um conjunto aberto, diremos que f é holomorfa em Ω se
f for a restrição de uma função holomorfa em um aberto que contém Ω, isto é, se existe
um aberto U ⊂ C e F : U −→ C holomorfa tal que Ω ⊂ U e F (z) = f (z) para todo z ∈ Ω.
Temos o seguinte teorema fundamental.
Teorema 2.1. Uma função é holomorfa se e somente se é analı́tica.
Teorema 2.2 (Teorema de Liouville). Uma função inteira limitada é uma função
constante.
Definição 2.4. Seja f : Ω −→ C uma função. Diremos que um ponto z0 ∈ Ω é um
zero de f de ordem n, onde n é um inteiro não negativo, se f (z0 ) = 0 e n = min{k ∈
N; f (k) (z0 ) 6= 0}.
Teorema 2.3 (Teorema da Identidade.). Seja f, g : Ω −→ C funções holomorfas e Ω
um domı́nio. As seguintes afirmações são equivalentes
(1) f = g;
(2) O conjunto {z ∈ Ω; f (z) = g(z)} tem um ponto de acumulação em Ω;
(3) Existe um ponto c ∈ Ω tal que f (n) (c) = g (n) (c) para todo n ∈ N.
Corolário 2.1 (Princı́pio dos Zeros Isolados). Se f : Ω −→ C é uma função holomorfa, então o conjunto f −1 (0) dos zeros de f é discreto em Ω. E mais, a ordem de cada
zero é finita.
Teorema 2.4 (Teorema do Módulo Máximo para domı́nios limitados). Seja Ω ⊂
C um domı́nio limitado e f : Ω −→ C uma função holomorfa em Ω e contı́nua em Ω.
Então, o máximo da função |f (z)| : Ω −→ R é atingido sobre a fronteira ∂Ω de Ω. Além
do mais, se existir algum ponto z0 ∈ Ω tal que f (z0 ) = max |f (z)|, então a função f é
z∈Ω
uma função contante.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
11
2.2.2.1 Teoria de Inegração.
§1. Integrais sobre intervalos da reta.
Denotaremos por I := [r, s] com r ≤ s um intervalo compacto da reta.
Definição 2.5. Seja f : I −→ C uma função contı́nua. Definimos a sua integral sobre o
intervalo [r, s] pela fórmula
Z s
Z s
Z s
Im(f (t))dt
Re(f (t))dt + i
f (t)dt :=
r
r
r
para quaiquer r, s ∈ I.
Note que tal definição faz sentido visto que Re(f (t)) e Im(f (t)) são contı́nuas,
e portanto, são integráveis.
Deste modo, segue da teoria de integração de funções reais que para toda
f, g ∈ C 0 ([r, s]) e c ∈ C,
Z
s
Z
x
(2)
s
Z
f (t)dt +
r
Z
r
Z
f (t)dt = −
(3)
r
r
f (t)dt;
s
Z
(4) Re
s
Z s
Z s
Z s
f (t)dt =
Imf (t)dt
f (t)dt =
Re(f (t))dt e Im
r
Z
a
b
f (t)dt, para x ∈ I;
f (t)dt =
s
g(t)dt;
s
Z
x
s
r
r
r
Z
Z
f (t)dt +
(cf + g)(t)dt = c
(1)
s
r
r
r
Em
Z banalogia a regra da monotonicidade da integral de funções reais na qual
f (t)dt ≤
g(t)dt se f e g são integráveis e f (t) ≤ g(t) para todo t ∈ [r, s], temos a
a
fundamental desigualdade
Z s
Z s
≤
f
(t)dt
|f (t)|dt
r
r
que é válida para qualquer
f : I −→ C contı́nua. Com razão, pois,
Z s
Z s supondo sem perda
de generalidade que
f (t)dt 6= 0, existe c = exp(iθ) tal que c
f (t)dt é um número
r
Z sr
Z s
real, e portanto, c
f (t)dt =
Re(cf (t))dt, mas |Re(cf (t))| ≤ |c||f (t)| = |f (t)| para
r
r
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
12
todo t ∈ [r, s], daı́ da monotonicidade da integral de funções reais segue,
Z s
Z s
Z s
f (t)dt = c
f (t)dt = Re (cf (t)dt)
r
r
Z sr
|Re (cf (t)) |dt
≤
r
Z s
≤
|f (t)|dt
r
§2. O Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral.
Como o próprio nome sugere, este teorema é indespensável para o calculo de
integrais de funções reais. Formularemos a seguir este resultado para funções contı́nuas
f : I −→ C. No entanto, antes, definamos a noção de diferenciabilidade para funções
deste tipo.
Definição 2.6. Diremos que uma função f : I −→ C onde f ∈ C 0 (I) é (continuamente)diferenciável em I se as funções t 7−→ Re(f (t)) ∈ R e t 7−→ Im(f (t)) ∈ R forem
(continuamente)diferenciáveis, e no caso afirmativo temos
d
f (t) := f 0 (t) := (Re(f ))0 (t) + i (Im(f ))0 (t); (primeira derivada da f.)
dt
Da definição 2.6 as regras para a derivada da soma, produto e quociente funções
herdam naturalmente a forma usual do Cálculo de funções reais, isto é, para f, g : I −→ C
diferenciáveis em t0 ∈ I e c ∈ C, então vale
(1) (cf + g)0 (t0 ) = cf 0 (t0 ) + g 0 (t0 );
(2) (f g)0 (t0 ) = f 0 (t0 )g(t0 ) + f (t0 )g 0 (t0 );
0
f
f 0 (t0 )g(t0 ) − f (t0 )g 0 (t0 )
(3)
, onde g(t0 ) 6= 0.
(t0 ) =
g
[g(t0 )]2
Como ilustração mostraremos a regra (2). Escrevendo f (t) := u(t) + iv(t) e
g(t) := w(t) + iz(t), por definição temos
(f g)0 (t0 ) = Re((f g))0 (t0 ) + iIm((f g))0 (t0 )
= (uw − vz)0 (t) + i(uz + vw)0 (t)
= [u0 (t)w(t) − v 0 (t)z(t) + i(u0 (t)z(t) − v 0 (t)w(t))]
+ [u(t)w0 (t) − v(t)z 0 (t) + i(u(t)z 0 (t) + v(t)w0 (t))]
= (u0 (t) + iv 0 (t))(w(t) + iz(t)) + (u(t) + iv(t))(w0 (t) + iv 0 (t))
= f 0 (t)g(t) + f (t)g 0 (t)
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
13
(4) Regra da cadeia
Se f é holomorfa em um domı́nio Ω e se γ : I −→ C é diferenciável em I, então,
(f ◦ g)0 (t) = f 0 (γ(t))γ 0 (t).
Demonstração. Escrevendo, γ(t) := x(t) + iy(t) e f (x + iy) := u(x, y) + iv(x, y), temos
(f ◦ γ)(t) = u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)), e portanto
(f ◦ γ)0 (t) =
=
+
=
+
=
=
d
d
u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t))
dt
dt
∂v
∂u
(γ(t))x0 (t) +
y 0 (t)
∂x
∂x
∂v
∂v
0
0
i
(γ(t))x (t) +
(γ(t))y (t)
∂x
∂y
∂u 0
∂u
(γ(t))x0 (t) −
y (t)
∂x
∂y
∂v
∂u
0
0
i
(γ(t))x (t) +
(γ(t))y (t)
∂x
∂x
∂u
∂v
+i
(γ(t))(x0 (t) + y 0 (t))
∂x
∂x
0
f (γ(t))γ 0 (t)
Dada uma função f ∈ C(I), diremos que a função F ∈ C(I) é uma primitiva
de f ∈ C(I) em I, se F é diferenciável em I e F 0 (t) = f (t) para todo t ∈ I. Note que
se F ∈ C(I) e F̂ ∈ C(I) são primitivas de f ∈ C(I) em I, então, por (1), obtemos
(F − F̂ )0 (t) = F 0 (t) − F̂ 0 (t) = 0 para todo t ∈ [r, s], logo, como I é conexo F − F̂ ∈ C(I)
é uma função constate em I. Em suma
Se F, F̂ ∈ C(I) são primitivas de f ∈ C(I) em I, então, F − F̂ é constante
em I.
Teorema 2.5 (Teorema Fundamental
Z x do Cálculo Diferencial e Integral). Seja
f ∈ C(I). Então a função x 7−→
f (t)dt, x ∈ I, é uma primitiva de f em I. Se
r
F ∈ C(I) é uma primitiva de f em I, então
Z s
f (t)dt = F (s) − F (r) para todo r, s ∈ I.
r
Assim como acima a prova consiste em passarmos à parte real e imaginária
da função f e então aplicarmos o teorema fundamental do cálculo para funções reais, e
então, reorganizar as partes.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
14
(5) Regra da Substituição.
Se J é um intervalo em R e ψ : J −→ I é continuamente diferenciável, então, para
qualquer função f ∈ C(I) , vale
s
Z
Z
0
ψ(s)
f (t)dt para todo r, s ∈ J
f (ψ(t))ψ (t)dt =
r
ψ(r)
Demonstração. Se F ∈ C(I) é uma primitiva de f ∈ C(I), em I, então
Z
ψ(s)
f (t)dt = F (s) − F (r)
ψ(r)
.
Por outro, da regra da cadeia temos, (F ◦ ψ)0 = (F 0 ◦ ψ) · ψ 0 = (f ◦ ψ) · ψ 0 em J,
oou seja, (F ◦ ψ) é uma primitiva da função (f ◦ ψ) · ψ 0 ∈ C(I), e portanto, pelo teorema
fundamental nós temos
Z s
f (ψ(t)) · ψ(t)dt = (F ◦ ψ)(s) − (F ◦ ψ)(r),
r
logo,
Z
s
0
Z
ψ(s)
f (t)dt para todo r, s ∈ J.
f (ψ(t))ψ (t)dt =
ψ(r)
r
(6) Integração por partes.
Se f é holomorfa em um domı́nio Ω e se γ : I −→ C é diferenciável em I, então,
Z
s
Z
f (t)g(t)dt = f (s)g(s) − f (r)g(r) −
r
s
f 0 (t)g(t)dt
r
Demonstração. Se F ∈ C(I) uma primitiva de f g 0 em I, da regra da derivada do produto
seguirá que (f g − F )0 = f 0 g + f g 0 − f g 0 = f 0 g em I, isto é, a função (f g − F ) é uma
primitiva da função f 0 g em I, logo pela teorema fundamental
Z s
f (t)g(t)dt = f (s)g(s) − F (s) − f (r)g(r) + F (r)
r
Z s
= f (s)g(s) − f (r)g(r) −
f 0 (t)g(t)dt
r
§3. Caminhos.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
15
A qualquer função contı́nua γ : I −→ C onde I = [r, s] com r ≤ s chamaremos
de um caminho em C com ponto inicial γ(r) e ponto terminal γ(s). Costuma-se também
se dizer que γ é uma caminho liga o ponto γ(r) ao ponto γ(s) em C. γ será dito caminho
fechado se ocorrer γ(r) = γ(s) = z0 . A imagem de I pela γ chamaremos de traço do
caminho γ e o denotaremos por γ ∗ , isto é, γ([r, s]) := γ ∗ . γ ∗ as vezes também é chamada
de suporte da curva γ. Como γ : I −→ C é contı́nua e [r, s] é um compacto de R, γ ∗ é um
compacto de C. Um caminho γ será dito continuamente diferenciável ou suave se a função
γ : I −→ C for continuamente diferenciável. Uma função contı́nua e constante γ : I −→ C
é chamada de caminho nulo. Neste caso temos que γ é continuamente diferenciável. Caso
γ(t1 ) 6= γ(t2 ) para todo t1 6= t2 diremos o caminho γ é um caminho simples.
Definição 2.7 (Caminho continuamente diferenciável por partes.). Seja γ : I −→
C um caminho em C, diremos que γ é um caminho continuamente diferenciável por partes
ou simplesmente, um caminho C 1 por partes, se existir uma partição r = t1 < t2 < · · · <
tn−1 < tn = s de I tal que a restrição γm := γ|[tm ,tm+1 ] é continuamente diferenciável para
cada m ∈ In :=:= {k ∈ N; k ≤ n}, isto é, para cada m ∈ In existe um intervalo aberto que
contém o intervalo fechado [tm , tm+1 ] onde a função γ é continuamente diferenciável.
Exemplo 2.1. γ(z) := (1−t)z0 +tz1 , t ∈ [0, 1] é uma caminho continuamente diferenciável
que liga o ponto z0 ao ponto z1 . Chamaremos este caminho de segmento a partir de z0
até z1 é o denotaremos por [z0 , z1 ].
Exemplo 2.2. γ(z) := (1−t)z0 +tz1 , t ∈ [0, 1] é uma caminho continuamente diferenciável
que liga o ponto z0 ao ponto z1 . Chamaremos este caminho de segmento a partir de z0
até z1 e o denotaremos por [z0 , z1 ]
Dados c ∈ C, r > 0.
γ(t) := c + r exp(i2πt) = (Re(c) + r cos(2πt)) + (Im(c) + rsen(2πt)), t ∈ [r, s],
onde 0 ≤ r < s ≤ 1, é um caminho continuamente diferenciálvel, no caso r = 0 e s = 1,
γ ∗ é um caminho fechado pois γ(0) = c + r = γ(1), e γ ∗ é o cı́rculo cetrado em c com
raio r > 0,isto é, γ ∗ = ∂∆(c, r), quando não for o caso, teremos um arco circular sobre a
fronteira do disco ∆(c, r).
∗ Justaposição de caminhos.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
16
Se γ1 , γ2 : [rj , sj ] com j=1,2, são caminhos em C tais que o ponto terminal de γ1 coincide
com o ponto inicial de γ2 , então podemos definir o caminho γ da seguinte maneira

 γ (t)
para t ∈ [r1 , s1 ]
1
γ : [r1 , s2 − r2 + s1 ] −→ C, t 7−→
 γ (t + r − s ) para t ∈ [s , s − r + s ]
2
2
1
1 2
2
1
O caminho γ é chamado de justaposição dos caminhos γ1 e γ2 ou mesmo soma dos
caminhos γ1 com γ2 , e assim escrevemos γ := γ1 + γ2 . Evidentemente caso tenhamos
uma famı́lia finita de caminhos {γk , k ∈ In cujos pontos extremais estejam devidamente
P
relacionados podemos definir a justaposição γ = nk=1 γk destes caminhos.
Assim, podemos dizer que um caminho γ é continuamente diferenciável se for
da forma γ = γ1 + γ2 + · · · + γn onde γk é continuamente diferenciável para cada k ∈ In .
§4. Integração ao longo de caminhos.
Definição 2.8. Sejam γ ∈ C(I) um caminho continuamente diferenciável em I e f ∈
C(γ ∗ ). Definimos a integral de f ao longo do caminho γ como sendo
Z s
Z
Z
f (γ(t))γ 0 (t)dt
f dz := f (z)dz :=
r
γ
γ
0
Note que a integral está
Z bem definida visto que f (γ(t))γ (t) ∈ C(I). Costuma-
f dz de integral de linha. Em particular, se encararmos
se, em geral, chamar a integral
γ
um intervalo compacto [r, s] da reta como um caminho γ : [r, s] −→ R ⊂ C dado por
γ(t) = t teremos
Z
Z
s
f (z)dz =
γ
Z
isto é, a integral
f (t)dt,
r
s
f (t)dt é uma integral ao longo de um caminho.
r
Em geral, lidamos com caminhos que são da forma γ =
n
X
γk , por isso, faz-se
k=1
necessário a seguinte definição
Definição 2.9. Se γ =
n
X
γk é continuamente diferenciável em cada parte γk , a integral
k=1
de f ∈ C(γ ∗ )ao longo de γ é
Z
Z
f dz :=
γ
f (z)dz :=
γ
∗ Parametrização de caminhos.
n Z
X
k=1
γk
f (z)dz
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
17
Definimos um caminho como sendo uma função contı́nua γ : I −→ C e definimos o seu
traço γ ∗ = γ(I). No entanto, podemos ter mais de uma função γ : I −→ C contı́nua que
possuem o mesmo traço, como, por exemplo, os caminhos γ(t) := exp(it) para t ∈ [0, 2π] e
ψ(t) = exp(2πit2 ) para t ∈ [0, 1] possuem o mesmo traço, a saber o cı́rculo com centro na
origem e raio r = 1. Deste modo somos naturalmente levados a conciderar tais caminhos
como uma classe de equivalência, passando assim a ver γ como uma parametrização do
traço.
Definição 2.10. Diremos que dois caminhos γ : [r, s] −→ C e ψ : [r̃, s̃] −→ C são equivalente se existe uma função continuamente diferenciável ξ : [r̃, s̃] −→ [r, s] com derivada
positiva em [r̃, s̃] tal que ψ = γ ◦ ξ. Chamaremos ξ de transformação de parâmetro.
Assim, caminhos equivalentes tem o mesmo traço. Como ξ 0 (t) > 0 para todo
t ∈ [r̃, s̃], ξ é estritamente crescente em [r̃, s̃], logo, sendo também uma bijeção temos
ξ(r̃) = r e ξ(s̃) = s. Esta noção de equivalência de fato define uma relação de equivalência
em todo o espaço dos caminhos em C.
Teorema 2.6 (Independência da Integral para caminhos equivalentes). Se γ :
[r, s] −→ C e ψ : [u, v] −→ C são dois caminhos equivalentes continuamente diferenciáveis, então,
Z
Z
f dz =
γ
f dz para toda função f ∈ C(γ ∗ )
ψ
Demonstração. Por hipótese existe uma bijeção ξ como na definição ?? tal que ψ(t) =
γ ◦ ξ(t) e
ψ 0 (t) = γ 0 (ξ(t))ξ 0 (t).
para todo t ∈ [u, v], logo
Z
Z
f dz =
ψ
v
0
f (ψ(t))ψ (t)dt =
u
Z
Z
v
f (γ(ξ(t)))γ 0 (ξ(t))ξ 0 (t)dt
u
ξ(v)
f (γ(τ ))γ 0 (τ )dτ
=
ξ(u)
s
Z
=
f (γ(τ ))γ 0 (τ )dτ
Zr
=
f dz
γ
, onde aplicamos a regra da substituição na função f (γ(τ ))γ 0 (τ )
§5. Propriedades da Integral ao longo de um caminho.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
18
As propriedades das integrais de funções complexas definidas em intervalos da
reta permanecem válidas para as integrais ao longo de caminhos. Desta maneira, sejam
γ : I −→ C um caminho continuamente diferenciálvel por partes, f, g ∈ C(γ ∗ ) e c ∈ C,
temos
Z
(1)
Z
(cf + g)dz = c
γ
Z
f dz +
γ
gdz;
γ
(2) Se ψ é um caminho em C tal que o ponto terminal de γ coincide com o ponto inicial
de ψ e f ∈ C(ψ ∗ ), então
Z
Z
f dz +
γ
Z
f dz =
ψ
f dz;
γ+ψ
Definição 2.11. Dado um caminho γ : I −→ C, chamaremos de caminho reverso ao
caminho −γ := γ ◦ ι onde ι : I −→ I é dado por ι(t) := r + s − t. Note que −γ ∗ = γ ∗ .
Intuitivamente −γ corresponde a percorrermos γ no sentido contrário.
Note que o caminho γ +(−γ) esta bem definido e para quaisquer dois caminhos
γ e ψ em C, temos −(γ + ψ) = −γ + (−ψ). Note também que o caminho −γ não é
equivalente ao caminho γ, isto se deve ao fato de ι0 < 0 em I. Em analogia a (3) em §1.,
temos
Z
Z
f dz = −
(3)
−γ
f dz. Este resultado é quem justifica o fato de na definição de caγ
minhos equivalentes termos pedido que a derivada da transfaormação de parâmetro
tenha um sinal fixado, do qual escolhemos o positivo.
(4) Regra da transformação. Sejam g : Ω −→ U uma função holomorfa cuja derivada
g 0 é contı́nua(veremos adiante que esta hipótese sobre g 0 é desnecessária), ψ um
caminho em C e γ := g ◦ ψ, então
Z
Z
f dz = (f ◦ g)g 0 dξ;
γ
ψ
Definição 2.12. Seja γ : [r, s] −→ C um caminho continuamente diferenciável. Definimos como o comprimento de γ o número real
Z s
Z sp
0
L(γ) :=
|γ (t)|dt =
[Re(γ(t))]2 + [Im(γ(t))]2 dt
r
r
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
19
Induzidos pela definção 2.9, definimos o comprimento de um caminho da continuamente
n
X
γk , como sendo o número real
diferenciável γ em C, isto é, um caminho daforma γ =
k=1
L(γ) :=
n
X
L(γk )
k=1
(5) Estimativa M -L. Para toda caminho γ : [r, s] −→ C continuamente diferenciável
por partes e f ∈ C(γ ∗ ), vale
Z
f dz = |f |γ L(γ), onde |f |γ := max {f (γ(t))}
t∈[r,s]
γ
Da utilı́ssima estimativa M -L segue que o processo de integração e de convergência, sob certas condições, comutam.
(6) Seja γ um caminho em C e {fn }n∈N uma sequência de funções fn ∈ C(γ ∗ ) que
converge uniformemente em γ ∗ para uma função f : γ ∗ −→ C[Veja a definição
2.20.]. Então
Z
lim
Z
fn dz =
n→+∞
Z
( lim )fn dz =
f dz.
γ n→+∞
γ
γ
Segue de (5) que
(5)’ Seja γ um caminho em C e {fn }n∈N uma sequência de funções fn ∈ C(γ ∗ ) tal que
+∞
X
a série
f − n converge uniformemente em γ ∗ para uma função f : γ ∗ −→ C.
k=1
Então,
+∞ Z
X
k=1
Z
fn dz =
γ
γ
+∞
X
!
Z
fn dz =
f dz.
γ
k=1
§6. Integrais Independentes do caminho.
Exemplo 2.3. Dado c ∈ C, para todo n ∈ Z e para todo disco ∆(c, r), r > 0,

Z
 0,
para n 6= −1
n
(ζ − c) dζ =
 2πi, para n = −1
∂∆(c,r)
Vejamos isso. Concideremos a parametrização ζ(t) := c+r exp(it) para t ∈ [0, 2π]. Assim,
ζ 0 (t) = ir exp(it) e teremos
Z
Z
n
(ζ − c) dζ =
∂∆(c,r)
.
0
2π
n
(r exp(it)) ir exp(it)dt = r
n+1
Z
2π
i exp(i(n + 1)t)dt
0
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
Como
20
exp(i(n + 1)t)
é uma primitiva de i exp(i(n + 1)t) para n 6= −1, segue
n+1
Z
(ζ − c)n dζ =
∂∆(c,r)
ir(n+1)
(exp((n + 1)2πi) − exp(0)) = 0
n+1
e para n = −1 teremos
Z
n
2π
Z
(ζ − c) dζ =
idt = 2πi
0
∂∆(c,r)
Deste modo temos que a integral ao longo de um caminho fechado nem sempre
é zero, o exemplo também evidencia o fato de que a integral ao longo de caminhos com
o mesmo ponto inicial e final nem sempre é igual. Note que para n 6= −1 a função
z 7−→ (ζ − z)n é holomorfa.
O seguinte teorema generaliza o conceito de primitiva.
Teorema 2.7. Se f é uma função contı́nua em um domı́nio Ω ⊂ C, as seguites afirmações
sobre a função F : Ω −→ C são equivalentes
(1) F é holomorfa em Ω e satisfaz F 0 = f ;
(2) Para todo par de pontos z, w ∈ Ω e para todo caminho γ em Ω com ponto inicial w
e ponto terminal z, vale
Z
f dζ = F (z) − F (w)
γ
Z
f dζ = 0.
Em particular se γ for fechado teremos
γ
Assim definimos,
Definição 2.13. Dada uma função f ∈ C(Ω), chamaremos de primitiva da função f
àquela função F : Ω −→ C que satisfaz a condição (1) ou (2) do teorema 2.7
Sejam Ω um aberto de C e f ∈ C(Ω), diremos que f é integrável em Ω se f
possue uma primitiva em Ω. Assim, ser integrável, diferentimente do que temos na Análise
Real, é uma condição que uma função complexa contı́nua pode ou não pussui. Temos o
seguinte critério de integrabilidade para funções complexas.
Teorema 2.8. Uma função f : Ω −→ C contı́nua no aberto Ω é integrável se, e somente
se,
Z
f dz = 0 para todo caminho fechado γ em Ω
γ
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
21
A tarefa de verificar se a integral ao longo de qualquer caminho fechado se anula
é na verdade inverificável na prática, o que torna o teorema pouco usável em aplicações.
Definição 2.14. Chamaremos de conjunto estrelado o subconjunto Ω ⊂ C que possue um
z0 tal que para todo ponto z de Ω se tenha [z0 , z] ⊂ Ω. O ponto z0 chamaremos de centro
de Ω. Se o conjunto estrelado for um aberto então é um aberto conexo e o chamaremos
de domı́nio estrelado.
Teorema 2.9 (O Teorema de Cauchy para conjuntos estrelados.). Seja f uma
função holomorfa em um domı́nioZestrelado Ω com centro c. Então f é integrável e tem
como primitiva a função F (z) :=
f dζ para todo z ∈ Ω. Em particula tem-se
[c,z]
Z
f dζ = 0
γ
para todo caminho fechado γ.
Teorema 2.10 (Fórmula Integral de Cauchy para discos). Sejam f uma função
holomorfa em um domı́nio Ω e ∆ := ∆(z0 , r) um disco tal que ∆ ⊂ Ω.Então para todo
ponto z ∈ ∆
1
f (z) =
2πi
Z
∂∆
f (ζ)
dζ
ζ −z
Teorema 2.11 (Teorema da Representação de Cauchy-Taylor). Toda função holomorfa em um aberto Ω de C possue um desenvolvimente em série de Taylor em ∆(ω, dz )
para todo ponto z ∈ Ω que converge uniformemente nas partes compactas de ∆(ω, dz )
[Veja a definição 2.21.], onde dω := d(ω, ∂Ω). E os coeficientes da série de Taylor são por
Z
f (n) (ω)
1
f (ζ)
an =
=
dζ
n!
2πi ∂∆ (ζ − ω)n+1
onde ∆ := ∆(ω, r) com 0 < r < dω .
Em particular, f é infinitamente diferenciável em Ω e para cada dico ∆ como
acima temos a seguinte versão da fórmula integral de Cauchy
Z
f (n) (ω)
n!
f (ζ)
(n)
f (z) =
dζ
=
n!
2πi ∂∆ (ζ − z)n+1
para todo z ∈ ∆ e n ∈ N.
Definição 2.15. Dados z0 ∈ C e r1 , r2 ∈ [0, +∞) ∪ {+∞} com r1 < r2 , chamamos de
anel o subconjunto aberto A(z0 , r1 , r2 ) := {z ∈ C; r1 < |z − z0 | < r2 } de C. z0 é dito ser
o centro do anel, r1 é chamado de raio interno e r2 de raio externo.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
Uma série da forma
+∞
X
n=0
+∞
X
22
bn
pode ser reduzida a série de potências
(z − z0 )n
1
. Assim, se aquela série converge em
z − z0
n=0
algum aberto então representa uma função holomorfa. Por outro lado se, R1 > 0 é o raio
+∞
+∞
X
X
bn
n
de convergência da série de potências
bn z1 , então segue-se que a série
(z − z0 )n
n=0
n=0
+∞
X
bn
converge absolutamente para |z − z0 | > R1 , e portanto, a série
representa
(z − z0 )n
n=0
+∞
X
bn z n possue
uma função holomorfa fora do disco ∆(z0 , R1 ). Se uma série de potencias
bn z1n por meio da substituição z1 =
n=0
+∞
X
+∞
X
bn
raio de conergência R2 > R1 ,então a soma
+
an z1n representará uma
n
(z − z0 )
n=0
n=0
função holomorfa no anel A(z0 , R1 , R2 ). Colocando-se a−n := bn , n > 0 podemos escrever
+∞
X
n=0
A expressão da forma
+∞
X
+∞
+∞
X
X
bn
n
+
a
z
:=
an (z − z0 )n
n
1
(z − z0 )n n=0
−∞
an (z − z0 )n chamamos de Série de Laurente.
−∞
Teorema 2.12 (Teorema da Representação de Laurent). Seja f uma função holomorfa no anel A := A(z0 , r1 , r2 ). Então
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )
−∞
1
e an =
2πi
Z
∂∆
f (ζ)
dζ
(ζ − z0 )n+1
onde ∂∆ := z0 + R exp(it) para t ∈ [0, 2π] e qualquer R ∈ (r1 , r2 ).
Definição 2.16. Sejam Ω ⊂ C e f : Ω −→ C holomorfa. Diremos que um ponto z0 ∈ C\Ω
é uma sigularidade isolada da função f se existir r > 0 tal que ∆(z0 , r)\{z0 } ⊂ Ω. Isto
é, f está definida e é holomorfa em uma vizinhança de z0 excetuando-se este ponto.
∆(z0 , r)\{z0 } ⊂ Ω será chamado de vizinhança perfurada de z0 . ∆(z0 , r)\{z0 } ⊂ Ω será
chamado de vizinhança perfurada de z0 .
Estudar o comportamento de uma função em torno de uma sua singularidade é
fundamental para algumas funções especı́ficas, no capı́tulo 4 fazemos isso para a função ζ
de Riemann. Deste modo, se z0 ∈ C é um singularidade isolada de uma função f : Ω −→ C
holomorfa, por definição existe r > 0 tal que f é holomorfa em ∆(z0 , r)\{z0 } ⊂ Ω, logo f
admite uma expansão em série de Laurent no anel ∆(z0 , r)\{z0 }.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
23
Assim temos três possibilidades, e apenas estas, como seguem
(1) an = 0 para todo n < 0. Dizemos, neste caso, que z0 é uma sigularidade removı́vel
de f .
(2) Existe n > 0 tal que a−n 6= 0 e ak = 0 para todo k > n. Dizemos, neste caso, que
z0 é um polo de ordem n de f. Em particular se n = 1 dizemos que z0 é um polo
simples de f.
(3) Para todo n ∈ N existe m > n tal que a−m 6= 0, ou seja, existem infinitos termos
não nulos com potências negativas de z − z0 .
Observe que se z0 é uma sigularidade da função f então se extende a uma
função holomorfa pondo-se f (z0 ) = a0 Se z0 for um polo, então então em um vizinhança
+∞
X
perfurada de z0 temos f (z) =
ak (z − z0 )k . Chamamos de parte principal do polo z0
k=−n
de f a função P (z) =
−1
X
ak (z − z0 )k , z ∈ C\{z0 }. Neste caso a função g : Ω −→ C
k=−n
dada por g(z) = (z − z0 )f (z) possue uma singularidade removı́vel em z0 , pois, g(z) =
+∞
X
(z −z0 )f (z) = a−n +a−n−1 (z −z0 )+· · ·+a−1 +(z −z0 )n
ak (z −z0 )k . Assim, g se exende
k=0
a uma função holomorfa em ∆(r, z0 ) pondo g(z0 ) = a−n . E, já que a−n 6= 0, resulta que
lim f (z) = lim
z→z0
z→z0
g(z)
=∞
(z − z0 )
Teorema 2.13 (Teorema da Extensão de Riemann). Seja z0 uma singularidade
isolada de uma função holomorfa f : Ω −→ C, então z0 é uma singularidade removı́vel
se, e somente se, a função |f | for limitada em alguma vizinhaça de z0 .
Definição 2.17. O número complexo a−1 é chamado de resı́duo de f em z0 . Denotaremos, Res(f, z0 ) = a−1 .
Note que se z0 ∈ C é m polo simples de f então, Res(f, z0 ) = limz→z0 (z −
z0 )f (z), pois, f = a−1 (z − z0 ) + h, onde h é holomorfa e uma vizinhanca de z0 .
Teorema 2.14 (Teorema dos Resı́duos.). Sejam Ω um domı́nio limitado, f : Ω −→ C
uma holomorfa em Ω exceto nas sigularidades sn ∈ Ω e γ um caminho simples fechado
em Ω com γ ∗ ∩ {sn } = ∅, então
Z
f dz =
γ
k
X
Res(f, sn,γ )
n=1
, onde sn,γ é uma sigularidade da f que está no interior do caminho γ.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
24
Definição 2.18. Uma função f é chamada de meromorfa em um aberto Ω ⊂ C se existe
um subconjunto P (f ) ⊂ Ω discreto em Ω, tal que f é holomorfa em Ω\{P (f )} e cada
ponto de P (f ) è um polo da função f.
Sequências e séries de funções holomorfas e meromorfas.
Definição 2.19 (convergência pontual). Uma sequência de funções {fn }n∈N em um
subconjunto Ω ⊂ C é pontualmente convergente em Ω se para todo z ∈ Ω a sequência
numérica {fn (z)}n∈N converge. Ou seja, se para todo z ∈ Ω e para todo ε > 0 existe
N := N (z, ε) > 0 e f (z) ∈ C tal que |fn (z) − f (z)| ≤ ε para todo n ≥ N.
Como o limite é único, a função f : Ω −→ C dada por f (z) := lim fn (z)
n→+∞
está bem definida. A chamamos de função limite.
Definição 2.20 (Convergência Uniforme). Uma sequência de funções {fn }n∈N em
um subconjunto Ω ⊂ C é uniformemente convergente se para todo ε > 0 existe N ∈ N e
f (z) ∈ C tal que para todo n ≥ N e para todo z ∈ Ω
|fn (z) − f (z)| ≤ ε.
Teorema 2.15. Uma sequência de funções contı́nuas que converge uniformemente converge para uma função contı́nua.
Definição 2.21 (convergência uniforme nas partes compactas). Uma sequência
de funções {fn }n∈N em um subconjunto Ω ⊂ C é uniformemente convergente nas partes
compactas de Ω se para todo subconjunto K compacto de Ω a sequência {fn |K }n∈N converge
uniformemente em K.
Evidentimente se {fn }n∈N converge uniformemente em um conjunto Ω então
converge uniformemente nas partes compactas de Ω. No entanto, a recı́proca disso nem
sempre é válida, como exemplo disso, temos a sequência de funções {xn }n definidas no
intervalo [0, 1] da reta real. Esta sequência converge uniformemente nas partes compactas
de [0, 1] mas não converge uniformemente em [0, 1].
Teorema 2.16. Seja Ω ⊂ C um aberto. Se {fn }n é uma sequência de funções que
converge uniformemente nas partes compactas de Ω, então existe uma única função f :
Ω −→ C tal que para todo compacto K ⊂ Ω, temos fn |K converge uniformemente para
f |K .
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
25
Definição 2.22. Uma sequência de funções {fn }n∈N em um subconjunto Ω ⊂ C é uniformemente de Cauchy se para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que para todo m, n ≥ N e para
todo z ∈ Ω
|fm (z) − fn (z)| ≤ ε.
Teorema 2.17 (Critério de Cauchy). Uma sequência de funções {fn }n∈N em um subconjunto Ω ⊂ C converge uniformemente em Ω se, e somente se, é uniformemente de
Cauchy em Ω.
Teorema 2.18. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções em um domı́nio Ω que converge
uniformemente em todo disco compacto contido em Ω. Então {fn }n∈N converge uniformemente nas partes compactas Ω.
Demonstração. Seja K um compacto contido em Ω, temos d(∂K, ∂Ω) = r > 0 tamando
S
a cobertura {∆(z, 2r ); z ∈ K} de K existe z1 , z2 , ..., zn ∈ K tais que K ⊂ nj=1 ∆(zj , 2r ).
Cada ∆(zj , 2r ) ⊂ Ω e {fn |∆(zj , r ) }n∈N é uniformemente de Cauchy, logo dado ε > 0 existe
2
Nzj ∈ N para cada zj tal que
|fm (z) − fn (z)| ≤ ε
para todo m, n ≥ Nzj e z ∈ ∆(zj , 2r ). Deste modo tomando N := máx{Nz1 , · · · , Nzn }
teremos
|fm (z) − fn (z)| ≤ ε
Sn
∆(zj , 2r ). Portanto, pelo critério de Cauchy {fn }n∈N
S
converge uniformemente em K ⊂ nj=1 ∆(zj , 2r ).
para todo m, n ≥ N e z ∈
j=1
Teorema 2.19 (Teorema da Convergência de Weierstras). Seja {fn }n∈N uma sequência
de funções holomorfas em um domı́nio Ω que converge uniformemente nas partes compactas de Ω para uma função f : Ω −→ C. Então f é holomorfa em Ω e para todo k ∈ N
o
n
(k)
a sequência fn
converge uniformemente nas partes compactas de Ω para a função
n∈N
f
(k)
: Ω −→ C.
Definição 2.23. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções definidas num conjunto Ω ⊂ C.
Chamaremos de série de funções a sequência {sn }n∈N dada por sn := f1 + f2 + · · · + fn .
+∞
X
Denotamos uma série por
fn .
n=0
Definição 2.24. Uma série de funções será pontualmente convergente, respectivamente,
uniformemente convergente, se, e somente se, a sequência {sn }n∈N for pontualmente convergente ou,respectivamente, uniformmente convergente.
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
26
Teorema 2.20 (Critério de Cauchy). Uma série de funções
+∞
X
fn converge unifor-
n=0
memente em um conjunto Ω ⊂ C se, e somente se, para todo ε > 0 existe N := N (ε) tal
que para todo n > m > N valha
|
n
X
fn (z)| ≤ ε para todo z ∈ Ω
k=m
Teorema 2.21 (Critério Majorante de Weierstrass). Seja {fn }n∈N uma sequência
de funções em Ω e suponha que exista uma sequência de némeros reais positivos {Mn }n∈N
+∞
+∞
X
X
tais que |fn (z)| ≤ Mn para todo n ∈ N e z ∈ Ω e
Mn < +∞. Então a série
fn
n=0
n=1
converge uniformemente em Ω.
Teorema 2.22 (Teorema da Diferenciação de Weierstras). Seja
+∞
X
fn uma série
n=1
de funções em um domı́nio Ω que converge uniformemente nas partes compactas de Ω
+∞
X
fn(k) converge unipara uma função f ∈ Hol(Ω). Então para qualquer k ∈ N a série
n=1
formemente nas partes compactas de Ω para a função f (k) , e portanto,
k
f (z) =
+∞
X
fn(k) (z) para todo z ∈ Ω.
n=1
Definição 2.25. Diremos que uma série de funções meromorfas
+∞
X
fn em um domı́nio
n=1
Ω converge uniformemente nas partes compactas de Ω, se para todo compacto K ⊂ Ω
existir um ı́ndice m := m(K) ∈ N tal que
(1) Para cada n ≥ m o conjunto dos polos de fn , P (fn ), for disjunto de K;
(2) E a série
+∞
X
fn |K converge uniformemente em K
n≥m
Teorema 2.23. Seja
+∞
X
fn uma sequência de funções meromorfas em um domı́nio Ω
k=1
que converge uniformemente nas partes compactas de Ω. Então existe uma única função
meromorfa em Ω com a seguinte propriedade: se U é um subconjunto aberto de Ω e
+∞
X
para algum m nenhuma função fn possue polo em U se n ≥ m,então a série
fn |U de
k=1
funções holomorfas converge uniformemente nas partes compactas de U para uma função
F ∈ Hol(U ) tal que
f |U =
m−1
X
k=1
Em particular f ∈
Hol(Ω\∪+∞
n=1 P (fn )).
!
fn |U
+F
2.2 Resultados úteis da Análise Complexa
27
Definição 2.26. Dizemos que uma sequência de funções {fn }n∈N em um subconjunto
de Ω ⊂ C é uniformemente limitada nas partes compactas de Ω se para todo compacto
K ⊂ Ω existe uma constante M (K) > 0 tal que |fn (z)| ≤ M (K) para todo n e z ∈ Ω, ou
seja, se sup{|fn |K } < +∞.
n∈N
Teorema 2.24. (Teorema de Montel) Sejam Ω um aberto de C e F ⊂ Hol(Ω) uma
famı́lia de funções holomorfas em Ω e uniformemente limitadas nas partes compactas
de Ω. Então qualquer sequência {fn }n∈N de funções em F pssue uma subsequência que
converge uniformemente nas partes compactas de Ω.
Teorema 2.25. (Teorema de Vitali) Seja Ω um domı́nio de C e U ⊂ Ω um subconjunto
com pelo menos um ponto de acumulação em Ω. Se {fn }n∈N é uma sequência de funções
holomorfas uniformemente limitada nas partes compactas de Ω que converge pontualmente
em U . Então {fn }n∈N converge uniformemente nas partes compactas de Ω.
28
3 Produtos Infinitos e Funções Holomorfas
com zeros prescritos
Muitas das teorias e técnicas da Análise Complexa decorreram do desejo de se entender
certas funções especı́ficas como, por exemplo, as funções Γ e ϕ de Euler e a função ζ
de Riemann; ou mesmo do desejo de se entender certa caracterı́stica especı́fica de uma
dada função, ou caracterı́sticas genéricas de uma classe de funções. E é nesse sentido
que desenvolviremos no presente capı́tulo a teoria dos produtos infinitos no intuito de
entendermos as funções holomorfas a partir de seus zeros.
Veremos que muitas das propriedades sobre a convergência de produtos infinitos se assemelham às propriedades sobre a convergência de séries, e mais do que isso,
na verdade encontraremos uma maneira de entender a convergência dos produtos infinitos a partir de uma série associada a ele, e assim como a teoria sobre séries se mostrou
de total importância no estudo das funções holomorfas, nos permitindo expandi-las como
séries de potências, os produtos infinitos se mostrarão de igual importância nos permitindo expandi-las como produto infinito de funções holomorfas.
3.1
Produtos Infinitos
Seja {zn }n∈N uma sequência de números complexos. Chamaremos de produto infinito,
formado a partir da sequência {zn }n∈N , a sequência {pn }n∈N definida indutivamente da
seguinte maneira
p1 = z1 e pn+1 = pn · zn+1
Assim para todo n ≥ 1 temos
pn = z1 · z2 · ... · zn−1 · zn
Em geral, usaremos a notação
n
Y
k=1
zk para denotar o produto pn e o chamaremos
3.1 Produtos Infinitos
29
de produto parcial, e o produto infinito z1 · z2 · ... · zn · ... denotaremos por
Y
zk .
+∞
Y
zk ou ainda
k=1
k≥1
3.1.1
Convergência de produtórios
Se tivermos zn 6= 0 para todo n ≥ 1 e {pn }n≥1 convergir para um número diferente de
zero então diremos que o produto infinito converge e assim teremos
∞
Y
zn = lim pn
n=1
n→+∞
E se a sequência {zn }n∈N possui um número finito de termos iguais a zero e o produto
k
Y
parcial Pk :=
znj convergir a um número complexo diferente de zero, onde znj É o jj=1
esimo termo de {zn }n∈N diferente de zero, diremos, então, que o produto infinito {pn }n≥1
converge e definiremos seu valor como sendo 0.
Exigimos aqui, que o valor limite de {Pk }k∈N seja diferente de zero porque
pretendemos representar uma função holomorfa (com zeros prescritos) como um produto
infinito e para isso será necessário que a função limite obtida se anule apenas nos zeros
prescritos.
Vejamos o seguinte exemplo.
∞
Y
1
Exemplo 3.1. Considere o produto infinito
. Note que todos os termos deste produto
k
k=1
m
Y
1
são diferentes de zeros, no entanto 0 <
< 1/m, mas como lim 1/m = 0 segue do
m→+∞
k
k=1
m
∞
Y
Y
1
1
teorema do confronto que lim
= 0, e portanto concluı́mos que
= 0.
k→+∞
k
k
k=1
k=1
Vimos acima o exemplo de um produto infinito cujos termos são todos diferentes de zero e ainda assim o seu valor limite é igual a zero. Este caso deve ser evitado
diante do nosso propósito aqui. Assim, diremos que o produto diverge para 0.
Mais exemplos:
∞ Y
1
Exemplo 3.2. Considere o produto
1 − 2 , que tem como primeiro termo o número
k
k=1
0, a fim de determinarmos sua convergência (ou divergência) daremos uma fórmula
n Y
1
explı́cita ao produto parcial
1− 2 .
k
k=1
3.1 Produtos Infinitos
30
n Y
n+1
1
.
Afirmação 3.1. Para todo n ≥ 2,
1− 2 =
k
2n
k=2
2 Y
1
Demonstração. A prova deste fato será por indução em n. Para n = 2 temos
1− 2 =
k
k=2
3
, o que concorda com a afirmação. Suponhamos em seguida que se tenha, para algum
4
n > 2,
n−1
Y
k=2
1
1− 2
k
=
n
.
2(n − 1)
(3.1)
Note que
Y
n n
Y
1
(k − 1)(k + 1)
1− 2 =
k
k2
k=2
k=1
e lembrando que pn = pn−1 · zn , temos
"n−1
#
n Y
Y
1
(n − 1)(n + 1)
1
1− 2
,
1− 2 =
2
k
k
n
k=2
k=2
donde obtemos pela hipótese de indução
n Y
k=2
1
1− 2
k
=
1
n
(n − 1)(n + 1)
1 n+1
·
·
= ·
.
2
2 n−1
n
2
n
Desta maneira concluı́mos, pelo Princı́pio da Indução Finita, para todo n ≥ 2,
que
n Y
k=2
1
1− 2
k
=
n+1
2n
(3.2)
Agora, tomando o limite em n quando este tende ao infinito positivo, vem
n Y
1
n+1
lim
1 − 2 = lim
=1
n→+∞
n→+∞
k
n
k=2
Logo o produto
∞ Y
k=2
1
1− 2
k
∞ Y
1
converge, portanto o produto
1 − 2 conk
k=1
verge para 0.
Exemplo 3.3. O produto de Euler, dado por
∞ Y
n=1
(3.3)
1
1 − qn z
,
3.1 Produtos Infinitos
31
onde qn é o n-ésimo inteiro primo positivo, é convergente se Rez > 1. Provaremos no
Exemplo 3.8 que o produto acima converge e é diferente de zero para cada z ∈ H1 e que
X
∞ ∞
Y
1
=
n−z .
z
1
−
q
n
n=1
n=1
Exemplo 3.4. O produto
∞ Y
(−1)j
1
1
1
1−
= (1 + 1) 1 −
1+
1−
···
j
2
3
4
j=1
é convergente. Note que, para todo j ≥ 1,
1
1
1+
1−
= 1.
2j − 1
2j
Desta forma segue que o produto dos m primeiros termos é igual a 1 se m for par e igual
1
a 1 + m1 se m for ı́mpar; e como lim (1 + ) = 1 concluı́mos que o produto converge
m→+∞
m
para 1.
Exemplo 3.5. O produto
∞ Y
j=1
1
1+
j
=
2 3 4 5
· · · ···
1 2 3 4
É divergente. De fato, pm = m + 1 e limm→+∞ pm = +∞.
Teorema 3.1. O produto infinito
+∞
Y
zn converge se, e somente se, lim zn = 1 e a série
n→+∞
n=1
+∞
X
Log(znj ) formada pelos termos não nulos de {zn }n∈N converge. E mais, caso nenhum
j=1
dos zn 0 s seja nulo, temos
Demonstração. Suponhamos que lim zn = 1 e
n→+∞
+∞
X
Log(znj ) converge. Como zn → 1
j=1
quando n → ∞, apenas um número finito dos pontos zn0 s da sequência podem ser iguais
+∞
X
a zero. Da convergência da série
Log(znj ) segue, por definição, que a sequência sm :=
j=1
m
X
Log(znj ) converge, e como
j=1
m
Y
znj = exp
j=1
m
X
!
Log(znj ) ,
j=1
obtemos da continuidade de exp,
lim
m→+∞
m
Y
j=1
znj = lim exp
m→+∞
m
X
j=1
!
Log(znj )
= exp
+∞
X
j=1
!
Log(znj )
3.1 Produtos Infinitos
32
e portanto
+∞
Y
+∞
X
znj = exp
j=1
!
Log(znj )
j=1
Desta forma, se de fato tivermos zn = 0 para algum n ≥ 1, então
+∞
Y
zn = 0
n=1
Caso contrário, teremos
+∞
Y
+∞
X
zn = exp
n=1
!
Log(zn )
n=1
Portanto lim zn = 1 e a convergência da série
n→+∞
+∞
X
Log(znj ) constituem uma
j=1
condição suficiente para a convergência do produto infinito.
Suponhamos agora que o produto infinito
+∞
Y
zn convirja. Assim, por definição,
n=1
apenas um número finito de zn0 s podem ser iguais a zero e lim Pk = p 6= 0 (lembre-se,
k→+∞
Pk :=
k
Y
znj onde znj é o j-ésimo termo de {zn }n∈N diferente de zero). E então, a fim de
j=1
mostrarmos que znk → 1 quando k → +∞, basta-nos notar que para cada k ≥ 1, temos
znk = Pk /Pk−1 , pois daı́ resulta
Pk
p
= =1
k→+∞ Pk−1
p
lim znk = lim
k→+∞
Agora, como possivelmente apenas um número finito dos zn0 s é igual a zero,
podemos concluir que, de fato, zn → 1 quando n → +∞.
Observe que embora a série
+∞
X
Log(znj ) seja tomada sobre os valores principais
j=1
do log znj , em geral, a série não converge a um ponto da faixa
{z ∈ C ; −π < Imz ≤ π}
Para isto seria necessário que −π < |
+∞
X
Arg znj | ≤ π. Portanto, o que devemos fazer na
j=1
verdade é mostrar que tal série converge para algum valor do log p.
E ainda, para provar que a série
+∞
X
j=1
Log(znj ) é convergente é suficiente verificar
3.1 Produtos Infinitos
que
+∞
X
33
Arg(znj ) converge, já que Log(znj ) = ln |znj | + iArg(znj ) para todo j, e
j=1
+∞
X
ln |znj | = ln
j=1
+∞
Y
!
|znj |
j=1
+∞ Y = ln znj j=1
é convergente, por hipótese.
Escrevendo znj = |znj |eiArg(znj ) , temos
Pk =
k
Y
|znj |eiArg(znj ) = |Pk | exp i
k
X
!
Arg(znj ) .
j=1
j=1
Se Pk → p 6= 0 quando k → +∞ então |Pk | → |p| e
Pk
j=1
Arg(znj ) → Arg(p)
mod(2π), quando k → +∞ (na topologia de Hausdorff).
Deste modo, existe uma sequência {mk }k∈Z de números inteiros e uma sequência
{εk }k∈N de números reais com εk → 0 tais que
k
X
Arg(znj ) = Arg(p) + mk · 2π + εk
(3.4)
j=1
Mas note que Log(Pk+1 ) − Log(Pk ) = Log(znk+1 ) e, por conseguinte, obtemos
Arg znk+1 =
k+1
X
Arg(znj ) −
j=1
k
X
Arg(znj ) = 2π(mk+1 − mk ) + εk+1 − εk .
j=1
Agora, visto que zn → 1 temos Arg znk → 0. Assim, para k suficientemente
grande, concluı́mos que
2π|mk+1 − mk | ≤ |Arg znk | + |εk+1 | + |εk | < 2π
(3.5)
No entanto, a desigualdade (3.5) só se mantém consistente se tivermos mk+1 =
mk := m, isto é, {mj }j∈N é eventualmente constante. E portanto, da equação (3.4)
P
obtemos kj=1 Arg(znj ) → Arg(p) + 2mπ quando k → ∞ e, com isso,
Arg(Pk ) → Arg(p), quando k → ∞.
Isto posto, segue
k
X
Log(znj ) = Log(pnk )
j=1
= ln |pnk | + i · arg Pnk → ln |p| + i · Arg Pnk + m · 2π,
quando k → +∞.
(3.6)
3.1 Produtos Infinitos
Logo a série
34
+∞
X
Log(znk ) converge. Em particular, se nenhum elemento de
k=1
+∞
X
{zn }n∈N for nulo então teremos
!
+∞
+∞
Y
X
zn = exp
Log(zn ) .
n=1
Log(zn ) =
n=1
+∞
X
Log(znk ) = Log(p) + m · 2π, logo
n=1
1
Visto que para um produto infinito convergente,
+∞
Y
zn , zn → 1, torna-se mais
n=1
conveniete expressarmos o produto infinito da seguinte forma
+∞
Y
(1 + an ), onde an → 0.
(3.7)
n=1
Deste modo o Teorema(3.1) resulta no seguinte enunciado.
Teorema 3.2. O produto infinito
+∞
Y
(1 + an ) converge se, e somente se, limn→+∞ an = 0
n=1
+∞
X
Log (1 + an ), formada pelos termos de {an }n≥1 diferentes de −1, converge. E
!
+∞
+∞
Y
X
(1+an ) = exp
Log (1 + an ) .
mais, caso nenhum dos an 0 s seja igual a −1, temos
e a série
k=1
n=1
n=1
Onde Log z representa o ramo principal do logaritmo, isto é, −π < Im(Log z) = Arg(z) ≤
π.
Note que, desde que an → 0 possivelmente apenas um número finito de a0n s
podem ser iguais a −1, e por conseginte apenas um número finito de termos, (1 + an ), do
produto podem ser nulos.
Teorema 3.3. Se an ≥ 0, o produto
+∞
Y
(1 + an ) converge se, e somente se, a série
n=1
converge.
+∞
X
an
n=1
Demonstração. Sabemos do cálculo que a função exponencial tem a seguinte expansão
em série de potências centrada no ponto x = 0
ex = 1 + x +
x2 x3
xn
+
+ ··· +
+ ··· , ∀ x ∈ R
2!
3!
n!
Daı́,
ex ≥ 1 + x, ∀ x ≥ 0
Seja Sn := a1 + a2 + · · · + an .
(3.8)
3.1 Produtos Infinitos
35
Note que se ai ≥ 0 para todo i ≥ 1,
a1 + a2 + · · · + an ≤ (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ),
(3.9)
para todo n ≥ 1.
Pois, para n = 1
a1 ≤ (1 + a1 )
E supondo que para algum n ∈ N se tenha
n
X
n
Y
(1 + ai ),
ai ≤
i=1
i=1
resulta
n+1
X
ai = an+1 +
n
X
i=1
E como
n+1
X
Qn
ai ≤ an+1 +
n
Y
(1 + ai ),
i=1
i=1 (1
i=1
+ ai ) ≥ 1, segue-se
n
n
n+1
Y
Y
Y
ai ≤ an+1 +
(1 + ai ) ≤ (1 + an+1 ) (1 + ai ) =
(1 + ai ),
i=1
i=1
i=1
i=1
Portanto, do princı́pio da indução, concluı́mos que a desigualdade (3.9) é verdadeira para todo n ≥ 1.
Assim, de (3.8) e (3.9) resulta
Sn ≤ pn ≤ eSn ,
Deste modo, se
onde pn = (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ).
+∞
X
an converge, digamos que a um número S ∈ R, então
n=1
{pn }n∈N é uma sequência limitada, sendo limitada inferiormente pelo número S e superiormente por eS . E como (1 + an ) ≥ 1 concluı́mos também que {pn }n∈N é uma sequência
monótona não decrescente, e portanto converge.
Reciprocamente, se {pn }n∈N converge a um número P ∈ R, então a soma Sn ,
+∞
X
que cresce monotonicamente, é limitada pelo valor P , e portanto
an converge a uma
n=1
valor menor ou igual a P .
Exemplo 3.6. Sabemos que a série
+∞
X
n−m converge se m > 1 e diverge se m ≤ 1. Daı́,
n=1
do Teorema (3.3) concluı́mos que
+∞
Y
(1 + n−m ) converge se m > 1 e diverge se m ≤ 1.
n=1
3.1 Produtos Infinitos
36
E de um modo mais geral, se para o produto
+∞
Y
(1+an ) tivermos an = O(n−m ),
n=1
das condições de convergência da série
+∞
X
n−m , citadas acima, do teste da comparação e
n=1
do Teorema 3.3, concluı́mos que o produto
+∞
Y
(1 + an ) converge se m > 1 e diverge se
n=1
m ≤ 1.
No Teorema 3.3 assumimos que todos os fatores an eram não negativos. No
entanto, veremos agora que um resultado similar pode ser obtido quando assumimos
an ≤ 0 para todo n ∈ N.
Teorema 3.4. Se an ≥ 0 e an 6= 1 para todo n ≥ 1, então
+∞
Y
(1 − an ) converge se, e
n=1
somente se, a série
+∞
X
an converge.
n=1
Demonstração. Suponhamos que
+∞
X
an convirja. Assim, pelo critério de Cauchy existe
n=1
n0 ∈ N tal que
m
X
an ≤
n0
1
2
para todo m ≥ n0
e portanto para m ≥ n0 temos 0 ≤ am ≤ 1.
Note que
(1 − an0 )(1 − an0 +1 ) = 1 − an0 − an0 +1 + an0 · an0 +1
≥ 1 − an0 − an0 +1
1
≥
2
Suponhamos que para algum m ≥ n0 + 1 valha
m
Y
n=n0
(1 − an ) = 1 −
m
X
n=n0
an ≥
1
2
(3.10)
3.1 Produtos Infinitos
37
Daı́, vejamos o seguinte
m+1
Y
m
Y
(1 − an ) = (1 − am+1 )
n=n0
(1 − an )
n=n0
"
≥ (1 − am+1 ) 1 −
m
X
#
an
(hipótese de indução (3.10))
n=n0
m
X
= 1−
!
− am+1 + am+1 ·
an
n=n0
≥ 1−
m+1
X
m
X
an
n=n0
an
n=n0
≥
1
2
portanto
m+1
Y
(1 − an ) ≥ 1 −
n=n0
m+1
X
an ≥
n=n0
1
2
Deste modo, por indução em m ≥ n0 , concluı́mos que
m
m
Y
X
1
(1 − an ) ≥ 1 −
an ≥ , para todo m > n0
2
n=n
n=n
0
0
Escrevamos
m
m
Y
Y
(1 − an ) = pn0 −1 ·
(1 − an ) para todo m > n0
pm =
n=n0
n=1
Assim, como 0 < 1 − am ≤ 1 para m > n0 , temos que a sequência dada por
pm
pn0 −1
define uma sequência decrescente e limitada inferiormente, pois
pm
pn0 −1
logo
=
m
Y
(1 − an ) > 1 −
n=n0
m
X
n=n0
1
an ≥ ,
2
pm
pn0 −1
converge.
m≥n0
Portanto, sendo p ∈ [1/2, 1] o ponto para o qual
pm
pn0 −1
converge, temos
pn → pn0 −1 · p 6= 0
ou seja,
+∞
Y
(3.11)
(1 − an ) converge.
n=1
Suponhamos agora, que
+∞
X
an não convirja. Se an 6→ 0, então 1 − an 6→ 1 e
n=1
portanto, pelo Teorema 3.1, o produto infinito
+∞
Y
(1 − an ) diverge. Se an → 0 então existe
n=1
n0 ∈ N, tal que 0 ≤ an < 1 para todo n ≥ n0 . E portanto 0 < 1 − an ≤ 1.
3.1 Produtos Infinitos
38
Afirmação 3.2. 1 − x ≤ e−x para todo x ∈ [0, +∞).
Demonstração. Recorrendo ao Cálculo, consideraremos a função f : [0, +∞) → R dada
por f (x) = (1 − x)ex . Assim, para obtermos o resultado desejado bastanos mostrar que
a função considerada é uma função decrescente, pois assim teremos f (x) < f (0) = 1
para todo x ∈ (0, +∞). Derivando f obtemos a função f 0 : [0, +∞) → R dada por
f 0 (x) = −xe−x , e note que f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (0, +∞), logo f é estritamente
descrescente. E portanto, f (x) < f (0) = 1, isto é, 1 − x < e−x para todo x ∈ (0, +∞).
Logo temos 1 − x ≤ e−x para todo x ∈ [0, +∞).
Um outro modo fácil de se obter esta desigualdade, em analogia ao que foi feito
na demonstração do Teorema 3.3, seria considerando-se a expansão em série de potências
da função x 7→ ex centrada no 0.
Temos
0<
pm
pn0 −1
= (1 − an0 )(1 − an0 +1 ) · · · (1 − am )
(3.12)
(1 − an ) ≤ e−an0 e−an0 +1 · ... · e−am
(3.13)
De onde vem
0<
m
Y
n=n0
= exp −
m
X
!
an
(3.14)
n=n0
Como
Logo
lim
m→+∞
+∞
Y
m
X
lim exp −
an = +∞ segue que
m→+∞
n=n0
m
X
!
an
= 0, e portanto pn → 0.
n=n0
(1 − an ) diverge.
n=1
Definição 3.1. Seja {an }n∈N uma sequência em C. Diremos que o produto infinito
+∞
Y
(1+
n=1
an ) converge absolutamente se an → 0 quando n → +∞ e
absolutamente, onde a série é tomada sobre os termos an 6= 1.
Mas, se
+∞
X
+∞
X
Log(1 + an ) converge
n=1
Log(1 + an ) converge absolutamente, então,
n=1
verge, e do Teorema 3.2 segue que
+∞
X
Log(1 + an ) con-
n=1
+∞
Y
(1 + an ) converge. Isto é, assim como para séries,
n=1
convergência absoluta implica em convergência.
3.1 Produtos Infinitos
39
Teorema 3.5. O produto infinito
+∞
Y
(1 + an ) converge absolutamente se, e somente se,
n=1
+∞
X
an converge absolutamente. E em particular isto ocorre se,e somente se,
n=1
+∞
Y
(1 + |an |)
n=1
converge.
Demonstração. Desde que Log(1 + z) é holomorfa em z = 0 e tem a expanção em séries
de Taylor Log(1 + z) = z(1 + O(z)), ou seja, |Log(1 + z)| é muito parecido com |z| quando
1
z está próximo de 0. Temos as seguintes estimativas quando |z| ≤
2
1
3
|Log(1 + z)| ≤ |z||(1 + O(z))| ≤ |z| e |Log(1 + z)| ≥ |z||(1 − O(z))| ≥ |z|,
2
2
portanto
1
3
|z| ≤ |Log(1 + z)| ≤ |z|
2
2
Logo, ou ambas as séries convergem absolutamente ou nenhuma converge absolutamente.
+∞
Y
E ainda, segue do Teorema 3.3 que isto ocorre se, e somente se, o produto infinito
(1 +
n=1
|an |) converge.
Corolário 3.1. Se
+∞
X
|an | < +∞ então
+∞
Y
(1 + an ) converge.
n=1
n=1
Exemplo 3.7. Seja z ∈ H1 . Então o produto
+∞
Y
(1 + z n )
n=1
converge e é diferente de zero, pois a série
+∞
X
z n converge absolutamente e |z n | = |z|n < 1
n=1
para todo n ∈ N, e em particular, z n 6= −1 para todo n ∈ N se |z| < 1.
Exemplo 3.8. (A fórmula do produto de Euler para a função zeta de Riemann)
Sejam z ∈ C, com Re(z) > 1, e qn o n-ésimo número primo ordenado de forma crescente.
O produto
+∞
Y
1 + qn−z
−1
n=1
converge e é diferente de zero.
−Re(z)
Note que |qn−z | = qn
≤ 2−Re(z) < 1 para todo n ∈ N e z ∈ H1 , logo 1−qn 6= 0
para todo n ∈ N e z ∈ H1 , logo se o produto convergir, convergirá para um número
!−1
k
k
Y
Y
−z −1
−z
diferente de zero. Visto que
1 + qn
=
1 + qn
para todo k ∈ N e
n=1
n=1
3.1 Produtos Infinitos
40
z 7→ z −1 é contı́nua, segue que
+∞
Y
1 + qn−z
−1
converge se, e somente se,
n=1
converge. Mas
+∞
Y
−z
1 + qn
+∞
Y
1 + qn−z
n=1
converge absolutamente, e portanto, converge, pois a série
n=1
+∞
X
qn−z
k
X
converge absolutamente, já que
n=1
|qn−z |
k
X
≤
n=1
k ∈ N e z ∈ H1 . Então o produto
+∞
Y
−z
|n | e
n=1
1 + qn−z
+∞
X
|n−z | < +∞ para todo
n=1
−1
n=1
converge e é diferente de zero. Mais ainda, como |qn−z | < 1 para todo n ∈ N, temos
(1 − qn−z )
−1
=
+∞
X
p−kz
n
para toda n ∈ N,
k=0
e portanto,
+∞
Y
(1 −
n=1
qn−z )
=
+∞ X
+∞
Y
n=1
!
p−kz
n
k=0
Definamos os seguintes subconjuntos de N,
Nn := {q1k1 q2k2 · · · qn−1 kn−1 qnkn ; k1 , · · · , kn ∈ Z+ }
m
Y
X
n−z para todo m ∈ N.
Afirmação 3.3.
(1 + qj−z + qj−2z + qj−3z + · · · ) =
j=1
m∈Nn
Demonstração. Obteremos este resultado por indução em m ∈ N. Para n = 1, a igualdade
X
é válida, isto é, 1 + 2−z + 2−2z + 2−3z + · · · =
n−z , pois 1 + 2−z + 2−2z + 2−3z + · · ·
n∈N1
converge absolutamente para qualquer que seja z ∈ H1 ,e portanto, a sua soma independe
n
Y
de da ordenação de seuas termos. Em seguida suponhamos que valha
(1 + qj−z + qj−2z +
j=1
3.1 Produtos Infinitos
X
qj−3z + · · · ) =
n−z para algum m ∈ N. E disto obtemos,
41
n∈Nm
X
n−z =
n∈Nm+1
X
(q k n)−z
k∈Z+
n∈Nm
=
X X
(q k n)−z
k∈Z+ n∈Nm
=
X
X
k
qm+1
k∈Z+
n−z
n∈Nm
−3z
−2z
−z
+ ···)
+ qm+1
+ qm+1
= (1 + qm+1
X
n−z
n∈Nm
−z
−2z
= (1 + qm+1
+ qm+1
+ ···)
m
Y
(1 + qj−z + qj−2z + qj−3z + · · · ) (hipótese de indução)
j=1
=
m+1
Y
(1 + qj−z + qj−2z + qj−3z + · · · )
j=1
Então,
p1 = (1 + 2−z + 2−2z + 2−3z + · · · ) =
X
n−z
n∈N1
−z
p2 = (1 + 2
+2
−2z
+2
−3z
+ · · · )(1 + 3−z + 3−2z + 3−3z + · · · ) =
X
n−z
n∈N2
..
.
pm
n
Y
X
=
(1 + qj−z + qj−2z + qj−3z + · · · ) =
n−z
j=1
m∈Nn
Mas, note que Nn ⊂ Nn+1 para todo n ∈ N e
+∞
[
Nn = N. Logo,
n=1
+∞
Y
1+
−1
qn−z
=
+∞
X
n−z
n=1
n=1
Lema 3.1. Seja {an }n∈N uma sequência em C, então
k
k
Y
Y
(1 + |an |) − 1
(1 + an ) − 1 ≤
n=1
n=1
Demonstração. Provaremos por indução em k. Para k = 1 a conclusão é imediata. Suponhamos que se tenha para algum k > 1
k
k
Y
Y
(1 + |an |) − 1
(1 + an ) − 1 ≤
n=1
n=1
3.1 Produtos Infinitos
42
Disto decorre
k+1
k
Y
Y
(1 + an ) − (1 + ak+1 ) − 1 + (1 + ak+1 )
(1 + an ) − 1 = (1 + ak+1 )
n=1
n=1
!
k
Y
= (1 + ak+1 )
(1 + an ) − 1 + ak+1 n=1
k
Y
≤ |(1 + |ak+1 |)| (1 + an ) − 1 + |ak+1 |
n=1
!
k
Y
≤ (1 + |ak+1 |)
(1 + |an |) − 1 + |ak+1 |
n=1
=
k+1
Y
(1 + |an |) − 1
n=1
Assim, do princı́pio da indução, concluı́mos que
k
k
Y
Y
(1 + |an |) − 1
(1 + an ) − 1 ≤
n=1
n=1
para todo k ∈ N.
Lema 3.2. Se
+∞
X
|an | < +∞, então,
Q+∞
n=1 (1
+ an ) é limitado.
n=1
Demonstração. Decerto, ja que a hipótese implica na convergência do produto infinito.
n
X
|ak | ≤ ε
k=m
Teorema 3.6. Se
+∞
X
an é absolutamente convergente e ρ : N → N é uma bijeção, então
n=1
+∞
Y
(1 + aρ(n) ) =
n=1
+∞
Y
(1 + an )
n=1
Demonstração. Sejam K, L ∈ N com K ≥ L, onde
K := min {M ∈ N; {1, · · · , N } ⊂ {ρ(1), · · · , ρ(M )}}.
Tomando L ∈ N de modo que
n
X
k=m
|ak | ≤ ε
3.1 Produtos Infinitos
43
para todo m, n ≥ L, temos para l > K
+∞
l
Y
Y
(1
+
a
)
−
(1
+
a
)
n
n =
n=1
n=1
+∞
l
Y
Y
(1
+
a
)
(1
+
a
)
−
1
n n
n=1
n=l+1
l
Y
≤
(1 + |an |)
n=1
≤ |pL |e
Pl
n=L+1
|an |
+∞
Y
!
(1 + |an |) − 1
n=l+1
P+∞
(e
n=l+1
|an |
− 1)
≤ M eε (eε − 1) (∃M ∈ R; |pn | ≤ M )
≤ 2eM ε
+∞
Y
Teorema 3.7.
(1 + an ) converge se, e somente se, para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal
n=1
n
Y
que (1 + ak ) − 1 < ε quando m > n ≥ n0 .
k=m
Demonstração. Por hipótese Pn −→ p 6= 0 quando n → +∞. Daı́, fixando n1 ∈ N tal que
|p|
|p|
para todo n ≥ n0 , resulta que |pn−1 | >
para todo n ≥ n1 . Mas, Pn é
|pn−1 − p| <
2
2
de Cauchy , logo podemos fixar n0 ≥ n1 tal que
|Pm − Pn−1 | <
|p|ε
2
sempre que m > n ≥ n0 . E disto segue
m
Y
1
2 |p|ε
(1
+
a
)
−
1
|Pm − Pn−1 | <
=ε
=
k
|Pn−1 |
|p|
2
k=n
para todo m > n ≥ n0 .
1
e n1 ∈ N tal que para todo m > n ≥ n1 ,
2
m
Y
1
(1 + ak ) − 1 < ,
2
Reciprocamente, seja ε =
k=n
implicando assim que
m
3
1 Y
<
(1 + ak ) <
2
2 k=n
1
para todo m ≥ n1 , logo
m
3|P
|Pn1 −1 | Y
n1 −1 |
< (1 + ak ) <
2
2
k=1
(3.15)
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
44
Escolhendo um ε > 0 arbitrário, por hipótese poderemos tomar um n0 ≥ n1
para o qual
m
Y
(1 + ak ) − 1 < ε
k=n+1
sempre que m > n ≥ n0 ≥ n1 , donde por fim obtemos
m
Y
3|P
n1 −1 |
ε
|Pm − Pn | = |Pn | (1 + ak ) − 1 <
2
k=n+1
Portanto, a sequência {Pn }n∈N é de Cauchy, logo é convergente e por
3.2
Produto infinito de funções holomorfas
Analogamente ao que é feito no estudo das séries, onde passamos do estudo de séries de
números complexos para o estudo das séries de funções, estudaremos agora os produtos
infinitos de funções holomorfas. Na teoria das séries de funções o conceito de convergência
uniforme exerce um papel fundamental. Daremos, a seguir, as definições destas noções de
convergência no contexto atual dos produtos infinitos de funções.
3.2.1
Definições
Seja Ω ⊆ C um domı́nio, e seja {fn }n∈N uma sequência funções fn ∈ Hol(Ω) para todo
n ∈ N, definimos o produto infinito em Hol(Ω), a partir da sequência dada, como sendo
a sequência
pn := (1 + f1 )(1 + f2 ) · · · (1 + fn ),
ou seja,
pn :=
n
Y
(1 + fk )
k=1
Evidentemente estamos interessados nos casos em que
+∞
Y
(1 + fn ) não é a
n=1
função identicamente nula e para tanto exigiremos que cada fn não seja identicamente
nula em Ω. Deste modo todas as sequências {fn }n∈N em Hol(Ω) no texto abaixo estarão
de acordo com esta exigência. Assumiremos também que Ω ⊆ C é um domı́nio, a menos
que se mencione o contrário.
Definição 3.2. (Convergência Pontual)
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
Diremos que o produto infinito
45
+∞
Y
(1 + fk ) em Hol(Ω) converge pontualmente
k=1
+∞
Y
em Ω se para todo z ∈ Ω o produto infinito pn (z) =
(1 + fk (z)) converge.
k=1
Esta noção de convergência representa a ideia mais simples de se pensar pn
convergindo a uma função limite f. Já a ideia da convergência uniforme é mais forte como
veremos a seguir.
Definição 3.3. (Convergência Uniforme)
+∞
Y
Diremos que o produto infinito
(1 + fk ) converge uniformemente em Ω para f se o
k=1
produto parcial pn converge uniformemente para f , isto é, se para todo ε > 0 existe
N ∈ N tal que para todo n > N e para todo z ∈ Ω
|pn (z) − f (z)| ≤ ε
Exemplo 3.9. Tomemos o produto
+∞
Y
n
1 + z2
para todo z ∈ C.
n=0
n
Como limn→+∞ 1 + z 2 6= 1 caso |z| ≥ 1, tal produto não converge se |z| ≥ 1.
n+1
1 − z2
Afirmação 3.4. pn =
1−z
para todo n ∈ N.
Demonstração. Prova por indução em n ∈ N. Para n = 1, temos
(1 − z)p1 = (1 − z)(1 + z)(1 + z 2 ) = (1 − z 2 )(1 + z 2 ) = (1 + z 4 ),
o que está de acordo com a fórmula. Se para n ∈ N\{1} tivermos
n−1
(1 − z)pn−1 = (1 − z 2
)(1 + z 2
n−1
n
) = (1 − z 2 ),
teremos
n
n
n
n+1
(1 − z)pn = (1 − z)pn−1 (1 + z 2 ) = (1 − z 2 )(1 + z 2 ) = (1 − z 2
portanto a fórmula para o produto parcial é válida para todo n ∈ N.
Logo,
n+1
1 − z2
lim pn (z) = lim
n→+∞
n→+∞
1−z
=
1
1−z
),
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
46
para todo z ∈ ∆, isto é, o produto converge pontualmente no disco unitário para a função
1
, no entanto, não converge uniformemente aı́, pois
f (z) : ∆ −→ C dada por f (z) =
1−z
1
para todo n ∈ N existe zn = 1 − n+1 tal que
2
n+1 2n+1
2
−1
1 − 2n+1
1
1
pn (zn ) −
= −
1
1
1 − zn
n+1
n+1 2
2
n+1 − 1 2n+1 n+1 2
= 2
n+1
2
2n+1
1
n+1
1 − n+1
= 2
>1
2
Todavia, se tomarmos 0 < δ < 1 arbitrário veremos então que o produto
convergirá uniformemente em ∆(0, δ). Com razão, pois para todo ε > 0 poderemos
N +1
δ2
< ε, e portanto, teremos
escolher N ∈ N talque
1−δ
2n+1
1
|
pn (z) −
= |z
1−z
|1 − z|
n+1
≤
N +1
δ2
δ2
<
< ε para todo n ≥ N
1−δ
1−δ
e z ∈ ∆(0, δ).
Note que a convergência uniforme implica a convergência pontual de pn à f. O
Critério Majorante de Weierstrass é extensivamente usado para estabelecer a convergência
uniforme e absoluta de uma série de funções. Estabeleceremos agora um critério análogo
para produtos infinitos de funções.
Teorema 3.8. (Critério Majorante de Weierstrass)
Sejam Ω ⊂ C e {fn }n∈N uma sequência em F(Ω) tal que para cada n ∈ N, |fn (z)| < Mn
+∞
+∞
X
Y
para todo z ∈ Ω. Se
Mn convergir, então,
(1 + fn ) converge uniformemente em Ω.
n=1
Demonstração. Visto que
n=1
+∞
X
n=1
Mn converge,
+∞
X
fn (z) converge absolutamente implicando
n=1
assim, pelo Teorema 3.5 a convergência absoluta de
+∞
Y
(1 + fn (z)), e portanto
n=1
+∞
Y
(1 + fn )
n=1
converge pontualmente em Ω.
1
3
Vimos anteriormente que |Log(1 + z)| ≤ |z| para todo |z| ≤ .
2
2
1
Desta forma escolhendo N ∈ N grande o suficiente de modo que Mn ≤ a
2
1
3
condição |fn (z)| ≤ Mn ≤
implicará |Log(1 + fn (z))| ≤ |Mn |, de onde seguirá pelo
2
2
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
critério majorante de Weierstrass que
+∞
X
47
Log(1 + fn ) converge uniformemente, e como
n=N
p
Y
p
X
(1 + fn ) = exp
n=N
Segue que
p
Y
!
Log(1 + fn )
(3.16)
n=N
(1 + fn ) converge uniformemente para
n=N
+∞
Y
(1 + fn ).
n=N
E desde que cada fn é limitada segue que
p
Y
(1 + fn ) converge uniformemente
n=1
para
+∞
Y
(1 + fn ).
n=1
Corolário 3.2. Se f =
+∞
Y
(1 + fn ) e para cada n ∈ N, fn ∈ Hol(Ω). Sob as mesmas
n=1
hipóteses tomadas acima sobre {fn }n∈N ∈ F(Ω) temos, f ∈ Hol(Ω).
Demonstração. De fato, pois o limite uniforme de uma sequência de funções holomorfas
é uma função holomorfa.
E mais, se z0 é um zero da f segue da definição de convergência de um produto
infinito(de números complexos) a existência de um N ∈ N tal que para todo n ≥ N ,
+∞
+∞
Y
Y
(1 + fn (z)) é o limite
(1 + fn (z)) não se anula em z0 . Como
fn (z0 ) 6= −1, logo
n=N
n=N
uniforme da sequência de funções holomorfas pn associada à subsequência {fn+N −1 }n∈N
+∞
Y
de {fn }n∈N , temos
(1 + fn (z)) ∈ Hol(Ω), em particular f é contı́nua em z0 , logo existe
n=N
r > 0 tal que
+∞
Y
(1 + fn (z)) 6= 0 para todo z ∈ ∆(z0 , r). Mas, desde que
n=N
f (z) =
+∞
Y
(1 + fn (z)) =
n=N
N
−1
Y
+∞
Y
n=1
n=N
(1 + fn (z))
!
(1 + fn (z))
e o segundo fator é holomorfo e não se anula em em ∆(z0 , r), concluı́mos que os zeros de f
Q −1
e sua respectiva ordem decorrem dos zeros dos fatores do produto finito N
n=1 (1 + fn (z)).
+∞
Y
Supondo z0 um zero de f =
(1 + fn ) definimos sua ordem como sendo
n=1
o(f, z0 ) =
m
X
n=1
o(1 + fn , z0 )
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
48
onde o(1 + fn , z0 ) é a ordem de z0 como zero de 1 + fn . Note que a finitude da soma acima
decorre do fato de que apenas um número finito de fatores do produto se anulam em um
dado ponto.
Teorema 3.9. Suponhamos que {fn }n∈N seja um sequência de funções limitadas em Ω,
+∞
X
tal que
|fn | converge uniformemente em Ω. Então
n=1
(1)
+∞
Y
(1 + fn ) converge uniformemente em Ω;
n=1
(2) Se ρ : N → N é uma bijeção, então
f≡
+∞
Y
(1 + fρ(n) )
n=1
Demonstração.
(1) Por
+∞
X
|fn | convergir uniformemente em Ω, segue-se que Sn é uni-
n=1
formemente de Cauchy, assim tomando ε = 1 existirá n0 ∈ N tal que
|Sm (z) − Sn (z)| ≤ 1
para todo m, n ≥ n0 e para todo z ∈ Ω. Em particular tem-se
+∞
X
|fn (z)| ≤ 1
n=n0 +1
para todo m, n ≤ n0
(m ≥ n) e para todo z ∈ Ω. Neste caso, para cada z ∈ Ω
temos
+∞
X
|fn (z)| =
n=n
0 −1
X
n=1
|fn (z)| +
n=1
+∞
X
|fn (z)| ≤
n=n
0 −1
X
n=n0
|fn (z)| + 1
n=1
para todo z ∈ Ω. E como cada fn é limitada em Ω existe M − 1 ∈ N tal que
Pn=n0
n=1 |fn (z)| ≤ M − 1 z ∈ Ω, e portanto
+∞
X
|fn (z)| ≤ M
n=1
para todo z ∈ Ω. Logo existe
α = sup
+∞
X
|fn (z)|
z∈Ω n=1
Logo
|pn (z)| ≤
n
Y
Pn
(1 + |fn (z)|) ≤ e
k=1
k=1
|fn (z)|
P+∞
≤e
k=1
|fn (z)|
≤ eα
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
49
para todo n ∈ N e z ∈ Ω
1
Escolhendo 0 < ε < , existe n0 ∈ N tal que
2
+∞
X
|fn (z)| < ε
n=n0
para todo n ≥ n0 e para todo z ∈ Ω.
Daı́, para todo m, n ≥ n0 m ≥ n
m
Y
|pm − pn | = |pn | (1 + fn (z)) − 1
k=n+1
m
Y
≤ eα
!
(1 + |fn (z)|) − 1
k=n+1
Pm
≤ eα e
k=n+1
|fn (z)|
−1
≤ eα (eε − 1)
≤ 2eα ε
Portanto, {pn } é uniformemente de Cauchy, logo
+∞
Y
(1 + fn ) é uniformemente con-
n=1
vergente em Ω.
(2) Segue do Teorema 3.6 visto que, em particular,
+∞
X
fn (z) converge absolutamente
n=1
para cada z ∈ Ω.
Definição 3.4. (Convergência Uniforme nas Partes Compactas)
Sejam Ω ⊂ C e {fn } uma sequência em Hol(Ω). Diremos que o produto infinito
+∞
Y
(1 +
k=1
fk ) converge uniformemente nas partes compactas de Ω para f se o produto parcial pn
convergir uniformemente nas partes compactas de Ω.
Assim, em particular, a convergência uniforme do produto infinito implica a
sua convergência uniforme nas partes compactas, e se produto infinito de funções converge
uniformemente em todo disco compacto contido em Ω converge uniformemente nas partes
compactas de Ω.
Corolário 3.3. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções em Hol(Ω). Se
+∞
X
n=1
uniformemente nas partes compactas de Ω, então o produto
+∞
Y
(1 + fn )
n=1
|fn | convergir
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
50
converge uniformemente nas partes compactas de Ω a uma função f ∈ Hol(Ω)
Considere a função F : Ω −→ C dada por F (z) := f1 (z)f2 (z) · · · fm (z) onde
cada fn ∈ Hol(Ω). Se tomarmos o logaritmo de F em Ω\F −1 (0) e derivarmos, obteremos
m
F 0 (z) X fn0
=
,
F (z)
f
n
n=1
para todo z ∈ Ω\F −1 (0).
Este procedimento é chamado de diferenciação logarı́tmica e é util nos casos
em que a derivada da função em questão é mais difı́cil de se obter do que a derivada do
logaritmo desta função como no caso acima em que a função é dada por um produto de
outras funções. Neste caso o logaritmo separa o produto em uma soma o que é de fato
F 0 (z)
é meromorfa e tem como polo os zeros de F (z) e
mais fácil de derivar. Note que
F (z)
fn0
cada parcela
tem como polo os zeros de fn , n = 1, · · · , m.
fn
O próximo resultado nos diz que sob certa hipótese a fórmula acima vale para
um produto infinito de funções holomorfas.
Teorema 3.10. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções holomorfas em Ω tal que
+∞
Y
fn
n=1
converge uniformemente nas partes compactas de Ω para uma função F ∈ Hol(Ω). Então
+∞
F 0 (z) X fn0
=
F (z)
f
n=1 n
onde a série de funções meromorfas converge uniformemente nas partes compactas de Ω.
Demonstração. Primeiramente notemos que a hipótese implica que {fn }n∈N converge uniformemente nas partes compactas de Ω para a função constante igual a 1, logo para cada
compacto K ⊂ Ω existe nK ∈ N tal que para todo n ≥ n0 , fn (z) 6= 0 para todo z ∈ K, e
f0
portanto n é holomorfa em para todo n ≥ nK . E como a convergência de uma sequência
fn
não é afetada pelos seus primeiros termos, em particular a convergência uniforme da série
não é afetada pelos primeiros termos que contém os polos. Já que a convergência uniforme
nas partes compactas de uma sequência de funções holomorfas, {fn }n∈N , implica a con(k)
vergência uniforme nas partes compactas da sequência {fn }n∈N formada por suas k-ésima
Qm
0
m
X
fn0
n=mk fn
=
derivadas para cada k ∈ N fixado,[ver teorema 2.19], e como Qm
para
f
n
n=mk fn
n=mk
todo m ∈ N, passando o limite obtemos
0
Q+∞
+∞ 0
X
fn
n=mk fn
=
,
Q+∞
f
n=m fn
n=1 n
k
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
51
e a série converge uniformemente nas partes compactas de Ω para uma função meromorfa
de acordo com a definição 2.25.
3.2.2
Funções holomorfas com zeros prescritos.
Nesta seção estamos interessados em estudar o seguinte problema.
Dado Z um subconjunto discreto de C, isto é, um subconjunto enumerável
sem nenhum ponto de acumulação, e uma função o : Z −→ N.
∗ Existe uma função inteira f que tenha apenas os pontos prescritos no conjunto Z
como zeros e cuja ordem de z ∈ Z como zero da função f seja o(z)?
∗∗ Dada uma função inteira f não constate tal que Z := f −1 (0). É possı́vel representar
a função f por um produto de funções inteiras
f=
Y
(1 + fz ),
z∈Z
de modo que para cada z ∈ Z, z seja o único zero da função fz ?
Evidente estamos interessados em estudar funções inteiras não constantes, por
isso e devido ao princı́pio dos zeros isolados de ma função holomorfa, pedimos que Z seja
discreto.
Para o caso em que Z é finito a resposta para o problema acima é imediata.
Seja Z = {z1 , z2 , · · · , zn }, então, uma tal função seria o polinômio
o(zk )
n Y
z
p(z) =
1−
,
zk
k=1
e mais, caso 0 ∈ Z, isto é, se Z = {0, z1 , z2 , · · · , zn }, então
o(zk )
n Y
z
o(0)
p(z) = z
1−
zk
k=1
e temos respondido assim a primeira parte do nosso problema.
Agora, se f : C −→ C é uma função inteira tal que f −1 (0) = {0, z1 , · · · , z2 } .
Definamos a função g : C\f −1 (0) −→ C dada por
g(z) =
f (z)
o(zk )
Q
z
n
z o(0) k=1 1 −
zk
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
52
Como o 0 e os zk0 s são zeros de ordem o(0) e o(zk ) da f , respectivamente,
segue-se que os pontos de f −1 (0) são singularidades removı́veis da função g, e portanto,
esta se estende a uma função inteira que não se anula em nenhum ponto do plano. Logo,
temos
f=
n
Y
fk
k=0
o(zk )
z
onde f0 := g · z
e fk := 1 −
, k = 1, · · · , n. Note também que cada função
zk
fator do produto contém toda informação sobre os zeros da função f . Do que vimos acima
o(0)
segue-se também que se g : C −→ C é uma função inteira que tem os mesmos zeros que
o polinômio p(z) assim como as suas respectivas ordens, então tal função nada mais é se
não o produto de uma função inteira que não possuem zero em todo plano pelo polinômio
p(z).
Lema 3.3. Suponha que G : Ω −→ C é uma função holomorfa tal que G(z) 6= 0 para todo
z ∈ Ω e que Ω é simplesmente conexo. Então existe uma função holomorfa g : Ω −→ C
tal que
G(z) = exp(g(z)).
Em particular se G é uma função inteira que não se anula em nenhum ponto do plano,
então exite uma função g inteira que satisfaz a igualdade acima.
Demonstração. Seja z0 ∈ Ω, como G(z0 ) 6= 0 existe c ∈ C tal que G(z0 ) = exp(c)
Definamos a função g : Ω −→ C dada por
Z
g(z) = c +
γ
G0 (ξ)
dξ,
G(ξ)
onde γ é um caminho em Ω que liga z0 à z.
G0 (ξ)
é holomorfa e Ω é simplesmente conexo, a integral acima indeG(ξ)
pende do caminho, e portanto g está bem definida. Seja γ(t) com 0 ≤ t ≤ 1 uma
Como
parametrização da curva γ. Definamosa curva Γ : [0, 1] 7→ C dada por
Γ(t) = G(γ(t))
A hipótese implica que Γ não passa pela origem. Daı́, façamos a seguinte
mudança de variável
w = G(ξ)
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
53
[imagem] na integral que define g obtento
Z
g(z) = c +
γ
dw
w
Como Γ liga o ponto G(z0 ) ao ponto G(z), pelo teorema fundamental para
integral de linha resulta
G(z)
G(z)
1
G(z)
g(z) − c = Log
⇒ exp(g(z)) exp(−c) =
⇒ exp(g(z))
=
,
G(z0 )
G(z0 )
G(z0 )
G(z0 )
e portanto,
G(z) = exp(g(z))
o(zk )
n Y
z
1−
Corolário 3.4. Considere o polinômio p(z) = z
. Se f é uma função
zk
k=1
inteira cujos zeros coincidem com o zeros de p(z) assim como suas ordens, então, existe
o(0)
uma função inteira h tal que
f (z) = exp(h(z)) z o(0)
n Y
k=1
z
1−
zk
o(zk ) !
.
No caso em que Z ⊂ C é infinito enumerável optaremos por vê-lo como uma
sequência {zk }k∈N em C onde |zk | ≤ |zk+1 | para todo k ∈ Z e limk→+∞ zk = ∞, já que Z
é discreto.
Exemplo 3.10. Funções que possuem um conjunto infinito de zeros.
(1) exp(z); exp(z) = 0 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z
π
(2) cos(z); cos(z) = 0 ⇔ z = (2k + 1) , k ∈ Z
2
(3) sen(z); sen(z) = 0 ⇔ z = kπ, k ∈ Z
Note que 2kπi → ∞, (2k + 1) → ∞ e kπ → ∞, quando k → ∞
Apartir do que vimos acima, uma sugestão ingênua para uma apropriada
função seria
f (z) :=
+∞ Y
k=1
z
1−
zk
para todo z ∈ C,
+∞ Y
z
no entanto,
1−
pode divergir. Mas, caso convirja uniformemente, definindo
zk
k=1
assim uma função inteira, certamente a função f dada pelo produto teria exatamente os
zeros prescritos pela {zk }k∈N . Estudemos um exemplo particular a fim de entendermos
posteriormente situações mais gerais.
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
54
Exemplo 3.11. Consideremos o produto infinito
+∞ Y
z2
1− 2
n
n=1
para todo z ∈ C.
z2
Note que para cada n ∈ N, gn (z) = 1 − 2 é uma função inteira com único
n
zero em n. E, desta maneira, caso o produto convirja uniformemente nas partes com
pactas de C, este definirá uma função inteira cujos únicos zeros são os números inteiros.
Tentemos, então, obter a convergência conveniente deste produto infinito.
z R
Para isto fixemos R > 0, arbitrário. Tomando N > R, teremos ≤
<1
n
n
z2
para todo z ∈ ∆(R) e para todo n ≥ N, e portanto, 1 − 2 6= 0, para todo z ∈ ∆(R) e
n
para todo n ≥ N.
Em vista disto, caso o produto convirja, escrevendo-o como
pN −1 ·
+∞ Y
n=N
z2
1− 2
n
,
pN −1 definirá uma função inteira que tem como únicos zeros os pontos z = ±n, onde
+∞ Y
z2
|n| ≤ N, e o produto
1 − 2 definirá uma função inteira e que não se anula em
n
n=N
∆(R).
Observe que para todo z ∈ ∆(R), temos evidentemente para cada n ≥ N,
2
z R2
≤
n2 n2
E como,
+∞
X
R2
n=1
n2
< +∞, segue do Critério Majorante de Weierstrass que
+∞ Y
z2
1 − 2 converge uniformemente no disco compacto ∆(R), e portanto, converge
n
n=1
uniformemente nas partes compactas de ∆(R), e como R > 0 é arbitrário, segue-se que
o produto converge uniformemente nas partes compactas de C, e como cada fator do
produto é uma função inteira, concluı́mos que f : C −→ C, dada por
f (z) =
+∞ Y
n=1
z2
1− 2
n
é uma função inteira cujos os únicos zeros são os n ∈ Z.
Exemplo 3.12.
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
+∞ Y
z2
(1) senπz = zπ
1 − 2 (produto de Euler)
n
n=1
(2) Γ(z) = Q
+∞
n=1
55
exp(−γz)
z , onde γ é a constante de Euler-Mascheroni
z
1+
exp −
n
n
Vejamos quais restrições devemos impor à sequência {zk }k∈N para que exista
uma função inteira que tenha seus pontos como seus únicos zeros.
teremos
+∞
X
1
Se
convergir, fixando R > 0 arbitrário, e considerando o disco ∆(R),
|zk |
k=1
z
≤ R ,
zk |zk |
para todo z ∈ ∆(R) e para todo n ≥ N ,
+∞
X
R
converge, e do Critério Majorante de Weierstrass e da arbitrariedade da
|z
k|
k=1
escolha de R > 0 seguirá que
+∞ Y
z
f (z) :=
1−
zk
k=1
então,
define uma função inteira.
Assim podemos escrever o seguinte enunciado
+∞
X
1
Afirmação 3.5. Se
converge, então, o produto infinito de funções inteiras f (z) :=
|zk |
k=1
+∞ Y
z
define uma função inteira que se anula apenas nos pontos prescritos pela
1−
z
k
k=1
sequência {zk }k∈N .
Deste modo, fica fácil construir uma função cujos zeros são os pontos z =
1, 8, 27, · · · , n3 , · · · . O produto infinito
+∞ Y
n=1
z3
1− 3
n
define um tal função. Na verdade, visto que o produto converge, de modo análogo ao
caso em que são prescritos um número finito de zeros, podemos ver que qualquer outra
função, g : C −→ C, que tenha os pontos de {zk }k∈N como zero, não passará do produto
da f por uma outra função inteira sem zeros. Isto é,
g(z) = exp(h(z))f (z), onde h : C −→ C é holomorfa.
+∞ Y
z
, que seria
n
n=1
o candidato mais imediato para definir uma função inteira cujos zeros fossem os números
No entanto, o Exemplo 3.5, nos mostra que o produto
inteiros, não pode, na verdade, representar uma função inteira.
1−
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
56
Assim como no Corolário 3.4, seria bom que existisse uma função E inteira
que não possuisse nenhum zero, tal que
+∞ Y
n=1
z
1−
· E(z),
n
convirja uiformemente nas partes compactas. Isto é, que existisse uma função que produzisse a convergência, um fator de convergência que fizesse o produto inicial convergir sem
alterar as informações sobre os zeros.
E de fato existe tal função. Veremos a seguir que
+∞
+∞
X
X
1
1
Afirmação 3.6. Se
divergir, mas
convergir, então o produto
2
|z
|z
k|
k|
k=1
k=1
+∞ Y
z
z
exp
,
f (z) :=
1−
z
z
k
k
k=1
define uma função inteira, cujos únicos zeros são os pontos prescritos pela sequência
{zk }k∈N .
Definamos a seguinte sequência de funções inteiras, {fk }k∈N , dadas por
+∞ Y
z
z
fk (z) =
1−
exp
− 1, para cada k ∈ N.
z
z
k
k
k=1
z
z
exp
, para cada k ∈ N. Deste maneira para obtermos
Note que 1+fk (z) = 1 −
zk
zk
a convergência uniforme do produto é suficiente, via o Critério Majorante de Weierstrass,
+∞
X
encontrarmos um limitante superior, Mk , para cada |fk |, tal que
Mk < +∞.
k=1
Escrevamos
z
z
1 + fk (z) = exp Log 1 −
+
,
zk
zk
fixemos R > 0 arbitrário; e como zk → ∞, quando k → +∞, se z ∈ ∆(R), escolhamos
K ∈ N grande o suficiente de modo que |zk | > 2R, para todo k ≥ K, implicando assim
R
|z|
que
≤
≤ 1, para todo z ∈ ∆(R) e para todo k ≥ K.
|zk |
|zk |
Sabe-se do estudo sobre séries de potências que a expanção de Taylor para o
Log(1 − z) quando |z| < 1 é dada por
Log(1 − z) = −
+∞ n
X
z
n=1
n
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
57
.
z
Já que ≤ 1, para todo z ∈ ∆(R) e para todo k ≥ K, temos
zk
k
+∞
X
1 z
z
=−
Log 1 −
zn
k zn
k=1
Disto segue,
z
Log 1 −
zk
n
+∞
X
z
1 z
+
=−
zk
n zk
n=2
Então,
+∞ X 1 z n
z
z
Log 1 −
= −
+
zk
zk n
z
k
n=2
n
+∞ 1 X z ≤
2 n=2 zk n
+∞ 1X R
≤
2 n=2 |zk |
Como
R
≤ 1, para todo z ∈ ∆(R) e para todo k ≥ K
|zk |
n
+∞ X
1
R
=
,
R
|z
|
1
−
k
|z
|
n=0
k
e portanto,
n
+∞ X
R
1
R
=
− 1+
|zk |
|zk |
1 − |zRk ,|
n=2
=
1
R2
|zk |2
− |zRk |
2R
E visto que |zk | > 2R, para todo k ≥ K, segue que −
> −1 logo,
|zk |
R
2 1−
> 1. E portanto,
|zk |
n
+∞ z
z
1X R
Log 1 −
+ ≤
zk
zk
2 n=2 |zk |
≤
<
1
R2
|zk |2
− |zRk |
2
R
|zk |2
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
58
Afirmação 3.7. | exp(w − 1)| ≤ e|w| − 1, para todo z ∈ C
A função exponencial complexa tem a seguinte expansão em série de potências
exp(z) =
+∞ k
X
z
k=0
k!
, para todoz ∈ C
Fazendo a mudança de variável w = z + 1, obtemos,
exp(w − 1) =
+∞
X
(w − 1)k
k=0
k!
, para todow ∈ C
Da convergênte absoluta da série e da desigualdade triangular seque que
2
n
(w
−
1)
(w
−
1)
| exp(w − 1)| = lim w +
+ ··· +
n→+∞
2
n
≤
lim |w| +
n→+∞
|w|2
|w|n
+ ··· +
2
n
= e|w| − 1
Portanto,
|fk (z)| =
≤
≤
≤
<
E como,
+∞
X
k=K
exp Log 1 − z + z − 1
zk
zk
z
z
exp Log 1 −
+ − 1
zk
zk
2 R
exp
− 1, (ex − 1 ≤ xex , x ≥ 0)
|zk |2
R2 |zR2|2
e k
|zk |2
R2 e
:= Mk ∀k ≥ K, (ex < e, x < 1)
2
|zk |
1
converge, concluı́mos do Critério Majorante de Weierstrass
|zk |2
que o produto
+∞ Y
z
z
1−
exp
zk
zk
k=1
converge uniformemente em ∆(R), logo converge uniformemente nas partes compactas de
C, visto que R > 0 é arbitrário, portanto define uma função inteira
+∞ Y
z
z
f (z) :=
1−
exp
zk
zk
k=1
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
59
Exemplo 3.13. O produo infinito de funções inteiras
f (z) =
+∞ Y
n=1
z z
1−
exp
,
n
n
define uma função inteira cujos únicos zeros são os números inteiros positivos.
+∞
z 1 X
z k z
Analogamente, visto que Log 1 −
− ≤ ,
n
n
2 k=2 n +∞ Y
f (z) =
1+
n=1
z
z
exp −
n
n
define uma função inteira que tem como zero os inteiros negativos e nenhum outro zero
além destes.
Exemplo 3.14.
f (z) = z
" +∞
Y
n=1
z z
1−
exp
n
n
# " +∞
Y
n=1
z
z
1+
exp −
n
n
#
define uma função inteira, pois o produto de funções inteiras é uma função inteira, que tem
como zeros simples cada número n inteiro e apenas estes como seus zeros. E mais, devido
a convergência absoluta dos produtos infinitos na fórmula de f (z), podemos reordenar os
fatores de modo que
" +∞
Y
z z
1−
exp
n
n
# " +∞
Y
z
z
f (z) = z
exp −
1+
n
n
n=1
n=1
#
" +∞
z z
Y
z
z
1−
1+
exp
exp −
= z
n
n
n
n
n=1
+∞ Y
z2
= z
1− 2
n
n=1
#
Desta maneira, da identidade
n
+∞
X
z
1 z
Log 1 −
=−
zk
n zk
n=1
e dos demais argumentos usados na demonstração, em total analogia obtemos o seguinte
resultado
Teorema 3.11. Pondo Ep (z) := exp
p
X
zn
n=1
!
n
para todo z ∈ C. Se
+∞
X
k=1
1
convergir,
|zk |p+1
então,
f (z) =
+∞ Y
k=1
z
1−
zk
Ep
z
zk
,
é uma função inteira cujos únicos zeros são os pontos zk da sequência {zk }k∈N .
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
60
∗ Sobre a multiplicidade dos zeros.
Note que no que foi visto acima a ocorrência de zeros com ordem maior do
que um é permitida, para tanto, basta que se tenha zn = zm com n 6= m. De fato, termos
zn = zm com n 6= m não gera problema em nenhum dos argumentos e em nhenhuma das
estimativas necessárias efetuadas acima. E vale observar também que uma vez que zn →
∞, zn = zm apenas para uma quantidade finita de ı́ndices o que está em concordância
com a finitude da ordem de um zero de uma função holomorfa.
+∞
X
√
1
√ 3 converge do Teorema 3.11 segue que
Exemplo 3.15. Visto que n → ∞ e
( n)
n=1
+∞ Y
z
z2
z
exp √ +
f (z) =
1− √
n
n 2n
n=1
define uma função inteira cujos zeros simples são os pontos z =
√
n para todo n ∈ N.
No entanto, existem sequências {zk }k∈N que convergem para o infinito, mas
1
diverge para todo p ≥ 0, como, por exemplo, a sequência {log n}n∈N .
a série
p+1
|z
k|
k=1
Portanto o que vimos acima não nos permite construir uma função inteira que tenha o
+∞
X
cunjunto {log n, n ∈ N} como o conjunto de seus zeros. Mas, observe também que o
produto
n !
p
+∞ Y
X
z
1 z
1−
exp
,
zk
n zk
n=1
k=1
k
p
X
1 z
, onde todos
envolve a sequência de polinômios {ρn (z)}n∈N , dada por ρ(z) =
k
z
n
k=1
os polinômios possuem o mesmo grau p.
Veremos que no caso geral não é necessário o limite uniforme sobre os graus
dos polinômios. Isto é, construiremos uma função inteira com zeros prescritos sem levar
em conta a convergência da série que envolve seus zeros.
3.2.3
O Teorema do Produto de Weierstrass
O Teorema do Produto de Weierstrass nos afirma que podemos pescrever os zeros de uma
função inteira juntamente com suas ordens.
Teorema 3.12. (O Teorema do Produto Weierstrass)
Dada a sequência {zk }k∈N existe uma função inteira f que tem como únicos zeros os
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
61
pontos prescritos por {zk }k∈N cuja ordem de zk como zero de f é o número de repetições
de zk na sequência.
Demonstração. Comecemos assumindo, sem perda de generalidade, que zk 6= 0, para todo
k ∈ N, pois, se existem m pontos da sequência iguais a zero, e se f : C −→ C é uma
função inteira que tem como zero os pontos de {zk }k∈N diferentes de zero, então, a função
z m · f será uma função inteira que se anula justamente nos pontos prescritos pela {zk }k∈N .
Sem mais nos ater a convergência da série associada ao inverso dos zeros prescritos, buscaremos mostrar que o produto
+∞ Y
z
z
f (z) :=
1−
Ek
,
zk
zk
k=1
define uma função inteira, f ,que satisfaz as condições do teorema.
!
k
X
zn
Lembre-se que Ek (z) = exp
, k ∈ N.
n
n=1
Fixemos R > 0 e escolhamos K grande o suficiente de modo que |zk | ≥ |2R| ≥
2|z|, para todo z ∈ ∆(R) e para todo k ≥ K, daı́ segue
X
n n +∞
k
X
1
z
1
z
z
+
Log 1 −
= −
zk
n
z
n
z
k
k
n=1
n=k+1
+∞ X
z n
1
≤
k + 1 n=k+1 zk k +∞ n
1 z X z ≤
k + 1 zk n=1 zk k +∞
1 z X 1
≤
k + 1 zk n=1 2n
k n
z
1 z ≤ 1
=
≤
zn k + 1 zk
2n
X
k !
n
z
1 z
Então, escrevendo 1 + fn (z) = exp Log 1 −
+
, resulta que
zn
k
z
n
k=1
|fn (z)| = exp Log 1 −
≤ exp Log 1 −
1
≤ e 2n − 1
1 1
1
≤ n e 2n ≤ n e,
2
2
k !
n
X
1 z
+
− 1
k
z
n
k=1
!
X
k n
z
1 z
+
−1
zn
k
z
n
k=1
z
zn
3.2 Produto infinito de funções holomorfas
62
para todo z ∈ ∆(R) e para todo n ≥ N.
+∞
X
1
E como
< +∞, da arbitrariedade de escolha de R > 0 e do fato de
2n
n=N
ser cada fn uma função inteira, concluı́mos via o critério majorante de Weierstrass que o
produto
+∞ Y
z
z
En
,
f (z) =
1−
zn
zn
n=1
define uma função inteira cujos únicos zeros são os pontos prescritos pela sequência
{zk }k∈N .
Assim como para o caso em que Z é finito, para o caso em que Z é infinito o
Lema 3.3 juntamente com o Teorema do Produto de Weierstrass nos possiblita responder
a questão sobre a representação de uma função inteira f , cujos zeros são conhecidos, como
um produto infinito de funções inteiras onde cada termo do produto tenha como único
zero um dos pontos prescritos. Vimos também que o produto absolutamente convergente
pode ser reordenado sem que se altere seu valor limite. Em vista destas observações
enuciamos,
Teorema 3.13. (Sobre a representação de f ∈ Hol(C) como um produto infinito)
Sejam {zk }k∈N uma sequência de números complexos diferentes de zero e f uma função
inteira que tem como zeros os pontos de {zk }k∈N listado com multiplicidade 0k ∈ N e z = 0
como zero de multiplicidade o0 ∈ N, então existe uma função inteira g tal que
o
+∞ Y
z k
ok · z
f (z) = exp(g(z)) · z ·
1−
En
,
z
z
n
n
n=1
o0
63
4 A função zeta de Riemann
A função ζ de Riemann foi primeiramente introduzida por Euler. Ele obteve para a função
ζ uma representação como produto infinito de funções que a conecta com os números
primos. Um século depois Riemann (1826-1866) descobriu uma forte relação entre a
função ζ de Riemann e a distribuição assintótica dos números primos. Exceto para alguns
zeros dispostos no semiexo real negativo, que são ditos zeros “rivias” vê-se que os demais
zeros da função pertencem à faixa vertical {0 ≤ Re(z) ≤ 1}; esta faixa é chamada de faixa
crı́tia (critical strip).
Riemann relacionou a função ζ com a distribuição dos úmeros primos por meio
de uma “fórmula explicita” e conjecturou que todos os zeros da função ζ pertencentes à
1
faixa crı́tica possuem a sua parte real igual a . Esta conjectura é conhecida como A
2
Hipótese de Riemann. Estando em aberto a mais de 300 anos a hipótese de Riemann é
sem sombra de dúvidas um dos maiores problemas da matemática na atualidade. Devido a
importância da hipótese de Riemann para a Matemática em particular e pelo papel que tem
desempenhado em várias áreas de pesquisa moderna, como por exemplo na Fı́sica Teórica,
a função ζ de Riemann ocupa um lugar de prestı́gio como uma das mais importantes
funções.
É de total relevância na teoria dos números, principalmente no que diz respeito
aos números primos e sua distribuição. Através de suas propriedades holomorfas várias
importantı́ssimas propriedades sobre os números primos e sua distribuição são obtidas.
A função zeta de Riemann ou simplesmente função zeta é a função complexa
definida no semiplano H1 = {z ∈ C; Re(z) > 1} dada por
+∞
X
1
ζ(z) =
,
nz
n=1
onde nz = exp(zLog(n)).
4 A função zeta de Riemann
64
Como
|nz | = | exp(zLog(n))|
= | exp (Re(z)Log(n)) · exp(iIm(z)Log(n)) |
= | exp(Re(z)Log(n))|
= nRe(z)
+∞
+∞
X
X
1
1
e
converge para todo x > 1, segue-se que a série
converge absolutamente,
x
n
nz
n=1
n=1
e em particular converge, para todo z ∈ H1 , logo a função ζ está bem definida.
+∞
X
1
converge uniformemente em H 1+δ para todo δ > 0, e
Teorema 4.1. A série
z
n
n=1
portanto, converge uniformemente nas partes compactas de H1 . A função ζ de Riemann
é holomorfa em H1 .
Demonstração. Dado δ > 0, como a série
P+∞
n=1
1
n1+δ
converge e |n−z | = n−Re(z) ≤ n−(1+δ)
para todo H 1+δ , segue do critério majorante de Weierstrass que
+∞
X
1
converge uniforz
n
n=1
memente em H 1+δ . E como todo compacto de H1 está contido em algum H1+δ a série
converge uniformemente nas partes compactas de H1 e visto que nz = exp(zLog(n)) é
+∞
X
1
é uma função holomorfa
holomorfa para qualquer n ∈ N concluı́mos que ζ(z) =
nz
n=1
em H1 .
+∞
X
Logk (n)
para todo k ∈ N e z ∈ H1 , onde a série connz
n=1
verge uniformemente nas partes compactas de H1 . Em particular temos
Corolário 4.1. ζ
(k)
(z) =
0
(−1)n
ζ (z) = −
+∞
X
Log(n)
n=1
nz
para todo z ∈ H1
Demonstração. Para tanto, primeiramente, considere a função fn : H1 −→ C dada por
fn (z) = n−z = exp(−zLog(n)). Temos
fn0 (z) =
Log(n)
para todo z ∈ H1
nz
4.1 A fórmula do produto de Euler para a função ζ de Riemann
65
Logk (n)
disto resultará que
nz
0
fn(k+1) (z) = fn(k)
d Logk (n)
=
dz
nz
d
1
k
= Log (n)
dz nz
Log(n)
= Logk (n)
nz
Logk+1 (n)
=
,
nz
Se tivermos que fn(k) (z) =
portanto do princı́pio da indução finita, aplicado à ordem de derivação, concluı́mos que
fn(k) (z) =
Logk (n)
nz
para todo k ∈ N e z ∈ H1 .
Agora, basta-nos invocar o teorema da diferenciação de Weiestrass (Teorema
+∞
X
1
converge uniformemente nas partes compactas de H1 , e está
3.10), pois a série
z
n
n=1
provado o corolário.
4.1
A fórmula do produto de Euler para a função ζ
de Riemann
Neste capı́tulo não havendo risco de confusão optaremos por denotar o n-ésimo número
primo por pn , como é de costume. Sendo assim, no Exemplo 3.8, vimos que
+∞
Y
1+
−1
p−z
n
n=1
+∞
X
1
=
nz
n=1
para todo z ∈ H1 ,
e portanto,
ζ(z) =
+∞
Y
1 + p−z
n
−1
para todo z ∈ H1 .
n=1
Segue também do Exemplo 3.8 que a função ζ não possue zeros em H1 . E do Teorema 3.2
temos
+∞
Y
n=1
−z −1
1 + pn
= exp −
+∞
X
n=1
!
Log(1 − p−z
n )
+∞ X
+∞
X
1
= exp −
mpmz
n
n=1 m=1
!
,
4.1 A fórmula do produto de Euler para a função ζ de Riemann
pois Log(1 − w) = −
66
+∞
X
wm
, se |w| < 1 e |p−z
n | < 1 para todo n ∈ N, logo
m
m=1
Log(ζ(z)) = −
+∞ X
+∞
X
1
mpmz
n
n=1 m=1
Lema 4.1. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções em F(Ω) com fn (z) 6= −1 para todo
+∞
Y
z ∈ H1 e n ∈ N. O produto
(1 + fn ) converge uniformemente nas partes compactas de
n=1
Ω se, e somente se,
+∞
Y
(1 + fn )−1 converge.
n=1
Demonstração. Suponhas que
+∞
Y
(1 + fn ) converge uniformemente nas partes compactas
n=1
de Ω. A função z 7→ z −1 é contı́nua, e como fn (z) 6= −1 para todo z ∈ H1 e n ∈ N,
!−1
k
k
Y
Y
. Deste modo, a sequência
temos para todo k ∈ N,
(1 + fn )−1 =
(1 + fn )
n=1
k
Y
−z −1
1 + fn
n=1
convergirá uniformemente em todo subconjunto de Ω. Reciprocamente,
n=1
pelas mesmas razões dadas acima a convergência uniforme de
k
Y
1 + fn−z
−1
nas par-
n=1
tes compactas de Ω implicará na convergência uniforme nas partes compactas de Ω da
!−1
k
k
Y
Y
(1 + fn ) =
(1 + fn )−1
.
sequência
n=1
n=1
Teorema 4.2. O produto
+∞
Y
1 + p−z
n
−1
converge uniformemente nas partes compactas
n=1
de H1 .
Demonstração. Assim como no Teorema 5.1 é suficiente, via o corolário 3.3, mostrarmos
+∞
X
1
que a série
converge uniformemente no semiplano H 1+δ para todo δ > 0. Temos
|pz |
n=1
+∞
X
1
−z
−Re(z)
−Re(z)
|p | ≤ p
≤n
para todo n ∈ N e como a série
converge para todo
1+δ
n
n=1
δ > 0, segue do teste da comparação e do critério majorante de Weierstrass que a série
+∞
X
1
converge uniformemente em H 1+δ para todo δ > 0. (Logo pelo corolário 3.3 o
z|
|p
n=1
produto converge uniformemente nas partes compactas de H1 .)
Corolário 4.2. Para z ∈ H1 temos
+∞
+∞ +∞
ζ 0 (z) X Log(pn ) X X Log(pn )
−
=
=
.
z −1
mz
ζ(z)
p
p
n
n
n=1
n=1 m=1
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
Demonstração. Como o produto
+∞
Y
67
1 + p−z
n
−1
converge uniformemente nas partes com-
n=1
p−z
n Log(pn )
,
2
(1 − p−z
n )
+∞
X
d
1
−p−z
n Log(pn )
pactas de H1 e
=
segue
do
teorema
3.10
que
a
série
−z
dz 1 − pn
1 − p−z
n
n=1
converge uniformemente nas partes compactas de H1 e
+∞
+∞
X Log(pn )
ζ 0 (z) X p−z
n Log(pn )
=
−
=
ζ(z)
1 − p−z
pzn − 1
n
n=1
n=1
Em particular −
ζ 0 (z)
é holomorfa em H1 . Note que para todo k ∈ N temos
ζ(z)
k
X
p−z Log(pn )
n
n=1
1 − p−z
n
mz
k X
+∞ k X
+∞
X
X
1
Log(pzn )
−z
z
=
pn Log(pn ) =
,
pn
pmz
n
n=1 m=0
n=1 m=1
por fim fazendo k → +∞ obtemos a segunda igualdade.
4.2
Extensão da função ζ de Riemann
Lema 4.2 (fórmula da soma por partes). Sejam {an }n∈N e {bn }n∈N são duas sequências
de números complexos. Vale
m
X
aj ∆bj = am+1 bm+1 − al bl +
j=l
m
X
bj+1 ∆aj
onde
∆an = an+1 − an
j=l
Demonstração. Para quaisquer l, m ∈ N temos
m
X
an ∆bj =
j=l
=
=
=
m
X
j=l
m
X
j=l
m
X
j=l
m
X
aj bj+1 −
m
X
aj b j
j=l
an bj+1 − al bl −
m
X
aj b j
j=l+1
an bj+1 + am+1 bm+1 − al bl −
an bj+1 + am+1 bm+1 − al bl −
j=l
= am+1 bm+1 − al bl −
m
X
j=l
m
X
aj+1 bj+1
aj+1 bj+1
j=l
m
X
bj+1 ∆aj
j=l
Teorema 4.3. A função ζ(z) −
1
tem uma extensão holomorfa ao semiplano H0 .
z−1
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
68
Demonstração. Seja z ∈ H1 . Consideremos as sequências {an }n∈N e {bn }n∈N dadas por:
an = n e bn = n−z . Aplicando a fórmula da soma parcial, obtemos
k−1 X
n
n=1
1
1
−
(n − 1)z nz
1+
k−1
X
n=1
=
1
(n + 1)z
=
1
−1−
k z−1
k−1
X
n=1
k−1
X
1
1
,
(n + 1)z
e portanto,
1
1
−
n
−
(n − 1)z nz
n=1
k z−1
Mas note que
Z n+1
1
1
n
= −nz
t−z−1
−
(n − 1)z nz
n
Z n+1
= −z
[t]t−z−1 dt ([t] = n para todo t ∈ (n, n + 1))
n
onde [t] representa o maior inteiro menor que ou igual a t ∈ R.
k
k−1
X
X
1
1
Como
=1+
, segue
z
n
(n + 1)z
n=1
n=1
k
X
1
nz
n=1
1
=
k z−1
1
=
k z−1
+z
k−1 Z
X
n=1
Z
n
+z
n+1
[t]t−z−1 dt
n
[t]t−z−1 dt
1
Fazendo k → +∞, obtemos a seguinte fórmula integral para a função ζ de
Riemann
Z
+∞
ζ(z) = z
[t]t−z−1 dt para todo z ∈ H1
1
Consideremos agora a seguinte integral semelhante á integral acima,
Z +∞
Z +∞
−z−1
z
tt
dt = z
t−z dt
1
1
Z v
= lim z
t−z dt
v→+∞
1
z
1
=
lim
−1
1 − z v→+∞ v 1+z
1
= 1+
z−1
E então, temos
1
ζ(z) −
= 1+z
z−1
Z
+∞
−z−1
[t]t
Z1 +∞
= 1+z
1
Z
dt − z
+∞
tt−z−1 dt
1
t−z−1 ([t] − t)dt para todo z ∈ H1
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
Fixemos k e consideremos a integral
Z
69
k
([t] − t)t−z−1 dt
1
pelo lema de Leibniz, como z 7→ ([t] − t)t−z−1 é holomorfa para todo z ∈ C, e t ∈ R
fixado, concluı́mos que a integral
Z
k
([t] − t)t−z−1 dt
1
define uma função inteira.
Ainda mais, se z ∈ H0 , temos
Z k
Z k
−z−1
([t] − t)t
|([t] − t)||t−z−1 |dt
dt ≤
1
1
Z k
≤
t−Re(z)−1 dt
1
Z k
t−Re(z)−1 dt
≤
1
1
1
≤
−1
lim
−Re(z) v→+∞ tRe(z)
1
=
Re(z)
a sequência {fk }k∈N de funções holomorfas em H0 dadas por
Z Consideremos
k
1
para todo
fk (z) =
([t] − t)t−z−1 dt. Assim para cada σ > 0 temos que |fk (z)| ≤
σ
1
z ∈ Hσ , como cada subconjunto compacto de H0 está contindo em H σ para algum σ > 0,
temos que a sequência {fn }n∈N é uniformemente limitada nas partes compactas de H0 .
Como {fn }n∈N converge pontualmente
Z k em todo H0 , pelo Teorema de Vitali (Teorema
3.10), a integral imprópria f (z) =
([t] − t)t−z−1 dt define uma função f holomorfa em
1
H0 , e portanto, é holomorfa a função F : H0 −→ C dada por
Z +∞
F (z) = 1 + z
([t] − t)t−z−1 dt
1
Mas note que
F (z) = ζ(z) −
1
z−1
para todo z ∈ H1
Logo, F é uma extensão holomorfa da função z 7→ ζ(z) −
1
ao semiplano H0 .
z−1
Corolário 4.3. A função ζ de Riemann tem uma extensão holomorfa ao semiplano
H0 \{1} e tem um polo simples em z = 1 cujo resı́duo é 1.
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
70
Demonstração. Com razão, para isto definamos a função Z : H0 \{1} −→ C, dada por
1
+ F (z) note que Z é meromorfa em H0 com único polo simples em z = 1
Z(z) =
z−1
com Res(Z; 1) = 1. Mas note também que para z ∈ H1 vale
Z(z) =
1
1
1
+ F (z) =
+ ζ(z) −
= ζ(z)
z−1
z−1
z−1
e portanto, ζ(z) admite uma extensão meromorfa ao semiplano H0 com único polo em
z = 1 cujo resı́duo é Res(ζ; 1) = 1. E neste caso temos
Z +∞
1
−z−1
([t] − t)t
dt ,
+
ζ(z) = z
z−1
1
Optaremos por continuar chamando por função ζ de Riemann a sua extensão Z : H0 \{1} −→
C obtida acima.
∗ Sobre a holomorfia de integrais.
O que fizemos na demonstração pode ser generalizado da seguinte maneira
Teorema 4.4. Seja [a, b] ⊆ R e ϕ uma função complexa contı́nua sobre o espaço produto
Ω×[a, b]; onde Ω é um subconjunto aberto de C.Se para todo t ∈ [a, b] a função z 7→ ϕ(z, t)
for anaı́tica em Ω, então a função F : Ω → C dada por
Z b
F (z) =
ϕ(z, t) dt é analı́tica em Ω, e
a
Z b
∂ϕ(z, t)
0
F (z) =
dt, z ∈ Ω.
∂z
a
Vimos anteriormente que a função ζ de Riemann possue uma representação
como um produto infinito de funções em H1 , disto concluı́mos que ela não possue zeros
em H1 , mas quanto à sua extensão, o que dizer sobre a existência de zeros na região
T
H0 H1 = {z ∈ C; 0 < Re(z) ≤ 1}?. Mostraremos a seguir um resultado que representa
um passo fundamental na prova analı́tica que daremos para Teorema dos Números Primos.
Teorema 4.5. A função ζ de Riemann (sua extensão) não possue zeros sobre a reta
Re(z) = 1.
Demonstração. Consideremos a seguinte função h : (1, +∞) −→ C, dada por
h(x) = ζ 3 (x)ζ 4 (x + iy)ζ(x + i2y),
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
71
para algum y 6= 0 fixado. Para z ∈ H1 , da fórmula do produto de Euler, segue
+∞
Y
−1 )
log |ζ(z)| = log (1 − p−z
n
n=1
−1
= log 1 − p−z
n
+∞
X
= −
log 1 − q −z n=1
= −
+∞
X
Re(Log(1 − q −z )) ;
n=1
+∞ X
+∞
X
1
= Re
mpmz
n
n=1 m=1
!
+∞
X
wm
Log(1 − w) = −
;w ∈ ∆
m
m=1
!
Deste modo temos
log |h(x)| = 3 log |ζ(x)| + 4 log |ζ(x + iy)| + log |ζ(x + i2y)|
!
!
+∞ X
+∞
+∞ X
+∞
X
X
1
1
+ 4Re
= 3Re
m(x+iy)
mx
mp
n
n=1 m=1 mpn
n=1 m=1
!
+∞ X
+∞
X
1
+ Re
m(x+i2y)
n=1 m=1 mpn
!
+∞ X
+∞
+∞ X
+∞
+∞ X
+∞
X
X
X
1
1
1
= Re 3
+
+4
m(x+iy)
m(x+i2y)
mz
mp
mp
n
n
n=1 m=1
n=1 m=1 mpn
n=1 m=1
!
+∞ X
+∞
X
1
= Re
3 + 4p−imy
+ q −i2my
n
mx
mp
n
n=1 m=1
=
+∞ X
+∞
X
1
Re 3 + 4p−imy
+ p−i2my
n
n
mx
mpn
n=1 m=1
Mas, p−imy
= exp(−imy log pn ) e pn−i2my = exp(−i2m log pn ). Disto segue
n
) = Re(3 + 4 exp(−imy log pn ) + exp(−i2m log pn ))
Re(3 + 4p−imy
+ p−i2my
n
n
= 3 + 4 cos θ + cos 2θ
= 2(1 + cos θ)2 ≥ 0 (cos 2θ = 2 cos2 θ − 1),
onde θ = my log pn .
Portanto, log |h(x)| ≥ 0 implicando que |h(x)| ≥ 1, ou seja, |ζ 3 (x)||ζ 4 (x +
iy)||ζ(x + i2y)| ≥ 1. Assim,
4
|h(x)|
1
3 ζ(x + iy) = |ζ(x)(x − 1)| |ζ(x + i2y)| ≥
x−1
x−1
x−1
(4.1)
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
72
Suponhamos que ζ(1 + iy) = 0 para algum y 6= 0.
Como z = 1 é polo simples de ζ com Res(ζ; 1) = 1,
lim (x − 1)ζ(x) = 1
x→1
Temos também
ζ(x + iy) − 0
ζ(x + iy)
= lim
x→1
x→1
x−1
x−1
ζ(x + iy) − ζ(1 + iy)
= lim
x→1
x−1
0
= ζ (1 + iy)
lim
Então,
ζ(x + iy) 4
|ζ(x + i2y)| = |ζ 0 (1 + iy)|4 |ζ(1 + i2y)|
lim |ζ(x)(x − 1)| x→1
x−1 3
Isto é, se ζ(1 + iy) = 0 para algum y 6= 0, então temos que a expressão à
esquerda da desigualdade em 4.1 se aproxima do limite finito |ζ 0 (1 + iy)|4 |ζ(1 + i2y)|
quando x → +1, no entanto, o lado direito da desigualdade em 4.1 contradiz isto já que
1
lim
= +∞
x→+1 x − 1
Logo, não deve existir y 6= 0 tal que ζ(1 + iy) = 0, isto é,
A função ζ de Riemann não possue zero sobre a reta Re(z) = 1.
Portanto, do que vimos até agora, sabemos que ζ tem nenhum zero no semiplano H 1 , na verdade, da continuidade de ζ em H0 \{1} existe uma vizinhança aberta U
de H 1 \{1} onde a função ζ não se anula.
Sendo ζ 0 /ζ a derivada de uma função holomorfa em H1 é ela própria uma
função holomorfa em H1 . No entanto, considerando o fato de que ζ possue uma extensão
holomorfa ao semiplano H0 \{1} e que ζ(z) 6= 0 em uma vizinhança de H 1 \{1} concluı́mos
que, na verdade, que a função ζ 0 /ζ é holomorfa em uma vizinhança de H 1 \{1}. Desde
que ζ tem polo simples em z = 1, existe uma função g holomorfa numa vizinhança de
z = 1 com g(0) = Res(f, 1) = 1. E mais ainda, como ζ(z) 6= 0 em H1 \{1}, segue que ζ|H 1
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
73
admite um ramo holomorfo de log(ζ) e disto obtemos
[Log(ζ(z))]0 = [Log((z − 1)−1 g(z))]0
z − 1 g 0 (z)
1
=
−
g(z) g(z)
(z − 1)
0
g (z)
1
=
−
g(z)
z−1
E portanto,
g 0 (z)
1
ζ 0 (z)
=
−
,
ζ(z)
g(z)
z−1
g 0 (z)
é holomorfa em uma vizinhança de z = 1 segue-se que Res(ζ 0 /ζ, 1) = −1,
g(z)
em particular Res(−ζ 0 /ζ, 1) = 1.
e como
Corolário 4.4. A função z 7→ (z−1)ζ(z) é holomorfa e não possue zeros numa vizinhança
do semiplano H 1 .
Demonstração. De fato, desde que z = 1 é o único polo da função ζ em z ∈ H 0 e
além disto é um polo simples segue que z 7−→ (z − 1)ζ(z) é holomorfa em z ∈ H0 , em
particular, é contı́nua aı́, com 1 7−→ 1. Do teorema acima segue que z 7−→ (z − 1)ζ(z) 6= 0
para z ∈ H 1 \1, e portanto, (z − 1)ζ(z) 6= 0 para todo z ∈ H 1 e da continuidade de
z 7−→ (z − 1)ζ(z) em H0 existe uma vizinhança aberta U de H 1 onde tal função não se
anula.
Lema 4.3 (Fórmula da soma de Euler). Seja f : [r, s] −→ C uma função com derivada
contı́nua em (r, s). Então
Z s
Z s
X
f (n) =
f (t)dt +
(t − [t])f 0 (t)dt + f (s)([s] − s) − f (r)([r] − r)
r
r<n≤s
r
Demonstração. Sejam m = [r] e k = [s]. Para os inteiros n ∈ [r, s] tais que n − 1 ∈ [r, s]
temos
Z
n
0
Z
n
[t]f (t)dt =
n−1
(n − 1)f 0 (t)dt = (n − 1)(f (n) − f (n − 1))
n−1
= nf (n) − (n − 1)f (n − 1) − f (n)
Portanto, somando a integral acima para n = m + 1 até n = k, obtemos
!
Z k
k
X
X
[t]f 0 (t)dt =
nf (n) − (n − 1)f (n − 1) −
f (n)
m
n=m+1
= kf (k) − mf (m) −
r<n≤s
X
r<n≤s
f (n)
4.2 Extensão da função ζ de Riemann
74
Assim,
X
k
Z
[t]f 0 (t)dt + kf (k) − mf (m)
f (n) = −
m
r<n≤s
k
Z
[t]f 0 (t)dt + kf (s) + (kf (k) − kf (s)) − mf (r) + (mf (r) − mf (m))
m
Z k
Z s
Z r
0
0
= −
[t]f (t)dt + kf (s) +
[t]f (t)dt − mf (r) +
[t]f 0 (t)dt
m
k
m
Z s
= −
[t]f 0 (t)dt + kf (s) − mf (r)
= −
r
Por outro lado, pela formula da integração por partes temos
Z s
Z s
f (t)dt = sf (s) − rf (r) −
tf 0 (t)dt
r
r
Escrevendo, kf (s) = sf (s) + f (s)(k − s) e mf (r) = rf (m) + f (r)(m − r),obtemos
Z s
X
[t]f 0 (t)dt + sf (s) − rf (m) + f (s)(k − s) − f (r)(m − r)
f (n) = −
r
r<n≤s
Z
s
Z
s
Z
s
= −
[t]f (t)dt +
f (t)dt +
f 0 (t)dt + f (s)(k − s) − f (r)(m − r)
r
Z sr
Z s r
=
f (t)dt +
(t − [t])f 0 (t)dt + f (s)(k − s) − f (r)(m − r)
Zr s
Zr s
=
f (t)dt +
(t − [t])f 0 (t)dt + f (s)([s] − s) − f (r)([r] − r)
r
0
r
, e assim está provada a fórmula da soma de Euler.
Teorema 4.6.
Z +∞
+∞
X
1
1
[t] − t
=
+z
dt
z
z−1
n
(z − 1)p
tz+1
p
n=p
Demonstração. Da fórmula da soma de Euler temos
Z m
Z m
m
X
1
([t] − t)
=
dt
+
dt
z
z+1
t
t
p
n=p
n=p
Z m
1
1
1
([t] − t)
=
− z−1 − z
dt
z−1
(z − 1) m
p
tz+1
p
Tomando o limite quando m → +∞ obtemos o resultado esperado já que
quando m → +∞.
(4.2)
(4.3)
1
→ 0
mz−1
75
5 O teorema dos números primos.
Os números primos são de grande importância na Teoria dos Números. Interessantes
propriedades são reveladas em alguns dos mais notáveis resultados em Teoria dos Números
como o teorema fundamental da aritmética, a lei da reciprocidade quadrática, o teorema
de Wilson e o pequeno teorema de Fermat, por exemplo.
Existem várias funções interessantes em Teoria dos Números cujo comportamento são bastante irregulares e no entanto apresentam uma surpreendente regularidade
assintótica quando n → +∞. A função π, que associa a cada número n inteiro positivo a
quantidade,π(n), de números primos menores do que ou igual a n, é uma destas notáveis
funções.
Gauss (1777-1855) e Legendre (1752-1833) foram os primeiros a darem uma
cuidadosa atenção a função π, e a partir de considerações empı́ricas conjecturaram que
lim n→+∞
π(n)
=1
n
log(n)
Este problema permaneceu em aberto durate aproximadamente 100 anos, até
que o teorema foi finalmente estabelecido independentemente pelos matemáticos Hadamard (1865-1963) e de La Vallé Poussin (1866-1962) em 1896, ficando desde então conhecida como O Teorema dos Números primos. Estes usaram em suas provas sofisticadas
técnicas da Análise Complexa, baseando-se no fato da função ζ de Riemann não se anular
na região H 1 . O problema é que nestas provas são requeridas desagradáveis estimativas
da função ζ no ∞ devido as fórmulas para os coeficientes das séries de Dirichlet, que
diferentemente das séries de potências, envolverem integrais sobre contornos infinitos.
A partir daı́ todas as provas dadas ao Teorema dos Números primos envolvem a
função ζ de Riemann, métodos da Teoria das Funções Complexa e também da Análise de
Fourier, com a exceção das provas devidas a P. Erdös (1913-1996) e A. Selberg (1917-2007)
que datam de 1949 e não usam nenhuma ferramenta de Teoria das Funções Complexa
ou da Análise de Fourier. Como exemplo de provas que utilizam ferramentas oriundas
da Análise de Fourier temos as provas dadas por Norbert Wiener (1894-1964) e Shikao
5 O teorema dos números primos.
76
Ikehara (1904-1984), que são as mais modernas se desconsideramos o método introduzido
por Donald Joseph Newman(1930-2007). Nelas o problema sobre as estimativas da função
zeta no ∞ já são superadas.
A pedra chave da ligação entre a distribuição dos números primos e os métodos
da Análise Complexa é a fórmula do produto de Euler da função ζ
ζ(z) =
+∞
Y
−1
(1 − p−z
k )
n=1
Discorreremos sobre a prova elementar dada por D.J.Newman (1930-2007),
nela serão necesssáias apenas noções básicas da Análise Complexa como: holomorfia,
sigularidade isoladas, teoria de integração e o teorema dos resı́duos, integrais sobre contornos finitos.
Na verdade daremos duas provas, a primeira prova será dada por meio de um
resultado de equivalências devido ao matemático Edmund Landau (1877-1938), conhecida
como a forma equivalente de Landau do Teorema dos Números Primos, na segunda prova
tratamos do teorema em sua forma padrão, π(N ) ∼ N \log N , nela usaremos um resultado
fundamental que se deve ao matemático russo Pafnuti Tchebyshev (1821-1894).
Obteremos as duas provas a partir do seguinte teorema sobre convergência
devido ao matemático Albert Ingham (1900-1967) [In]. Mas sua prova é dada utilizandose técnicas da Análise de Fourier que é muito mais difı́cil que a prova que daremos usando
apenas métodos de integrais de contorno da Análise Complexas.
Seja {an }n∈N ⊂ C uma sequência de números complexos de modo que |an | ≤ c,
X
para todo inteiro n > 0 e algum c real; e considere a série associada a ela
an n−z .
Assim tal série converge a uma função F holomorfa em H1 , pois, visto que
|an | ≤ c, temos
|an n−z | ≤ c · n−Re(z)
E como a série associada à sequência dominante na desigualdade acima con∞
X
verge se Re(z) > 1, segue do teste da comparação que a série
|an n−z | converge se
Re(z) > 1, e portanto, temos que a série
∞
X
n=1
logo converge, se Re(z) > 1.
n=1
an n−z converge absolutamente se Re(z) > 1,
5 O teorema dos números primos.
77
Teorema 5.1. Seja F : H1 ⊂ C −→ C uma função dada por F (z) =
X
an n−z , |an | ≤ c,
n≥1
para todo inteiro n > 0 e algum c real. Se F possui uma extensão holomorfa a um aberto
∞
X
an n−z converge se Re(z) ≥ 1.
que contenha H 1 , então a série
n=1
Usaremos os seguintes resultados na demonstração deste teorema.
Lema 5.1. Seja (S, τ ) um espaço topológico e K um subconjunto compacto de S. Existe
uma cobertura finita C de K por abertos de S tal que Ui 6⊂ Uj se i 6= j, para todo
i, j = 1, ..., m.
Demonstração. Seja F uma cobertura de K por abertos de S, por ser K um subconjunto
compacto de S existe uma subcobertura finita Fn de F.
Para cada ponto k ∈ K consideremos o conjunto Ak = {Uj ∈ Fn ; k ∈
Uj e Uj
T
Ui 6= Uj , i = 1, 2, · · · , n}. Agora veja que o conjunto C = {Ujk ∈ Fn ; k ∈
K e Ujk ∈ Ak } é uma cobertura de K por abertos de S que satisfas as condições do
enunciado, pois é finito já que está contido em Fn que é finito, e é tal que Uju 6⊂ Ujv se
u 6= v ∈ K, pois caso contrário chegamos a contradição de que Uju ∈
/ Au .
Lema 5.2. Seja g uma função holomorfa não constante em um aberto V ⊂ C que contenha o semiplano H 0 . Dado R > 0, existem r := r(R) > 0 e M := M (R) > 0 tais que g é
holomorfa e limitada por M em H −δ ∩ ∆(R).
Demonstração. Consideremos o seguinte subconjunto do plano complexo [figura 5.1]
S0,R := {iy; |y| ≤ R}
Como g é holomorfa em V , para cada z ∈ S0,R a série de Taylor de g com
centro em z ∈ S0,R converge uniformemente nas partes compactas de ∆(z, ρz ) à própria
função g, onde ρz := d(z, ∂V ).
Note que S0,R é um subconjunto compacto de C, já que é um segmento de reta
fechado e limitado.
Observe também que
[
z∈S0,R
∆(z, ρz ) ⊃ S0,R
5 O teorema dos números primos.
78
Figura 5.1: .
isto é, a famı́lia F ={∆(z, ρz ); z ∈ S0,R } é uma cobertura de S0,R por abertos de C, e como
S0,R é compacto, pelo lema 5.1, F admite uma subcobertura finita Fm = {∆(zk , ρzk ); zk ∈
S0,R , 1 ≤ k ≤ m} tal que ∆(zk , ρzk ) 6⊂ ∆(zk , ρzl ) se k 6= l. Assumiremos, sem perda de
generalidade, que os centros dos discos ∆(zk , ρzk ) ∈ Fm estejam indexados de modo que
Im(zk ) < Im(zk+1 ).
A fim de simplificarmos a notação poremos ρzk := ρk .
Definamos agora
w0 = −iR,
wm = iR
e wk :=
(zk+1 − iρk+1 ) + (zk + iρk )
2
para todo k = 1, 2, ..., m − 1.[figura 5.2]
Temos w0 ∈ ∆(z1 , ρ1 ) e wm ∈ ∆(zm , ρm ), pois caso contrário como Fm é uma
cobertura de S0,R existiria um k 0 > 1 tal que w0 ∈ ∆(zk0 , ρk0 ) e k 00 < m tal que wm ∈
∆(zk00 , ρk00 ), o que implicaria que d(zk0 , w0 ) < ρk0 e d(zk00 , wm ) < ρk00 , mas note também que
d(zk0 , z1 ) + ρ1 ≤ d(zk0 , w0 ) e d(zk00 , zm ) + ρm ≤ d(zk00 , wm ), e portanto d(zk0 , z1 ) ≤ ρk0 − ρ1
e d(zk00 , zm ) ≤ ρk00 − ρm que equivaleria dizer que ∆(z1 , ρ1 ) ⊂ ∆(zk0 , ρk0 ) e ∆(zm , ρm ) ⊂
∆(zk00 , ρk00 ), mas por outro lado isto não ocorre em Fm . [figura 5.3]
Note também que a situação da figura 5.4 abaixo, que equivale a termos
d(zk+1 , zk ) = ρk+1 + ρk , não ocorre, pois neste caso o ponto z 0 ∈ S0,R não é coberto
por nenhum ∆(zk , ρk ) ∈ Fm , o que não ocorre com nenhum ponto de S0,R . Desta
forma, o segmento [zk+1 − iρk+1 , zk + iρk ] que liga o ponto zk+1 − iρk+1 ao ponto zk +
5 O teorema dos números primos.
79
Figura 5.2: .
Figura 5.3: .
5 O teorema dos números primos.
80
Figura 5.4: .
iρk está contido nos discos abertos ∆(zk+1 , ρk+1 ) e ∆(zk , ρk ), isto é, [zk+1 − iρk+1 , zk +
T
iρk ] ⊂ ∆(zk+1 , ρk+1 ) ∆(zk , ρk ), e como wk é o ponto médio deste seguimento, wk ∈
T
∆(zk+1 , ρzk+1 ) ∆(zk , ρzk ), para k = 1, 2, ..., m − 1[figura 5.5].
|(zk+1 − ρk+1 ) − (zk + ρk )|
e
T2
k = 1, · · · , m − 1[figura 5.6]. Cada disco ∆(wk , rk ) ⊂ ∆(zk+1 , ρk+1 ) ∆(zk , ρk ), pois,
Consideremos os discos ∆(wk , rk ) onde rk :=
se w ∈ ∆(zk , rk ) temos d(w, zk ) ≤ d(w, wk ) + d(wk , zk ) < d(zk + ρk , wk ) + d(w, zk ) = ρk ,
logo w ∈ ∆(zk , ρk ), e de modo análogo segue que w ∈ ∆(zk+1 , ρk+1 ), e portanto, w ∈
T
∆(zk+1 , ρk+1 ) ∆(zk , ρk ).
Tomemos, então, o seguinte número real
r(R) :=
1
min{1, r1 , · · · , rm−1 }
2
5 O teorema dos números primos.
81
Figura 5.5: .
A dependência do número r(R) ao número R se dá devido o fato de que ao
variarmos o valor de R, teremos um novo segmente de reta S0,R , logo uma outra cobertura
F, o que por conseguinte alterará o número min{1, r1 , · · · , rm−1 }, e portanto o valor r(R).
No que segue notaremos r(R) apenas por r, a menos que se faça necessário
evidenciar tal dependência.
Desta forma, para cada k = 1, 2, ..., m − 1, temos tanto wk − r ∈ ∆(zk+1 , ρk+1 )
como wk+1 − r ∈ ∆(zk+1 , ρk+1 ) e visto que o disco é um conjunto convexo o segmento
[wk − r, wk+1 − r] fica contido em ∆(zk+1 , ρk+1 ), isto é, [wk − r, wk+1 − r] ⊂ ∆(zk+1 , ρk+1 ),
S
Sm
logo m−1
k=0 [wk − r, wk+1 − r] ⊂
k=1 ∆(zk , ρk ).
Mas observe que a união dos segmentos tomada acima resulta no segmento de
reta [w0 − r, wn − r]. Assim, denotando este segmento por S−r,R , temos então [figura 5.7]
S−r,R ⊂
m
[
∆(zk , ρk )
k=1
Podemos definir o conjunto S−r,R mas precisamente como segue
S−r,R := {z ∈ C; z = −r + iy e |y| ≤ R}
5 O teorema dos números primos.
82
Figura 5.6: .
Figura 5.7: .
Figura 5.8: .
Da convexidade de cada ∆(zk , ρk ), temos que S−r0 ,R ⊂
Sm
k=1
∆(zk , ρk ), para
0
−r < −r < 0. Assim
S :=
[
0
r≤r ≤0
S−r0 ,R ⊂
m
[
∆(zk , ρk )
k=1
E lembremo-nos que a função g é holomorfa em cada disco ∆(zk , ρk ), e portanto
5 O teorema dos números primos.
83
g é holomorfa em S. Temos também g ∈ Hol(V ), e portanto, pondo
Figura 5.9: .
Ω0 := S ∪ H 0 ∩ ∆(R)
= {z ∈ C; r(R) ≤ Re(z) ≤ 0 e |Im(z)| ≤ R ou Re(z) ≥ 0 e |z| ≤ R},
concluı́mos que g ∈ Hol(Ω0 ) [figura 5.9], em particular tem-se g ∈ Hol(H −r
H −r
T
T
∆(R)).
∆(R) é um fechado de C, pois é uma interseção finita de fechados de
C e é limitado, pois está contido em qualquer disco centrado na origem de raio d > R,
sendo portanto um subconjunto compacto de C.
Sendo g holomorfa e não constante em H −r
T
∆(R), um conjunto compacto
em C, concluı́mos pelo Princı́pio do Módulo Máximo que |g| assume valor máximo sobre a
T
T
fronteira de H −r ∆(R), ou seja, existe zM ∈ ∂(H −r ∆(R)) tal que M (R) = |g(zM )| ≥
T
|g(z)| para todo z em H −r ∆(R).
Notamos o valor de |g(zM )| como dependente do raio R, pois a fronteira de
H −r
T
∆(R) é determinada pela escolha de R.
Passemos então a demonstração do Teorema 5.1.
Demonstração do Teorema 5.1. Fixe w ∈ H1 . Observe que a função z 7→ F (z + w) é
1
holomorfa em H 0 . Daı́, pelo Lema 5.2, tomando R > |w| existe r := r(R) ≤
e
2
M := M (R) > 0 tais que a função z 7→ F (w + z) é holomorfa e limitada por M em
T
H −r ∆(R).
5 O teorema dos números primos.
84
Figura 5.10: .
Agora, consideremos o contorno Λ, formado pelo arco do cı́rculo ∂∆(R) contida
em H−r e pelo segmento S−r,R , e denominemos de Λ+ a parte de Λ contida no semiplano
H 0 , e de Λ− a parte de Λ contida no semiplano C\H 0 [figura 5.10]. Assim afirmamos.
Z
1
z
z
F (z + w)N
Afirmação 5.1.
+
dz = 2πiF (w), para N > 1
z R2
Λ
Demonstração. Temos o seguinte
lim z · F (z + w)N
z→0
z
z
1
+ 2
z R
z2
= lim F (z + w)N 1 + 2
z→0
R
= F (w)
z
z
z 1
Re(z) 1
z
lim F (z + w)N
+
lim |F (z + w)|N
= z→0
z + R2 z→0 z R2
1
= |F (w)| lim
=∞
z→0 |z|
, pois |F (w)| ≤ M , o que implica
que z = 0 é um polo simples da função z 7−→
T
1
z
g(z) := F (z + w)N z
+ 2 , ou seja, g é uma função meromorfa em H −r ∆(R) com
z R
único polo em z = 0 cujo resı́duo é o número F (w) ∈ C, isto é, Res(g, 0) = F (w).
Logo pelo Teorema dos Resı́duos, obtemos
Z
1
z
z
F (z + w)N
+
dz = 2πiRes(g, 0)
z R2
Λ
= 2πiF (w)
e está provada a Afirmação 5.1.
5 O teorema dos números primos.
85
Sobre Λ+ , F é dada pela série
F (z + w) =
X an
nz+w
n≥1
a qual separaremos em duas partes, a saber, em uma soma finita e seu resto, como segue
F (z + w) =
N
X an
X
X an
an
=
+
nz+w
nz+w n>N nz+w
n=1
n≥1
Denotaremos
N
X
an
SN (z + w) :=
nz+w
n=1
X an
rN (z + w) :=
nz+w
n>N
A função z 7−→ SN (z + w) é uma função inteira, pois cada uma das funções
z 7→
an
, parcelas da soma finita que a define, é uma função inteira. E mais,
nz+w
z
1
z2
z
z
+
lim z · SN (z + w)N
= lim SN (z + w)N 1 + 2
z→0
z→0
z R2
R
= SN (w)
e
1
z
z
1
Re(z)
z
+ 2 = lim |SN (z + w)|N
+
lim SN (z + w)N
z R2 z→0
z→0
z R
1
=∞
= |SN (w)| lim
z→0 |z|
pois SN é inteira, de onde deduz-se que h é meromorfa em C com único polo simples em
z = 0 cujo resı́duo é SN (w). Em particular h é meromorfa em H −r ∩ ∆(R).
Assim, aplicando o Teorema dos Resı́duos, obtemos
Z
1
z
z
dz = 2πiSN (w)
SN (z + w)N
+
z R2
∂∆(R)
(5.1)
Decomponhamos agora a integral em (5.1) como segue
(5.2)
Z
∂∆(R)
SN (z + w)N z
1
z
+ 2
z R
Z
1
z
+ 2 dz
z R
γ
Z1
1
z
z
+
+
SN (z + w)N
dz
z R2
γ2
dz =
SN (z + w)N z
5 O teorema dos números primos.
86
Figura 5.11: .
onde γ1 = {z ∈ ∂∆(R); Re(z) > 0} ∪ {iR} e γ2 = {z ∈ ∂∆(R); Re(z) < 0} ∪ {−iR} [figura
5.11.]
Assim, (5.1) e (5.2), obtemos
Z
Z
1
1
z
z
z
z
SN (z + w)N
SN (z + w)N
+
dz = 2πiSN (w) −
+
dz
z R2
z R2
γ1
γ2
Considere a aplicação φ : C −→ C dada por φ(z) = −z. Note que φ é uma
rotação do plano complexo em torno da origem por um ângulo π. Desta forma, como
podemos constatar na figura 10, φ leva γ2 exatamente sobre γ1 , e além disto, preserva a
orientação de γ2 . Mais precisamente, isto se deve ao fato de que funções holomorfas cuja
derivada não se anula preservar a orientação, veja [Re1.].
Fazendo a mudança de parâmetro φ(z) = −z na integral de linha calculada
sobre γ2 em (5.2), obtemos
Z
Z
1
z
1
φ(z)
z
φ(z)
+
dz =
SN (φ(z) + w)N
+ 2 dφ(z)
SN (z + w)N
z R2
φ(z)
R
φ(γ2 )
γ2
Z
1
z
=
SN (w − z)N −z − − 2 (−dz)
z R
γ
Z1
1
z
−z
=
SN (w − z)N
+
dz
z R2
γ1
5 O teorema dos números primos.
87
Figura 5.12: .
Daı́ segue
z
1
+
F (z + w)N
dz
z R2
Λ
Z
z
1
z
SN (z + w)N
+
dz
z R2
γ1
Z
z
1
−z
+
dz
SN (w − z)N
z R2
γ1
Z
1
z
z
+
F (z + w)N
dz
z R2
γ1
Z
1
z
z
F (z + w)N
+
dz
z R2
Λ\γ1
Z
1
z
z
+
dz
SN (z + w)N
z R2
γ1
Z
1
z
−z
SN (w − z)N
+
dz
z R2
γ1
Z
1
z
z
rN (w − z)N
+
dz
z R2
γ1
Z
1
z
−z
SN (w − z)N
+
dz
z R2
γ1
Z
1
z
z
F (z + w)N
+
dz
z R2
Λ\γ1
Z
2πi(F (w) − SN (w)) =
−
−
=
+
−
−
=
−
+
z
Z Z
SN (w − z)
1
z
1
z
z
z
=
rN (w − z)N −
+
dz +
F (z + w)N
+
dz
Nz
z R2
z R2
γ1
Λ\γ1
5 O teorema dos números primos.
88
Como é de costume, denotaremos, x := Re(z) e y := Im(z) para z ∈ C. Agora, a fim de
estimarmos as integrais acima, notemos o seguinte.
2x
2x x + iy
=
·
2
R
R2 x + iy
(2x2 + i2xy)
=
zR2
2
x + y 2 + x2 − y 2 + i2xy
=
zR2
2
2
|z| + z
=
zR2
2
R + z2
=
zR2
z
1
+ 2;
=
z R
e portanto
z
2x
1
+ 2 = 2
z R
R
(5.3)
ao longo de ∂∆(R), em particular, vale sobre Λ+ ⊂ ∂∆(R).
Sobre o segmento de reta S−r,R = {z ∈ C; Re(z) = −r e |z| ≤ R}, vale
1
z
1
|z|
+
z R2 ≤ |z| + R2
1
|z|2
=
· 1+ 2
|z|
R
|z|2
1
· 1+ 2
=
(−r)2 + (y)2
R
2
1
|z|
≤
· 1+ 2
r
R
e portanto
2
1
1
z
|z|
+
z R2 ≤ r · 1 + R2
(5.4)
Em seguida estimemos rN ,
|rN (z + w)| = |
≤
≤
an
|
z+w
n
n≥N +1
X
|an |
|nz+w |
n≥N +1
X
1
X
n≥N +1
Mas note que
nx+1
(5.5)
5 O teorema dos números primos.
89
Z
1
nx+1
n
1
≤
n−1
tx+1
dt
e portanto
|rN (z + w)| ≤
Z
1
X
n≥N +1
nx+1
∞
≤
1
tx+1
N
dt
e mais
Z
∞
N
Z
1
dt =
tx+1
m
lim
m→∞
N
1
tx+1
dt
1 m
m→∞ −xtx N
1
1
1
−
= lim
m→∞ −x
mx N x
1
=
xN x
=
lim
Logo,
|rN (z + w)| ≤
1
xN x
(5.6)
Por fim, estimemos Sn ,
N
N
X a X
|an |
n |SN (w − z)| = =
nw−z |nw−z |
n=1
n=1
|nw−z | = nRe(w−z) = nRe(w)−Re(z) = n1−x
Portanto,
N
X
1
|SN (w − z)| ≤
;
1−x
n
n=1
Mas veja que
N
−1
X
n=1
e portanto
1
n1−x
Z
≤
1
N
1
t1−x
Z
dt ≤
0
N
1
t1−x
dt;
5 O teorema dos números primos.
90
Z N
N
X
1
1
x−1
≤ N
+
dt
1−x
1−x
n
t
0
n=1
(5.7)
Nx
= N x−1 +
x 1
1
= Nx
+
N
x
Isto é,
|SN (w − z)| ≤ N
x
1
1
+
N
x
(5.8)
Desta forma usando as desigualdades (5.3), (5.6) e (5.8) sobre Λ+ , obtemos
z SN (w − z) 1
z 1
z
rN (z + w)N z − SN (w − z)
+
= rN (z + w)N −
z + R2 Nz
z R2 Nz
2x
S
(w
−
z)
N
z
·
≤ rN (z + w)N +
R2
Nz
SN (w − z) 2x
z
·
≤ |rN (z + w)N | + R2
Nz
1
1
1
1
2x
x
x
≤
·N + x ·N
+
· 2
x
xN
N
N
x
R
1
2
2x
+
=
· 2
x N
R
x
4
2
≤
+
;
≤1
R2 RN
R
Logo,
z 4
2
1
rN (z + w)N z − SN (w − z)
+ 2 ≤ 2 +
z
N
z R
R
RN
Daı́, pela Estimativa M-L (fórmula do máximo-comprimento) para integrais de
linha, obtemos
Z 4π 2π
S
(w
−
z)
1
z
N
z
≤
r
(z
+
w)N
−
+
dz
+
N
+
Nz
z R2
R
N
Λ
Sejam c1 , c2 os arcos que compõem Λ− contidos, respectivamente, no semiplano
{x + iy; x ∈ Rey ∈ (0, +∞)} e {x + iy; x ∈ Rey ∈ (−∞, 0)} com as respectivas parametrizações, z1 (t) := R exp(it) para t ∈ ( π2 , π2 + ϕ) e z2 (t) := R exp(it) para t ∈ ( 3π
− ϕ, 3π
).
2
2
Considere também a parametrização z3 (t) := −r + it para t ∈ (−R, R) [figura 5.13]. Note
5 O teorema dos números primos.
91
Figura 5.13: .
que ϕ ≤ arcsin
r
, como a função x 7−→ arcsin(x) para x ∈ (−1, 1) é estritamente
1
π
crescente, segue ϕ < arcsin (r) < arcsin
= rad, disso e das desigualdades 5.3 e 5.4,
2
6
obtemos
R
5 O teorema dos números primos.
Z
Λ\γ1
F (z + w)N z
z
1
+ 2
z R
92
Z
1
z
z
dz = F (z + w)N
+
dz
z R2
c1
Z
1
z
z
F (z + w)N
+
+
dz
z R2
c2
Z
1
z
+
F (z + w)N z
+ 2 dz z R
S−r,R
Z
1
z
≤ F (z + w)N z
+ 2 dz z R
Zc1
z
1
z
+ 2 dz + F (z + w)N
z R
Zc2
1
z(t)
F (z(t) + w)N z(t)
+ + 2 dt
S−r,R
z(t)
R
Z π
2 +ϕ
1
z
(t)
1
= F (z1 (t) + w)N z1 (t)
+ 2 z10 (t)dt
π
z1 (t)
R
Z 2 3π
2
z2 (t)
1
z2 (t)
+ F (z2 (t) + w)N
+ 2 z20 (t)dt
3π −ϕ
z2 (t)
R
Z2 √ 2 2
R −r
z3 (t)
1
z3 (t)
+ 2 dt
+ i √
F (z3 (t) + w)N
− R2 −r2
z3 (t)
R
Z π
1
2
z1 (t) ≤
|F (z1 (t) + w)||N z1 (t) | + 2 |z10 (t)|dt
π
z1 (t)
R
2
Z 3π
2
z2 (t)
1
z2 (t)
+ 2 |z20 (t)|dt
+
F (z2 (t) + w)N
3π
z
(t)
R
2
−ϕ
2
√
Z R2 −r2
z3 (t) z3 (t) 1
|F (z3 (t) + w)||N
|
+ 2 dt
+
√
z3 (t)
R
− R2 −r2
π
+ϕ
2
2M
≤
R2
Z
2M
+
R2
Z
2M
+
rN r
Z
π
2
3π
2
3π
−ϕ
2
√
≤
2M
R2
2M
+
R2
N x1 (t) |x1 (t)||z10 (t)|dt
N x2 (t) |x2 (t)||z20 (t)|dt
R2 −r2
dt
√
− R2 −r2
Z π +ϕ
2
x1 (t)
N
π
2
Z
3π
2
3π
−ϕ
2
|x1 (t)||z10 (t)|dt
N x2 (t) |x2 (t)||z20 (t)|dt +
π
+ϕ
2
Z
Analisemos separadamente, as integrais
π
2
4M R
rN r
N x1 (t) |x1 (t)||z10 (t)|dt
5 O teorema dos números primos.
Z 3π
2
e
N x2 (t) |x2 (t)||z20 (t)|dt
93
3π
−ϕ
2
π
+ϕ
2
Z
(1)
π
2
N x1 (t) |x1 (t)||z10 (t)|dt
Pela fórmula da integração por partes temos
π
+ϕ
2
Z
N
π
2
x1 (t)
|x1 (t)||z10 (t)|dt
= |x1 (t)|N
π +ϕ
π L(c1 ) −
x1 (t) 2
2
1
Rπ
−
≤
6N
log(N )
Z
r
Rπ
−
≤
6N
log(N )
Z
Rπ
r
≤
+
6N
log(N )
Z
r
Rπ
+
=
6N
log(N )
Z
π
+ϕ
2
1
log(N )
π
+ϕ
2
Z
N x(t) (|x(t) − 1|)x0 (t)dt
π
2
L(t)N x(t) (|x(t)| − 1)x0 (t)dt
π
2
π
+ϕ
2
N x(t) (|x(t)| − 1)x0 (t)dt
π
2
π
+ϕ
2
N x(t) x(t)x0 (t)dt
π
2
−r
xN x dx
0
Mas,
Z
−r
Z
x
0
xN x dx
xN dx = −
−r
0
Fazendo a mudança de variável x 7→ −x na integral a direita acima, obtemos
Z 0
Z 0
x
−
xN dx = −
(−x)N −x (−dx)
−r
Z rr
=
xN −x dx
Z0 +∞
≤
xN −x dx
0
Z t −x
xN −x t
N
= lim
−
dx
+
t→+∞
log N 0
0 log N
t
1
1
= lim − t
− t
+
t→+∞
N log N
N log N
log2 N
1
=
log2 N
−r
Z
xN x dx ≤
E portanto,
0
Logo,
π
+ϕ
2
Z
π
2
1
.
log (N )
2
N x1 (t) |x1 (t)||z10 (t)|dt ≤
Rπ
r
+
3
6N
log (N )
5 O teorema dos números primos.
Z 3π
2
(2)
N x2 (t) |x2 (t)||z20 (t)|dt
94
3π
−ϕ
2
Analogamente, pela fórmula da integração por partes, temos
Z
3π
−ϕ
2
N
3π
2
x2 (t)
|x2 (t)||z20 (t)|dt
= |x2 (t)|N
3π
2
3π
x2 (t) 2
1
−
log(N )
Z
3π
−ϕ
2
3π
2
−ϕ
L(c2 )
L(t)N x2 (t) (|x2 (t)| − 1)x02 (t)dt
r
Rπ
−
≤
6N
log(N )
Z
3π
−ϕ
2
Rπ
r
+
6N
log(N )
Z
3π
2
3π
−ϕ
2
=
3π
2
N x2 (t) |x2 (t)|x02 (t)dt
N x2 (t) x2 (t)x02 (t)dt
Z −r
Rπ
r
≤
+
xN x dx
6N
log(N ) 0
r
Rπ
+
≤
3
6N
log (N )
Consequentemente resulta
Z
2πM
z
4rM
4M R
1
z
+ 2 dz ≤
+ 2 3
+
F (z + w)N
z R
3N R R log (N )
rN r
Λ\γ1
Desta maneira obtemos
|2πi(F (w)) − SN (w)| =
+
≤
+
≤
Z SN (w − z)
z
1
rN (z + w) −
+
dz
Nz
z R2
γ
Z
z
1
z
+ 2 dz FN (z + w)N
z R
Λ\γ
Z S
(w
−
z)
z
1
N
r
(z
+
w)
−
+
dz
N
Nz
z R2
γ
Z
z
1
z
+
dz
F
(z
+
w)N
N
2
z
R
Λ\γ
4rM
4π 2π 2πM
4M R
+
+
+ 2 3
+
R
N
3N R R log (N )
rN r
4
Agora, observemos que dado ε > 0 e fixando R = , temos
ε
ε
1
εM
4rM ε
8M
+
+
+
+
1
2 N
12N
2π log 2(N ) επrN r
ε
2
M
4rM
16M
≤
1+
+
+
+
2
εN
6N
π log1 2(N ) ε2 πrN r
|F (w) − SN (w)| ≤
5 O teorema dos números primos.
95
Mas note que para cada escolha de ε > 0, podemos tomar N grande o suficiente de modo
que se tenha o segundo fator do produto à direita da desigualdade acima tão próximo de
1 de modo que
|F (w) − SN (w)| ≤ ε
e assim está verificada a convergência.
Daremos duas provas ao Teorema dos Números Primos como uma aplicação
do Teorema 5.1 sobre convergência.
A primeira prova é obtida a partir de uma observação feita por Landau,
que afirma
Lema 5.3. A convergência da série
X µ(n)
n≥1
n
é equivalente ao Teorema dos Números
Primos.
Para uma prova deste teorema veja [Ap]. Isto se deve a interessante ligação
entre a função µ de Möbius e a função ζ de Riemann dada por
X µ(n)
1
=
.
ζ(z) n≥1 nz
(5.9)
Vimos anteriormente no corolário 4.2 que a função z 7→ (z − 1)ζ(z) é holomorfa em H 1 e não se anula em nenhum ponto desta região, desta forma a função
1
z 7→
, definida em H 1 é holomorfa nesta região. Assim segue que a função
(z − 1)ζ(z)
1
(z − 1)
z 7→
=
é holomorfa em H 1 .
(z − 1)ζ(z)
ζ(z)
X µ(n)
Logo, por meio do Teorema 5.1 concluı́mos que a série
converge em
nz
n≥1
X µ(n)
H 1 . E portanto a série
converge.
n
n≥1
E logo temos provado o Teorema dos Números Primos.
A nossa segunda prova do Teorema dos Números Primos será obtida apartir
de um outro resultado da Teoria Analı́tica dos Números, cuja prova pode ser encontrada
em [Le], que afirma o seguinte.
5 O teorema dos números primos.
96
X log p
Lema 5.4. A convergência da sequência {cn }n∈N , onde cn =
!
− log n, implica
p
p≤n
o Teorema dos Números Primos.
Desta maneira nosso problema consiste em mostrar a convergência da sequência
{cn }n∈N . Este resultado será obtido como uma aplicação do Teorema 5.1
X log p
p≤n
p
O Primeiro teorema de Mertens (veja [Ap],[Te]) nos afirma que a sequência
!
− log n é limitada. Mostraremos que ela de fato converge.
Afirmação 5.2.
X log p
p≤n
p
!
− log n converge.
Demonstração. Definamos a função f : H1 −→ C dada por f (z) =
X log p
p
p
!
X 1
.
z
n
n≥p
A primeira e imediata questão que nos vem acerca da função f é em sabermos
!
X log p X 1
se ela está bem definida. O que equivale a respondermos se a série
,a
z
p
n
p
n≥p
priori formal, converge ou não.
!
!
!
X 1 X log p
X log p X 1
X 1 X log p
Teorema 5.2.
converge e
=
.
z
z
z
n
p
p
n
n
p
p
n≥1
n≥1
p≤n
n≥p
p≤n
E portanto, f está bem definida.
Demonstração. Para todo k ∈ N\{0} temos
!
k
k
X
X
1 X log p
1
=
z
n
p
nz
n=1
n=1
p≤n
log n
k
X
X log p
p≤n
p
!
− log n
k
X
log n
cn
+
z
n
nz
n=1
n=1
X cn
Do Primeiro Teorema de Mertens segue que a série
converge para todo z ∈ H1 .
z
n
n≥1
!
X log n
X 1 X log p
E como, ζ 0 (z) =
converge e
em H1 , segue que a série
nz
nz p≤n p
n≥1
n≥1
!
!
k
k
X 1 X log p
X
X
1 X log p
cn
0
= lim
= ζ (z) + lim
.
z
z
k→+∞
k→+∞
n
p
n
p
nz
n=1
n=1
p≤n
p≤n
n≥1
=
Pondo dk, Pe :=o maior primo menor do que ou igual a k ∈ N\{0}, pela figura
5.14 acima é fácil ver que
k
X
1
nz
n=1
X log p
p≤n
p
!
dk,Pe
X log p
=
p
p=2
X 1
nz
p≤n≤k
!
5 O teorema dos números primos.
97
Figura 5.14: .
para todo k ∈ N\{0}.
X 1
E como vimos acima
nz
n≥1
f (z) =
X log p
p
p
X 1
nz
n≥p
X log p
p≤n
!
p
!
converge. Logo,
dk,Pe
X log p
= lim
k→+∞
p
p=2
=
X 1
nz
n≥1
X log p
p≤n
X 1
nz
p≤n≤k
!
!
p
E portanto, f esta bem definida como uma função em H1 .
Teorema 5.3. f possue uma extensão holomorfa a uma vizinhança aberta de H1 compactamente contida em H 1 .
2
Demonstração. No teorema 4.6 vimos que
Z +∞
X 1
1
[t] − t
.
=
+z·
dt
z
z−1
n
(z − 1)p
tz+1
p
n≥p
(5.10)
5 O teorema dos números primos.
X 1
nz
n≥p
98
Daı́, para z ∈ H1 , temos
Z +∞
[t] − t
1
=
+z·
dt
z−1
(z − 1)p
tz+1
p
Z +∞
[t] − t
1
p
p
+
+z·
=
−
dt
z
z−1
z
(z − 1)(p − 1) (z − 1)p
(z − 1)(p − 1)
tz+1
p
Z +∞
p
1
[t] − t
(z − 1)p
p
+
+z·
=
−
dt
(z − 1)p (z − 1)(pz − 1) (z − 1)pz−1 (z − 1)(pz − 1)
tz+1
p
Z +∞
[t] − t
1
1
z(z − 1)
p
1
+
+
·
=
−
dt
z − 1 pz − 1 pz p z − 1
p
tz+1
p
Seja P o conjunto dos números primos, e definamos em H0 × P a função complexa A, dada por
1
z(z − 1)
1
+
·
A(z, p) = z − z
p
p −1
p
Z
p
+∞
[t] − t
dt
tz+1
(5.11)
1
1
A está bem definida pois é uma combinação das funções z 7→ z , z7→ z
,
p
p −1
Z +∞
[t] − t
z 7→ z(z − 1) e z 7→
dt(veja a demonstração do Teorema 4.3) que estão bem
tz+1
p
definidas, visto que Re(z) > 0.
Assim escrevemos
X 1
p
1
=
+ A(z, p)
nz
z − 1 pz − 1
n≥p
(5.12)
E portanto
X log p
p
p
X 1
nz
n≥p
!
X
1
1
=
·
log p ·
+ A(z, p)
z−1 p
pz − 1
(5.13)
X log p
ζ 0 (z)
=
−
pz − 1
ζ(z)
p
(5.14)
Mas lembre-se que
que sabemos ser holomorfa em uma vizinhança aberta da região H 1 com exceção do ponto
z = 1, tendo-o como polo simples com resı́duo Res(−ζ 0 /ζ, 1) = 1.
1
1
, z 7→ z
, z 7→ z(z − 1) são holomorfas
z
p
p −1
em HZ0 , e lembre-se que vimos também na demonstração do Teorema 4.3 que a função
+∞
[t] − t
z 7→
dt define uma função holomorfa em H0 . Deste modo tem-se que a função
tz+1
p
A é holomorfa em H0 para cada p ∈ P fixado.
Agora note que as funções z 7→
5 O teorema dos números primos.
99
Vejamos também o seguinte sobre a função A
Z +∞
1
[t]
−
t
z(z
−
1)
1
+
·
|A(z, p)| = z − z
dt
p
p −1
p
tz+1 p
Z +∞
−1
[t] − t z(z − 1)
= z z
+
·
dt
p (p − 1)
p
tz+1 p
Z +∞
1
|z(z − 1)|
|[t] − t|
1
· z
+
·
dt
≤
z
|p | |(p − 1)|
p
|tz+1 |
p
Mas |pz | = pRe(z) ;
1
1
≤
para z, w ∈ C, com z 6= w e |[t] − t| < 1,
|z − w|
|z| − |w|
daı́ obtemos
|z(z − 1)|
|A(z, p)| ≤ Re(z) Re(z)
+
·
p
(p
− 1)
p
1
Z
p
+∞
1
tRe(z)+1
dt
E por fim, já que para Re(z) > 0
Z τ
Z +∞
1
1
dt = lim
dt
Re(z)+1
Re(z)+1
τ →+∞ p t
t
p
−1
1
1
= lim
·
−
τ →+∞ Re(z)
τ Re(z) pRe(z)
1
=
Re(z) · pRe(z)
Concluı́mos
|A(z, p)| ≤
pRe(z)
|z(z − 1)|
1
+
Re(z)
· (p
− 1) Re(z) · pRe(z)+1
(5.15)
Consideremos agora a função f1 (z) : H0 \{1} −→ C dada por
f1 (z) = A(z, p) ·
p
z−1
Do que vimos acima sobre a função A deduzimos que f1 é holomorfa em H0 com exceção
do ponto z = 1, para cada p ∈ P fixado.
Afirmação 5.3. f1 admite uma extenção holomorfa φ : H0 −→ C.
Demonstração. Vejamos
5 O teorema dos números primos.
100
Z +∞
[t] − t
p
1
z(z − 1)
p
1
=
·
+
·
dt
A(z, p) ·
−
(z − 1)
(z − 1) pz pz − 1
p
t( z + 1)
p
Z +∞
[t] − t
1
p
=
+z·
−
dt
z−1
z
(z − 1)p
(z − 1)(p − 1)
tz+1
p
Z +∞
[t] − t
1
1
1
=
+
·
+z·
dt
z−1
z−1
−z
(z − 1)p
(z − 1)p
1−p
tz+1
p
Z +∞
X
[t] − t
1
1
−nz
=
+
·
p
+
z
·
dt
(z − 1)pz−1 (z − 1)pz−1 n≥0
tz+1
p
!
Z +∞
X
1
[t] − t
−nz
=
· 1+
p
+z·
dt
z−1
(z − 1)p
tz+1
p
n≥0
!
Z +∞
Z +∞
X
1
[t] − t
−nz
=
dt · 1 +
dt
p
+z·
z
t
tz+1
p
p
n≥0
+∞
[t] − t
dt ∈ Hol(H0 ), no intuito de determinarmos a parte
tz+1
p
Z +∞
1
dt segundo
do plano em que a função f1 é holomorfa investigaremos a função z 7→
tz
p
o mesmo intuito.
Z
Como z 7→ z ·
Para isto definamos para cada k > p, com k ∈ N, a seguinte sequência de
funções
Z
αk (z, t) =
p
k
1
dt
tz
(5.16)
Note que para cada t ∈ [p, k] ⊂ R a função z 7→ t−z é analı́tica em todo plano
complexo, visto que é o quociente entre duas funções analı́ticas,a saber as funções z 7→ 1
e z 7→ tz , onde a função do denominador não se anula em nenhum ponto do plano.
Z k
1
dt define uma função inteira.
Daı́, pelo teorema 4.4 tem-se que αk (z, t) =
z
p t
E mais, note que se Re(z) > 0
5 O teorema dos números primos.
101
Z k
1
|αk (z, t)| = dt
z
p t
Z k
1
dt
≤
z
p |t |
Z k
1
=
dt
Re
p t (z)
Z +∞
1
≤
dt
Re
t (z)
p
1
=
, e portanto
Re(z)pRe(z)
1
|αk (z, t)| ≤
Re(z)pRe(z)
(5.17)
(5.18)
Assim é claro que |αk (z, t)|H σ ≤ σp1σ , pois se z ∈ H σ = {w ∈ C; Re(w) ≥ σ}
1
1
1
teremos que
≤
, i.e., |α(z)| ≤
, e por conseguinte obtem-se que
Re(z)
σ
Re(z)p
σp
σpσ
{αk }k∈N define uma sequência de funções uniformemente limitadas nas partes compactas
de Ω.
De fato, seja K um subconjunto compacto de C contido em H0 ⊂ C, e então
definamos a aplicação δ como segue
δ : K ⊂ H0
−→ R>0
z 7−→ Re(z)
δ é uma aplicação linear e portanto contı́nua, daı́, pelo Teorema de Weierstrass,
como K é compacto segue que δ assume um valor mı́nimo, Re(z)min. aı́. Como K ⊂ H0 ,
Re(z)min. 6= 0. Assim tomando um σ real entre 0 e Re(z)min. teremos que K ⊂ H σ . E
portanto concluı́mos que a sequência {αk (z, t)}k>p é limitda em K, pois |αk (z, t)|H σ ≤
1
;
σpσ
pela arbitrariedade de K ⊂ H0 concluı́mos que {αk (z, t)}k>p é uniformemente limitada
nas partes compactas de H0 .
Z k
1
1
Como lim
dt
=
para z ∈ H1 , {αk (z, t)}k>p converge pontualmente
k→+∞ p tz
zpz
em H1 , donde concluı́mos pelo Teorema de Vitali que {αZk (z, t)}k>p converge uniforme+∞
1
mente nas partes compactas de H0 . Logo, α+∞ (z, t) =
dt define uma função
tz
p
holomorfa (como limite uniforme nas partes compactas de H0 ) em H0 .
Desta maneira, concluı́mos que a função f1 adimite uma extenção holomorfa
em H0 .
5 O teorema dos números primos.
102
Como f1 é holomorfa é claro que a função z 7→
log p
log p
· f1 (z) = A(z, p) ·
p
z−1
∈ Hol(H0 ).
Estudemos a série
X
A(z, p) · log p
(5.19)
p∈P
Da equação (5.15) temos
1
|z(z − 1)|
+
log p
|A(z, p)log p| ≤
pRe(z) (pRe(z) − 1) Re(z)pRe(z)+1
(5.20)
Afim de usarmos o Teorema Majorante de Weierstrass para obter a conlog p
log p
vergência da série acima, verifiquemos se Re(z) Re(z)
e
são somáveis
p
(p
− 1) Re(z)pRe(z)+1
em p. Desejamos ainda que sejam somáveis para Re(z) > 12 .
Comecemos então estudando a série
log p
X
p∈P
pRe(z) (pRe(z)
(5.21)
− 1)
Usaremos os dois seguintes fatos para mostrarmos que a série (5.21) converge.
Afirmação 5.4. Para x ∈ [2, +∞) e σ > 0 fixado
1
xσ (xσ − 1)
≤k·
1
, para algum k ∈ R
x2σ
Afirmação 5.5. Para x ∈ [2, +∞) e δ > 0 temos
δ
log x = O(x 2 ), δ ≥ 1
Demonstração da Afirmação (5.4):
xσ
≤
xσ − 1
para x ≥ 2, nosso obje-
Demonstração. Demonstrarmos a Afirmação (5.4) é equivalente a mostramos que
xσ
xσ − 1
tivo torna-se em sabermos se g1 admite ponto de máximo e a sua determinação, no caso
k. Em vista disso, definindo a seguinte função, g1 (x) =
afirmativo.
Derivando g1 obtemos
σ · xσ−1 · (xσ − 1) − xσ (σ · xσ−1 )
(xσ − 1)2
σ · xσ
= −
x(xσ−1 )2
g10 (x) =
5 O teorema dos números primos.
103
Temos
g10 (x) = 0
xσ = 0 ⇔ x = 0.
⇐⇒
Portanto g10 (x) não se anula em nenhum ponto de seu domı́nio, visto que está
definida apenas para x ≥ 2, logo concluı́mos que g10 é monótona estrita, e mais, como
g10 (2) = −
σ2σ
<0
2σ − 1
segue que g1 é uma função estritamente decrescente. Daı́, deduz-se que
f (x) < f (2) =
2σ
, ∀x > 2
2σ − 1
2σ
Desta maneira, basta-nos tomar k = σ
para σ > 0 fixado para termos
2 −1
1
1
≤ k · 2σ .
σ
σ
x (x − 1)
x
Demonstração da Afirmação - (5.5):
δ
Demonstração. Queremos determinar um número k ∈ R e x0 ∈ R tal que log x ≤ k · x 2
valha para todo x ≥ x0 , o que é equivalente a determinarmos tais k, x0 ∈ R de modo que
log2 x
≤ k2.
se tenha
δ
x
log2 x
Para isso definamos a função g(x) =
para todo x ≥ 2. E assim nosso
xδ
objetivo passa a ser a derterminação de um ponto de máximo da função g, caso este
exista. Façamos isto então.
Derivando g obtemos
g 0 (x) =
log x
· (2 − δ log x)
xδ−1
(5.22)
Assim
g 0 (x) = 0
⇐⇒
log x = 0 ⇔ x = 1
2
ou 2 − δ log x = 0 ⇔ log xδ = 2 ⇔ x = e δ
Como g está definida apenas para valores x ≥ 2, x = 1 não nos é convenientes.
2
Vejamos assim o ponto x = e δ .
5 O teorema dos números primos.
104
2
O teste da segunda derivada nos dirá se o ponto x = e δ é ou não um ponto de
máximo de g.
2δ log x
x
(xδ−1 ) − (δ − 1)xδ−2 (2 log x − δ log2 x)
(xδ−1 )2
(2 − 2δ log x) − (δ − 1)(2 log x − δ log2 x)
=
x2−δ x2δ−2
(2 − 2δ log x) − (δ − 1)(2 log x − δ log2 x)
=
xδ
g 00 (x) =
2
x
−
(5.23)
2
Calculemos, então g 00 em x = e δ
2
00
2
2
(2 − 2δ log e δ ) + (1 − δ)(2 log e δ − δ log2 e δ )
2
δ
g (e ) =
2
(e δ )2
(2 − 4) − (1 − δ) 4δ − 4δ
=
e2
2
= − 2 <0
e
(5.24)
2
Portanto x = e δ é um ponto de máximo da função g. Deste modo
2
2
log2 x
4
δ)
δ,
≤
g(e
,
∀
x
≥
e
=
xδ
(δe)2
2
4
log2 x
≤
, ∀ x ≥ eδ
e portanto
δ
2
x
(δe)
Por fim, tomando k =
(5.25)
2
, resulta
δ·e
δ
2
log x ≤ k · x 2 , ∀ x ≥ e δ ,
isto é,
δ
log x = O(x 2 ),
2
∀x ≥ e δ eδ > 0.
Agora, da afirmação (5.4) e (5.5) acima, tomando Re(z) =
1
+δ
2
δ
log p
p2
1
=
J
·
=J·
3δ
Re(z)
Re(z)
1+2δ
1+
p
(p
− 1)
p
p 2
2
1
2Re(z)+1
≤ J · 1+δ , ∀ p > e δ , onde J =
p
e(2δ − 1)δ
(5.26)
Como
X 1
X 1
≤
≤ +∞, ∀ δ > 0
1+δ
p1+δ
n
2
n∈N
p>e
(5.27)
5 O teorema dos números primos.
105
logo concluı́mos pelo teste da comparação que
X
p∈P
log p
< +∞,
pRe(z) (pRe(z) − 1)
∀ z ∈ H1
(5.28)
2
Agora passemos à série
X
p∈P
log p
Re(z)pRe(z)+1
(5.29)
Para obtermos a convergência de (5.29) basta usarmos a Afirmação (5.29) com
δ = 1.
Assim teremos
log p
2
≤
Re(z)+1
Re(z)p
e
2
=
e
E visto que a série
1
X
p∈P
p
Re(z)+ 12
da comparação a convergência da série
X
p∈P
1
p2
·
Re(z)pRe(z)+1
1
·
1
Re(z)pRe(z)+ 2
(5.30)
converge se Re(z) > 21 , deduzimos pelo teste
log p
se Re(z) > 12 .
Re(z)+1
Re(z)p
Isto posto, podemos concluir, novamente pelo teste da comparação, que a série
abaixo converge.
X
log p
p∈P
|z(z − 1)|
1
+
, ∀ Re(z) >
Re(z)
Re(z)
Re(z)+1
p
(p
− 1) Re(z)p
2
1
(5.31)
Agora observemos que para todo disco ∆(z0 , r) compactamente contido em H 1
2
√
tem-se que |z| < |z0 + r 2|, e portanto, disto e da expressão (5.15), segue
√
√
1
|z0 + r 2||z0 + (r 2 − 1)|
|A(z, p)| ≤ σ σ
+
(5.32)
p (p − 1)
σpσ+1
Daı́,
|A(z, p)| log p ≤
log p
p
1
+ε
2
(p
1
+ε
2
− 1)
+
!
√
√
|z0 + r 2||z0 + (r 2 − 1)| log p
Lembre-se que dadas duas séries
( 12 + ε)p
P
η aη e
P
( 21 +ε)+1
η bη
2
, ∀ p > e ε . (5.33)
, com aη , bη ∈ C, que convergem
aos números α ∈ C e β ∈ C, respectivamente, e dados dois números A, B ∈ C tem-se então
P
que a série η (A·aη +B ·bη ) converge e tem com valor limite o número A·α+B ·β. Desta
maneira, do que foi estudado acima sobre as séries (5.21) e (5.29) segue que a série cujo
5 O teorema dos números primos.
106
termo geral é a expressão que aparece a direita da desigualdade (5.33) converge e tem como
X
X
√
√
log p
log p
.
valor limite a soma:
+
|z
0 + r 2||z0 + (r 2 − 1)|
1
1
1
( 12 +ε)+1
+ε
+ε
2
(p 2 − 1)
2 p
2 ( 2 + ε)p
p>e ε
p>e ε
Daı́, pelo Teorema Majorante de Weierstrass concluı́mos que a série
X
A(z, p) log p
2
p>e ε
converge uniformemente no disco ∆(z0 , r) ⊂ H 1 . Assim pela arbitrariedade da escolha
2
P
de ∆(z0 , r) ⊂ H 1 , concluı́mos p>e 2ε A(z, p) log p converge uniformemente em cada disco
2
∆(z, r) ⊂ H 1 . Logo, do teorema 2.18, como A(z, p) log p ∈ Hol(H0 ) para todo p ∈ P,
2
P
concluı́mos que a série p∈P A(z, p)log p converge uniformenmente nas partes compactas
P
de H 1 e define uma função A(z) = p∈P A(z, p)log p ∈ Hol(H 1 ).
2
2
Deste modo, de (5.14) e do fato de que A(z) ∈ Hol(H 1 ), visto logo acima, dedu2
1 X
1
zimos que a função ϕ : H 1 \{1} −→ C dada por ϕ(z) :=
log p z
+ A(z, p) =
2
z−1 p
p −1
0
1
ζ (z)
−
+ A(z) é holomorfa em uma vizinhança do semiplano H 1 com exceção do
z−1
ζ(z)
ponto z = 1 onde não está definida. Mas de (5.13) temos f = ϕ|H1 , e portanto f admite a
função ϕ como extensão holomorfa a uma vizinhança aberta de H 1 \{1} compactamente
contida em H 1 , e em particular segue que f está bem definida em H1 .
2
Como a função ζ 0 /ζ é holomorfa em uma vizinhança aberta de H 1 \{1} com
polo simples em z = 1 cujo resı́duo é Res(ζ 0 /ζ, 1) = −1, temos que:
−
ζ 0 (z)
1
=
+ η(z)
ζ(z)
z−1
(5.34)
onde η é holomorfa em uma vizinhaça de z = 1 e η(1) 6= 0.
E como A ∈ Hol (Re(z) > 12 ), temos
c
A(z)
=
+ ξ(z)
z−1
z−1
(5.35)
onde ξ é holomorfa em uma vizinhança de z = 1 e ξ(1) 6= 0.
Assim
ζ 0 (z)
c
+
+ ξ(z)
(z − 1)ζ(z) z − 1
1
c
+
+ η(z) + ξ(z)
=
2
(z − 1)
z−1
ϕ(z) = −
E portanto a função ϕ tem um polo duplo com parte principal
(5.36)
1
c
+
2
(z − 1)
z−1
5 O teorema dos números primos.
107
no ponto z = 1.
Definamos a seguinte função como uma combinação das funções ζ, ζ 0 e ϕ
F (z) := ϕ(z) + ζ 0 (z) − c · ζ(z)
(5.37)
Por outro lado, do que vimos sobre as funções ζ, ζ 0 e ϕ, temos
!
X log n
X 1 X log p
X 1
−
F (z) =
−
c
·
nz p≤n p
nz
nz
n≥1
n≥1
n≥1
(5.38)
E devido a convergencia de cada uma das séries para Re(z) > 1, na igualda
acima, podemos reescrever F como segue
!
#
"
X log p
X 1
− log n − c
F (z) =
z
n
p
p≤n
n≥1
(5.39)
e definindo
"
an :=
X log p
p≤n
!
p
#
− log n − c
(5.40)
escrevemos
F (z) =
X an
n≥1
nz
,
(5.41)
Por outro lado temos
F (z) = ϕ(z) + ζ 0 (z) − c · ζ(z)
c
1
=
+
+ η(z) + ξ(z)
2
(z − 1)
z−1
1
c
−
+ η 0 (z) −
−c·η
2
(z − 1)
z−1
= η(z)(1 − c) + η 0 (z) + ξ(z)
(5.42)
E portanto temos que F ∈ Hol (V (1)), onde V (1) é uma vizinhança do ponto
1
z = 1. Logo concluı́mos que F ∈ Hol (Re(z) > ), já que as funções são holomorfas em
2
1
H \{1}.
2
5 O teorema dos números primos.
108
Deste modo podemos aplicar o Teorema 5.1 e assim concluı́mos que a série
X an
converge.
converge
para
todo
z
∈
H
,
e
portanto
1
nz
n
n≥1
X an
n≥1
X log p − log n − c, afim de demonstrarmos o teorema dos
p
números primos à luz do !
Lema 5.4, mostraremos que an → 0, e desta forma teremos que
X log p
c n = c + an =
− log(n) converge.
p
p≤n
Sendo an =
p≤n
Afirmação 5.6.
lim an = 0.
(5.43)
n→+∞
Demonstração. Pelo critério de Cauchy para convergência dado qualquer ε ∈ (0, 1), existe
um inteiro positivo N0 tal que
|
ξ
X
an
n=η
n
| ≤ ε2 ,
para todo η ≥ N0
e ξ ≥ N0 .
(5.44)
Assim, tomando N ≥ N0 grande o suficiente de modo que se tenha N −[ε·N ] ≥
N0 , teremos
N +[εN ] X an ≤ ε2
n
N
(5.45)
N
X
an 2
≤ε .
n
N −[εN ] (5.46)
e
E portanto
N +[εN ]
X an
≤ ε2 .
n
N
(5.47)
5 O teorema dos números primos.
109
e
N
X
an
≥ −ε2
n
(5.48)
N −[εN ]
Para n ∈ [N, N (1 + ε)], temos
!
X log p
N
+ log
p
n
N <p≤n
N
log
n
N
log
N (1 + ε)
1
log
(1 + x ≤ ex , para x ≥ 0)
1+ε
1
log ε
e
−ε
an − aN =
≥
≥
=
≥
=
(5.49)
E portanto
an ≥ aN − ε
(5.50)
N (1+ε)
X an
X 1
≥ (aN − ε)
n
n
N
N
(5.51)
Desta forma segue
N (1+ε)
E por (5.47) obtemos
ε2
aN ≤ ε + PN (1+ε)
N
Mas observe que
1
n
(5.52)
5 O teorema dos números primos.
110
N +[εN ]
X 1
1
≥ ((N + [εN ]) − N ) ·
n
N + [εN ]
N
=
=
>
=
=
(5.53)
[εN ]
N + [εN ]
N
1−
N + [εN ]
N
1−
N + εN
1
1−
1+ε
ε
1+ε
E então
aN ≤ ε +
ε2
ε
(1+ε)
2
= 2ε + ε2
e portanto aN ≤ 2ε + ε
(5.54)
Para n ∈ [N (1 − ε), N ], temos
aN − an =
≥
≥
=
!
X log p
N
+ log
p
n
n<p≤N
n
log
N
N (1 − ε)
log
N
log(1 − ε);
(1 − x ≥ e−2x , para 0 ≤ x ≤ 1/2)
(5.55)
≥ log e−2ε
= −2ε
E portanto
an ≤ aN + 2ε
(5.56)
5 O teorema dos números primos.
111
Desta forma segue
N
N
X
X
an
1
≤ (aN + 2ε)
n
n
N −[εN ]
(5.57)
N −[εN ]
E por (5.46) obtemos
aN ≥ − 2ε + PN
ε2
!
1
N (1−ε) n
(5.58)
No entanto temos
N
X
1
1
≥
· [N (1 − ε) − N ]
n
N
(5.59)
N (1−ε)
= ε
Logo obtemos
aN ≥ −3ε
(5.60)
−3ε ≤ aN ≤ 2ε + ε2 .
(5.61)
Assim temos
E temos portanto verificado que an converge para 0, e por conseguinte a conP
log p
vergência da sequência cn =
− log n para o valor c, e portanto, pelo Lema
p≤n p
5.4, temos demonstrado o Teorema dos Números primos.
112
6 Conclusão
Apresentamos alguns resultados importantes da Análise Complexa, visando obter ferramentas necessárias para darmos uma prova analı́tica mais elementar para o Teorema dos
Números Primos. Estudamos também os produtos infinitos numéricos e de funções, que
são de fundamental importância para o estudo de funções inteiras. Por fim, provamos o
teorema dos números primos a partir de um teorema devido Donald Joseph Newman(19302007). Portanto, este trabalho, em parte, ilustra o poder da Análise Complexa como uma
ferramenta para se atacar problemas de outras áreas.
O Teorema dos Números Primos é um grande resultado na Teoria dos Números.
Ele impulsionou o desnvolvimente grandes avanços em Matemática, principalmente na
área da Análise Matemática como, por exemplo, na Análise de Fourier, Análise Complexa, Análise Funcional e Teoria dos Teoremas Tauberianos. E atravez das ferramentas
matemáticas que foram desenvolvidas para lhe dar uma prova, o teorema dos Números
Primos tem aparecido em analogia na Teoria dos Sistemas Dinâmicos Hiperbólicos e nãoHiperbólicos, que podem ser encotrados nos artigos [PP] e [Ev], na Teoria Algébrica dos
Números, e Geometria, veja [Po].
Embora tenhamos nos esforçado para a presentarmos uma prova mais elementar, este trabalho, também nos faz um convite ao estudo da teoria analı́tica dos números,
das L-funções de Dirichlet, assim como ao estudo da Análise Matemática e tópicos relacionados como por exemplo os Teoremas Tauberianos como foi mencionado na introdução
do capı́tulo 5. Uma leitura subsequente a este texto seria o artigo [Ko] de Jaap Korevaar,
no qual a partir do método de Newman de integração de contorno é adaptado para se
obter o Teorema de Wiener-Ikehara.
Referências Bibliográficas
[Ga] GAMELIN, Theodore W., Complex Analysis. 1th. ed. Springer-Verlag, 2009.
[Si] SILVERMAN, Richard A.,
Complex Analysis with Applications. London
Mathematical Society Student.
[Ne] NEWMAN, D. J., Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem.
Amer. Math. Monthly(1980),693-696.
[Ru] RUDIN, W., Real and Complex Analysis . 3th. ed. New York: McGraw-Hill
Book Company, 1987.
[Ah] AHLFORS, Lars, Complex Analysis: An Introduction to the Theory of
Analytic Functions of One Complex Variable . 3th. ed. New York: McGrawHill Book Company, 1987.
[Re.1] REMMERT, Reinhold, Theory of Complex Functions. 2nd. ed. SpringerVerlag, 1990.
[Re.2] REMMERT, Reinhold,
Classical Topics in Complex Function Theory.
Springer-Verlag, 1990.
[Ap] APOSTOL, Tom M., Introduction to Analytic Number Theory. New York:
Springer-Verlag, 1976.
[In.1] INGHAN, A. E., On Weiner´s method in Tauberian theorems. Proc. London
Math. Soc.(1935),458-480.
[Te] TENENBAUM,Gérald;MENDÈS FRANCE, M., The Prime Numbers and Their
Distribuition. American Mathematical Society.(2000).
[Le] LE VEQUE,W. J., Topics in Number Theory,vol.1. Addison-Wesley.(1956).
[Ev] EVEREST, G. Orbit-counting in non-hiperbolic dynamical sistems. Journal
für die reine und andgewanddt Mathematik.608,693-696.2007
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
114
[PP] PARRY, W.,POLLICOTT, M. A analogue of the prime number theorem for
closed orbits of Axioms A flows. Annals of Mathematics,573-591.1983
[Po] POLLICOTT, Mark. Asymptotic Distribuition of Closed Geodesics. Israel
Journal of Mathematics, Vol.52,No.3.209-224.1985
[Ko] KOREVAAR, Jaap. The Wiener-Ikehara Theorem by Complex Analysis.
Proceedings of the American Mathematical Society,Vol.134,No.4.1107-1116. 2005

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