Aula 1. Coordenadas Cartesianas

1◦ Ano
Recuperação Paralela
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Turma:
Data:
/
/
Aula 1. Coordenadas Cartesianas
Relembrando...
(c) Quais deles estão sobre o eixo das ordenadas?
No Sistema de Coordenadas Cartesianas, o eixo horizontal é chamado de
e indicado por Ox enquanto o eixo vertical é chamado
e é indicado por
Oy. Cada ponto P é identificado a partir de um par
ordenado de coordenadas (x, y), onde x corresponde à
de P enquanto y corresponde à ordenada do ponto P .
Os eixos cruzam-se num ponto chamado
, indicado por O e definido como o
, e dividem o plano em quatro regiões
ponto
chamadas
, chamados de 1, 2, 3 e 4,
no sentido
.
(d) Quais deles estão no primeiro quadrante? E no
segundo? E no terceiro? E no quarto?
2. Considere os pontos A(2, 1), B(−3, 2), C(1, 4),
D(−2,
−1),
E(4,
0), D(0,
3), G(−4, 0), H(0, −2), I(0, 0),
9
7
J 2 , −1 , e K −4, − 3 .
(a) Represente-os no plano cartesiano abaixo.
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
x
-1
A origem divide cada eixo em duas partes, uma positiva e uma negativa, segundo o sentido das flechas.
Para localizar um ponto no plano cartesiano, marcamos sua abscissa e sua ordenada nos eixos Ox e Oy, traçamos retas perpendiculares a eles por esses pontos e marcamos o ponto no encontro dessas perpendiculares.
-2
-3
-4
-5
(b) Quais deles estão sobre o eixo das abscissas?
Atividades
1. Analise os pontos localizados no plano cartesiano
representado a seguir.
y
D
C
(c) Quais deles estão sobre o eixo das ordenadas?
(d) Quais deles estão no primeiro quadrante? E no
segundo? E no terceiro? E no quarto?
B
G x
F
E
3. Complete a tabela abaixo, sabendo que (a, b) é um
ponto do plano cartesiano.
A
H
(a) Indique o par ordenado correspondente a cada
um deles.
(b) Quais deles estão sobre o eixo das abscissas?
Professor Podô
Quadrante
Primeiro
Segundo
Terceiro
Quarto
[email protected]
Sinal de a
Sinal de b
1
Recuperação Paralela
4. Determine o valor de x e y para que os pares ordenados abaixo sejam iguais.
√ (a) (x, y) e −3, 2
1◦ Ano
Tarefa
Em uma folha separada, resolva o exercício 3 da
página 528 do seu livro didático. Não é necessário copiar o enunciado do exercício. Não se
esqueça de colocar seu nome, código e sala em
sua folha e entregá-la ao professor na próxima
semana.
(b) (x + 1, −5) e (3, y + 2)
(c) (x + y, 1) e (3, x − y)
5. Em cada caso, determine o valor de m para que o
ponto A satisfaça a condição dada.
(a) A(3, m) pertence ao eixo das abscissas.
(b) A(m − 2, 4) pertence ao eixo das ordenadas.
(c) A(m, m − 1) pertence ao quarto quadrante.
.
Professor Podô
[email protected]
2
1◦ Ano
Recuperação Paralela
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Aula 2. Equações
O que é uma equação?
real de um número negativo (dizemos que o conjuntosolução da equação é vazio, representado por S = ∅. Se
A palavra equação vem do latim equa, que significa
∆ = 0, a equação possui duas soluções reais iguais. Se
igual. Toda equação é composta de uma ou mais letras
∆ > 0, há duas soluções reais distintas.
indicando valores desconhecidos, denominadas variáveis
Há duas propriedades importantes e interessantes das
ou incógnitas; um sinal de igualdade, denotado por =;
raízes x1 e x2 de uma equação quadrática na forma ax2 +
uma expressão à esquerda da igualdade e outra à direita,
bx + c = 0, com a , 0:
denominadas primeiro e segundo membro, respectivab
mente.
• x1 + x2 = −
a
Equações do 1◦ grau
• x1 · x2 =
c
a
Equações do primeiro grau com uma incógnita são
A partir desses resultados, dividindo a forma geral da
equações redutíveis à forma ax + b = 0, onde x é a incóg- equação quadrática por a, podemos reescrevê-la como
nita e a e b são os valores numéricos conhecidos, (a é chamado coeficiente de x e b é chamado termo independente).
x2 − Sx + P = 0
Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido,
chamado de raiz. Para resolver uma equação, basta manipular os coeficientes numéricos até que reste apenas a Atividades
incógnita de um dos lados da equação. Para que a igual1. Resolva as equações a seguir em R.
dade se mantenha, é importante que toda a manipulação
(a) 5x − 3 = x + 19
seja feita de ambos os lados da equação, somando e subtraindo ou multiplicando e dividindo ambos os membros
dela.
Equações do 2◦ grau
Equação do segundo grau na incógnita x é toda equação redutível à forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais chamados coeficientes da equação, de forma
que a , 0.
Com a , 0, se tivermos b = 0 ou c = 0, dizemos que a
equação é incompleta. É mais simples resolver esse tipo de
equação quadrática utilizando técnicas de fatoração ou
isolando fatores conhecidos.
Para resolver equações quadráticas na forma completa, utilizamos uma fórmula geral conhecida como Fórmula de Bhaskara. Dada uma equação quadrática, após
reduzirmos a mesma à forma ax2 + bx + c = 0, com a , 0,
podemos encontrar as raízes da mesma usando o valor
dos coeficientes substituindo√na fórmula
−b ± b2 − 4 · a · c
x=
2·a
Também costumamos escrever esta fórmula da seguinte maneira:
√
−b ± ∆
x=
, ∆ = b2 − 4 · a · c
2·a
O termo ∆ é chamado discriminante da equação. Se
∆ < 0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada
Professor Podô
(b) 2(4x − 3) = 6x − 1
(c)
[email protected]
x+1 x−1
=
2
6
1
Recuperação Paralela
(d) x2 − 49 = 0
1◦ Ano
4. Um terreno retangular possui área de 400m2 . Um
dos lados é 30 metros maior que o outro. Quais as
medidas dos lados do terreno?
(e) x2 + 7x = 0
(f) x2 − 5x − 14 = 0
2. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos.
Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se
que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Tarefa
Em uma folha separada, resolva o exercício 10
da página 77 do seu livro didático. Não é necessário copiar o enunciado do exercício. Não se
esqueça de colocar seu nome, código e sala em
sua folha e entregá-la ao professor na próxima
semana.
3. Pedro e Antônio possuem juntos R$4525, 00. Pedro possui R$875, 00 a menos que Antônio. Quanto
cada um possui?
.
Professor Podô
[email protected]
2
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Aula 3. Ângulos
Definição e notação
Duas retas que formam entre si um angulo reto são
denominadas perpendiculares.
Ângulo é uma região do plano determinada por duas
A semirreta de origem no vértice de um ângulo que
semirretas de mesma origem e não colineares. Na nomendetermina dois ângulos consecutivos de mesma medida é
clatura usual, denominamos o ângulo da figura de AÔB,
chamada bissetriz do ângulo.
podendo também chamá-lo de uma letra grega minúsB
cula, por exemplo, α.
C
B
α
α
O
A
α
A
O
Retas paralelas cortadas por uma transversal
A medida usual dos ângulos é o grau, sendo que 1◦
(um grau) é o que se obtém ao dividir uma circunferência
em 360 partes.
Observe a figura a seguir.
1̂
Classificação dos ângulos
5̂
Segundo sua medida, um ângulo pode ser classificado
em:
8̂
• Agudo, quando mede menos de 90◦ (um quarto de
círculo);
• Reto, quando mede exatamente 90◦ ;
• Obtuso, quando mede mais de
reto
obtuso
4̂
6̂
3̂
7̂
As propriedades dos ângulos determinados por duas
retas paralelas cortadas por uma transversal são as seguintes:
• Os ângulos alternos internos são congruentes: 3̂ =
5̂ e 4̂ = 6̂;
90◦ ;
• Os ângulos alternos externos são congruentes: 1̂ =
7̂ e 2̂ = 8̂;
• Raso, quando mede exatamente 180◦ .
agudo
2̂
• Os ângulos correspondentes são congruentes: 1̂ =
5̂, 2̂ = 6̂, 4̂ = 8̂ e 3̂ = 7̂;
raso
Se um ângulo possui um vértice em comum com o
outro e os lados de um são semirretas opostas aos lados
do outro, estes dois são chamados opostos pelo vértice
e sempre são congruentes, isto é, possuem a mesma medida.
A0
B
α
α
O
B0
A
Quanto à soma das medidas, os ângulos podem ser:
• Os ângulos colaterais são suplementares: 4̂ = 5̂,
3̂ = 6̂, 1̂ = 8̂ e 2̂ = 7̂.
Atividades
1. Em cada figura, calcule o valor de x.
2x
40◦
(a)
• Complementares, se a soma de suas medidas for
igual a 90◦ ;
• Suplementares, se a soma de suas medidas for
igual a 90◦ .
Professor Podô
3x
(b)
[email protected]
30◦
1
1◦ Ano
Recuperação Paralela
4. Dois ângulos são complementares e a medida de
um excede a do outro em 40◦ . Quanto mede cada
ângulo?
2x + 30◦
150◦
(c)
2. Em cada figura, as retas r e s são paralelas. Calcular
o valor de x em cada figura.
3x
5. Dois ângulos são suplementares e a medida de um
deles é igual ao dobro da medida do outro. Quanto
mede cada ângulo?
r
x + 12
s
(a)
6. Calcule o complemento e o suplemento de cada ângulo a seguir:
(a) 35◦
5x + 36
r
7x
s
(b)
(b) 40◦
(c) 75◦
x + 40
3x
r
s
(d) 60◦
(c)
Tarefa
3. Na figura a seguir, a semirreta r é bissetriz do ângulo em questão. Calcule o valor de x.
3x − 40◦ r
x + 10◦
Em uma folha separada, resolva o exercício
abaixo. Não é necessário copiar o enunciado do
exercício. Não se esqueça de colocar seu nome,
código e sala em sua folha e entregá-la ao professor na próxima semana.
b Calcule
Na figura, OB é bissetriz de AOC.
o valor de x.
B
C
8x − 31◦
5x + 5◦
3x + 14◦
D
Professor Podô
[email protected]
O
A
2
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/
/
Aula 4. Triângulos
Definição e condição de existência
Propriedades dos triângulos
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono
Há duas grandes propriedades importantes válidas
mais simples e também o mais rígido. Para que seja pos- para qualquer triângulo:
sível construir um triângulo, é sempre necessário que
1. A soma das medidas dos ângulos internos de um
a soma dos menores lados seja maior que o
triângulo é igual a 180◦ .
P1
maior lado
Além disso, também observa-se que, em qualquer triângulo,
P2
o maior lado sempre opõe-se ao maior ângulo
e o menor lado, sempre ao menor ângulo
Classificação
Em relação aos seus lados, um triângulo ∆ABC pode
ser:
2. A medida de um ângulo externo de um triângulo é
igual à soma das medidas dos ângulos internos não
adjacentes a ele.
• Escaleno: possui todos os lados diferentes;
• Isósceles: possui dois lados congruentes (de mesma
medida); ou
• Equilátero: todos os lados congruentes.
Atividades
Quanto aos ângulos internos, um triângulo ∆ABC
pode ser:
• Acutângulo: possui todos os ângulos menores que
90◦ ;
• Retângulo: possui um ângulo reto (de 90◦ ); ou
• Obtusângulo: possui um ângulo maior que 90◦ .
Devido à P2, podemos concluir que
1. (Curso de Formação de Soldado Fuzileiro) Dois lados
de um triângulo medem 9cm e 6cm. Qual das seguintes medidas pode ser escolhida para o terceiro
lado? Justifique sua resposta.
(a) 2cm.
(b) 15cm.
(c) 12cm.
(d) 3cm.
2. Calcule o valor de x em cada caso.
• nos triângulos isósceles, os ângulos internos da
base (opostos aos lados congruentes) são congruentes (têm medidas iguais); e
• nos triângulos equiláteros, todos os ângulos internos são congruentes.
Professor Podô
35◦
(a)
[email protected]
50◦
x
1
1◦ Ano
Recuperação Paralela
5. (Fuvest) Na figura, AB = BD = CD. Então:
x
135◦
115◦
D
y
(b)
x
B
A
2x
(c)
(a) y = 3x
150◦
3x
C
(b) y = 2x
(c) 3x + y = 180◦
(d) x = y
(e) 3x = 2y
3. Observe a figura a seguir. Qual a medida de BD̂A?
A
6. Prove que os ângulos internos de um triângulo
equilátero medem 60◦ .
B
30◦
C
E
D
4. Determine a medida de cada ângulo interno nos triângulos a seguir.
−−−→
(a) No ∆T U V , U S é bissetriz de V Û T
T
S
V
82◦
28◦
U
Tarefa
(b) No ∆LMN , MH é a altura relativa ao lado LN
M
2a a
132◦
Em uma folha separada, resolva o exercício
abaixo. Não é necessário copiar o enunciado do
exercício. Não se esqueça de colocar seu nome,
código e sala em sua folha e entregá-la ao professor na próxima semana.
b
L
H
N
Calcule o valor de x na figura a seguir sabendo que a reta r é paralela a um dos lados do
triângulo. Justifique sua resposta.
r
30◦
x
45◦
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[email protected]
2
1◦ Ano
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/
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Aula 5. Ângulos na Circunferência
Elementos principais
Propriedade importante
Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano
cuja distância a um ponto O (centro) é sempre igual a um
número r (raio).
Corda é um segmento que une dois pontos M e N de
uma circunferência. A maior corda de uma circunferência, de medida 2r, é chamada diâmetro.
A reta que corta a circunferência em dois pontos é
chamada secante. A reta que tem apenas um ponto em
comum com a circunferência é chamada tangente.
Um arco MN é uma “porção” da circunferência delimitada por dois pontos M e N .
Se um triângulo inscrito em uma circunferência possui um dos lados igual ao diâmetro dela, então ele é um
triângulo retângulo. Da mesma forma, um triângulo retângulo pode ser inscrito em uma circunferência a partir
do ponto médio de sua hipotenusa.
_
Ângulos na Circunferência
Atividades
Ângulo central é aquele que possui vértice no centro
da circunferência.
1. (PUC) Determine o valor de x na figura, sendo O o
centro da circunferência.
Ângulo inscrito é aquele que tem o vértice na circunferência.
a
a
b
Ângulo interno é aquele cujo vértice é interno à circunferência.
a
a
b
Ângulo externo é aquele cujo vértice é externo à circunferência.
2. Nas figuras a seguir, O é o centro de cada circunferência. Determine o valor de x em cada figura.
(a) .
(b) .
a
a
b
Professor Podô
[email protected]
1
1◦ Ano
Recuperação Paralela
_
3. (UFBA) Na figura, o arco AMB mede 130◦ e o arco
CND mede 40◦ . Calcule o número que expressa a
medida do ângulo x.
_
6. Na figura abaixo, calcule o valor de x.
4. (UEFS/BA) Na figura abaixo, em que se tem um cír_
culo de centro em O, o arco menor AC mede 130◦
e o ângulo AĈB mede 62◦ . A medida x, do ângulo
BÂC, é:
(a) 65◦
(b) 53◦
(c) 50◦
(d) 31◦
(e) 28◦
Tarefa
5. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
A, e o ângulo ACB mede 20◦ . Determine a medida
do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo.
Em uma folha separada, resolva o exercício
abaixo. Não é necessário copiar o enunciado do
exercício. Não se esqueça de colocar seu nome,
código e sala em sua folha e entregá-la ao professor na próxima semana.
Calcule o valor de x na circunferência a seguir.
Professor Podô
[email protected]
2
1◦ Ano
Recuperação Paralela
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/
Aula 6. Grandezas Proporcionais
Razão e Proporção
Atividades
Denominamos razão entre dois números racionais a e
b, b , 0, o quociente de “a” por “b”:
a
b
A razão é lida da seguinte forma: “a está para b”
Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou
mais razões:
a c
= , com a, b, c, d , 0
b d
1. (Enem 2011) Sabe-se que a distância real, em linha
reta, de uma cidade A, localizada no estado de São
Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000km. Um estudante, ao analisar
um mapa, verificou com sua régua que a distância
entre essas duas cidades, A e B, era 8cm. Os dados
nos indicam que o mapa observado pelo estudante
está na escala de
(a) 1 : 250.
(b) 1 : 2500.
A igualdade é uma proporção. Os termos a e c são chamados de extremos da proporção e os termos b e d são
chamados meios. A propriedade fundamental das proporções garante que o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios:
(c) 1 : 25000.
(d) 1 : 250000.
(e) 1 : 25000000.
a c
= ⇐⇒ a · d = b · c, com a, b, c, d , 0
b d
Grandezas proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais entre si se, e somente se, variarem a quociente constante, ou
seja, a razão entre seus termos correspondentes é constante.
Duas grandezas são inversamente proporcionais entre si, se e somente se, variarem a produto constante, ou
seja, o produto entre seus termos correspondentes é constante.
Uma aplicação muito importante de razão e proporção é a escala. É um método que nos permite relacionar
o comprimento no desenho e a medida do comprimento
real, considerando na mesma unidade.
(a) 12kg.
(b) 16kg.
(c) 24kg.
Regra de três
(d) 36kg.
Quando é conhecido um par de valores de duas grandezas e outro valor de uma delas, podemos calcular o valor correspondente da outra grandeza por meio de uma
proporção chamada regra de três simples.
A regra de três simples pode ser direta ou inversa. É
direta quando as grandezas são diretamente proporcionais, isto é, variam no mesmo sentido. É inversa quando
as grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, variam no sentido contrário (enquanto uma aumenta, a outra diminui e vice-versa).
Professor Podô
2. (Enem 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a
seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a
cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30
gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a
massa corporal dele é de
(e) 75kg.
[email protected]
1
Recuperação Paralela
3. (Unisinos 2012) Uma empresa está asfaltando uma
rodovia de 50km. Sabendo-se que ela levou 12 dias
para asfaltar 20km, quantos dias levará para asfaltar os 30km restantes?
(a) 14.
1◦ Ano
5. (Uepg 2011) Sabendo-se que uma máquina impressora faz certo serviço em 4 horas, trabalhando numa
velocidade de 300 páginas por hora, assinale o que
for correto.
01. Com velocidade de 375 páginas por hora, o
mesmo serviço será feito em 3 horas e 20 minutos.
(b) 16.
(c) 18.
02. Para que o mesmo serviço seja feito em 2 horas
e 30 minutos, a máquina deve imprimir 480
páginas por hora.
(d) 20.
(e) 24.
04. Se a velocidade da máquina for de 250 páginas
por hora o mesmo serviço será feito em menos
de 3 horas.
08. Se a velocidade da máquina dobrar, o mesmo
serviço será feito em 2 horas.
4. (Puc 2012) Duas rodas dentadas, que estão engrenadas, têm 12 e 60 dentes, respectivamente. Enquanto a maior dá 8 voltas, a menor dará
1
de volta.
5
8
(b)
de volta.
5
(c) 5 voltas.
(a)
(d) 40 voltas.
(e) 96 voltas.
Tarefa
Em uma folha separada, resolva o exercício 13
da página 61 do seu livro didático. Não é necessário copiar o enunciado do exercício. Não é
necessário copiar o enunciado do exercício. Não
se esqueça de colocar seu nome, código e sala em
sua folha e entregá-la ao professor na próxima
semana.
Professor Podô
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2