1. Unidade de medida de ângulos

2
1. Unidade de medida de ângulos
Aprendemos na aula passada (aula 7 – Geometria) que ao dividir um ângulo raso em
180 partes iguais, obtemos ângulos de 1º (um grau). Portanto, o ângulo de 1º é o
ângulo que corresponde a 1/180 do ângulo raso.
I.
Radiano
Há outra medida de ângulos que é muito utilizada e faz parte do SI (Sistema
Internacional de Unidades). Ângulos medidos em radianos são frequentemente
apresentados sem qualquer unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é
apresentada, normalmente se utiliza a sigla rad. E o que significa 1 radiano?
Imagine uma circunferência com o raio igual a 1 metro.
1 metro
Marque um ponto qualquer na circunferência. Imagine agora que esta circunferência é
uma mini-pista de Cooper. Você decide andar sobre a circunferência exatamente o
comprimento de 1 metro.
1 metro
Pois bem, o ângulo formado pelos dois raios tracejados é de exatamente 1 radiano.
Na verdade, não é necessário que o raio seja de 1 metro. O que precisa acontecer é o
seguinte:
3
i)
ii)
Trace uma circunferência com um raio qualquer. Digamos que o raio seja
igual a R.
Marque um ponto inicial na circunferência. Ao “andar” sobre a
circunferência um comprimento igual ao raio da circunferência, estará
definido um arco de 1 radiano.
E a volta completa representa quantos radianos?
Para responder esta pergunta, basta efetuar uma regra de três.
Se quando o comprimento andado na circunferência é igual a R, o arco medido é de 1
radiano, quantos radianos há na volta completa? (lembre-se que o comprimento total
da circunferência é igual a 2 ).
Comprimento “andado” na circunferência
Radianos
1
2
É óbvio que aumentando o comprimento andando na circunferência, aumentará o
ângulo. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
1
2
1
1
2
2
Desta forma, a volta completa (360º) corresponde a 2
.
Obviamente, 180º é a metade de 360º, portanto 180º correspondem a
Tendo em vista essas considerações, podemos
correspondência para conversão de unidades:
estabelecer
.
a
seguinte
180°
EP 1. Exprima 210º em radianos.
Resolução
Basta “montar” uma regra de três. Em casos como este de mudança de unidades, a
regra de três é sempre direta, de forma que podemos aplicar a propriedade
fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
180°
210°
180° ·
210° ·
4
210° ·
180°
210
180
21
18
7
6
EP 2.
Exprima
em graus.
Resolução
180°
2
3
·
180° ·
·
2
3
120°
120°
Memorizando alguns valores básicos, podemos rapidamente deduzir outros. Por
exemplo, vamos transformar 30º em radianos.
180°
30°
180° ·
30° ·
30
180
30° ·
180°
6
6
Ora, se 30º é o mesmo que /6 rad, portanto para calcular 60º em radianos basta
multiplicar /6 rad por 2 (já que 60º é o dobro de 30º).
60°
2·
6
3
90º é o triplo de 30º, portanto para calcular 90º em radianos basta multiplicar /6 rad
por 3 (já que 90º é o triplo de 30º).
90°
3·
6
2
45º é a metade de 90º, então para calcular 45º em radianos basta dividir /2 rad por 2.
45°
2
2
4
5
120º é o dobro de 60º, portanto para calcular 120º em radianos basta multiplicar
por 2.
120°
2·
2
3
3
270º é o triplo de 90º, portanto para calcular 270º em radianos basta multiplicar
por 3.
270°
3·
/3
/2
3
2
2
E desta forma, podemos criar a seguinte tabela de valores notáveis.
Graus
30º
45º
60º
90º
120º
Radianos
6
4
3
2
2
3
180º
270º
3
2
360º
2
2. Trigonometria no triângulo retângulo
Vimos na aula passada que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos
internos é reto.
Para manter uma notação uniforme ao longo da aula, sempre que tratarmos de
um triângulo retângulo ABC, consideraremos que o ângulo reto é o de vértice A.
Em geometria, é comum utilizar a notação de que o nome do lado tem o mesmo
nome do vértice oposto.
Em suma, teremos como modelo o seguinte triângulo retângulo:
6
180°. Como
Pela Lei Angular de Tales,
90°
90°, então:
180°
90°
Ou seja, os ângulos agudos de um triângulo retângulo são sempre complementares (a
soma é 90º).
Pois bem, em todo triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de
hipotenusa e o os outros lados são chamados de catetos.
Lembre-se ainda que é válido o Teorema de Pitágoras:
I.
Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo
Vamos considerar novamente o triângulo retângulo ABC.
Em relação ao ângulo :
é
.
é
.
Em relação ao ângulo :
é
é
.
.
7
II.
Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos seno, cosseno e tangente
como segue:
SENO
O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
â
â
COSSENO
O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
â
â
8
TANGENTE
A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo.
â
â
â
É importante notar que as funções trigonométricas dependem exclusivamente dos
ângulos e não do “tamanho” do triângulo.
EC 1. (Prefeitura Municipal de São
- Secretaria Municipal de Educação
2007/FEPESE) Seja o triângulo retângulo representado na figura abaixo:
Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,71.
d) 0,75.
e) 0,8
Resolução
Apliquemos o Teorema de Pitágoras: Um triângulo é retângulo se e somente se a
soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
4
2
1
4
1
2
4
2
4
4
1
4
1
9
4
4
0
√
2
4
4
4
2·1
4
0
2
4·1·4
2
Assim, os lados do triângulo serão:
2x – 1 = 3
x+2 = 4
2x+1=5
3
5
â
0,6
Letra B
EP 3. Considerando que
retângulo abaixo.
24°
0,4067 determine o valor de
no triângulo
24o
10
Resolução
Queremos calcular o cateto oposto ao ângulo de 24º. Para isto vamos utilizar a função
seno.
24°
â
24°
10
0,4067
10
10
0,4067
4,067
III.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem com bastante
frequência em problemas de trigonometria. Por esta razão, vamos apresentar essas
30º
Seno
Cosseno
√
Tangente
√
45º
60º
√
√
√
√
EP 4. Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 20 cm e
um dos ângulos agudos mede 30º.
Resolução
30o
20
i) Cálculo de .
Note que é o cateto oposto ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa,
então a razão que relaciona esses dados é o seno.
â
30°
1
2
2·
20
1 · 20
30°
11
10
Neste ponto poderíamos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o valor de .
Porém, para treinar mais as razões trigonométricas, vamos calcular o valor de
supondo que não é conhecido.
ii) Cálculo de .
Note que é o cateto adjacente ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa,
então a razão que relaciona esses dados é o cosseno.
â
30°
30°
√
20
2·
20 · √3
10√3
Vale a pena notar o seguinte fato: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a
metade da hipotenusa.
ia Municipal de Educação
EC 2. (Prefeitura Municipal de São - Secretar
2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa
determinar o comprimento do muro para que providencie a compra do material
necessário. Na figura abaixo, você pode visualizar uma representação
esquemática do terreno:
Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que
esta medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.
a) 1
b) 2
c) 1
d) 2
e) 3
2√3
2√3
√3
√3
√3
Resolução
Lembremos os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.
12
30º
Seno
Cosseno
√
Tangente
√
45º
60º
√
√
√
√
Um lembrete importante que poderá você ganhar tempo é o seguinte.
Em um triângulo retângulo com ângulos agudos iguais a 30º e 60º, o cateto
oposto ao ângulo de 30º é igual à metade da hipotenusa.
Como a hipotenusa é igual a 2, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual a 1.
Se você não se lembrar, basta aplicar as definições de seno e cosseno no
triângulo retângulo.
â
â
Assim,
30
30°
â
2
1
2
2
√3
2
Portanto, x = 1.
30
â
30°
Assim,
O perímetro (em geometria indicamos o perímetro por 2p) é igual a
√3
Letra E
13
EC 3. (AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a
um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por
uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de
900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará
exatamente cinco segundos após o lançamento?
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
Resolução.
1 hora equivale a 60 minutos. Cada minuto corresponde a 60 segundos. Portanto,
1
60 · 60
3.600 .
Em 1 hora (3.600 segundos), a bala percorre 900 km. Qual a distância percorrida em 5
segundos?
Distância (km)
Tempo (s)
900 km
3.600
x
5
Observe que diminuindo o tempo, a distância percorrida também diminuirá. As
grandezas são diretamente proporcionais.
900
900
720
3.600
5
720
900
900 90 10
720 72
8
Representando a trajetória da bala, temos:
1,25
5
4
1,25
30o
O triângulo acima é retângulo, pois uma reta horizontal é sempre perpendicular a uma
reta vertical.
No triângulo retângulo, sabemos que o seno de um ângulo é dado pela divisão entre o
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
14
30°
1,25
1
2
1,25
2
1,25
0,625
Poderíamos usar o fato que foi dito anteriormente: o cateto oposto ao ângulo de 30º
é sempre a metade da hipotenusa.
Desta forma:
1,25
2
0,625
Letra B
EC 4. (STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente,
e
2 . Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo
oposto ao cateto que mede é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a:
a) 2
1
b)
2
2√2
c)
2
√2
d) 2
e)
Resolução
2
A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto
oposto e o cateto adjacente ao ângulo. O problema disse que a tangente do ângulo
oposto ao cateto de medida (ângulo ) é igual a 1.
1
2
1
2
15
Ou seja, os dois catetos são iguais a .
Vamos considerar que a hipotenusa do triângulo retângulo é igual a . Desta forma,
podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
2
2
√2
Os dois catetos têm medida igual a
e a hipotenusa é igual a
√2.
O perímetro é igual a:
√2
2
2
√2
√2
Letra C
IV.
Relações entre seno, cosseno e tangente
·
Destas duas relações, podemos concluir que
e que
·
.
O teorema de Pitágoras afirma que:
Vamos substituir as expressões
·
·
Dividindo os dois membros da equação por
e
·
no teorema de Pitágoras.
·
·
, obtemos:
1
Analogamente podemos provar que
1.
Temos o costume de escrever as expressões acima assim:
16
1
Ou seja,
.
Esta expressão é conhecida como Relação Fundamental da Trigonometria.
Aliás, esta é a expressão mais importante desta aula.
Posteriormente, veremos que esta relação é válida para qualquer ângulo (não
necessariamente agudo).
Vamos agora mostrar que:
De fato,
·
Então grave bem essas duas fórmulas que são válidas para qualquer ângulos (desde
que a tangente exista como vamos ver posteriormente).
1
EC 5. (AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que 3
valores para a tangente de x é igual a:
1, então um dos possíveis
a) -4/3
b) 4/3
c) 5/3
d) -5/3
e) 1/7
Resolução
Coloquei essa questão com o intuito de lembrar uma fórmula importantíssima de
trigonometria. É tão importante que é chamada de Relação Fundamental da
Trigonometria. Ei-la:
1
São inúmeras as questões que podem ser resolvidas com o auxílio dessa relação.
Para que possamos utilizá-la na questão, devemos elevar ambos os membros da
equação ao quadrado.
3
1
17
Ora, mas podemos dizer que
9
6·
9
·
1
8
Ficamos com
6·
8
·
1
Mas lembre-se que
1
Portanto,
8
6·
·
1
6·
8
8
·
6·
8
1
0
·
6·
8
6
4
3
Letra A
EC 6. (AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações
⎧ xsen(a ) − y cos(a ) = − cos(2a )
⎨
⎩ x cos(a ) + ysen(a ) = sen(2a)
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos
quadrados das raízes é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) senπ
e) cos π
Resolução.
A idéia é a mesma do exercício anterior. Elevamos todas as parcelas das igualdades
ao quadrado, para surgirem seno ao quadrado e cosseno ao quadrado. Em seguida,
utilizaremos a propriedade que diz:
sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1
Muito bem.
Vamos elevar todos os termos ao quadrado:
18
⎧ x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) − 2 xy × sen(a ) × cos(a ) = cos 2 (2a )
⎨ 2
2
2
2
2
⎩ x cos (a ) + y sen (a ) + 2 xy × sen(a ) × cos( a ) = sen (2a )
Agora vamos somar a equação de cima com a debaixo.
Do lado esquerdo da igualdade, notem que os termos destacados em vermelho vão se
anular:
⎧ x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) − 2 xy × sen( a ) × cos( a ) = cos 2 (2a )
⎨ 2
2
2
2
2
⎩ x cos (a ) + y sen (a ) + 2 xy × sen( a ) × cos( a ) = sen (2a)
Vamos então efetuar a soma, já cancelando os termos destacados. Ficamos com:
x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a) + x 2 cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) = cos 2 (2a) + sen 2 (2a )
Do lado direito da igualdade, temos o quadrado do seno de 2a, somado com o
quadrado do cosseno deste mesmo ângulo. Sempre que temos uma soma de seno ao
quadrado com cosseno ao quadrado, a soma é igual a 1.
x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a) + x 2 cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) = cos 2 (2a) + sen 2 (2a )
x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a) = 1
Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar x2 em evidência. O mesmo vale para
y2.
x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a ) = 1
(
)
(
)
x 2 sen 2 (a ) + cos 2 (a) + y 2 cos 2 (a) + sen 2 (a ) = 1 1
x 2 (1) + y 2 (1) = 1
x2 + y2 = 1
A soma dos quadrados das raízes é 1.
Letra A
EC 7. (AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com
y ≠ 90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da
matriz resultante?
a) α cos y.
b) α2 tg y.
c) α sen y.
d) 0.
e) -α sen y.
Resolução
Vamos calcular o determinante da matriz original, antes de multiplicá-la por α.
19
Para tal, vamos aplicar a regra de Sarrus que aprendemos na aula de matrizes e
determinantes.
Devemos repetir as duas primeiras colunas.
1
α
cos
1
1
cos
1
α
cos
Primeiro multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal e em seguida
multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária (trocando os sinais dos
resultados).
O determinante da matriz é igual a:
1·
· cos
· 1 · cos
1·
·
·
· cos
1·1·
1·
· cos
Lembre-se que:
cos
Vamos utilizar esta fórmula na expressão do determinante.
1·
cos
· cos
cos
· 1 · cos
1·
·
cos
·
·
· cos
·
1·1·
1·
cos
· cos
0
Desta forma, o determinante da matriz é igual a 0.
Vamos lembrar uma propriedade importantíssima dos determinantes. Quando
multiplicamos uma fila de uma matriz por uma constante , o determinante fica
multiplicado por .
Como a matriz é de terceira ordem, então o determinante será multiplicado por
.
·
·
Portanto, ao multiplicar a matriz por , o determinante da matriz será igual a
· · ·0 0
Letra D
EC 8. (TFC 2000/ESAF) Se
tem-se que:
9
9
9
a) 16
b) 16
c) 16
d) 16
e) 16
3
e
4 cos , então, para qualquer ângulo ,
144
144
144
144
144
9
9
Resolução
Se
3
e
4 cos , podemos concluir que:
3
cos
4
20
Vamos usar a Relação Fundamental da Trigonometria.
sen 2α + cos 2 α = 1
9
16
16
9
144
16
1
4
3
9
1
1
144
Letra B
3. Razões trigonométricas na circunferência
I.
Círculo trigonométrico
Vamos estender o conceito das razões trigonométricas para arcos na circunferência.
Para tal, vamos definir o que é o círculo (ou circunferência ou ciclo) trigonométrico.
O círculo trigonométrico nada mais é do que um círculo orientado de raio 1. Como
assim orientado?
Vamos definir um sentido positivo e um sentido negativo para se locomover ao longo
da circunferência. Adotamos que o sentido positivo é o sentido anti-horário e o sentido
negativo é o sentido horário.
Vamos considerar um plano cartesiano e dispor a circunferência de raio 1 exatamente
na origem do plano.
21
Por definição, o ponto (1,0) é a origem dos arcos. Então, para traçar um arco no ciclo
trigonométrico, começamos no ponto (1,0) e caminhamos ao longo do ciclo.
60º (arco azul).
Abaixo estão descritos dois arcos: 30º (arco vermelho) e
30o
60°
Devemos nos lembrar do que foi dito na aula de álgebra sobre os quadrantes do plano
cartesiano.
2º quadrante
1º quadrante
30o
60°
3º quadrante
4º quadrante
Desta forma, dizemos que o arco de 30º faz parte do primeiro quadrante e o arco de
60° faz parte do 4º quadrante.
22
II.
Sinal das razões trigonométricas
O sinal das razões trigonométricas de determinado arco depende exclusivamente de
qual quadrante ele se localiza.
Vamos fazer um pequeno resumo relacionando o quadrante que o arco possa se
encontrar e o sinal das funções trigonométricas.
Função
Sinal
SENO
COSSENO
TANGENTE
O quadro acima significa, por exemplo, que a tangente de um arco que se encontra no
terceiro quadrante é positiva.
O cosseno de um arco que se encontra no segundo quadrante é negativo.
O seno de um arco que se encontra no quarto quadrante é negativo.
Este quadro é importantíssimo!!!!
Para calcular as razões trigonométricas dos arcos nos outros quadrantes, precisamos
memorizar alguns valores e conhecer algumas fórmulas importantes.
23
Arco
0
90º
180º
270º
360º
Seno
0
1
0
-1
0
Cosseno
1
0
-1
0
1
Tangente
0
Não existe
0
Não existe
0
Observe que sabendo os valores do seno e do cosseno, automaticamente podemos
calcular a tangente, lembrando que a tangente é a divisão do seno pelo cosseno.
É por esta razão que não existe a tangente de 90º e não existe a tangente de 270º
(ocorreria uma divisão por 0 que é uma “aberração” matemática).
É muito importante também notar que o maior valor que o seno e o
cosseno podem assumir é 1 e o menor valor que o seno e o cosseno podem
.
assumir é
III.
Fórmulas Importantes
Pois bem, as fórmulas que precisamos conhecer são:
1
Esta daqui já é nossa velha conhecida: a Relação Fundamental da Trigonometria.
Fique bem atento aos sinais das funções trigonométricas quando for utilizar esta
fórmula.
cos
Esta fórmula também é nossa velha conhecida.
Agora as fórmulas “novas”:
· cos
· cos
· cos
· cos
cos
cos · cos
·
cos
cos · cos
·
Já ouvi um aluno dizer o seguinte para memorizar os sinais das fórmulas acima:
As fórmulas do SENO Æ SEM troca de sinal.
As fórmulas do COSSENO Æ COM troca de sinal.
Pode ser que isso ajude, não?
E para que serve isso?
Por exemplo, imagine que você precisa calcular o seno de 120º. Ora, lembre-se que
120° 90° 30°.
24
.
Vamos utilizar a fórmula do
· cos
90°
30°
· cos
90° · cos 30°
120°
1·
120°
√3
2
30° · cos 90°
1
·0
2
√3
2
Muito fácil, não?
Vamos ver outro exemplo...
Calcule o cosseno de 150º. Vamos resolver de duas maneiras: considerando que
150° 180° 30° e considerando que 150° 90° 60°.
i)
150°
180°
30°
Neste caso, utilizaremos a fórmula do cos
. Lembre-se que a fórmula do
cosseno é COM troca de sinal, portanto, terá um + no meio da fórmula.
cos 180°
30°
cos 180° · cos 30°
cos 150 °
1·
cos 150 °
√3
2
180° ·
0·
30°
1
2
√3
2
E o cosseno tinha que ser negativo. Isto porque 150º é uma arco do segundo
quadrante (já que está entre 90º e 180º) e os cossenos dos arcos do segundo
quadrante são negativos. Basta olhar o quadro de sinais.
COSSENO
ii)
150°
90°
60°.
Neste caso vamos utilizar a fórmula cos
. Lembre-se que a fórmula do cosseno
é COM troca de sinal. Deve haver um sinal de menos na fórmula.
25
cos
cos 90°
cos · cos
60°
cos 90° · cos 60°
cos 150°
0·
1
2
cos 150 °
EP 5.
·
Encontre uma expressão para
1·
90° ·
60°
√3
2
√3
2
2 .
Para encontrar uma expressão para
2 , basta notar que 2
utilizando a fórmula de
, trocaremos a letra b pela letra a.
Fazendo
· cos
· cos
· cos
· cos
,
2
2·
· cos
EC 9. (CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que x = arccos
valor da expressão cos( x − y ) é igual a:
a)
6+ 2
4
b)
6− 2
4
c)
2
2
d)
3+
e)
2
. Desta forma,
2
1
e que y = arcsin então o
2
2
2
2
Resolução
2
, isto quer dizer que x é o arco cujo cosseno
2
1
2 / 2 . Analogamente, quando afirmamos que y = arcsin , isto quer dizer que y
2
Quando afirmamos que x = arccos
vale
é o arco cujo seno vale 1/2.
Assim, concluímos que:
x = 45 º; y = 30 º
26
Portanto, a questão quer que a gente calcule cos 45°
Para isso, vamos utilizar a fórmula de cos
cos
cos 45°
15°
.
cos · cos
30°
·
cos 45° · cos 30°
√2 √3
·
2 2
30° .
√2 1
·
2 2
√6
4
45° ·
√2
4
30°
√2
√6
4
Letra A
Observe que poderíamos marcar a resposta sem efetuar as contas.
Sabemos que:
sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1
Disto, podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são, no máximo, iguais a
1.
Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo 2, aí quando elevamos ao
quadrado já obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um
valor maior que 4. Logo, a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não
seria igual a 1, o que é absurdo.
Da mesma forma, também podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são
no mínimo -1.
Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo 2, aí quando elevamos ao
quadrado já obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um
valor maior que 4. Logo, a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não
seria igual a 1, o que é absurdo.
O seno e o cosseno variam entre –
→
1
1
1
1
e .
Sabendo que tanto o seno quanto o cosseno são sempre menores ou iguais a 1, já
podemos descartar as alternativas D e E.
Lembrando a tabela do cosseno:
Ângulo
0º
30º
cosseno
1
3/2
45º
2/2
60º
90º
½
0
27
O ângulo de 15º está entre 0 e 30º. Logo, seu cosseno deve estar entre 1 e
Já podemos, portanto, descartar a letra C. A letra C traz
45.
A letra B traz um número que é menor que
3 /2.
2 / 2 , que é o cosseno de
3 / 2 . Também deve ser descartada.
Por exclusão, ficamos com a letra A.
EC 10. (MPOG 2003/ESAF) Sabendo que é o ângulo correspondente a um arco do
segundo quadrante, e que seno de é igual a 12/13, então a tangente de é igual a:
a) -12/5
b) -10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5
Resolução
O enunciado informou que o arco é do segundo quadrante.
Função
Sinal
SENO
COSSENO
TANGENTE
De acordo com esta tabela, no segundo quadrante o seno é positivo, o cosseno é
negativo e a tangente é negativa. Com isso ficamos com as alternativas A e B. Quem
sabe o tempo da prova está acabando e você precise dar um “chute”. Você já aumenta
a sua chance de acerto para 50%. Bom, mas se Deus quiser você não vai precisar
disso.
Então como proceder?
28
Vejamos a Relação Fundamental da Trigonometria.
1
12
13
1
144
169
1
169 144
169
25
169
Temos duas possibilidades:
5
13
5
13
Ora, mas o arco é do segundo quadrante e seu cosseno é negativo.
Concluímos que:
5
13
Para calcular a tangente de
pelo cosseno.
usamos o fato que a tangente é o quociente do seno
12/13
5/13
cos
12
·
13
13
5
12
5
Letra A
EC 11. (STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus
dados por:
elementos
cos
2
O determinante da matriz
10
·
.
é igual a:
a) 10
b) 10
c) 10
d) 1
e) 10
Resolução
Lembre-se desta tabela:
Arco
0
90º
Seno
0
1
Cosseno
1
0
Tangente
0
Não existe
29
180º
270º
360º
0
-1
0
-1
0
1
0
Não existe
0
Vamos construir a matriz de segunda ordem.
Quando
, temos que
.
Portanto:
2
2
Quando
, temo que
·1
·2
cos
.
cos
·2
cos
·1
90°
1
180°
0
2
Portanto:
2
360°
1
180°
1
A matriz ficará assim:
1
1
1·0
1
0
1·
1
1
1
10
Nosso objetivo é calcular o determinante da matriz B tal que
· .
Quando multiplicamos uma fila de uma matriz por uma constante k, seu determinante
será multiplicado por k. Ora, multiplicar a matriz A por 10 significa multiplicar as suas
duas linhas (ou as duas colunas) por 10 . Portanto:
10
· 10
·
10
·1
10
Letra A
EC 12. (STN 2000/ESAF) A expressão dada por
número real. Assim, o intervalo de variação de
a) 1
b) 7
c) 7
7
1
1
3
é:
4 é definida para todo
30
d) 1
e) 1
7
7
Resolução
Vimos que o menor valor possível para o seno de um arco é
valor assumido pela expressão y é quando
1.
3·
í
1
4
1. Desta forma, o menor
1
O maior valor possível para o seno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor
assumido pela expressão é quando
1.
á
3·1
4
7
Portanto, o menor valor possível para a expressão é 1 e o maior valor possível para a
expressão é 7. Conclusão: 1
7
Letra E
EC 13. (SFC 2002/ESAF) A expressão dada por
4·
todo número real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a) 4
b) 0
c) ∞
d) 0
e) 0
4 é definida para
8
8
∞
4
8
Resolução
Vimos que o menor valor possível para o cosseno de um arco é
menor valor assumido pela expressão y é quando
1.
4·
í
1
4
1. Desta forma, o
0
O maior valor possível para o cosseno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor
assumido pela expressão é quando
1.
á
4·1
4
8
Portanto, o menor valor possível para a expressão é 0 e o maior valor possível para a
expressão é 8. Conclusão: 0
8.
Letra E
EC 14. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) A função composta de duas
funções
e
é definida como
. Sejam as funções
1 e
1. Então
2 é igual a:
a)
b)
c)
1
2
0
31
d)
e)
2
1
Resolução
Falamos sobre função composta na aula 4.
2
2
Para calcular
na função g.
2
2 . Para isto, basta substituir
vamos primeiro calcular
por 2
1
2
2
2
2
Portanto,
1
1
1 .
Observe que neste momento já podemos marcar a resposta da questão.
Vamos mostrar que as outras alternativas estão erradas.
2
1
devemos substituir por 1 na função .
1
1
Portanto,
1
0
1
0
0
0
.
0
2
Vamos analisar cada uma das alternativas da questão. Aquela que for igual a 0 será a
resposta.
1
1
a)
2
1
b)
significa
2 1
1 0
Observe que 2
c) 0
01 1 0
d)
2
e)
1
2
1
1
1
1
0
1
.
0
0
0
0
0
Letra E
EC 15. (MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que coseno de 60º é igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo α é
igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do
ângulo suplementar a 600 é:
32
a)
b)
c)
d)
e)
-½
- (31/2)
31/2
(31/2)/2
- (31/2)/2
Resolução
O ângulo suplementar de 60º é 120º, pois 60°
120°
180°.
Desta forma, nosso objetivo é calcular a tangente de 120º.
Vamos utilizar a fórmula fornecida pelo enunciado e que nós demonstramos no EP 5.
2
2·
2 · 60°
· cos
2·
120°
60° ·
2·
3
120°
Podemos calcular
3
60°
/
1
2· 2
/
2
120° com o auxílio da Relação Fundamental da Trigonometria.
1
120°
√3
2
120°
3
4
120°
1
120°
1
120°
3
4
120°
1
1
4
3
4
1
4
1
4
Temos duas possibilidades:
120°
1
2
120°
1
2
Ora, 120º é um arco maior que 90º e menor que 180º e, portanto, pertence ao
segundo quadrante. O cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo.
33
COSSENO
Desta forma, cos 120°
1/2.
Para calcular a tangente de 120º vamos utilizar o fato de que a tangente é igual
ao quociente do seno pelo cosseno.
120°
3
120°
120°
/
/
3
2
1
2
2
·
2
1
3
/
Letra B
4. Questões da ESAF com assuntos “esporádicos”
EC 16. (STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 e o
outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do
triângulo é igual a:
a) 3 −1 / 3
b) 21 / 2
c) 2 −1 / 2
d) 3 2
e) 1
Resolução
A área de um triângulo pode ser calculada por meio da seguinte fórmula:
a×b×
sen(α )
2
onde a e b são dois lados quaisquer e α é o ângulo entre eles.
Podemos agora aplicar a fórmula da área do triângulo:
Área: a × b ×
= 2× 2 ×
=
sen(α )
2
sen( 45)
2
2 × sen( 45)
34
=
2×
2
=1
2
Letra E
Fórmulas para cálculo da área de um triângulo de lados a, b, c:
a×b×
→
sen(α )
(onde α é o ângulo entre a e b)
2
b×h
(onde h é a altura relativa ao lado b)
2
EC 17. (MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15
e 20 e que x é seu maior ângulo interno, então o valor de 1 − sen 2 ( x) é igual a:
a) -1
b)
2
c) 1
d) 0
e)
2
3
Resolução
Creio que a idéia da banca era que o candidato analisasse as alternativas para marcar
a resposta correta.
Sabemos que, para qualquer ângulo, vale:
sen 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
Logo:
cos 2 ( x) = 1 − sen 2 ( x)
Assim, o que o exercício pediu pra gente calcular, no fundo, é o valor de cos 2 ( x) .
Qualquer número elevado ao quadrado é sempre não negativo. Com isso já
descartamos a letra A.
Além disso, sabemos que o cosseno é sempre menor ou igual a 1. Isto significa que
cos 2 ( x) também será sempre menor ou igual a 1. Já descartamos a letra B.
Na letra C, temos a indicação de que o cosseno vale 1. Neste caso, o ângulo x seria
igual a zero grau. Mas isto é impossível. Num triângulo, os ângulos são sempre
diferentes de zero. Já descartamos a letra C.
Na letra D temos a indicação de que o cosseno vale 0. Neste caso, o ângulo x seria
igual a 90º. Ou seja, teríamos um triângulo retângulo.
A figura abaixo representa um triângulo retângulo com lados a, b, c, e altura h, relativa
à hipotenusa a.
35
Num triângulo retângulo, os catetos são duas das alturas. As duas maiores alturas
seriam os dois catetos do triângulo. Logo:
b = 15
c = 20
Por exclusão, a menor altura seria h.
h = 12
Num triângulo retângulo, vale a seguinte relação:
bc = ah
O produto dos catetos é igual ao produto entre a hipotenusa e a altura correspondente.
bc = ah
15 × 20 = a × 12 ⇒ a = 25
Vamos testar se o triângulo de fato é retângulo. Para tanto, vamos aplicar o teorema
de Pitágoras. Se a soma dos quadrados dos catetos for igual ao quadrado da
hipotenusa, então o triângulo é retângulo.
15 2 + 20 2 = 625
25 2 = 625
De fato, o triângulo obedece ao teorema de Pitágoras. Então ele realmente é triângulo.
Com isso, achamos a resposta. O ângulo x procurado é 90º.
Gabarito: D
O triângulo retângulo apresenta relações importantes entre suas medidas,
chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Algumas delas são:
→
1) bc = ah (onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa e h é a altura relativa à
hipotenusa)
2) a 2 = b 2 + c 2 (onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa). Também
conhecida como teorema de Pitágoras
A resolução da questão sem a análise das alternativas envolve o conhecimento da
chamada lei dos cossenos.
Sejam a, b, c os lados do triângulo. Seja 20 a altura relativa ao lado a. Seja 15 a altura
relativa ao lado b. Seja 12 a altura relativa ao lado c.
36
A área do triângulo é calculada multiplicando-se um dos lados pela altura relativa a
este lado, dividida por 2. Assim, a área do triângulo fica:
Área =
20a 15b 12c
=
=
2
2
2
Multiplicando todos os termos por 2:
20a = 15b = 12c
Das igualdades acima, concluímos que c é o maior lado do triângulo. Com isso, o
ângulo a ele oposto será o maior ângulo do triângulo. Isto porque, num triângulo, o
maior ângulo sempre está oposto ao maior lado. Observem a figura abaixo para
melhor entendimento:
Observem que o maior ângulo do triângulo é xº. E ele está oposto justamente ao maior
lado.
Vamos, na igualdade acima, achar a e b em função de c.
a=
3c
4c
; b=
5
5
Ok, agora vamos para o tal da lei dos cossenos. Num triângulo qualquer, de lados a, b,
c, onde z, y, x são os ângulos opostos, respectivamente, aos lados a, b, c, temos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc × cos( z )
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac × cos( y )
c 2 = b 2 + a 2 − 2ba × cos( x)
Esta é a lei dos cossenos. Vamos pegar a última equação, que é a que traz o cosseno
de x, que é o maior ângulo do triângulo.
c 2 = b 2 + a 2 − 2ba × cos( x)
Substituindo os valores de a e b:
c2 =
16c 2 9c 2
3c 4c
+
− 2 × × × cos( x)
25
25
5 5
c2 =
16c 2 9c 2 24c 2
+
−
× cos( x)
25
25
25
Dividindo os dois lados da igualdade por c2.
37
1=
16 9 24
+
−
× cos( x)
25 25 25
1=
25 − 24 cos( x)
25
25 = 25 − 24 cos( x )
− 24 cos( x ) = 0
cos( x ) = 0
cos 2 ( x) = 0
E conseguimos achar o valor do quadrado do cosseno de x.
38
5. Relação das questões comentadas
- Secretaria Municipal de Educação
EC 1. (Prefeitura Municipal de São
2007/FEPESE) Seja o triângulo retângulo representado na figura abaixo:
Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,71.
d) 0,75.
e) 0,8
ia Municipal de Educação
EC 2. (Prefeitura Municipal de São - Secretar
2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa
determinar o comprimento do muro para que providencie a compra do material
necessário. Na figura abaixo, você pode visualizar uma representação
esquemática do terreno:
Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que
esta medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.
a) 1
b) 2
c) 1
d) 2
e) 3
2√3
2√3
√3
√3
√3
39
EC 3. (AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a
um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por
uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de
900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará
exatamente cinco segundos após o lançamento?
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
EC 4. (STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente,
e
2 . Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo
oposto ao cateto que mede é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a:
a) 2
1
b)
2
2√2
c)
2
√2
d) 2
e)
EC 5. (AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que 3
valores para a tangente de x é igual a:
1, então um dos possíveis
a) -4/3
b) 4/3
c) 5/3
d) -5/3
e) 1/7
EC 6. (AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações
⎧ xsen(a ) − y cos(a ) = − cos(2a )
⎨
⎩ x cos(a ) + ysen(a ) = sen(2a)
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos
quadrados das raízes é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) senπ
e) cos π
40
EC 7. (AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com
y ≠ 90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da
matriz resultante?
a) α cos y.
b) α2 tg y.
c) α sen y.
d) 0.
e) -α sen y.
EC 8. (TFC 2000/ESAF) Se
tem-se que:
a) 16
b) 16
c) 16
d) 16
e) 16
9
9
9
9
9
3
e
4 cos , então, para qualquer ângulo ,
144
144
144
144
144
EC 9. (CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que x = arccos
valor da expressão cos( x − y ) é igual a:
a)
6+ 2
4
b)
6− 2
4
c)
2
2
d)
3+
e)
2
2
1
e que y = arcsin então o
2
2
2
2
EC 10. (MPOG 2003/ESAF) Sabendo que é o ângulo correspondente a um arco do
segundo quadrante, e que seno de é igual a 12/13, então a tangente de é igual a:
a) -12/5
b) -10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5
41
EC 11. (STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus
dados por:
elementos
cos
2
O determinante da matriz
10
·
.
é igual a:
a) 10
b) 10
c) 10
d) 1
e) 10
EC 12. (STN 2000/ESAF) A expressão dada por
número real. Assim, o intervalo de variação de
a) 1
b) 7
c) 7
d) 1
e) 1
3
é:
7
1
1
7
7
EC 13. (SFC 2002/ESAF) A expressão dada por
4·
todo número real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a) 4
b) 0
c) ∞
d) 0
e) 0
4 é definida para todo
4 é definida para
8
8
∞
4
8
EC 14. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) A função composta de duas
funções
e
é definida como
. Sejam as funções
1 e
1. Então
2 é igual a:
a)
1
b) 2
c) 0
d) 2
e) 1
EC 15. (MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que
coseno de 60º é igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo
α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é:
a)
b)
c)
d)
-½
- (31/2)
31/2
(31/2)/2
42
- (31/2)/2
e)
EC 16. (STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 e o
outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do
triângulo é igual a:
a) 3 −1 / 3
b) 21 / 2
c) 2 −1 / 2
d) 3 2
e) 1
EC 17. (MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15
e 20 e que x é seu maior ângulo interno, então o valor de 1 − sen 2 ( x) é igual a:
a) -1
b)
2
c) 1
d) 0
e)
2
3
43
6. Gabaritos
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
B
E
B
C
A
A
D
B
A
A
A
E
E
E
B
E
D