Aula 04 - Introdução a Geometria Plana

PRÉ-VESTIBULAR COMUNITÁRIO – NÚCLEO 3 – ADERBAL
MATEMÁTICA C – EXTENSIVO Data: 29/03/2010
PROF.: RAFAEL, email: [email protected] / http://rafaelmtm.wordpress.com
AULA 04 – INTRODUÇÃO A GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
ESTUDO DA RETA
Reta é a linha imaginária inextensível sem origem, extremidade e massa.
Notação: (AB) – reta determinada pelos pontos distintos A e B
A
B
A
B
Semi-Reta é qualquer porção de uma reta que é dividida por um ponto.
Notação: (AB) – reta determinada pelos pontos distintos A e B
Segmento de Reta é a porção de uma reta limitada por dois pontos, chamados de extremos.
Notação: (AB) – reta determinada pelos pontos distintos A e B
A
B
ÂNGULOS
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas de mesma origem.
Notação:
AO e OB = lados do ângulo
AÔB = lê-se ângulo AOB
Ângulos opostos pelo vértice
São aqueles em que os lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro.
AÔB = CÔD
e
AÔC = BÔD
Propriedade:
Ângulos opostos pelo vértice têm medidas
iguais, ou seja, são congruentes.
Bissetriz de um ângulo
OC = bissetriz de AÔB
AÔC = BÔC
Unidades de medida de ângulos e arcos
Grau ( º )
Radiano (rad)
É um ângulo central correspondente a
1 do arco relativo à
360
circunferência.
É um ângulo central equivalente a um arco cujo comprimento
é igual ao raio da circunferência
B
r
1º
O r
Comprimento da circunferência em graus: C = 360º.
1 grau (1º) divide-se em minutos (‘) e segundos (“)
1ª ≡ 60’
1’ ≡ 60”
A
Med (AB) = r med (AB) = 1 rad
Admitindo-se que o comprimento da circunferência é
C = 2.π.r e r = 1 rad, temos:
Comprimento da circunferência em radianos:
C = 2.π rad
Conclusão
Observação
360º = 2.π.rad
180º = π.rad
Comparando-se as duas unidades,
2.π.rad equivalem a 360º
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Ângulo
Medida
Figura
Grau ( º )
Radiano (rad)
π
Reto
90º
Raso
180º
π
De uma volta
360º
2π
Ângulo agudo
α
Ângulo reentrante
É um ângulo cuja medida
é menor que 90º
É um ângulo cuja medida é
maior que 180º e menor que
360º
α < 90º
180º < α < 360º
Ângulo obtuso
Ângulos complementares
É um ângulo que possui
medida maior que 90º e
menor que 180º.
90º < α < 180º
α
Ângulos suplementares
y
Dois ângulos são complementares se,
e somente se, a soma de suas
medidas corresponde a 90º
x + y = 90
Ângulo = x
Complemento = 90º - x
O complemento de um ângulo é o que
falta para completar 90º.
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são suplementares se,
e somente se, a soma de duas
medidas equivale a 180º.
y
2
São ângulos que possuem o mesmo vértice e um lado comum.
x
x + y = 180º
Ângulo = x
Suplemento = 180º - x
Suplemento de um ângulo é o que falta para completar 180º.
Lado comum = OB
BÔC e BÔA
Ângulos replementares
Ângulos adjacentes
Dois ângulos são replementares se, e
somente se, a soma de suas medidas
corresponde a 360º
x + y = 360
Ângulo = x
Replemento = 360º - x
O replemento de um ângulo é o que
falta para completar 360º.
São ângulos consecutivos que não
possuem ponto interior comum.
AÔC e BÔC: consecutivos e
adjacentes.
Obs.: Dois ângulos adjacentes são
consecutivos, mas nem sempre dois
ângulos consecutivos são adjacentes.
RESOLVA
01) (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10º e x + 50º. Um deles mede:
02) Complete a Tabela abaixo: (FAZER REGRA DE 3!!)
Grau ( º )
30º
120º
90º
3π
2
Radiano (rad)
3π
2
π
3
03) A medida de um ângulo excede o seu complemento em 74º. Determine o replemento desse ângulo:
a) 82º
b) 98º c) 278º
d) 108º
e) 275º
EXERCÍCIOS
01) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC sabendo que AB = 42 e BC = 17. Considere o ponto
C entre os pontos A e B.
a) 37 b) 25 c) 59 d) 27 e) 32
02) Quanto mede, em radianos, um ângulo de 36º?
a)
π
b)
5
π
c)
4
π
d)
15
π
e)
3
π
7
03) (Unicamp-SP) Um relógio foi acertado ao meio-dia. Determine as horas e minutos que estará
marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º
04) Encontre a medida, em radianos, do ângulo determinado pelos ponteiros das horas e dos minutos de
um relógio que esteja marcando 6h30.
a)
7π
12
b)
5π
12
c)
7π
6
d)
π
12
e)
π
6
05) (UFMG) Calcule a diferença: medida do ângulo dos ponteiros de um relógio que marca 2h30min
menos a medida do ângulo dos ponteiros de um relógio que marca 1h.
06) Dois ângulos adjacentes medem respectivamente 62º e 48º. Calcule a medida do ângulo formado
pelas suas bissetrizes.
a) 55º
b) 45º c) 57º d) 65º e) 50º
07) (Ufes) O triplodo complemento de um ângulo é igual a terça parte do suplemento desse ângulo. Esse
ângulo mede:
a)
7π
8
b)
5π
16
c)
7π
4
d)
7π
5π
e)
16
8
08) (UFSM-RS) A soma de dois ângulos é igual a 100º. Um deles é o dobro do complemento do outro. A
razão do maior para o menor é:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
09) Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro,
nessa ordem, é ¼. Calculo o menor ângulo.
a) 84º
b) 72º c) 82º d) 74º e) 80º
10) Calcule a medida de dois ângulos complementares, x e y, sabendo que 4x – y = 10.
11) (UFSC) Se, inicialmente, um relógio marcava exatamente 15h, então, após o ponteiro menor (das
horas) percorrer um ângulo de 142º, o relógio estará marcando 19h44min
Questão
Gabarito
1
B
2
A
3
1h24
4
D
5
75º
6
A
7
D
8
C
9
B
10
x=20º
y = 70º
11
Correto