álgebra - Universidade Castelo Branco

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ÁLGEBRA
Conteudista
Isidorio Rodrigues Queiroz
Rio de Janeiro / 2009
TODOS
OS DIREITOS RESERVADOS À
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
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Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou
por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo
Branco - UCB.
Un3a Universidade Castelo Branco
Álgebra / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2009.
- 44 p.: il.
ISBN
1. Ensino a Distância. 2. Título.
CDD – 371.39
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21710-250
Tel. (21) 3216-7700 Fax (21) 2401-9696
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Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando
oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Autoestudo
O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Autoestudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja
disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite
interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático .................................................................................................
09
Contextualização da disciplina ...................................................................................................................
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UNIDADE I
RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO
1.1 - Relação reflexiva ou reflexibilidade ...................................................................................................
1.2 - Relação simétrica ................................................................................................................................
1.3 - Relação transitiva ...............................................................................................................................
1.4 - Relação de equivalência .....................................................................................................................
1.5 - Relação antissimétrica ........................................................................................................................
1.6 - Relação de ordem ...............................................................................................................................
1.7 - Operações internas ..............................................................................................................................
1.8 - Grupoide .............................................................................................................................................
13
13
13
14
17
18
18
19
UNIDADE II
PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO
2.1 - Associatividade ...................................................................................................................................
2.2 - Comutatividade ...................................................................................................................................
2.3 - Existência do elemento neutro ............................................................................................................
2.4 - Elementos simetrizáveis .....................................................................................................................
2.5 - Distributividade ..................................................................................................................................
21
22
22
25
26
UNIDADE III
GRUPOS, ANÉIS E CORPOS
3.1 - Introdução à teoria dos grupos ............................................................................................................
3.2 - Grupos finitos .....................................................................................................................................
3.3 - Subgrupos ...........................................................................................................................................
3.4 - Potência de um grupo .........................................................................................................................
3.5 - Subgrupos cíclicos ..............................................................................................................................
3.6 - Homomorfismo de grupos ..................................................................................................................
3.7 - Isomorfismo de grupos .......................................................................................................................
3.8 - Estrutura de anel .................................................................................................................................
3.9 - Estrutura de corpo ...............................................................................................................................
28
30
32
34
34
36
37
39
41
Referências bibliográficas ...........................................................................................................................
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Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA
OBJETIVOS
I - RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO
1.1 - Relação reflexiva ou reflexibilidade
1.2 - Relação simétrica
1.3 - Relação transitiva
1.4 - Relação de equivalência
1.5 - Relação antissimétrica
1.6 - Relação de ordem
1.7 - Operações internas
1.8 - Grupoide
• Mostrar que através de uma relação especial
(chamada de equivalência) é possível subdividir um
conjunto em “pedaços” chamados de classe de equivalência.
II - PROPRIEDADE DE UMA OPERAÇÃO
2.1 - Associatividade
2.2 - Comutatividade
2.3 - Existência do elemento neutro
2.4 - Elementos simetrizáveis
2.5 - Distributividade
• Mostrar a importância das propriedades de uma
operação nos Ensinos Fundamental e Médio.
III - GRUPOS, ANÉIS E CORPOS
3.1 - Introdução à teoria dos grupos
3.2 - Grupos finitos
3.3 - Subgrupos
3.4 - Potência de um grupo
3.5 - Subgrupos cíclicos
3.6 - Homomorfismo de grupos
3.7 - Isomorfismo de grupos
3.8 - Estrutura de anel
3.9 - Estrutura de corpo
• Construir as principais estruturas algébricas.
9
Contextualização da Disciplina
A disciplina Álgebra, também conhecida por Estruturas Algébricas, visa dar uma noção das principais estruturas da Matemática (conjunto munido de uma ou mais operações com certas propriedades) e intercalá-la com
os conceitos primitivos do ensino básico.
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UNIDADE I
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RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO
Seja E ≠
φ e R uma relação binária contida em E x E, isto é, R ⊂ E x E.
1.1 - Relação Reflexiva ou Reflexibilidade
Diremos que R é uma reflexiva se:
∀ x ∈ E, (x, x) ∈ E ou ∀ x ∈ E, x R x.
Exemplo:
1) E = {1, 2, 3}.
2) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2)} não é reflexiva, pois (3, 3) ∉ R1.
3) R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 3)} é reflexiva.
2) Seja E = N e x R y ⇔ x ≤ y
ou: x ≤ y ⇔ x < y ou x = y
Ex. 2 ≤ 5 ⇒ 2 < 5 ou 2 = 5
5 ≤ 3 ⇔ 5 < 3 ou 5 = 3 é falso!
1.2 - Relação Simétrica
Diremos que R é simétrica se:
∀ x, y ∈ E se (x, y) ∈ E, então y R x.
Ou ∀ x, y ∈ E se x R y, então y R x.
Exemplo: 1) E = {1, 2, 3}
a) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2)} não é simétrica, pois (2, 1) ∉ R1.
b) R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1)} é simétrica.
c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} é simétrica, pois x = y.
2) Seja E = R e x R y
Se a R b, então b R a
a ≤ b então b ≤ a
(F)
⇔x≤y
(2, 3); (2, 2); (3, 3) ...
2<3 2=2 3=3
1.3 - Relação Transitiva
Diremos que R é transitiva, se:
∀ x, y, z ∈ E se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, então (x, z) ∈ R.
Ou, se x R y e y R z, então x R z.
Exemplo:
1) E = {1, 2, 3}
a) R1 = {(1, 2); (2, 3); (1, 3)} é transitiva.
b) R2 = {(1, 3); (2, 3)} é transitiva.
c) R3 = {(1, 1); (1, 2)} é transitiva.
d) R4 = {(1, 3); (3, 1)} não é transitiva, pois não tem (1, 1) nem (3, 3).
Não é transitivo
⇒ {(1, 2); (2, 5); (1, 5); (3, 6); (5, 7)}.
14
1.4 - Relação de Equivalência
Diremos que R é de equivalência se:
a) R é reflexiva
x R x.
b) R é simétrica
x R y ou y R x.
c) R é transitiva
(x R y) e (y R x), então x R y.
Exemplo:
1) E = {(1, 2, 3)}
a) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 3)} é reflexiva; é simétrica; é transitiva. Logo, é R equivalente.
b) R2 = {(1, 1); (2, 1); (1, 2); (2, 2)} (3, 3) ∉ R não é reflexiva, não é R equivalente.
c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)} é reflexiva; é simétrica; é transitiva. Logo, é R de equivalente.
d) R4 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (1, 2)} não é simétrica, logo não é R de equivalência.
2) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x é divisor de y.
R é de equivalência?
R = {(1, 1); (2, 2); (4, 4); (1, 2); (1, 4); (2, 4)}
Não é simétrica, logo não é de equivalência.
Classes de Equivalência
Seja R uma relação de equivalência em um conjunto E. Chamamos de classe de equivalência de um elemento
a ∈ E e indicamos por
a , ao conjunto:
a = {x ∈ E / x R a}
O conjunto de todas as classes de equivalência é indicado por E/R, chamado de conjunto quociente de E por R.
As classes de equivalência determinam uma partição em E.
Exemplo: E = {1, 2, 3, 4}
R = {(1, 1); (1, 3); (1, 4); (3, 1); (3, 3); (3, 4); (2, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 1)}
Eu posso ter:
1 = {x ∈ E/x R 1} = x R 1 ⇔ (x, 1) ∈ R. Então temos: {1, 3, 4}
2 = {x ∈ E/x R 2} = x R 2 ⇔ (x, 2) ∈ R. Então temos: {2}
3 = {x ∈ E/x R 3} = x R 3 ⇔ (x, 3) ∈ R. Então temos: {1, 3, 4}
4 = {x ∈ E/x R 4} = x R 4 ⇔ (x, 4) ∈ R. Então temos: {1, 3, 4}
A partir daí, temos que 1 =
3 = 4 e a rigor teremos duas classes. ⇒ E/R = {{1, 3, 4}; {2}}
A interseção é vazia e a união é E.
E
1
3
4
2
partição em E.
Em outros pares poderia dar:
15
E
1
2
3
E
1
2
4
3
4
Exercícios Resolvidos
I) Seja E = (a ∈ Z/-3 ≤ a ≤ 3} e x R y
⇔ x – y = 2 k, x ∈ y
a) Construa a relação R.
k=0 ⇒ x–y=0
⇒ (-3, -3); (-2, -2); (-1, -1); (0, 0); (1, 1); (2, 2); (3, 3)
k=1 ⇒ x–y=2
(-1, -3); (0, -2); (1, -1); (2, 0); (3, 1)
k = -1 ⇒ x – y = -2
(-3, -1); (-2, 0); (-1, 1); (0, 2); (1, 3)
k=2 ⇒ x–y=4
(1, -3); (2, -2); (3, -1)
k = -2 ⇒ x – y = -4
(-3, 1); (-2, 2); (-1, 3)
k=3 ⇒ x–y=6
(3, -3)
k = -3 ⇒ x – y = -6
(-3, 3)
b)) Determine E/R.
⇒ x=y
E/R = {{-3, -1, 1, 3}; {-2, 0, 2}}
- 3 = {-3, -1, 1, 3}
- 2 = {-2, 0, 2}
- 1 = {-3, -1, 1, 3}
0 = {-2, 0, 2}
1 = {-3, -1, 1, 3}
2 = {-2, 0, 2}
3 = {-3, -1, 1, 3}
- 3 = -1 =
1= 3
-2= 0 = 2
-3
-2
-2
0
+1
2
+3
∴k = 0
c) Prove que R é de equivalência.
c1 = Reflexiva ⇒ ∀ x ∈ R, x R x ⇒ x – x = 2 k ⇒ 0 = 2 k ∴ k = 0
c2 = Simétrica ⇒ ∀ x, y ∈ R, se x R y, então y R x.
Se x R y, então x – y = 2 k, então –x + y = -2 k, então y – x = 2 (-k), então y R x.
c3 = Transitiva ⇒ ∀ x, y, z ∈ R, se x R y e y R z, então x R z.
Se x R y ⇒ x – y = 2 a, a ∈ Z
Se y R z ⇒ y – z = 2 b, b ∈ Z+
⇒ x–z=2a+2b
⇒ x – z = 2(a + b) ⇒ x – z = 2 c; c ∈ Z
E
16
II) Seja E = {a ∈ Z/-4 ≤ a ≤ 4} e x R y
a) Determine a relação.
⇔ x 2 - 2 x = y 2 - 2 y.
b) Determine E/R.
c) Prove que a relação é de equivalência.
Observação
Pelo primeiro exercício, notamos que toda relação do tipo: x – y = 2 k; x – y = 3 k; x – y = -2 k; x – y = -3 k, etc.
(k ∈ Z). São relações de equivalência.
Assim, podemos estabelecer que qualquer relação do tipo: x – y = k . m, em que k, m ∈ Z é uma relação de
equivalência em Z. Estabeleceremos que as classes de equivalências a (a barra) dessa relação são do tipo:
a = {x ∈ Z/x R a} = {x ∈ Z/x – a = k . m} e o conjunto de todas as classes de equivalência será:
Z/m = { 0, 1, 2,..., m − 1 }
Tomemos por exemplo, m = 4
Assim, temos: x – y = 4 k; k ∈ Z e
a = {x ∈ Z/x – a = 4 k}; Z / m = { 0, 1, 2, 3 }.
a) 0 = {x ∈ Z/x R 0} = {x ∈ Z/x - 0 = 4 k}
0 = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto zero.
b) 1 = {x ∈ Z/x R 1} = {x ∈ Z/x - 1 = 4 k}
1 = {..., -7, -3, 1, 5, 9, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto um.
c) 2 = {x ∈ Z/x R 2} = {x ∈ Z / x - 2 = 4 k}
2 = {..., -6, -2, 2, 6, 10, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto dois.
d) 3 = {x ∈ Z/x R 3} = {x ∈ Z / x - 3 = 4 k}
3 = {..., -5, -1, 3, 7, 11, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto três.
Como ficaria
4?
4 = {x ∈ Z/x R 4} = {x ∈ Z/x - 4 = 4 k}
∴ 4 = {..., -4, 0, 4, 8, ...} = 0
E se fizer - 1 ?
- 1 = {x ∈ Z/x R -1} = {x ∈ Z/x – (-1) = 4 k}
∴ - 1 = {..., -5, -1, 3, ...} = 3
Assim, temos: O conjunto Z foi subdividido em 4 classes de equivalências distintas, em que a interseção é
vazia e a união é Z.
Seja m = 3; então temos:
Z / 3 = { 0 , 1, 2 }
0 = {x ∈ Z/x R 0} = {x ∈ Z/x - 0 = 3 k} = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}
1 = {x ∈ Z/x R 1} = {x ∈ Z/x - 1 = 3 k} = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
2 = {x ∈ Z/x R 2} = {x ∈ Z/x - 2 = 3 k} = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}
As classes
a)
a (chamadas de classe residual módulo m) representam restos da divisão de inteiros por 3.
0 é o conjunto de todos os inteiros que divididos por 3 deixam restos zero.
b) 1 é o conjunto de todos os inteiros que divididos por 3 deixam restos 1.
c) 2 é o conjunto de todos os inteiros que divididos deixam restos 2.
Adição Módulo m
∀ a, b ∈ Z/m, a ⊕ b = a + b
Multiplicação módulo m
∀ a, b ∈ Z/m, a ⊗ b = a.b
Exemplo:
1) Calcule em Z/3 :
a) 1 ⊕ 2 = 1 + 2 = 0 ⇒ 1 ⊕ 2 = 0
2 ⊕ 2 = 2 + 2 =1⇒ 2 ⊕ 2 =1
c) 2 ⊗ 3 = 2.3 = 0 ⇒ 2 ⊗ 3 = 0
d) 3 ⊗ 3 = 0
b)
2) Calcule em Z/31 :
2 Ä 13 = 26
b) 11 Å 17 =
c) 14 Ä 15 =
a)
1.5 - Relação Antissimétrica
Observamos que uma relação R é antissimétrica em E se:
∀ x, y
Ou
∀ x, y
∈ E, se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, então x = y.
∈ E, se x R y e y R x, então x = y.
Exemplo:
E = {1, 2, 4}
a) R1 = {(1, 2); (2, 1); (2, 4)} não é antissimétrica.
b) R2 = {(1, 2); (1, 4)} é antissimétrica.
c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (4, 4)} é antissimétrica e simétrica ao mesmo tempo.
d) R4 = {(1, 2); (2, 4); (4, 2)} não é antissimétrica.
e) R5 = {(1, 2); (2, 2)} é antissimétrica.
Obs.: A relação só será antissimétrica se não houver pares simétricos. Ex.: letra a e letra b.
Quando o/se antecedente for verdadeiro e o subsequente falso, então será verdadeiro. Isto é:
VeF
{ = então V.
(F )
Se a condicional der falsa, então é verdadeiro.
17
18
1.6 - Relação de Ordem
Diremos que uma relação R é de ordem em E se:
a)
b)
c)
∀ x ∈ E, x R x
∀ x, y, z ∈ E se x R y e y R z, então x R z.
∀ x, y ∈ E se x R y e y R x, então x = y.
Exemplo:
I) E = {1, 3, 5}
a) R1 = {(1, 1); (1, 3); (3, 3); (5, 5)} ela é reflexiva (1, 1); (3, 3); (5, 5), ela é transitiva e antissimétrica. Logo,
é relação de ordem.
b) R2 = {(1, 1); (3, 1); (3, 3); (5, 5)} é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Logo, é uma relação de ordem.
c) R3 = {(1, 1); (3, 3); (5, 5); (1, 5)} é reflexiva, transitiva e antissimétrica. Logo, é uma relação de ordem.
d) R4 = {(1, 1); (3, 5); (3, 3); (5, 5); (5, 3)} só tem simetria. Não é antissimétrica. Logo, não é relação de
ordem.
II) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x ≤ y.
Escreva os pares da relação e verifique se é de ordem.
E = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (4, 4)}
É transitiva, reflexiva e antissimétrica. Logo, é relação de ordem.
III) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x é divisor de y.
Escreva os pares da relação e verifique se a relação é de ordem.
E = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (4, 4)}
É transitiva, é reflexiva e é antissimétrica. Logo, é de ordem.
1.7 - Operações Internas
Seja E ≠ φ . Chamamos de operação interna em E ou operação em E a toda função do tipo.
f: E . E → E
(x, y) → x ∗ y. Em que x ∗ y é a imagem da função f.
Notamos que x ∗ y é um elemento de E.
Ilustrações:
I) Seja E = {0, 1, 2, 3} e f: E × E → E
(x, y) → x ∗ y
em que x ∗ y = resto
da divisão de x + y por 4.
Os pares ordenados de E × E podem ser dispostos através da tábua abaixo:
∗
0
1
2
3
0
1
2 3
Assim, temos:
(0, 0) → 0 ∗ 0 = 0
(0, 1) → 0 ∗ 1 = 1
.
.
.
(3, 3) → 3 ∗ 3 = 2
∗
0
1
2
3
0 1 2 3
0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
II) Seja E = N e f: E . E → E
(x, y) → x ∗ y = x – y
Não é uma operação em E.
Notamos que y > x, (x – y) ∉ N.
Logo, a subtração não é uma operação em N quando y > x, (x – y).
Mas a subtração é uma operação em Z.
1.8 - Grupoide
Seja E ≠
φ e "∗" uma operação definida em E. Chamamos de grupoide ao par (E, ∗ ).
Exemplo:
1) (N, +); grupoide aditivo
Nota-se que a adição é uma operação em N.
2) (N, .); grupoide multiplicativo
Nota-se que a multiplicação é uma operação em N.
3) Seja A = {x/x = 2 n; n ∈ Z}. Prove que (A,
∗ ), em que a ∗ b = a + b, é uma operação em A.
Devemos provar que:
∀ a, b ∈ A, (a ∗ b) ∈ A.
Sejam a, b ∈ A: Então a = 2 n1; n1 ∈ Z.
b = 2 n2; n2 ∈ Z.
Então: a ∗ b = 2 n1 + 2 n2
a ∗ b = 2 (n1 + n2) ⇒ a ∗ b = 2 n3; 2 n3 ∈ Z.
Logo: (a ∗ b)
∈ A.
4) Seja A = {x/x = 2 n, n ∈ Z}. Prove que (A,
∗ ), em que a ∗ b = a . b é uma operação em A.
Sejam a, b ∈ A: Então a = 2 n1; n1 ∈ Z.
b = 2 n2; n2 ∈ Z.
Então: a ∗ b = 2 n1 . 2 n2 ⇒ Então a ∗ b = 2 . 2n1n2 ⇒ a ∗ b = 2 n3; n3 ∈ Z.
Logo: (a ∗ b)
∈ A.
19
20
5) Seja A = {x/x = 2 n +1, n ∈ Z}. Prove que (A,
∗ ) não é um grupoide, em que a ∗ b =
a + b.
Sejam a, b, ∈ A; então a = 2 n1 + 1 ; n1 ∈ Z.
b = 2 n2 + 1 ; n2 ∈ Z.
Então a ∗ b = 2 n1 + 1 + 2 n2 + 1; então: a ∗ b = 2 n1 + 2 n2 + 2.
Então a ∗ b = 2 (n1 + n2) + 2; então: a ∗ b = 2 n3 + 2; n3 ∈ Z.
Logo: (a ∗ b)
∉ A.
6) Seja A = {a, b} e P(A) = { φ , {a}, {b}, {a, b}} que é o conjunto das partes de A (subconjunto de A). Construa as tábulas dos grupoides. (A, I ) e (A, U ).
I
f
{a}
{b}
{a, b}
f
f
f
f
f
{a}
f
{a}
f
{a}
{b} {a, b}
f
f
{a}
f
{b} {b}
{b} {a, b}
U
f
{a}
{b}
{a, b}
f
f
{a}
{b}
{a, b}
{a}
{a}
{a}
{a, b}
{a, b}
7) Resolva a equação [3 ∗ ( x ∗ x)]+ (2 ∗ x) = 160 em N, em que a ∗ b = a + b + a . b.
[3 ∗ ( x +
x + x.x)] + (2 + x + 2 x) = 160
⇒ [3 (2 x + x 2)] + (3 x + 2) = 160
3 + (2 x + x²) + 3 (2 x + x²) + 2 + 3 x = 160
x² + 2 x + 3 + 6 x + 3 x² + 2 + 3 x = 160
4 x² + 11 x + 5 – 160 = 0
4 x² + 11 x – 155 = 0
11 ± 121 + 2480
- 11 ± 2601
- 11 ± 51
=x =
Þ x=
8
8
8
40
x’ =
=5
8
- 62 - 31
x’’ =
=
ÏN
8
4
x=
{b}
{b}
{a, b}
{b}
{a, b}
{a, b}
{a, b}
{a, b}
{a, b}
{a, b}
UNIDADE II
21
PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO
Seja E ≠
φ e "∗" uma operação definida em E.
2.1 - Associatividade
Diremos que uma operação é associativa em E ou que (E,
∗ ) é um semigrupo se:
∀ x, y, z ∈ E, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
Exemplo:
1) A adição usual é associativa em N, Z, Q ou R.
∀ a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c)
2) A multiplicação é associativa em N, Z, Q ou R.
∀ a, b, c ∈ R, (a . b) . c = a . (b . c)
b
3) A operação a ∗ b = a (potenciação) em Z não é associativa.
∀ a, b, c ∈ R, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
a
b
(a
b
∗ c = a∗ b c
) c = a (b)
c
(F)
Exercícios Resolvidos
1) Verifique a associatividade nas operações:
I) x ∗ y = x + y + 4, definida em R.
∀ a, b, c ∈ R, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
⇒ (a + b + 4) ∗ c = a ∗ (b + c + 4)
⇒ (a + b + 4) + c + 4 = a + (b + c + 4) + 4
⇒ a + b + 4 + c + 4 = a + b + c + 8 (V)
xy
, definida em R .
2
" a, b, c Î R, (a * b) * c = a * (b * c) Þ (a . b) * c = a * (b . c)
II) x * y =
ab
bc
)* c = a* (
)Þ
2
2
a.b
b.c
( .c) a.( )
2
2 Þ a.b.c = a.b.c (V)
=
2
2
4
4
(
22
III) x ∗ y =
x 2 + y 2 , definida em R + .
∀ a, b, c ∈ R + , (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
( a2 + b2 ) ∗ c = a∗ ( b2 + c2 ) ⇒ ∝ ∗ c = a∗ β
14243
14243
∝
β
⇒ ( α 2 + c2 )2 = ( β 2 + c2 )2 ⇒ ∝2 + c 2 = β 2 + c 2 ⇒ ( a 2 + b2 )2 + c 2 = a 2 +
( b 2 + c 2 ) 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 (V).
IV) a ∗ b =
a+b
, definida em R – {1, -1}.
1 + ab
V) a ∗ b = a + b – ab, definida em R.
VI) a
∗ b = a, definida em R.
VII) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, d + ac), definida em R . R.
VIII) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d + 2 b . d), definida em R . R.
2.2 - Comutatividade
Diremos que uma operação
"∗" é comutativa em E se:
∀ x, y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x
Exemplo:
1) A adição é comutativa em N, Z, Q ou R.
∀ a, b ∈ R, a + b = b + a
2) A multiplicação é comutativa em N, Z, Q ou R.
∀ a, b ∈ R, a . b = b . a
2
3) A operação a ∗ b = a (potenciação) em N não é comutativa.
∀ a, b ∈ N, a ∗ b = b ∗ a ∴ a b = b a (F)
4) A operação (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + b) não é comutativa em N . N.
∀ (a, b), (c, d) ∈ N . N, (a, b) ∗ (c, d) = (c, d) ∗ (a, b) ⇒ (ac, ad + d) = (ca, cb + d) (F)
2.3 - Existência do Elemento Neutro
Seja "∗" uma operação definida em E. Diremos que
∀ x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x
"∗" admite o elemento neutro e se:
Exemplo:
1) A adição em N, Z, Q ou R admite o zero como elemento neutro.
∀ x ∈ R, x + 0 = 0 + x = x
2) A multiplicação em N, Z, Q ou R admite a unidade como elemento neutro.
23
∀ x ∈ R, x . 1 = 1 . x = x
3) Considere a operação x ∗ y = x + y – 4 definida em R. Vamos determinar o elemento neutro.
∀ x ∈ R, x ∗ e = e ∗ x = x ⇒ x + e – 4 = e + x – 4 – x; então: x + e – 4 = x;
e = 4.
4) Seja x ∗ y = x + xy uma operação definida em R-{0}. Determine o elemento neutro.
Notamos que a operação não é comutativa.
Vejamos:
∀ a, b ∈ R, a ∗ b = b ∗ a ∴ a + ab = b + ba (F)
Então, temos que verificar a existência do elemento neutro à esquerda e à direita da operação.
Assim, temos:
a) x ∗ e = x (elemento neutro à direita)
x+xe=x
x e = 0 ∴ e = 0; x ≠ 0
b) e ∗ x = x (elemento neutro à esquerda)
e+ex=x
e (1 + x) = x
e=
x
x +1
Observamos que o elemento neutro não é único, pois o elemento neutro à esquerda é literal.
Assim, concluímos que a operação não admite o elemento neutro.
5) Seja x ∗ y = x + y uma operação definida em R. Determine o elemento neutro.
2
Notamos que a operação é comutativa; então:
∀ x ∈ R, x ∗ e = e ∗ x = x
x +e e + x
=
=x
2
2
Então x + e = x
2
⇒ x + e = 2 x ⇒ e = x; ≠ o elemento neutro.
6) Seja (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + d) uma operação em R* × R.
Vejamos a comutatividade:
∀ (a, b), (c, d) ∈ R . R, (a, b) ∗ (c, d) = (c, d) ∗ (a, b) ⇒ (ac, ad + b) = (ca, cb + d) (F)
a) Elemento neutro à esquerda:
∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R* × R, (e 1 , e 2 ) ∗ (x 1 , x 2 ) = (x 1 , x 2 )
(e 1 x 1 , e 1 x 2 + e 2 ) = (x 1 , x 2 )
e1 x1 = x1 → e1 =
x1
→ e 1 = 1; x ≠ 0
x1
e1 x1 + e1 = x 2 → x 2 + e 2 = x 2 → e 2 = 0
24
b) Elemento neutro à direita:
∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R* × R, (x 1 , x 2 ) ∗ (e 1 , e 2 ) = (x 1 , x 2 )
(x 1 e 1 , x 1 e 2 + x 2 ) = (x 1 , x 2 )
x 1 e 1 = x 1 → e 1 = 1; x 1 ≠ 0
x1 e 2 + x 2 = x 2
x 1 e 2 = 0 → e 2 = 0; x 1 ≠ 0
Logo: (e 1 , e 2 ) = (1,0).
Exercícios Resolvidos
Determine o elemento neutro:
x+ y
, definida em R- {1, -1}.
1 + xy
1) x ∗ y =
x∗ 1 = 1
x+e
=x
1 + xe
x + e = (1 + x e)
2
x+e=x+x e
2
e-x e=0
2
e (1 - x ) = 0
e = 0 → e = 0; x ≠ 1; x ≠ -1.
1− x2
x 2 + y 2 , definida em R.
2) x ∗ y =
x∗ e = x
x2 + e2 = x
x
2
+e
e
2
= 0 ∴e = 0
3) x
x
2
=x
2
∗ y = x + y – xy, definida em R.
∗ e=x
x + e – xe = x
e (1 – x) = 0
0
∴ e = 0; x ≠ 0
e=
1− x
4) (a, b) ∗ (c, d) = (a . c, b + d), definida em R × R.
2.4 - Elementos Simetrizáveis
Seja (E, ∗ ) um grupoide com elemento neutro "e" . Diremos que um elemento a
existir a’ ∈ E (simétrico de a) tal que:
25
∈ E é simetrizável se
a ∗ a’ = a’ ∗ a = e
Exemplo:
1) Em (Z, +), temos: elemento neutro é zero.
a + a’ = a’ + a = 0 ∴ a’ = -a
Notamos que todos os elementos são simetrizáveis.
Ex.: 4 ∗ (-4) = (-4) ∗ (4) = 0
2) Seja (R, .): elemento neutro é um.
a . a’ = a’ . a = 1 ∴ a’ =
1
; a ≠ 0.
a
Notamos que todos os elementos não-nulos são simetrizáveis, assim os elementos simetrizáveis pertencem
*
ao conjunto R- {0} ou R .
Ex.:
1
1
4
.2=2.
= 1; . a’ = 1
2
2
5
3) Seja x ∗ y = x + y – 2, definida em R.
a) Elemento neutro:
x∗ e = x ⇒ x + e – 2 = x
⇒ e=2
b) Elementos simetrizáveis:
a ∗ a’ = 2
a + a’ – 2 = 2 ∴ a’ = 4 – a → todos os elementos são simetrizáveis.
Notamos, por exemplo, que:
a) O simétrico de 4 é zero
b) O simétrico de 5 é -1
4) Seja x ∗ y =
3
⇔ 5 ∗ (-1) = (-1) ∗ 5 = 2
x 3 + y 3 uma operação em R.
Qual é o simétrico de -1?
a) Elemento neutro;
x∗ e = x
3
x3 + e3 = x
3
3
x +e =x
e=0
3
⇔ 4∗ 0 = 0∗ 4 = 2
26
b) Elemento simétrico;
a ∗ a’ = 0
3
a 3 + a' 3 = 0
3
a 3 + a’ = 0
3
a’ = -a 3
a’ =
3
− a 3 = -a
c) Simétrico.
a’ = - (-1) = 1
Exercícios Resolvidos
I) Seja x ∗ y = x + y – 5, definido em R. Qual é o simétrico de 5?
a) Elemento neutro;
x∗ e = x
x∗ e – 5 = x
e=5
b) Elemento simétrico;
a ∗ a’ = 5
a + a’ – 5 = 5
a + a’ = 10
a’ = 10 – a
c) Simétrico.
a’ = 10 – 5
a’ = 5
II) Seja (a, b)
∗ (c, d) = (a + c, bd), definida em R × R. Qual é o simétrico de (-1, 2)?
III) Considere a operação definida em R × R, por: (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc). Qual é o simétrico de (2, 1)?
2.5 - Distributividade
Seja E ≠ φ em que se defina duas operações
relação à operação "∗" se:
∀ a, b, c ∈ E
"∗" e "Τ" . Diremos que a operação "Τ" é distributiva em
a T (b ∗ c) = (a T b) ∗ (a T c) direita
(b ∗ c) T a = (b T a) ∗ (c T a) esquerda
Exemplo:
1) A operação de multiplicação é distributiva em relação à adição e à subtração, em N, Z, Q ou R.
∀ a, b, c ∈ E
a (b + c) = ab + ac
(b + c) . a = ba + ca
∀ a, b, c ∈ E
a (b - c) = ab - ac
(b - c) . a = ba - ca
2) Sejam a T b = a + b – ab e a ∗ b = a + b – 1 operações definidas em R.
27
Verifique se “T” é distributiva em relação à “ ∗ ”.
Comutatividade em (T).
aTb=bTa
a + b – ab = b + a – ba (V)
a T (b ∗ c) = (a T b) ∗ (a T c)
a T (b + c – 1) = (a + b – ab) ∗ (a + c – ac)
a + (b + c – 1) – a (b + c – 1) = a + b – ab + a + c – ac – 1
a + b + c – 1 – ab - ac + a = a + b – ab + a + c – ac – 1 (V)
Exercícios Resolvidos
I) Verifique se “T” é distributiva em relação à “ ∗ ”, nos casos:
1) a * b = a + b – 3 e a T b = a + b aTb=bTa
ab
ba
a+b=b+a3
3
ab
, definidas em R.
3
a T (b * c) = (a T b ) * (a T c)
ac
ab
) * (a + c )
3
3
a (b + c - 3)
ab
a+b +c–3=a+b+a+c3
3
ab ac 3a
ab
+
=a+b+a+ca+b+c–33
3
3
3
a T (b + c – 3) = (a + b -
(V)
2) (a, b) T (c, d) = (ac, bd) e (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) definidos em R × R.
Comutatividade em T.
(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)
(ac, bd) = (ca, db)
(a, b) T {(c, d) ∗ (e, f)} = [(a, b) T (c, d)] ∗ [(a, b) T (e, f)]
(a, b) T (c + e, d + f) = (ac, bd) ∗ (ae, bf)
(a (c + e), b (d + f) = (ac + ae, bd + bf)
(ac + ae, bd + bf) = (ac + ae, bd + bf) (V)
3) (a, b) T (c, d) = (ac, ad + bc) e (a, b)
∗ (c, d) = (a + c, b + d), definidas em R × R.
Comutatividade T.
(a, b) T (c, d) = (c, d) T (a, b)
(ac, ad + bc) = (ca, cb + da)
(V)
(a, b) T [(c, d) ∗ (e, f)] = [(a, b) + (c, d)] ∗ [(a, b) T (e, f)]
(a, b) T (c + e, d + f) = (ac, ad + bc) ∗ (ae, af + be)
(a (c + e), a (d + f) + b (c + e)) = (ac + ae, ad + bc + af + be)
(ac + ae, ad + af + bc, be) = (ac + ae, ad + bc + af + be)
ac
-3
3
ac
-3
3
28
UNIDADE III
GRUPOS, ANÉIS E CORPOS
3.1 - Introdução à Teoria dos Grupos
Seja E ≠ φ , em que se define uma operação
(E, ∗ ) é um grupo se:
a)
b)
c)
∀ a, b, c ∈ E, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
∀ x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x
∀ x ∈ E, x ∗ x’ = x’ ∗ x = e
Se, além das condições acima, tivermos
o grupo é abeliano.
∗ . Diremos que “ ∗ ” define em E uma estrutura de grupo ou que
associativa.
ter elem. neutro.
ter simétrico.
∀ a, b ∈ E, a ∗ b = b ∗ a, diremos que o grupo é comutativo ou que
Exemplo:
1) São grupos abelianos.
(Z, +), (R, +), (R*, .)
2) (N, +) não é um grupo.
3) (R,
∗ ) é um grupo, em que a ∗ b = a + b – 2.
3) (R,
∗ ), a ∗ b = a + b – 2.
a) Associatividade
∀ a, b, c ∈ E, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
(a + b – 2) ∗ c = a ∗ (b + c – 2)
(a + b – 2) + c – 2 = a + (b + c – 2) – 2
a + b + c – 4 = a + b + c – 4 (V)
b) Comutatividade
∀ a, b ∈ E, a ∗ b = b ∗ a
⇒ a + b – 2 = b + a – 2 (V)
c) Elemento neutro
∀ x ∈, x ∗ e = x
x+e–2=x
e – 2 = 0 ∴e = 2
d) Elemento simetrizável
∀ x ∈ , x ∗ x’ = e
x + x’ – 2 = 2
x’ = 4 – x é abeliano
Exercícios Resolvidos
1) a ∗ b =
a+b
, E = R- {1, -1}
1 + ab
2) a ∗ b =
ab
, E = R* ou E = R- {0}
2
a) Associativa:
∀ a, b, c ∈ R, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b, c).
(
ab
bc
ac av 3
) * c = a * ( ) Þ a *c = a* b Þ
=
2
2
2
2
{
{
a
b
ab.c a.ab
ü
Þ 2 = 2
ý
2
2
þ
b) Comutatividade:
abc abc
2 = 2 \ abc = abc (V).
2
2
4
4
" a, b Î R*, a * b = b * a \
c)
c) Elemento
Elemento neutro:
Neutro: " x Î R*, x * e = x Þ
ab ba
(V).
=
2
2
xe
2x
= x Þ xe = 2 x Þ e =
\ e = 2.
2
2
Elemento Simetrizável:
d) Elementeo
simetrizável: " x Î R*, x * x' = e \
x.x'
4
= 2 \ xx' = 4 \ x' = .
2
x
3) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd), defina em E = R* × R*
∀ (a, b), (c, d), (e, f) ∈ R* × R*
[(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (e, f) = (a, b) ∗ [(c, d), (e, f)]
(ac, bd) ∗ (e, f) = (a, b) ∗ (ce, df)
a) Associatividade:
(ace, bdf) = (ace, bdf) (V)
b) Comutatividade:
∀ (a, b), (c, d) ∈ R* . R*, (a, b) ∗ (c, d) = (c, d) ∗ (a, b) ⇒ (ac, bd) = (ca, db).
c) Elemento neutro:
(x 1 , x 2 ) ∗ (e 1 , e 2 ) = (x 1 , x 2 )
(x 1 e 1 , x 2 e 2 ) = (x 1 , x 2 )
∴e 1 = 1
x2 e2 = x2 ∴ e2 = 1
x1e1 = x1
d) Elemento simetrizável:
∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R* . R*, (x 1 , x 2 ) ∗ (x 1' , x '2 ) = (1, 1)
'
'
(x 1 x 1 , x 2 x 2 ) = (1, 1)
'
x1 x1 = 1
'
⇒ x 1' = '
x2 x2 = 1
x1
⇒ x '2 = '
x2
4) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d), definida em E = R × R.
5) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc), definida em E = R* × R.
29
30
3.2 - Grupos Finitos
Seja (G,
∗ ) um grupo.
Se G é um conjunto finito, diremos que (G,
∗ ) é um grupo finito.
Todo grupo finito pode ser representado por uma tábua de operação
∗ , em que:
I) Não há repetições de elementos em linhas e colunas.
II) O elemento neutro é determinado pela interseção de uma linha (equivalente à linha fundamental) com uma
coluna (equivalente à coluna fundamental).
III) Se a tábua é “simétrica” em relação à diagonal principal, o grupo é abeliano.
IV) Não há regra prática para se verificar diretamente na tábua a associatividade; temos que testar todos os
compostos (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
Exemplo:
E = {a, b, c}; (E,
*
a
b
c
a
c
a
b
∗ ) é um grupo, em que a operação ∗ é definida pela tábua:
b c
a b
b c
c a
a) Elemento neutro é b
b) Elemento simetrizável
a→c
⇔ a∗ c = b
b→b
⇔ b∗ b = b
c) Associatividade: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
c1) (a
∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
a∗ c = a ∗ c
c2) (a
∗ a) ∗ c = b ∗ (c ∗ a)
a ∗ c = b ∗ b
c4) (b
∗ a) ∗ b = c ∗ (a ∗ b)
b ∗ b = c ∗ a
c6) (c
b=b
c3) (b
b=b
b=b
c5) (c
b=b
Principais Grupos Finitos
I) Grupo de Klein:
*
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
Elemento neutro: “e”
simétricos: e → e
a→a
b→b
c→c
∗ c) ∗ b = a ∗ (c ∗ b)
b ∗ a = b ∗ b
∗ c) ∗ a = b ∗ (c ∗ a)
c ∗ a = b ∗ b
b=b
∗ b) ∗ a = c ∗ (b ∗ a)
c ∗ a = c ∗ a
b=b
II) Grupo cíclico de ordem 4:
*
e
a
b
c
III)
Å
0
1
2
3
4
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
a
e
31
c
c
b
e
a
(Z / n;⊕) Grupo aditivo das classes residuais:
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
4
4
0
1
2
3
3
3
4
0
1
2
Elemento neutro: “ 0 ”
simétricos:
0 →0
1→ 4
2→3
Exercícios Resolvidos
1) Seja A = {f1, f2, f3, f4} em que f1(x) = x; f2(x) =
1
−1
; f3(x) = -x; f4(x) =
. Construa a tábua do grupo (A, ○),
x
x
em que “○” é operação de composição de funções e determine todos os simétricos:
○
f1
f2
f3
f4
f1
f1
f2
f3
f4
f2
f2
f1
f4
f3
f3
f3
f4
f1
f2
1
−1
− 1 = -x
(f2 ○ f4) (x) = f2 (f4 (x)) = f2 (
)=
x
x
f4
f4
f3
f2
f1
(f2 ○ f4) (x) = f3
(f1 ○ f1) (x) = f1 (f1(x)) = f1 (x) = (f1 ○ f1) (x) = f1
(f1 ○ f2) (x) = f1(f2(x)) = f1 (
1
) = (f1 ○ f2) (x) = f2
x
(f1 ○ f3) (x) = f1 (f3(x) = f1 (-x) = (f1 ○ f2) (x) = f3
(f1 ○ f4) (x) = f1 (f4(x) = f1 (
−1
) = (f1 ○ f4) (x) = f4
x
1
1
1 =x
(f2 ○ f2) (x) = f2 ( ) =
x
x
(f2 ○ f2) (x) = f1
(f3 ○ f2) (x) = (f3 (-x)) = +x (f3 ○ f3) = f1
simétricos:
f1 é f1
f2 é f2
f3 é f3
f4 é f4
32
r
2) Seja G = { J , , ,
Ä
1
1 1
2
2
3 3
4 4
5 5
6 6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4 , 5 , 6 } ⊂ Z/7. Construa a tábua do grupo (G, ⊗ ), determinando seus simétricos.
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
Obs.: Multiplica-se a 1ª linha c/ a 1ª coluna; divide por 7 e o resto
é o resultado.
Elemento neutro: 1
1=1
2=4e4=2
5=5e5=3
6 =6
O simetrizável é quando multiplicamos a coluna pela linha e encontramos o elemento neutro.
3.3 - Subgrupos
Seja (A,
∗ ) um grupo, B ≠ φ , B ⊂ A. Diremos que (B, ∗ ) é um subgrupo de (A, ∗ ) se:
1) e ∈ B, e elemento neutro de (A,
2) ∀ a ∈ B, ∃ a’ ∈ B.
3) ∀ a, b ∈ B, (a ∗ b) ∈ B.
∗ ).
Ex.:
1) (Z, +) é um subgrupo de (R, +).
a) 0 ∈ Z; 0 elemento neutro de (R, +).
b) ∀ a ∈ Z, a’ ∈ Z ∴ a’ = -a.
c) ∀ a, b ∈ Z, (a + b) ∈ Z.
2) (A, +) é um subgrupo de (Z, +), em que A = {x ∈ Z/ x = 2 m; m ∈ Z}.
a) 0 ∈ A, fazendo m = 0.
b) Seja a ∈ A; então a = 2 b; b ∈ Z.
Então a + a’ = 0 ∴ a’ = -a. Logo: a’ = -2 b, então a’ = 2 (-b), logo a’ ∈ A.
c) Sejam c, d ∈ A.
Então:
c = 2 m1; m1 ∈ Z
d = 2 m2; m2 ∈ Z
⇒ Então c + d = 2 m1 + 2 m2
= 2 (m1 + m2) = 2 m3
Então: c + d = 2 m3; m3 ∈ Z. Logo, (c + d) ∈ A.
3) Seja (Z/6), ⊕ ) um grupo.
Verifique se (A, ⊕ ) é um subgrupo de (Z/6, ⊕ ), em que:
a) A = { 0, 4 } → Elemento neutro
0 (V).
→ O simétrico de 4 é 2 ∴ 2 ∉ A
Logo, não é subgrupo.
b) A = { 0, 2, 4 } → Tem o elemento neutro
0 . (V).
→ O simétrico de 0 é 0 , e 2 é 4 .
→ E a soma a ⊕ b ∈ A, pois 0 + 0 = 0 ; 2 + 2 = 4 ; 2 + 4 = 6 ∴ 6 = 0 e 4 + 4 = 8 = 2
6
Portanto, é um subgrupo.
4) Seja (Z/8; ⊕ ), determine todos os seus subgrupos:
Em (Z/8; ⊕ ), temos: → Elemento neutro
0 . (V).
→ Os simétricos de 0 é 0 ; 1 é 7 ; 2 é 6 ; 3 é 5 ; 4 é 4 .
Vejamos os subgrupos:
a) Com 1 elemento:
H1
{0} → somente esse.
b) Com 8 elementos:
H1 =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
c) Com 2 elementos:
H1 =
{0, 4} .
d) Com 3 elementos:
{0, 1, 7} → 1 + 1 = 2 ∉ A
B = {0, 2, 6} → 2 + 2 = 4 ∉ A
C = {0, 3, 5} → 3 + 3 = 6 ∉ C
Opções A =
Todas falsas
e) Com 4 elementos:
Opções D =
{0, 1, 7, 4} (F)
E=
{0, 2, 6, 4} (V)
F=
{0, 3, 5, 4} (F)
Então: H4 =
{0, 2, 4, 6} .
f) Com 5 elementos:
Opções G =
{0, 1, 7, 2, 6} (F) 1 ⊕ 2 = 3 ∉ G
H=
{0, 1, 7, 3, 5} (F) 1 ⊕ 1 = 2 ∉ H
I=
{0, 2, 6, 3, 5} (F) 2 ⊕ 2 = 4 ∉ I
g) Com 6 elementos:
Opções
r
J = {0, 1, 7, 2, 6, 4} (F) 1 ⊕ 2 = 3 ∉ J
L=
M=
{0, 1, 7, 3, 5, 4} (F) 1 ⊕ 1 = 2 ∉ L
{0, 2, 6, 3, 5, 4} (F) 5 ⊕ 4 = 1 ∉ M
h) Com 7 elementos:
Opções: N =
{0, 1, 7, 2, 6, 3, 5} (F) 2 ⊕ 2 = 4 ∉ N
33
34
5) Considere o grupo de Klein. Quais são os seus subgrupos?
*
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Elemento neutro → e
simétricos: e → e; a → a; c → c;
H1 = {e}; H2 = {e, a, b, c}; H3 = {e, a}; H4 = {e, b}; H5 = {e, c}
6) Considere o grupo definido pela tábua abaixo. Quais os subgrupos:
*
a
b
c
d
e
f
a
c
d
e
f
a
b
b
d
e
f
a
b
c
c
e
f
a
b
c
d
d
f
a
b
c
d
e
e
a
b
c
d
e
f
f
b
c
d
e
f
a
Elemento neutro: e
simétricos: e → e; a → c; b → b; d → f
H1 = {e}
H2 = {a, b, c, d, e, f}
H3 = {e, b}
H4 = {e, a, c}
3.4 - Potência de um Grupo
Seja (E,
∗ ) um grupo e a ∈ E.
Definições:
n
1) (*a) = a ∗ a ∗ a ∗ ... ∗ a
0
2) (*a) = e (elemento neutro de (E,
−n
n
3) (*a) = (*a’)
Ilustração: Considere o grupo (E,
*
a
b
c
d
e
a
d
e
a
b
c
b
e
a
b
c
d
c
a
b
c
d
e
d
b
c
d
e
a
e
c
d
e
a
b
∗ ))
∗ ), definido abaixo:
Elemento neutro: c
simétricos: c → c; a → e; b → d
2
a) (*d) = d ∗ d) = e
3
b) (*c) = (c ∗ c) ∗ c = c ∗ c = c
3
c) (*b) = (b ∗ b) ∗ b = a ∗ b = e
−2
2
2
d) (*e) = (*e’) = (*a) = a ∗ a = d
3.5 - Subgrupos Cíclicos
Seja (E, ∗ ) um grupo e a ∈ E. Chamamos de subgrupo cíclico, gerado pelo elemento a ∈ E e indicamos por
n
[a], ao conjunto: [a] = {(*a) /n ∈ Z}.
Exemplo: Seja o grupo (E,
*
a
b
c
d
e
f
a
f
a
b
c
d
e
b
a
b
c
d
e
f
c
b
c
d
e
f
a
d
c
d
e
f
a
b
n
a) [c] = {(*c) /n ∈ Z}
∗ ).
e
d
e
f
a
b
c
f
e
f
a
b
c
d
35
[b] = {b}
Elemento neutro = b
⇒ n = 0 → (*c) 0 = b; n = 1 → (*c) 1 ; n = 2 → (*c) 2 = d
n = -1 → (*c)
−1
1
= (*a) = a; n = -2 → (*c)
3
n = 3 → (*c) = e; n = -3 → (*c)
−3
= (*a)
−2
−3
= (*a)
2
=f
=e
[c] = {b, c, d, a, f, e}.
n
b) [a] = {(*a) /n ∈ Z} = {f, e, d, c, b, a}.
n
c) [d] = {(*d) /n ∈ Z} = {f, b, d}.
n
d) [f] = {(*f) /n ∈ Z} = {d, b, f}.
Exercícios Resolvidos
1) Seja A = {1, -1, i, -i}. O grupo (A, .) em que i
(.)
1
-1
i
-i
1
1
-1
i
-i
-1
-1
1
-i
i
i
i
-i
-1
1
-i
-i
i
1
-1
2
= -1 é cíclico.
[1] = {1}.
[-1] = {1, -1}.
[i] = {-1, -i, 1, i} = A.
[-i] = {-1, i, 1, -i} = A.
Logo: (A, .) é um grupo cíclico, sendo i e –i seus geradores.
2) Seja A = {a, b, c, d}. Verifique se o grupo (A,
*
a
b
c
d
a
a
b
c
d
Logo: (A,
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
∗ ) é cíclico. Caso seja, determine seus elementos geradores.
[a] = {a}.
[b] = {c, d, a, b} = A é um gerador.
[c] = {a, c}.
[d] = {c, b, a, d} = A é um gerador.
∗ ) é cíclico sendo b e d seus geradores.
3) Seja (Z/4, ⊕ ) um grupo:
a) Construa a tábua;
b) Determine seus geradores;
c) Verifique se é cíclico, determinando seus possíveis geradores.
36
3.6 - Homomorfismo de Grupos
Sejam os grupos (A,
∗ ) e (B, T). Chamamos de homomorfismo de (A, ∗ ) em (B, T), a toda função do tipo:
f: A → B/ ∀ a, b ∈ A, f (A ∗ B) = f (a) + f (b).
*
*
Ex.: (R, +) e (R + , .) ∴ f = R → R + /f(n) = 2
r
Ilustração:
*
(R, +)
(R + , .)
1
1
f
2 =2
2
f
2 =4
Então, f(1 + 2) = 8.
f (1 + 2) = f(1) . f(2); de um modo geral,
faremos ∀ a, b ∈ R, f (a + b) = f (a) . f (b)
2
1+2
f
2
2+1
=8
2
a+ b
=2
a
b
. 2 (V)
*
Mostramos que a situação acima vale para toda função f: R → R + . Tomemos por exemplo:
*
f: R → R + /f(x) = x + 1
∀ a, b ∈ R, f(a + b) = f(a) . f(b)
a + b + 1 = (a + 1) . (b + 1) (F)
Pequeno resumo da aula anterior: (Homomorfismo)
(A,
∗ ) e (B, T) ∴ f: A → B/ ∀ a, b ∈ A
f:(a ∗ b) = f(a) T f(b)
2) Sejam os grupos:
*
*
*
(R*, .) e (R, +). Mostre que F: R + → R/F(x) → log 2 x é um homomorfismo de (R + , .) em (R + , .).
*
(R + , .) e (R, +)
Fx = log 2 x
∀ a, b ∈ R *+ : F(a, b) = F(a) + F(b)
⇓
log 2 (a . b) = log 2 a + log 2 b (V)
Propriedade dos logaritmos
*
*
*
3) Seja o grupo (R + , .). Verifique se F: R + → R + /F(x) =
*
*
x é um homomorfismo de (R *+ , .) em (R *+ , .).
x
(R + , .) (R + , .)
F(x) =
∀ a, b ∈ R *+ :
F(a . b) = f(a) . f(b)
a.b =
a .
b (V) Propriedade produto das raízes
4) Seja (Z, +) um grupo e F: Z → Z/f(x) = x + 2. Verifique se a função dada é um homomorfismo de (Z, +)
em (Z, +).
(Z, +) e (Z, +)
∀ a, b ∈ Z:
F(x) = x + 2
F(a + b) = f(a) + f(b)
a + b + 2 = a + 2 + b + 2 (F)
3.7 - Isomorfismo de Grupos
Sejam os grupos (A,
1)
37
∗ ) e (B, T). Chamamos de isomorfismo de (A, ∗ ), em (B, T), a toda função do tipo:
∀ a, b ∈ A, f(a ∗ b) = f(a) T f(b).
2) f é bijetora. Nesse caso, também diremos que os grupos são isomorfos.
Exemplo:
*
*
1) Sejam os grupos (R + , .) e (R, +). Mostre que f: R*→R/f(x) = log 2 x é um isomorfismo de (R + , .) em (R, +).
a)
∀ a, b ∈ R *+ , f(a, b) = f(a) + f(b)
log 2 (a . b) = log 2 a + log 2 b (V)
b1) Sobrejetora: Im (f) = R
f(x) = log 2 x ou y = log 2 x
y = log 2 x
x = 1 → log 2 1
⇒ y=0
x = 2 → log 2 2
⇒ y=1
x = 4 → log 2 4
⇒ y=2
x=
1
x=
1
1
2
⇒ y = log 2 2 ⇒ y = -1
4
⇒ y = log 2 4 ⇒ y = -2
1
y
2
D(f) = R*
Im(f) = R. (V)
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
b2) Injetora
⇒ Se f(a) = f(b), então a = b.
Se f(a) = f(b), então log 2 a = log 2 b. Entre a = b (V).
*
*
2
*
2) Considere os grupos (R, +) e (R + , .). Mostre que f: R→R + /f(x) = 2 é um isomorfismo de (R, +) em (R + , .).
a)
∀ a, b ∈ R, f(a + b) = f(a) . f(b)
2
a+ b
a
b
= 2 . 2 (V)
*
b1) Sobrejetora: Im (f) = R +
⇒ y = 2x
x=0→y=1
x=1→y=2
x = -1 → y = 1
2
x=2→y=4
x = -2 → y = 1
y
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
D(f) = R
*
Im(f) = R + (V)
4
38
b2) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b.
Se f(a) = f(b), então 2
Obs.: y = a
x
a
b
= 2 , então a = b. (V)
.V
y
⎯T⎯→
⎯
x=a
y = log a x
3) Sejam os grupos (Z × Z, +) e (Z, +). Mostre que f: Z × Z → Z/f(x, y) = x é um epimorfismo (homomorfismo
sobrejetor) de (Z × Z, +) em (Z, +).
a) (a, b), (*c, d) ∈ Z × Z, f(a, b) + (c, d) = f(a, b) + f(c, d)
f(a + c, b + d) = f(a, b) + f(c, d)
a+c
b1) Sobrejetora: Im(f) = Z
f(x, y) = x
(Z × Z) = Z (V)
=
a + c (V)
logo: f(0, 0) = 0; f(0, 1) = 0; f(1, 2) = 1; f(1, 3) = -1
ou seja, é todo o Z. (V)
b2) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b.
Se f(a, b) = f(c, d), então (a, b) = (c, d), então a = c e b = d.
Se f(a, b) = f(c, d), então a = c e não ocorre b = d, logo é falso.
Exemplo: f(-1, 2) = -1
(-1, 2)
(F).
f(-1, 3) = -1
(-1, 3)
-1
4) Considere os grupos (Z, +) e (Z × Z, +). Mostre que f: Z → Z × Z/f(x) = (x, 0) é um monomorfismo (homomorfismo injetor) de (Z, +) em (Z × Z, +).
a)
∀ a, b ∈ Z, f(a + b) = f(a) + f(b)
(a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0). (V)
b) Sobrejetora: Im(f) = Z × Z (F)
Se f(x) = (x, 0) ⇒ Im(f) ≠ Z × Z
c) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b.
Se f(a) = f(b), então (a, 0) = (b, 0)
⇒ a = b. (V)
5) Sejam os grupos (R,+) e (R,T) em que a T B = a + b + 1.Verifique se f: R→R/f(x)=x–1 é um isomorfismo
de (R, +) em (R, T).
a) Homomorfo:
∀ a, b ∈ R, f(a + b) = f(a) T f(b)
a + b – 1 = (a – 1) T (b – 1)
a+b–1=a–1+b–1+1
a + b – 1 = a + b – 1 (V)
y
b) Sobrejetora:
f(x) = x – 1
x = 0 → y = -1
x=1→y=0
x = -1 → y = -2
x=2→y=1
x = -2 → y = -3
D=R
Im = R (V)
1
x
-2
-1
1
-1
2
c) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b.
Se f(a) = f(b), então a – 1 = b – 1, então a = b. (V)
Isso é Isomorfismo!
3.8 - Estrutura de Anel
Seja A ≠ φ , em que se define duas opções
anel ou que (E, ∗ , T) é um anel se:
∗ e T. Diremos que as operações definem em E uma estrutura de
a) (A, ∗ ) é um grupo abeliano.
b) ∀ a, b, c ∈ A, (a T b) T c = a T (b T c).
c) ∀ a, b, c ∈ A a T (b ∗ c) = (a T b) ∗ (a T c).
(b ∗ c) T a = (b T a) ∗ (c T a).
Notas:
1) Seja (E,
∗ , T) um anel.
Se ∀ a, b ∈ E, a T b = b T a, diremos que o anel é comutativo.
2) Seja (E,
∗ , T) um anel comutativo.
Se ∀ x ∈ E, x T e = e T x = x, diremos que (E,
chamado de anel comutativo com unidade.
∗ , T) é um anel comutativo com elemento neutro, também
Exemplo:
1) (Z, +, .) é o anel dos inteiros.
2) (R, +, .) é o anel dos reais.
3) (
z ,⊕,⊗ ) é o anel das classes residuais.
n
4) Seja (R,
∗ , T) um grupo abeliano, em que a ∗ b = a + b – 1. Verifique se (R, ∗ , T) é um anel comutativo
1
com unidade, em que a T b = a + b
2
1
2
–a b .
a) Associatividade (T):
∀ a, b, c ∈ R, (a T b) T c = a T (b T c)
(a + b – ab) T c
2
1
= a T (b + c
2
- bc)
a + b – ab + c – (a + b – ab) . c = a + b + c – ab – a (b – c – bc)
a + b – ab + c – ca – ab + abc = a + b + c – ab – ac + abc
Lado1 = lado 2.
b) Comutativa:
∀ a, b ∈ R, a T b = b T a
a + b – ab = b + a – ab (V)
c) Distributividade:
∀ a, b, c ∈ R, a T (b ∗ c) = (a T b) ∗ (a T c)
a T (b + c – 1) = (a + b – ab) ∗ (a + c – ac)
a + (b + c – 1) – a (b + c – 1) = (a + b – ab) + (a + c – ac) – 1
a + b + c – 1 – ab – ac + a = a + b – ab + a + c – ac – 1 (V)
39
40
d) Elemento neutro (T):
∀ x ∈ R, x T e = x
x + e – xe = x
e (1 – x) = 0
e=
0
⇒ e = 0; x ≠ 1
1− x
5) Seja (R × R, ∗ ) um grupo abeliano, em que (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d). Verifique se (R × R,
anel comutativo, em que (a, b) T (c, d) = (ac, 0).
6) Seja (R × R,
∗ , T) é um
∗ ) um grupo abeliano, em que (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d).
Elementos Inversíveis de um Anel
Seja (E,
∗ , T) um anel comutativo com unidade. Diremos que um elemento a ∈ E é inversível se a T a’ = a’ T a = e.
O conjunto dos elementos inversíveis de E é dado por U(E).
Exemplo:
1) (Z, +, .)
a . a’ = 1
⇒ a’ =
1
∈ Z ⇒ a = 1 ou a’ = -1
a
Logo: U(Z) = {1, -1}
2) (R, +, .)
a . a’ = 1
⇒ a’ =
1
∈ R; a ≠ 0
a
Então U(R) = R –{0}.
3) ( Z
5
, ⊕ , ⊗ ) → { 1, 2, 3, 4 }.
1 ⊗ a' = 1 → a' = 1
a . a' = 1 ⇒
2 ⊗ a' = 1 → a' = 3
3 ⊗ a' = 1 → a' = 2
Logo: U( Z
4 ⊗ a' = 1 → a' = 1
4) ( Z
6
,
5
) { 1, 3, 2, 4 }
⊕, ⊗ )
1 ⊗ a' = 1 → a' = 1
a . a' = 1 ⇒
2 ⊗ a' = 1 → ≠ a' ∈ Z
6
3 ⊗ a' = 1 → ≠ a' ∈ Z
6
4 ⊗ a' = 1 → ≠ a' ∈ Z
6
5 ⊗ a' = 1 → a' = 5
U( Z
6
) = {1, 5 }
3.9 - Estrutura de Corpo
41
Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo com unidade. Diremos que (E, ∗ , T) é um corpo se todos os elementos
diferentes do zero do anel (elemento neutro de 1ª operação) admitem o simétrico ou:
∀ x ≠ e (zero do anel), x T x’ = x’ T x = e (unidade do anel).
1) (R, +, .) é o corpo dos números reais.
Notamos que
2) ( Z
n
∀ x ≠ 0, se x’ = 1 ou x’ =
1
.
x
, ⊕ , ⊗ ) é um corpo, se n é primo.
Exemplo: ( Z
7
, ⊕, ⊗)
1⊗1 =1
2 ⊗ 4 =1
3 ⊗ 5 =1
6 ⊗ 6 =1
UZ
7
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } todos ≠ 0
3) Seja (R, ∗ , T) um anel comutativo com unidade, em que a ∗ b = a + b – 1 e a T b = a + b – ab.
Verifique se (R, ∗ , T) é um corpo.
a) Zero do anel (elemento neutro da 1ª equação)
∀ x ∈ R, x ∗ ∈ = x
x+e–1=x
e=1
b) Unidade do anel (elemento neutro da 2ª equação)
x T e = x → x + e – xe = x
e (1 – x) = 0 ∴ e =
0
∴ e = 0; x ≠ 1
1− x
c) Elemento inversível
∀ x ≠ 1, x T x’ = 0
x + x’- x . x’ = 0
x’ (1 – x) = -x
⇒ x’ =
−x
1− x
Nota: Seja o corpo (R × R, +, .), em que:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Consideremos um elemento qualquer (a, b) ∈ R × R. Assim, temos:
(a, b) = (a, 0) + (0, b)
(a, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1)
42
Identificando todo par (x, 0) por x e chamando o par (0, 1) de um constante i, temos:
a
b
i
(a, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1)
(a, b) = a + b . i
forma algébrica de um número complexo.
Exemplo: (-2, 3) = -2 + 3i
(4, -5) = 4 – 5i
Etc.
Assim, considerando i = (0, 1), temos:
2
i . i = i = (0, 1) . (0, 1)
2
i = (0 – 1, 0 + 0)
2
i = (-1, 0)
3
⇒ i 2 = -1 ⇒ i =
−1
2
i =i .i
= (-1, 0) . (0, 1)
3
(0 – 0, -1 + 0) → i = (0, 1) → -1 (0, 1) = -1 . i = -i
43
Se você:
1)
2)
3)
4)
concluiu o estudo deste guia;
participou dos encontros;
fez contato com seu tutor;
realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as
avaliações.
Parabéns!
44
Referências Bibliográficas
ALENCAR FILHO, Edgard. Elementos de Álgebra Abstrata. 4 ed. São Paulo: Nobel, 1990.
_______. Teoria Elementar dos Números. São Paulo: Nobel, 1992.
AYRES, Frank. Álgebra Moderna. São Paulo: McGraw-Hill, 1974.
DOMINGUES, H. H. e IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982.
GARCIA, Arnaldo. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro: IMPA, 1988.
GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. 4 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.