Álgebra Linear, Exame de Qualificação — 4/12/2015, 09:00–12:00 hs

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1a
1b
2
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4
5
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7a
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7d
P
Álgebra Linear, Exame de Qualificação — 4/12/2015, 09:00–12:00 hs
NOME:
RA:
1. Seja V espaço vetorial com dimC V = n e A, B ∈ HomC (V, V ) tais que AB = BA.
(a) (8 pts) Mostre que há uma base tal que A e B são triangulares superiores nesta
base.
(b) (8 pts) Se A e B são operadores diagonalizáveis, mostre que podem ser diagonalizados simultaneamente (ou seja, usando a mesma base).
2. (14 pts) Use a forma canônica de Jordan de A para dar uma forma geral de Ak , onde


1 1 1 1
 0 2 2 0 

A=
 0 0 2 0 .
−1 1 0 3
3. (10 pts) Sejam dois matrizes A, B ∈ M9 (R) que tenham polinômio minimo pA (λ) =
(λ − 3)2 (λ − 7)4 (λ − 1)3 e pB (λ) = (λ − 3)4 (λ − 7)3 (λ − 1)2 . Determine se A e B sejam
semelhantes.
4. (10 pts) Seja F corpo e sejam V, W dois F -espaços de dimensão finita. Seja T ∈
HomF (V, W ). Mostre que T é injetora se e somente se a adjunta T ∗ é sobrejetora.
5. (10 pts) Enuncie o Teorema espectral para operadores normais.
6. (16 pts) Seja a forma quadratica f = x2 + y 2 + z 2 + 4xz em R3 . Ache a representação
matrizial desta forma e ache uma nova base de R3 tal que a forma se torne uma soma
de quadrados.
7. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F com base v1 , . . . , vn .
V
(a) (6 pts) Ache uma base da k-esima potencia exterior k (V ).
V
(b) (6 pts) Mostre que k (V ) = 0, se k > n,
V
(c) (6 pts) Mostre que dim k (V ) = nk
(d) (6 pts) Se f : V → V é F -linear, então
f (v1 ) ∧ f (v2 ) ∧ . . . ∧ f (vn ) = (det f )(v1 ∧ v2 ∧ . . . ∧ vn ).
Incluir na prova, por favor, todas as “contas” feitas nas resoluções. Respostas não acompanhadas de argumentos que as justifiquem não serão consideradas.
Boa Prova!
1
DM–IMECC–UNICAMP
Exame de Qualificação de Mestrado – Análise no Rn
Aluno/RA:
11/12/2015
/
1. Mostre que f : GL(n) → GL(n), f (A) = A−1 é um difeomorfismo.
(GL(n) denota o conjunto das matrizes reais invertı́veis de ordem n × n.)
Para n = 2, escreva a matriz da transformação linear Df (A) onde
1 a
A=
com a 6= b.
1 b
2.
Uma função f : Rn → R é dita homogênea de grau k quando
f (tx) = tk f (x) para quaisquer x ∈ Rn e t ∈ R.
(a) Mostre que uma função diferenciável f : Rn → R é homogênea de grau
k se, e somente se, cumpre a relação/fórmula de Euler ∇f (x) · x = k · f (x)
(∀x ∈ Rn ).
(b) Seja ω = adx + bdy + cdz uma 1-forma fechada em R3 em que as
funções a, b e c são diferenciáveis e homogêneas de grau k (em R3 ). Mostre
que ω é exata, i.e. ω = df , para alguma função f : R3 → R.
Dica: f = (xa + yb + zc)/(k + 1).
3. Seja M uma variedade com bordo (de classe C ∞ ) em Rn de dimensão n
e compacta.
(a) Mostre que ∂M (o bordo de M ) é uma variedade (sem bordo) de
dimensão n − 1 e que Ω := M − ∂M é um aberto limitado em Rn .
(b) Seja X um campo suave (de classe C ∞ ) em Rn . Se divX = 0 em Ω
mostre que X é tangente a ∂M (= ∂Ω) em algum ponto de ∂M .
4. Sejam f : B → Rn um difeomorfismo de classe C 1 de B em f (B), onde B
é a bola aberta unitária de centro zero em Rn , e y0 = f (0). Se kf 0 (x)−1 k ≤ 1
para todo x ∈ B e |y0 | < 1, mostre que existe um número δ > 0 tal que
0 ∈ Bδ (y0 ) e Bδ (y0 ) ⊂ f (B). Conclua que f tem um zero.
5. (a) Enuncie o Teorema de Mudança de Variáveis.
R
2
(b) Seja A uma matriz (real) n × n invertı́vel. Mostre que Rn e−|Ax| dx =
R
2
1
e−|x| dx.
|detA| Rn
(c) Enuncie o Teorema
Fubini.
R de −|Ax|
2
(d) Calcule a integral Rn e
dx onde A é uma matriz como no item (b).
R −s2
√
Lembrete: R e ds = π.