Ensaios sobre resolução de equação do 2º grau usando a relação

Ensaios sobre resolução de equação do 2º grau usando a relação soma e produto das raízes
Djanir Angelim da Silva Filhoi
13.11.2016
Na busca de estratégia para resolver
problemas em concursos de forma eficiente, ou
seja, rápido e com segurança, apresentamos uma
forma de resolver equações do segundo grau
utilizando a relação soma e produto entre as
raízes.
Dada a equação 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, sendo
𝑎 ≠ 0, temos:
−𝑏 + √∆
𝑏
√∆
𝑥1 =
⇒ 𝑥1 = −
+
2𝑎
2𝑎 2𝑎
−𝑏 − √∆
𝑏 √∆
𝑥2 =
⇒ 𝑥2 = −
−
2𝑎
2𝑎 2𝑎
Soma entre as raízes:
𝑏
𝑏
√∆
√∆
𝑥1 + 𝑥2 = (−
+ ) + (−
− )
2𝑎 2𝑎
2𝑎 2𝑎
2𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = −
2𝑎
𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑎
Produto entre as raízes:
𝑏
𝑏 √∆
√∆
𝑥1 ∙ 𝑥2 = (−
+ ) (−
− )
2𝑎 2𝑎
2𝑎 2𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑥2 ∙ 𝑥1
√∆ 𝑏
√∆ 𝑏
𝑥2 ∙ 𝑥1 = − ( + ) ( − )
2𝑎 2𝑎 2𝑎 2𝑎
2
𝑏 2
√∆
𝑥2 ∙ 𝑥1 = − [( ) − ( ) ]
2𝑎
2𝑎
2
Lembrando que ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐, temos
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑏2
]
𝑥2 ∙ 𝑥1 = − [
−
4𝑎2
4𝑎2
4𝑎𝑐
𝑥2 ∙ 𝑥1 = − [− 2 ]
4𝑎
𝑐
𝑥2 ∙ 𝑥1 = − [− ]
𝑎
𝑐
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑎
Resolução de equações usando a relação soma
e produto
I - Caso: O coeficiente 𝑎 = 1.
Dada a equação
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
observa-se que 𝑎 = 1. Logo podemos escrever:
𝑥 + 𝑥2 = −𝑏
{ 1
𝑥1 × 𝑥2 = 𝑐
Portanto as raízes são dois números que
satisfaçam a condição de soma e produto.
Exemplos:
a) calcular as raízes: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
Usando a relação soma e produto, temos que
encontrar dois números cuja soma seja 5 (oposto
de -5) e o produto seja 6. A partir de uma breve
tentativa temos:
(2) + (3) = 5
{
(2) × (3) = 6
Portanto as raízes são os valores 2 e 3.
b) calcular as raízes: 𝑥 2 + 9𝑥 + 14 = 0
Usando a relação soma e produto, temos que
encontrar dois números cuja soma seja (–9)
(oposto de 9) e o produto seja 14. A partir de uma
breve tentativa temos:
(−2) + (−7) = −9
{
(−2) × (−7) = 14
Portanto as raízes são os valores (–2) e (–7).
II - Caso: O coeficiente 𝑎 ≠ 1.
Dada a equação 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tal que
𝑎 ≠ 1, não devemos aplicar o mesmo processo
anterior, pois não seria prático ter como
resultado da soma ou do produto entre as raízes
valores fracionários.
Neste caso vamos usar um artifício: Dada
a equação 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, chamemos de
equação primitiva, vamos transformar em uma
outra equação, a qual chamaremos de equação
transformada, onde o coeficiente do primeiro
termo seja 1 e o termo independente seja o
produto (ac).
Equação primitiva: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Equação transformada: 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑐 = 0
Observe que as raízes da equação
transformada podem ser encontradas usando o
processo anterior. Portanto as raízes da equação
primitiva é a razão entre as raízes da equação
transformada e o coeficiente a da equação
primitiva.
Justificativa:
Dada a equação transformada:
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑐 = 0, temos:
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 ′′ =
2
{
𝑥′ =
Dada a equação primitiva 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
temos:
1 −𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥1 = (
)
𝑎
2
1 −𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥2 = (
)
𝑎
2
{
Observe que os valores entre parênteses são
raízes da equação transformada. Logo temos:
1
𝑥1 = 𝑥 ′
𝑎
1
𝑥2 = 𝑥 ′′
𝑎
Exemplos:
c) calcular as raízes: 6𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0.
Equação primitiva: 6𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0
Equação transformada: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
Vimos que as raízes dessa equação são os valores
2 e 3. Portanto as raízes da equação primitiva
são:
2
1
𝑥1 = ⇒ 𝑥1 =
6
3
3
1
𝑥2 = ⇒ 𝑥2 =
6
2
d) calcular as raízes: 7𝑥 2 + 9𝑥 + 2 = 0.
Equação primitiva: 7𝑥 2 + 9𝑥 + 2 = 0
Equação transformada: 𝑥 2 + 9𝑥 + 14 = 0
Vimos que as raízes dessa equação são os valores
(–2) e (–7). Portanto as raízes da equação
primitiva são:
−2
𝑥1 =
7
−7
𝑥2 =
⇒ 𝑥2 = −1
7
e) calcular as raízes: 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0.
Equação primitiva: 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0
Equação transformada: 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0
Usando a relação soma e produto, temos que
encontrar dois números cuja soma seja 5 (oposto
i
de -5) e o produto seja 4. A partir de uma breve
tentativa temos:
(4) + (1) = 5
{
(4) × (1) = 4
Logo as raízes são os valores:
𝑥 ′ = 4 ou 𝑥 ′′ = 1
Portanto as raízes da equação primitiva são:
4
𝑥1 = ⇒ 𝑥1 = 2
2
1
𝑥2 =
2
f) calcular as raízes: 4𝑥 2 − 5𝑏𝑥 + 𝑏2 = 0.
Equação primitiva: 4𝑥 2 − 5𝑏𝑥 + 𝑏2 = 0
Equação transformada: 𝑥 2 − 5𝑏𝑥 + 4𝑏2 = 0
Usando a relação soma e produto, temos que
encontrar dois números cuja soma seja (5𝑏)
(oposto de -5b) e o produto seja (4𝑏2 ). A partir
de uma breve tentativa temos:
(4𝑏) + (𝑏) = 5𝑏
{
(4𝑏) × (𝑏) = 4𝑏2
Logo as raízes são os valores:
𝑥 ′ = 4𝑏 ou 𝑥 ′′ = 𝑏
Portanto as raízes da equação primitiva são:
4𝑏
𝑥1 =
⇒ 𝑥1 = 𝑏
4
𝑏
𝑥2 =
4
Exercícios propostos
Usando a relação soma e produto entre as raízes
resolva as equações do 2º grau.
a) 𝑥 2 − 12𝑥 + 27 = 0
b) 2𝑥 2 − 3𝑥 − 5 = 0
c) 𝑥 2 − 8𝑥 + 12 = 0
d) 2𝑥 2 + 7𝑥 − 15 = 0
e) 3𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
f) 8𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0
g) 𝑥 2 − (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚𝑛 = 0
h) 15𝑥 2 − 14𝑥 + 3 = 0
i) 𝑎𝑏𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 1 = 0
Respostas.
a) 9; 3
d) 3/2; –5
g) m; n
b) 5/2; –1
e) 2; 1/3
h) 3/5; 1/3
c) 6; 2
f) 1/4; –1/2
i) –1/a; –1/b
Post Scriptumii
Graduado em Matemática pela Universidade Federal do Amazonas, Especialista em Educação Matemática pela Escola
Superior Batista do Amazonas, professor do curso de Engenharia Civil na Faculdade Estácio do Amazonas.
ii
O presente ensaio resulta das experiências vivenciadas em sala de aula