Números Aleatórios: Método de Monte Carlo

6LPXODomR H0RGHODJHP &RPSXWDFLRQDO
1~PHURV $OHDWyULRV
0pWRGR GH0RQWH&DUOR
3DUDTXH 6HUYHP "
São responsáveis pela aleatoriedade nos
modelos de simulação.
Acompanhados da curva de comportamento
do sistema, são capazes de gerar novos
dados que se assemelham aos que foram
coletados no sistema real.
Permitem simular o modelo por horizontes
de tempo bem maiores do que o período
usado na coleta de dados.
1
$SOLFDomR GR0pWRGR
3DVVRV SDUD DSOLFDomR GR0pWRGR GH0RQWH&DUOR
35(3$5$d­2
1) Coletar os dados brutos (cronometrar do próprio sistema);
2) Tabular os dados (semelhante ao processo usado na Teoria das
Filas): montar tabela com os intervalos de valores (ou os
próprios valores) e suas frequências;
3) Calcular o ponto médio dos intervalos (caso sejam usados);
4) Calcular a frequência acumulada de cada ponto médio ou valor;
$3/,&$d­2
5) Identificar os intervalos de frequência para cada média ou valor;
6) Através de uma TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS ou de
um programa GERADOR DE NÚMEROS ALEATÓRIOS (GNA),
escolher um número;
7) Procurar, na tabela de intervalos de frequência, em qual
intervalo se encontra o número escolhido;
8) O valor a ser usado na simulação é o ponto médio deste
intervalo.
0pWRGR GH0RQWH&DUOR
7RPDQGR FRPR H[HPSOR RFDVR DQWHULRUGRODYDUiSLGR)RL HVFROKLGR
RWHPSRHQWUH FKHJDGDV GHFDUURV SDUD DDQiOLVH FRPR H[HPSOR
1) Coletar (cronometrar) os dados brutos
13.6
10.8
15.9
0.6
33.1
18.0
10.9
0.4
28.5
14.9
27.9
29.5
5.9
4.0
39.8
12.1
24.4
10.4
28.4
4.3
1.1
5.8
11.6
18.1
6.4
16.5
1.0
8.1
3.0
1.6
12.3
9.9
2.7
21.8
1.8
8.5
28.1
2.7
15.5
0.6
9.7
6.1
2.9
3.8
8.3
12.5
2.0
13.0
17.3
6.9
12.7
5.5
1.7
14.6
11.9
1.4
42.7
0.7
1.6
22.6
15.3
7.7
4.6
12.9
4.4
5.6
29.9
4.8
17.7
10.2
4.1
17.4
35.5
8.5
16.2
8.2
4.9
2.8
1.2
7.3
13.5
7.7
15.8
0.4
6.8
0.9
3.1
4.3
13.4
3.8
0.7
26.4
17.5
2.5
0.3
17.9
8.1
3.4
14.1
10.4
2
7UDWDPHQWR GRV'DGRV
Processo de elaboração do histograma:
13.6
10.8
15.9
0.6
33.1
18.0
10.9
0.4
28.5
14.9
27.9
29.5
5.9
4.0
39.8
12.1
24.4
10.4
28.4
4.3
1.1
5.8
11.6
18.1
6.4
16.5
1.0
8.1
3.0
1.6
12.3
9.9
2.7
21.8
1.8
8.5
28.1
2.7
15.5
0.6
9.7
6.1
2.9
3.8
8.3
12.5
2.0
13.0
17.3
6.9
12.7
5.5
1.7
14.6
11.9
1.4
42.7
0.7
1.6
22.6
15.3
7.7
4.6
12.9
4.4
5.6
29.9
4.8
17.7
10.2
4.1
17.4
35.5
8.5
16.2
8.2
4.9
2.8
1.2
7.3
13.5
7.7
15.8
0.4
6.8
0.9
3.1
4.3
13.4
3.8
0.7
26.4
17.5
2.5
0.3
17.9
8.1
3.4
14.1
10.4
'HWHUPLQDU RQ~PHUR GHLQWHUYDORV:
Aproximação sugerida: raiz quadrada do
número de observações realizadas (método
empírico). Ex: para as 100 tomadas de tempo
ao lado, um número perto de 10 intervalos é
adequado:
√100 = 10
25
20
Neste exemplo, foi decidido o uso de 9 intervalos
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0pWRGR GH0RQWH&DUOR
2) Tabular os valores: Identificar os intervalos e descobrir suas
frequencias.
Intervalo Observações
0Ö5
35
5 Ö 10
19
10 Ö 15
19
15 Ö 20
13
20 Ö 25
3
25 Ö 30
7
30 Ö 35
1
35 Ö 40
2
40 Ö 45
1
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
3
([HPSOR0pWRGR GH0RQWH&DUOR
Cálculo das frequências:
Intervalo Observações
0Ö5
35
5 Ö 10
19
10 Ö 15
19
15 Ö 20
13
20 Ö 25
3
25 Ö 30
7
30 Ö 35
1
35 Ö 40
2
40 Ö 45
1
35/100
Frequência
0.35
0.19
0.19
0.13
0.03
0.07
0.01
0.02
0.01
Total: 100 observações
([HPSOR0pWRGR GH0RQWH&DUOR
3) Cálculo do ponto médio dos intervalos:
Intervalo Observações Frequência Pto.Médio
0Ö5
35
0.35
2.5
5 Ö 10
19
0.19
7.5
10 Ö 15
19
0.19
12.5
15 Ö 20
17.5
13
0.13
20 Ö 25
22.5
3
0.03
27.5
25 Ö 30
7
0.07
32.5
30 Ö 35
1
0.01
37.5
35 Ö 40
2
0.02
42.5
40 Ö 45
1
0.01
4
([HPSOR0pWRGR GH0RQWH&DUOR
4) Calcular a frequência ACUMULADA:
Intervalo
0
5
10
15
20
25
30
35
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Observações Pto.Médio
35
19
19
13
3
7
1
2
1
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
Frequência
0.35
0.19
0.19
0.13
0.03
0.07
0.01
0.02
0.01
Frequência
Acumulada
0.35
0.35
0.35 + 0.19 = 0.54
0.54 + 0.19 = 0.73
0.73 + 0.13 = 0.86
0.03
0.1
0.11
0.13
0.14
0pWRGR GH0RQWH&DUOR
5) Identificar os intervalos de frequência:
Intervalo
0Ö5
5 Ö 10
10 Ö 15
15 Ö 20
20 Ö 25
25 Ö 30
30 Ö 35
35 Ö 40
40 Ö 45
Observações Pto.Médio
35
19
19
13
3
7
1
2
1
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
Frequência Frequência
Acumulada
0.35
0.35
0.19
0.54
0.19
0.73
0.13
0.86
0.03
0.89
0.07
0.96
0.01
0.97
0.02
0.99
0.01
1
Intervalos
0.01 0.35
0.36 0.54
0.55 0.73
0.74 0.86
0.87 0.89
0.90 0.96
0.97
0.98 0.99
1.00
5
([HPSOR0pWRGR GH0RQWH&DUOR
6) Escolher valor na tabela de números aleatórios:
2TXH p "
Lista de valores gerada através de algoritmo computacional
(programa gerador de números aleatórios, ou GNA).
Os valores sorteados são uniformemente distribuidos entre 0 e 1 e
multiplicados por 10.000. Abaixo, tabela parcial obtida do livro
³,QWURGXomRD0RGHODJHPH6LPXODomRGH6LVWHPDV´ 3DXOR)UHLWDV
98543
87060
82170
...
59525
95250
68014
...
&RPRXVDU "
21114
50277
7937
...
73109
17486
98003
...
690095
7962
40146
...
...
...
...
...
Escolher os dois últimos algarismos de cada número, percorrendo a
tabela da esquerda para a direita e de cima para baixo. Exemplo: o
primeiro número a ser escolhido é .
0pWRGR GH0RQWH&DUOR
Tabela reduzida, usada para obter os valores
Intervalo Pto.Médio
0Ö5
2.5
5 Ö 10
7.5
10 Ö 15
12.5
15 Ö 20
17.5
20 Ö 25
22.5
25 Ö 30
27.5
30 Ö 35
32.5
35 Ö 40
37.5
40 Ö 45
42.5
Intervalos
0.01 Ö 0.35
0.36 Ö 0.54
0.55 Ö 0.73
0.74 Ö 0.86
0.87 Ö 0.89
0.90 Ö 0.96
0.97
0.98 Ö 0.99
1.00
0.43
6
2V,QWHUYDORV
O efeito dos intervalos:
Intervalo Pto.Médio
0 5
2.5
5 10
7.5
10 15
12.5
15 20
17.5
20 25
22.5
25 30
27.5
30 35
32.5
35 40
37.5
40 45
42.5
Intervalos
0.01 0.35
0.36 0.54
0.55 0.73
0.74 0.86
0.87 0.89
0.90 0.96
0.97
0.98 0.99
1.00
0.80
0.70
1.00
0.90
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
2V,QWHUYDORV
0.80
0.70
1.00
0.90
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
7
2V,QWHUYDORV
Atuação do Método de Monte Carlo:
0.80
0.70
1.00
0.90
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
Recepção do Pronto-Socorro
Em um Pronto-Socorro, deseja-se dimensionar através de simulação a
quantidade de recepcionistas. Para isso será necessário simular o
sistema durante vários meses. Devido a inviabilidade de se simular
tanto tempo com dados reais, será necessário gerar os valores por meio
de Método de Monte Carlo.
A partir dos dados ao lado,
obtidos através de 50
cronometragens dos intervalos
entre chegadas dos pacientes
(tempos em minutos), monte a
tabela de intervalos de
frequências e, através da tabela
de números aleatórios fornecida,
encontre 10 números, que serão
usados para iniciar a simulação.
18.9
15.3
15.1
10.7
18.1
16
11.8
14.2
15.4
15.9
20.1
19.4
17.5
20.6
18.5
12.4
16.8
21.2
14
15.6
16.1
16.1
21.1
15
16.7
16.2
17.2
11.6
16
16.8
19.8
17.3
14.7
16.9
14.2
14.9
15.5
16
17.6
18.9
15.1
15
21.8
19.7
12.9
14.8
17.6
20.7
16.8
15.2
8
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
1) Coletar (cronometrar) os dados brutos
18.9
15.3
15.1
10.7
18.1
16
11.8
14.2
15.4
15.9
20.1
19.4
17.5
20.6
18.5
12.4
16.8
21.2
14
15.6
16.1
16.1
21.1
15
16.7
16.2
17.2
11.6
16
16.8
19.8
17.3
14.7
16.9
14.2
14.9
15.5
16
17.6
18.9
15.1
15
21.8
19.7
12.9
14.8
17.6
20.7
16.8
15.2
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
2) Tabular os valores: Identificar os intervalos e descobrir suas
frequências.
Intervalo
15
10
5
10
11.5
11.5
13
14.5
16
17.5
1
4
3
16
10
7
4
5
13
14.5
16
17.5
19
20.5
22
0
10 11.5
13 14.5
16 17.5
19 20.5
Observações
19
20.5
22
9
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
Cálculo das frequências:
Intervalo
Observações
10 Ö 11.5
11.5 Ö 13
13 Ö 14.5
14.5 Ö 16
16 Ö 17.5
17.5 Ö 19
19 Ö 20.5
20.5 Ö 22
Frequência
1
4
3
16
10
7
4
5
1/50
0.02
0.08
0.06
0.32
0.20
0.14
0.08
0.10
Total: 50 observações
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
3) Cálculo do ponto médio dos intervalos:
Intervalo
10 Ö 11.5
11.5 Ö 13
13 Ö 14.5
14.5 Ö 16
16 Ö 17.5
17.5 Ö 19
19 Ö 20.5
20.5 Ö 22
Observações Frequência Pto.Médio
1
4
3
16
10
7
4
5
0.02
0.08
0.06
0.32
0.20
0.14
0.08
0.10
10.75
12.25
13.75
15.25
16.75
18.25
19.75
21.25
10
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
4) Calcular a frequência ACUMULADA:
Intervalo
Observações Pto.Médio Frequência
10 Ö 11.5
11.5 Ö 13
13 Ö 14.5
14.5 Ö 16
16 Ö 17.5
17.5 Ö 19
19 Ö 20.5
20.5 Ö 22
1
4
3
16
10
7
4
5
10.75
12.25
13.75
15.25
16.75
18.25
19.75
21.25
0.02
0.08
0.06
0.32
0.20
0.14
0.08
0.10
Frequência
Acumulada
0.02
0.02
0.02 + 0.08 = 0.10
0.10 + 0.06 = 0.16
0.16 + 0. 32 = 0.48
0.68
0.82
0.90
1.00
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
6) Escolher os valores na tabela de números aleatórios:
98543
87060
82170
...
59525
95250
68014
...
21114
50277
7937
...
73109
17486
98003
...
690095
7962
40146
...
...
...
...
...
Escolher os dois últimos algarismos de cada número, percorrendo a
tabela da esquerda para a direita e de cima para baixo. Exemplo: o
primeiro número a ser escolhido é .
11
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
7) Procurar,
na tabela de intervalos de frequência, em qual
intervalo se encontra o número escolhido
Intervalo Observações Pto.Médio
10 Ö 11.5
1
10.75
11.5 Ö 13
4
12.25
13 Ö 14.5
3
13.75
14.5 Ö 16
16
15.25
16 Ö 17.5
10
16.75
17.5 Ö 19
7
18.25
19 Ö 20.5
4
19.75
20.5 Ö 22
5
21.25
Intervalos
0.01 Ö 0.02
0.03 Ö 0.10
0.11 Ö 0.16
0.17 Ö 0.48
0.49 Ö 0.68
0.69 Ö 0.82
0.83 Ö 0.90
0.91 Ö 1.00
0.43
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
Sorteando o segundo valor
98543
87060
82170
...
59525
95250
68014
...
21114
50277
7937
...
73109
17486
98003
...
690095
7962
40146
...
...
...
...
...
No número seguinte, extrair os dois últimos algarismos, resultando no
valor .
12
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
7) Procurar,
na tabela de intervalos de frequência, em qual
intervalo se encontra o número escolhido
Intervalo Observações Pto.Médio
10 Ö 11.5
1
10.75
11.5 Ö 13
4
12.25
13 Ö 14.5
3
13.75
14.5 Ö 16
16
15.25
16 Ö 17.5
10
16.75
17.5 Ö 19
7
18.25
19 Ö 20.5
4
19.75
20.5 Ö 22
5
21.25
Intervalos
0.01 Ö 0.02
0.03 Ö 0.10
0.11 Ö 0.16
0.17 Ö 0.48
0.49 Ö 0.68
0.69 Ö 0.82
0.83 Ö 0.90
0.91 Ö 1.00
0.25
0RQWH&DUOR([HUFtFLR
Valores obtidos:
Paciente Tempo de
chegada
1
15.25
2
15.25
3
13.75
4
12.25
5
21.25
6
16.75
7
16.75
8
18.25
9
19.75
10
16.75
Valores sorteados
13
2V,QWHUYDORV
Comparação entre os dois intervalos gerados até agora
Primeiro (exemplo)
0.80
0.70
1.00
0.90
0.60
0.50
Segundo (exercício)
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.40
0.30
0.30
0.20
0.20
0.10
0.10
0.00
0.00
14