cap2.

2
PROBABILIDADE
Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentista
e Axiomática
Definição 2.1 (Clássica): Seja A um evento e Ω o espaço amostral finito, então se todos
os resultados elementares de Ω sao equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do
evento
#A
P (A) =
#Ω
em que #A é a cardinalidade de A e #Ω é a cardinalidade de Ω
Definição 2.2 (Frequentista): Seja A um evento, então
nA
n→∞ n
P (A) = lim
em que nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
A definição frequentista baseia-se na frequência relativa de um número grande n.
Definição 2.3 (Axiomática - Axiomas de Kolmogorov): Probabilidade ou medida de probabilidade na σ-algebra F e a função P , definida em F, e que satisfaz os axiomas seguintes:
1. Para algum A ∈ F, existe um numero P (A) ≥ 0
2. P (Ω) = 1
3. (Aditividade finita). Se A1 , A2 , .., An ∈ F são disjuntos (2 a 2), então
P
n
[
i=1
!
Ai
=
n
X
P (Ai )
i=1
Os eventos são disjuntos, ou disjuntos 2 a 2, se são mutuamente exclusivos, ou seja,
Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j
Probabilidade
2.1
2
ESPAÇOS DE PROBABILIDADE
Definição 2.4: A tripla (Ω, F, P ) é um espaço de probabilidade se
• Ω é um espaço de amostral
• F é uma σ-álgebra dos subconjuntos (eventos) mensuráveis de Ω
• P é uma medida de probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov.
Intuitivamente quando se modela uma problema através de probabilidade, basicamente, o
que se faz é especificar cada uma das componentes da tipla (Ω, F, P ), em que:
• Os eventos são os elementos de F, aos quais se pode atribuir probabilidade.
• Probabilidade é uma função cujo argumento é um conjunto. Portanto, não somente conjuntos, como também as operações sobre eles, têm uma importância fundamental em
teoria da probabilidade.
2.2
PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE
Teorema 2.1 (Propriedades de probabilidade): Dado um espaço de probabilidade (Ω, F, P )
e considerando os eventos abaixo nesse espaço, tem-se as propriedades de probabilidade
1. P (Ac ) = 1 − P (A)
2. P (∅) = 0
3. 0 ≤ P (A) ≤ 1 (Consequência do Axioma 1 e Propriedade 1)
4. Se A1 ⊂ A2 então P (A1 ) ≤ P (A2 )
5. P (A1 ∪ A2 ) ≤ P (A1 ) + P (A2 )
6. Regra da Adição de Probabilidades
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 )
Exemplo 2.1: Um aluno leva dois livros para ler durante as férias. A probabilidade de ele
gostar do primeiro livro é de 0,5, de gostar do segundo livro é de 0,4 e de gostar de ambos os
livros é de 0,3. Qual é a probabilidade de que ele não goste de nenhum dos livros?
Seja o evento Li "Gostar do livro i". Então temos os seguintes eventos:
• gostar somente do livro 1 L1
• gostar somente do livro 1 L2
Probabilidade
3
• gostar de ambos os livros é L1 ∩ L2 .
• gostar de pelo menos um livro L1 ∪ L2 .
• não gostar de nenhum livro Lc1 ∩ Lc2 .
Assim,
P (Lc1 ∩ Lc2 ) = P ((L1 ∪ L2 )c ) = 1 − P ((L1 ∪ L2 ))
P ((L1 ∪ L2 )) = P (L1 ) + P (L2 ) − P ((L1 ∩ L2 ))
= 0, 5 + 0, 4 − 0, 3
= 0, 6
P (Lc1 ∩ Lc2 ) = 1 − 0, 6 = 0, 4
Exemplo 2.2: Considere o lançamento de um dado viciado, no qual a probabilidade de um
numero ser impar é 0,6 e a probabilidade de um numero ser menor ou igual a 4 é 0,64. Qual é
a probabilidade de se obter o numero "seis"?
Sejam os eventos:
• A: o numero ser impar ⇒ A = {1, 3, 5}
• B: o numero ser menor ou igual a 4 ⇒ A = {1, 2, 3, 4}
• C: o numero ser igual a 6
Então temos que:
C = (A ∪ B)c ⇒ P (C) = P (A ∪ B)c = 1 − P (A ∪ B)
Assim,
P (C) = 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B))
= 1 − (0, 60 + 0, 64 − P (A ∩ B))
= 1 − 1, 24 + P (A ∩ B)
= P (A ∩ B) − 0, 24
Não conhecemos P (A ∩ B), desta forma não é possível obter a probabilidade exata do
evento C, mas como (A ∩ B) ⊂ B, assim P (A ∩ B) ≤ P (B), ou seja P (A ∩ B) ≤ 0, 64.
Assumindo P (A ∩ B) = 0, 64, temos
P (C) = 0, 64 − 0, 24 = 0, 40
Assim
0 ≤ P (C) ≤ 0, 40
Probabilidade
2.3
4
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Definição 2.5: Seja (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade. Se A e B ∈ F e P (B) > 0,
então a probabilidade condicional de A dado B é definida por:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Observações:
• Se A e B forem mutuamente exclusivos, então A ∩ B = ∅, desse modo P (A|B) = 0
• Se B ∈ A então P (A|B) = 1
É possível verificar que, para P (B) > 0, a função P1 aplicada em conjuntos FB é definida
por
P1 (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
satisfaz os Axiomas de Kolmogorov sendo assim uma probabilidade.
Desse modo, construímos um novo espaço de probabilidade (B, FB , P1 ) partindo do original
(Ω, F, P ). Consequentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por exemplo
P (Ac |B) = 1 − P (A|B)
Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de se
calcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Esta
expressão é denominada de teorema da multiplicação
P (A ∩ B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A)
Exemplo 2.3: Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que
entre 1000 famílias, os assinantes se dispõem da seguinte forma
Jornais
Numero de familias
A
140
B
230
C
370
AeB
80
AeC
90
BeC
130
AeBeC
50
Qual a probabilidade de:
a) Uma familia assinar o jornal A, dado que assinou o jornal B?
P (A|B) =
P (A ∩ B)
80/1000
80
=
=
= 0, 3478
P (B)
230/100
230
Probabilidade
5
b) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos outros2 jornais ?
P (A|B ∪ C) =
P (A ∩ (B ∪ C) =
=
P (B ∪ C) =
P (A|B ∪ C) =
P (A ∩ (B ∪ C)
P (B ∪ C)
P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)
80 + 90 − 150
120
=
1000
1000
230 + 370 − 130
470
P (B) + P (C) − P (B ∩ C) =
=
1000
1000
120
= 0, 2553
470
c) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos 3 jornais?
Exemplo 2.4: Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P (A) = P (B) = P (C) =
1/4, P (A ∩ B) = P (C ∩ B) = 0 e P (A ∩ C) = 1/8. Calcule a as seguintes probabilidades:
a) P (A|B)
P (A|B) = 0 pois P (A ∩ B) = 0
b) P (A|C)
P (A|C) =
1/8
1
P (A ∩ C)
=
=
P (C)
1/4
2
c) P (A ∩ (B ∪ C)) Temos que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ ∪ (A ∩ C) = (A ∩ C)
Assim
P (A ∩ (B ∪ C)) = P (A ∩ C) =
2.3.1
1
8
Independência
Definição 2.6: Seja o espaço de probabilidade (Ω, F, P ). Os eventos aleatórios A e B são
independentes (estocastimente) se:
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Da definição de independência verifica-se que os eventos A e B sao independentes se
P (A|B) = P (A) e
P (B|A) = P (B)
Probabilidade
6
Exemplo 2.5: Se A e B são independentes, P (A) =
1
3
e P (B c ) = 41 , determine P (A ∪ B)
1
3
=
4
4
1
13
=
P (A ∩ B) = P (A)P (B) =
34
4
P (B) = 1 − P (B c ) = 1 −
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
5
1 3 1
+ − =
3 4 4
6
Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce nenhuma influência
na probabilidade de ocorrência do outro
Exemplo 2.6: Se P (A) = 21 , P (B c ) =
P (A ∪ B)
3
4
3
4
P (A ∩ B)
1
4
e P (A ∪ B) = 34 , A e B são independentes?
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
1 1
=
+ − P (A ∩ B)
2 4
3
=
− P (A ∩ B)
4
= 0
Logo os eventos não são independentes
Teorema 2.2: Se A e B são independentes, então A e B c ; Ac e B; Ac e B c também são
independentes.
Definição 2.7: Os eventos aleatórios A1 , A2 , ..., An ,são:
• independente dois a dois (pares) se
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj )
• coletivamente independentes se
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 )P (A2 )...P (An )
Independência a pares não implica independência coletiva.
Probabilidade
7
Exemplo 2.7: Seja Ω = {w1 , w2 , w3 , w4 } e P (W ) = 41 para todo w ∈ Ω. Sejam os eventos
A = {w1 , w4 }, B = {w2 , w4 } e C = {w3 , w4 }. Então temos
P (A) = P (B) = P (C) =
1 1
1
+ =
4 4
2
1
= P (A)P (B)
4
1
P (A ∩ C) =
= P (A)P (C)
4
1
P (B ∩ C) =
= P (B)P (C)
4
P (A ∩ B) =
Então os eventos são independentes dois a dois, mas
1
4
111
1
P (A)P (B)P (C) =
=
222
8
P (A ∩ B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C)
P (A ∩ B ∩ C) =
2.3.2
Teorema de Bayes
Definição 2.8: Uma partição do espaço amostral Ω é uma família de conjuntos A1 , A2 , ..., An
mutuamente exclusivos, isto é:
•
n
[
Ai = Ω
i=1
• Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j
Teorema 2.3 (Teorema da Probabilidade Total): Se a sequencia de eventos aleatórios A1 , A2 , ..., An
forma uma partição do espaço amostral Ω, então a probabilidade de um evento B contido em
Ω e dada por
n
X
P (B) =
P (Ai )P (B|Ai )
i=1
Teorema 2.4 (Formula de Bayes): Se a sequencia de eventos aleatóriosA1 , A2 , ..., An forma
uma partição do espaço amostral Ω, então
P (Ai )P (B|Ai )
j P (Ai j)P (B|Aj )
P (Ai |B) = P
Exemplo 2.8: 8) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das
pessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos
que não tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população e selecionada ao
acaso e o teste Y é aplicado.
Probabilidade
8
a) Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao
teste?
Sejam os eventos:
– A o teste Y reagiu positivamente
– N o teste Y reagiu negativamente
– T a pessoa tem tuberculose
– N T a pessoa não tem tuberculose
1
= 0, 1
10
9
P (N T ) =
= 0, 9
10
P (A|T ) = 0, 8 ⇒ P (N |T ) = P (Ac |T ) = 1 − P (A|T ) = 1 − 0, 8 = 0, 20
P (T ) =
P (A|N T ) = 0, 3 ⇒ P (N |N T ) = P (Ac |N T ) = 1 − P (A|N T ) = 1 − 0, 30 = 0, 70
P (A) = P (T ∩ A) + P (N T ∩ A) = P (A|T )P (T ) + P (A|N T )P (N T )
= 0, 80 × 0, 10 + 0, 30 × 0, 90 = 0, 08 + 0, 27 = 0, 35
P (T ∩ A)
0, 08
P (T |A) =
=
= 0, 2286
P (A)
0, 35
b) Qual a probabilidade de que essa pessoa não tenha tuberculose, se reagiu negativamente
ao teste?
2.4
2.4.1
EXERCÍCIOS
Teóricos
2.1) Mostre que para quaisquer A1 , A2 , .., An ∈ F
P
n
[
i=1
!
Ai
≤
n
X
P (Ai )
i=1
2.2) Mostre que:
a)
P (A1 ∪A2 ∪A3 ) = P (A1 )+P (A2 )+P (A3 )−P (A1 ∩A2 )−P (A1 ∩A3 )−P (A2 ∩A3 )+P (A1 ∩A2 ∩A3 )
Probabilidade
9
b)
P (A1 ∪ A2 ∪ .. ∪ An ) =
n
X
P (Ai ) −
XX
j=1
P (Ai ∩ Aj ) +
i<j
n+1
+(−1)
XXX
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − ...
i<j<k
P (A1 ∩ A2 ∩ .. ∩ An )
c)
P
n
\
!
Ai
= P (A1 )P (A2|A1 )P (A3|A1 ∩ A2 )...P (An |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 )
i
2.3) Seja A ∈ B. Expresse as seguintes probabilidades da forma mais simples possível.
P (A|B), P (A|B c ), P (B|A), P (B|Ac )
2.4) Se Ai , i = 1, 2, 3, ... são mutuamente exclusivos, mostre que:
P
∞
[
!
Ai |B
i=1
=
∞
X
P (Ai |B)
i=1
2.5) Seja P uma probabilidade sobre um espaço amostral e suponha que A é um evento com
0 < P (A) < 1. Mostre que A e B são independentes se e somente se P (B|A) = P (B|Ac ).
2.6) Os eventos A, B e C são independentes. Prove que P (B|A ∩ C) = P (B|A ∪ C) = P (B).
2.7) Demonstre ou dê um contra exemplo:
a) Se A é independente de B, e A é independente de C, então A é independente de B ∪ C
b) Se A é independente de B, e A é independente de C, com B ∩ C = ∅ então A é
independente de A ∪ B
2.8) Seja A um evento qualquer, mostre que:
a) A e ∅ são independentes
b) A e Ω são independentes
2.9) Demonstre que se P (B|Ac ) = P (B|A), então P (B|A) = P (B)
2.4.2
Práticos
2.1) Considere um círculo inscrito em um triângulo equilátero. Pergunta-se
a) Se um inseto pousar no círculo, qual a probabilidade de que tenha pousado também no
triangulo?
Probabilidade
10
b) Se um inseto pousar no triangulo, qual a probabilidade de que tenha pousado também no
circulo?
2.2) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição "ligada". Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada para
a posição "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com
o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de
números (X, Y ).
a) Descreva o espaço amostral.
b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:
1. O circuito está ligado por uma hora ou menos.
2. O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h.
3. O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (t1 < t2) são
2 instantes durante o período de 24 h especificado).
4. O circuito permanece ligado 2 vezes mais tempo do que desligado
2.3) A probabilidade de um estudante ter o cartão de credito A é 0,5, de ter o cartão de credito
B é 0,4 e de ter ambos os cartões é 0,25. Determine a probabilidade de:
a) Um estudante ter pelo menos um dos dois cartões.
b) Um estudante não ter nenhum dos dois cartões.
2.4) Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas
chances de vencer e, cada um, e tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Qual a
probabilidades de A ou C vencer?.
2.5) Escolha um ponto, ao acaso, no círculo unitário com centro na origem. Qual é a probabilidade da distância desse ponto à circunferência, que limita o círculo, ser inferior a 1/2.
2.6) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a
probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência de
A for igual a 0,4 determine a probabilidade da ocorrência de B.
2.7) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P (A) = 0, 4
enquanto P (A ∪ B) = 0, 7. Seja P (B) = p.
a) Para qual valor de p, A e B serão mutuamente excludentes?
b) Se A e B não são disjuntos, para qual valor de p, A e B são independentes?
Probabilidade
11
2.8) As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança,
depois de beber, são de 13 , 14 e 15 , respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, depois de
beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? Qual a
probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo?
2.9) Sendo P (A) =
1
2
e P (A ∪ B) = 34 , determine P (B) no seguintes casos:
a) A e B são independentes
b) A e B são disjuntos
c) A está contido em B
2.10) A probabilidade de fechar o i-ésimo rele em um circuito é dado por pi , i = 1, 23, 4 e 5.
Se todos os reles funcionam independentemente. Qual a probabilidade da corrente passar entre
os pontos A e B.
2.11) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dis duas en que faz bom
tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de
chover?
2.12) Considere dois eventos A e B tais que:
1
P (A) = ,
4
1
P (B|A) = ,
2
P (A|B) =
1
4
a) A e B são mutuamente excludentes?
b) A e B são independentes?
c) Determine P (Ac |B c ), P (Ac |B) + P (A|B) e P (A|B c )
2.13) Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9; 0,8 e
0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou
3 não funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultânea
de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem
independentemente, calcular a confiabilidade do sistema.
2.14) Uma válvula a vácuo pode provir de 3 fabricantes, com probabilidade 0,25; 0,50 e 0,25.
As probabilidades de que , durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são,
respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4, para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que
uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado.
Probabilidade
12
2.15) Um treinador de basquete tem duas jogadas em mente que podem ser úteis em momentos
decisivos de uma partida. Ele acha que a probabilidade de que a jogada de ataque dê certo é de
0.5. Se a jogada de ataque dá certo, a chance do time roubar a bola na defesa é de 0,75; caso
contrário, a probabilidade se reduz a 1/3. Determine:
a) a probabilidade do time conseguir sucesso nas duas jogadas;
b) a probabilidade de ambas jogadas darem errado;
c) a probabilidade de somente a jogada de defesa ser bem sucedida.
2.16) Considere três conjuntos A, B e C, sendoP (A) = P (B) = P (C) = 1/4, P (A ∩ B) =
1/8, P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0. Determine a probabilidade de:
a) somente um dos eventos ocorrer
b) todos os eventos ocorrerem
c) nenhum dos eventos ocorrer.