Sistemas Lineares

Exercícios Propostos:
1. Determine m para que  1,1,2 seja solução da equação mx  y  2 z  6 .
Resp: -1
2. Dada a equação
x y
  1 , ache  para que  ,  1 torne a sentença verdadeira.
2 3
Resp: -8/5
Exercícios Popostos:
2 x1  3x 2  x3  0

1. Seja o sistema S1 :  x1  2 x 2  x3  5 .
 x  x  x  2
2
3
 1
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
Resp: a) é b) não é
3x  y  k 2  9
2. Seja o sistema: 
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
x  2 y  k  3
Resp: k = -3
1
Exercícios Propostos:
1. Expresse matricialmente os sistemas:
2 x  y  5
a) 
x  3 y  0
2a  b  c  1

b) a
c 0
 3a  5b  c  2

2. A expressão matricial de um sistema S é:
2  5 a   4
3 1  .b    7  . Determine as equações de S.

   
Exercícios Propostos:
1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
x  2 y  5
a) 
2 x  3 y  4
Resp: {(1,2)}
2
3 x  4 y  1
b) 
x  3 y  9
Resp: {(3,2)}
2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
x  2 y  z  2

a) 2 x  y  3z  9
3x  3 y  2 z  3

Resp: {(1,2,3)}
 x  y  10  0

b)  x  z  5  0
y  z  3  0

Resp: {(6,4,1)}
3
3. Resolva as equações matriciais:
2 1   x  9 
.   

a) 
 1  3   y    13 
 2
Resp:  
5
 1 4 7   x   2

   
b)  2 3 6 . y    2 
 5 1  1  z   8 

   
1
 
Resp:  2 
 1
 
5. Discussão de um sistema linear
Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
22 2
2n n
2
 21 1
...
...

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
4
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
x1 
det An
det A1
det A2
, x2 
,..., xn 
det A
det A
det A
Possível e Determinado
 det A  0
Possível e Indeterminado
det A  0

 e
det A  det A  ...  det A  0
1
2
n

Impossível
det A  0

 e
pelo menos um det A  0
n

Vejamos alguns exemplos:
3x  my  2
1º) Exemplo: Discutir o sistema 
.
x  y  1
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
3 m 
A
  det A  3  m
1  1
2 m 
A1  
  det A1  2  m
1  1
3 2
A2  
  det A2  1
1 1
Fazendo: det A  0  3  m  0  m  3
det A1  0  2  m  0  m  2
Resposta: SPD  m  3 (sistema possível e determinado)
SPI  m (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor
de m
SI  m  3 (sistema impossível)
x  y  2

2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema  x  my  z  0 seja incompatível.
 x  y  z  4

 1 1 0 
Resolução: A   1 m 1   det A  m  1
 1 1  1
5
2  1 0 
Ax  0 m 1   det Ax  2m  6
4 1  1
1 2 0
Ay   1 0 1   det Ay  4
 1 4  1
 1  1 2
Az   1 m 0  det Az  6m  6
 1 1 4
Fazendo: det A  0  m 1  0  m  1
det Ax  0  2m  6  0  m  3
det Az  0  6m  6  0  m  1
4
(impossível)
0
0
z  (indeterminado).
0
Para m = –1, teremos: x  
y
4
(impossível)
0
Resposta: SI  m  1
3x  2 y  0
3º) Exemplo: Verificar se o sistema 
é determinado ou indeterminado.
x  y  0
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
3  2
A
 det A  5
1 1 
0  2
Ax  
 det Ax  0
0 1 
3 0
Ay  
 det Ay  0
1 0
Como det A  5  0 , o sistema é determinado.
Vamos achar a solução:
x
det Ax 0
 0
det A 5
e
y
det Ay
det A

0
0
5
S  0,0
Resposta: O sistema é determinado e S  0,0.
Observação:
Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada
solução trivial.
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre det A1  0, det A2  0,..., det An  0
Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do
determinante dos coeficientes das incógnitas.
6
Determinado  det A  0
Indeterminado  det A  0
ax  y  0
4º)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema 
tenha soluções diferentes
ax  ay  0
da trivial.
Resolução: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos det A  0 .
a 1 
A
  det A  a ²  a  0  a.a  1  0  a  0 ou a  1
a a 
Resposta: 0,1
Exercícios Propostos:
1. Discuta os sistemas:
mx  y  2
a) 
x  y  m
kx  y  1
b) 
x  y  2
7 x  y  3z  10

c)  x  y  z  6
4 x  y  pz  q

7
2. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
3x  4 x2  0
a)  1
 6 x1  8 x2  0
x  y  z  0

b) 2 x  2 y  4 z  0
 x  y  3z  0

x  y  2z  0

c)  x  y  3z  0
x  4 y  0

6 x  ay  12
3. Determine a e b para que o sistema 
seja indeterminado.
4 x  4 y  b
3x  2 y  1
4. Calcule os valores de a para que o sistema 
seja compatível e
ax  4 y  0
determinado.
8
 y  az  2

5. Dê os valores de a para que o sistema  x  y  z  a
seja compatível e
ax  2 y  4 z  5

determinado.
ax  y  2  0

6. Dê o valor de a para que o sistema 2 x  y  z  a  0 seja impossível.
4 x  y  az  5  0

3z  4 y  1

7. Determine o valor de k para que o sistema 4 x  2 z  2
seja indeterminado.
2 y  3x  3  k

9
2 x  y  3z  0

8. Ache m para que o sistema  x  4 y  5 z  0 tenha soluções próprias.
3x  my  2 z  0

 px  y  z  4

9. Qual o valor de p para que o sistema  x  py  z  0 admita uma solução única?
x  y  2

x  y  z  1

10. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear 3x  y  2 z  3 é
 y  kz  2

compatível e determinado?
10
Respostas exercícios propostos:
1. Discussão de um Sistema Linear.
1. a) SPD se m  1 SI se m = –1
b) SPD se k  1 SI se k = 1
c) SPD se p  1 ; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e q  8
2.
a) indeterminado.
b) indeterminado.
c) determinado
3.
4.
5.
6.
7.
a=6eb=8
a  6
a  R / a  4 e a  1
a  4 ou a  1
k=5
3
8. m 
13
9. p  R / p  1
1

10. k  R / k  
4

6. Escalonamento de Sistemas Lineares
Considerando um sistemas genérico m x n, dizemos que ele está escalonado quando os
coeficientes aij, com i > j , são todos nulos.
Exemplos:
x  2 y  5z  7

 3 y  2z  1

4z  8

3x  2 y  7 z  11

4 y  5 z  4

x  2 y  z  t  9

4 z  5t  10

Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
3x  2 y  z  6

1º  4 y  2 z  0

5 z  10

Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas)
Da 3ª equação tiramos z = 2
Da 2ª equação, fazendo z = 2, tiramos y = 1
Fazendo y =1 e z = 2 na 1ª equação tiramos x = -2
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S={(-2,1,2)}
11
9 x  2 y  3z  w  1

y  2 z  4w  6

2º 
5 z  2w  3


0w  9
Sistema 4 x 4 já escalonado.
A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = 
x  y  z  0
3ª 
 3 y  6z  0
Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de incógnitas)
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um
coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado. A variável que
não aparece no começo das equações é chamada variável livre. Nesse exemplo z é a
variável livre. Fazemos z = k, com k  R, para descobrir a solução geral do sistema.
Da 2ª equação, temos 3 y  6 z  0  y  2k .
Usando z = k e y = 2k, temos x  2k  k  0  x  3k .
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k).
2 x  y  z  t  2
4º 
2 z  3t  1

Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem 2 equações e 4
incógnitas) e duas são variáveis livres (y e t).
Fazemos y   e t  ,com   R e   R .
Substituindo nas equações:
2 z  3  1  2 z  1  3  z 
1  3
2
1  3
   2  4 x  2  1  3  2  4 
2
2  5  3
 4 x  2  5  3  x 
4
2x   
1  3 
 2  5  3
, ,
, 
Solução geral: 
4
2


Exercício: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
2 x  y  3z  0

a)  2 y  z  1

2 z  6

12
3x  2 y  z  2
b) 
yz 0

a  2b  c  d  2
c) 
cd 0

7. Processo para escalonamento de um sistema linear
Para escalonar um sistema linear e depois classificá-lo e resolvê-lo, alguns
procedimentos podem ser feitos:
1º Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficientes e o termo independente
nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de
números reais são soluções:
13
2º Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
3x  2 y  6  x  4 y  1


x  4 y  1
3x  2 y  6
3º Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real
diferente de zero:
3x  y  z  5  6 x  2 y  2 z  10
Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por um mesmo número real
diferente de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equação. Regra
de Chio de matrizes = 10ª propriedade. Exemplo:
 x  2 y  4 z  7   3  x  2 y  4 z  7


y  3z  4
3x  5 y  9 z  25  

4º Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os
coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente
para afirmar que o sistema é impossível., isto é, S =  .
Exemplo 1:
 x  2 y  z  7   2

2 x  7 y  z  21  
 3x  5 y  2 z  8

3
x  2 y  z  7
x  2 y  z  7


   3y  z  7  
y  5 z  13   3
   y  5 z  13 
3y  z  7

x  2 y  z  7

y  5 z  13


 16 z  32

O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora
resolver:
32
2
16
y  5  2  13  y  3
x  2  3  2  7  x  1
z
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)}
Exemplo 2:
 x  2 y  z  3   3


3x  y  z  1
2 x  4 y  2 z  6

  2
x  2 y  z  3

    7 y  4 z  8

0 x  0 y  0 z  0 ( e lim inar )


x  2 y  z  3

  7 y  4 z  8
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z.
14
z    7 y  4  8 
y
8  4
7
5
 8  4 
x  2
 3 x 
7
 7 
 5   8  4 
,
, 
Solução geral: 
7
 7

Exercícios propostos:
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
2 x  3 y  z  1

a) 3x  3 y  z  8
2 y  z  0

Resp: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
x  y  z  2
b) 
2 x  3 y  2 z  5
15
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}
x  y  z  3
c) 
2 x  3 y  z  0
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
16
8. Testes:
 x  2 y  18
1. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema 
seja possível e
3x  ay  54
indeterminado é:
a) -6
b) 6
c) 2
d) -2
e) 3/2
Resp: a)
2 x  3 y  z  0

2. (FGV – SP) O sistema  x  2 y  4 z  0 é:
 x  14 z  0

a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) Indeterminado.
e) N.D.A.
Resp: d)
x  y  z  6

3. (UFRN) A solução do sistema 4 x  2 y  z  5 é:
 x  3 y  2 z  13

a) (-2, 7, 1)
b) (4, -3, 5)
c) (0, 1, 5)
d) (2, 3, 1)
e) (1, 2, 3)
Resp: e)
x  y  2z  2

4. (Osec – SP) O sistema linear 2 x  3 y  4 z  9 :
x  4 y  2z  7

a) admite solução única;
b) admite infinitas soluções;
c) admite apenas duas soluções;
d) não admite solução;
e) N.D.A.
Resp: b)
ax  5 y  5
5. (Efoa – MG) O sistema de equações 
, terá uma única solução se:
bx  y  0
a) a  5b
b) a  5b  0
c) a  5b  0
17
d) 5ab  0
e) 5ab  0
Resp: c)
ax  by  7
6. (Faap – SP) Para que o sistema linear 
admita uma única solução, é
2 x  5 y  1
necessário que:
a) a 
 2b
5
b) a 
 2b
5
c) a 
 5b
2
d) a 
2b
5
e) a 
 5b
2
Resp: a)
x  y  a
7. (FCC – BA) O sistema linear  2
é impossível se e somente se:
a x  y  1
a) a  1 e a  1
b) a  1 ou a = –1
c) a  1
d) a  1 e) a  R
Resp: d)
x  y  3

8. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema  x  z  4 , então
 y  4 z  10

ABC vale:
a) -5
b) 8
c) -6
d) -10
e) 5
Resp: c)
 x  2 y  3z  1

9. (UFRS) O sistema sobre R 2 x  y  z  b
, terá solução apenas se o valor
 x  4 y  11z  11

de b for igual a:
a) 6
b) 4
c) 1
d) -11
e) -12
Resp: b)
2 x  y  k
10. (Mack – SP) O sistema 
é indeterminado. Então k + m vale:
4 x  my  2
a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 2
e) 3
Resp: e)
18
mx  2 y  z  0

11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema  x  my  2 z  0 admite infinitas soluções?
3x  2 y  0

a) m = 0
b) m  0
c) m = 2
d) m = 10
e) m = 1
Resp: c)
k 2 x  y  0
12. (FCC – BA) O sistema 
nas incógnitas x e y:
x

ky

0

a) é impossível se k  1
b) admite apenas a solução trivial se k = 1
c) é possível e indeterminado se k = -1
d) é impossível para todo k real
e) admite apenas a solução trivial para todo k real.
Resp: c)
ax  y  z  0

13. (Cesgranrio) O sistema  x  ay  z  1 tem uma infinidade de soluções. Então,
x  y  b

sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:
a) a = 1 e b arbitrário.
b) a = 1 e b  0
c) a = 1 e b = 1
d) a = 0 e b = 1
e) a = 0 e b = 0
Resp: d)
 x  y  2 z  0

14. (Fuvest – SP) O sistema linear:  x  y  z  1 não admite solução se  for igual
x  y  z  3

a:
f) 0
b) 1
c) -1
d) 2
e) -2
Resp: e)
19