é o estudo das relações entre os lados de um triângulo, e entre

INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA
AULA 07: TRIGONOMETRIA
TÓPICO ÚNICO: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
ATRIGONOMETRIAé o estudo das relações entre os lados de um
triângulo, e entre arcos de circunferências e as cordas subtendidas.
TRIGONOMETRIA
A palavra “trigonometria” deriva das palavras gregas trigono (três
ângulos) e metron (medida), o termo foi criado pelo alemão
Bartholomäus ou Bartholomeus Pitiscus (1561-1613) em seu livro
“Trigonometriae Sive de Solutione Triangulorum Tractaus Brevis et
Perspicuus” publicado em 1595"
O objetivo desta aula é apresentar as razões trigonométricas
relativamente ao triângulo retângulo; além disso, a aula é finalizada
estudando as relações mais importantes entre razões trigonométricas.
As razões trigonométricas de um ângulo agudo (ângulo agudo -- (isto é,
um ângulo de medida maior que zero e menor que noventa graus)) , são
definidas como segue. Considere um ângulo agudo de vértice A e medida
( -- (isto é, <img src="imagens/01/01_clip_image002_0011.gif"
align="middle">)) , sejam B e D pontos quaisquer num lado do ângulo, C
e F pontos no outro lado de forma que os segmentos
e
sejam
perpendiculares ao lado que contém B e D, formando assim os triângulos
retângulos
e
Os triângulos
e
têm os ângulos internos correspondentes
congruentes, logo são semelhantes e assim: ( -- (da propriedade 1 tópico 3 da
aula 3))
isto significa que a razão tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja o
triângulo retângulo considerado e só depende de
esse valor é chamado de
seno de
e é indicado por
Considerando ainda os triângulos mencionados anteriormente, também
da semelhança dos triângulos, tem-se as prorporções.
que também só dependem de
As razões (ii) e (iii) são chamadas de
co-seno de e tangente de , e abreviadas por
e
respectivamente.
Tomando o inverso das razões (i), (ii) e (iii), as novas razões são
chamadas de secante de
co-secante de
por
e
respectivamente.
e co-tangente de
abreviadas
As seis razões trigonométricas definidas podem ser vistas a partir de
qualquer triângulo retângulo, assim do triângulo ABC da figura anterior e
considerando
a medida da hipotenusa,
e
as medidas
dos catetos, obtém-se as razões ou unidades trigonométricas no triângulo
retângulo ,dadas por:
RAZÕES OU UNIDADES
RETÂNGULO
TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
O Papiro Rhind é um documento egípcio comprado em 1858 pelo
antiquário escocês Henry Rhind, medindo 0,32 m de altura por 5,5 m
de comprimento, copiado por um escriba chamado Ahmes em 1650 a.C.
aproximadamente (o escriba relata que o seu conteúdo vem de
documentos de cerca de 2000 a 1800 a.C.); o Papiro contém 85
problemas com soluções sobre aritmética, álgebra e geometria, quatro
problemas fazem referência ao “seqt”, palavra egípcia que significa o
afastamento horizontal de uma reta oblíqua em relação ao eixo vertical
para cada variação de unidade na altura, trata-se de um conceito
equivalente ao de co-tangente da medida de um ângulo; esta seria a
primeira evidência do uso de uma razão trigonométrica.
(a)
b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Então,pode-se enunciar que:
A
O
é o cateto oposto ao vértice do ângulo dividido pela
hipotenusa;
B
O
é o cateto adjacente ao vértice do ângulo dividido pela
hipotenusa;
C
A
é o cateto oposto ao vértice do ângulo dividido pelo cateto
adjacente;
D
é o cateto adjacente ao vértice do ângulo dividido pelo
A
cateto oposto;
E
A
é a hipotenusa divida pelo cateto adjacente ao vértice do
ângulo;
F
A
ângulo;.
é a hipotenusa dividida pelo cateto oposto ao vértice do
As unidades trigonométricas estão relacionadas, de acordo com a
proposição a seguir.
Proposição 1. Se
então:
onde (por exemplo)
(a)
indica
(b)
(c)
(d)
(e)
DEMONSTRAÇÃO
Tem-se que:
(a)
Pitágoras)
(b)
(c)
(d)
(e)
mas
logo
(do
teorema
de
A proposição 1 mostra que tendo o seno e co-seno da medida de um
ângulo agudo, pode-se calcular o restante das unidades trigonométricas
dessa medida. Não se tem ainda uma forma de calcular o seno e co-seno da
medida de nenhum exemplo de ângulo agudo, mas as duas proposições a
seguir dão as condições necessárias.
Proposição 2. Se dois ângulos de medidas
então:
(a)
são complementares,
(b)
DEMONSTRAÇÃO
Basta aplicar as definições considerando o triângulo retângulo da
última figura, isto é:
(a)
(b)
e
assim de fato
e
logo
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular o seno, o co-seno e a tangente de
SOLUÇÃO
Sendo
tem-se que
daí (substituindo
igualdade)
isto
logo
Por outro lado
por
na última
é,
portanto (sendo o
um número
positivo)
Do resultado anterior, obtém-se que
Dos resultados anteriores ou apenas do primeiro resultado, obtém
-se que
EXEMPLO PROPOSTO 1
Usar um triângulo retângulo de catetos com medidas iguais a um,
para chegar aos resultados do exemplo resolvido 1.
Proposição 3. Tem-se que:
(a)
se
(b)
se
DEMONSTRAÇÃO
Para justificar os resultados da proposição, considere o triângulo
isóscele da figura a seguir.
No triângulo, os lados congruentes
a um,
e
e
têm medidas iguais
são alturas do triângulo
(a) área do triângulo ABC é dada por
e
mas
logo a área do triângulo ABC é
lado, a altura
Por outro
separa o triângulo ABC nos triângulos congruentes
ABE e EBC, logo a área do triângulo ABC é duas vezes a área do
triângulo EBC; como área do triângulo EBC é dada por
além disso
e
tem-se que a área do
triângulo ABC é dada por
Igualando as
expressões obtidas para a área do triângulo
isto é ,
(b)Tem-se que
mas
logo
Tem-se ainda que
daí substituindo
por
obtém-se
isto
é,
são
daí substituindo
complementares, tem-se que
em
e
em
Como
por
ABC, obtém-se
obtém-se
ou seja,
O resultado da proposição é obtido, substituindo nesta última
igualdade
por
e portanto
por
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Calcular o seno e o co-seno de 30° e 60°
SOLUÇÃO
Num triângulo equilátero, os ângulos internos são congruentes de
medidas iguais a
além disso a altura relativa a qualquer um dos
lados separa um ângulo interno em dois ângulos de medidas iguais
a
Considere na figura a seguir um triângulo equilátero de lados
com medidas iguais a um.
Observe que de fato
pois é a metade de
e a altura
decorrente do teorema de Pitágoras. Então,
do triângulo
obtém-se
e
EXEMPLO PROPOSTO 2
Calcular o seno e co-seno de 15° e 75°
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Calcular o seno e co-seno de 18°
SOLUÇÃO
Considere o triângulo isóscele na figura a seguir, onde os lados
congruentes têm medidas iguais a um, o ângulo interno determinado
por tais lados tem medida igual a 36° e o terceiro lado tem medida
igual a
Observe que as medidas dos ângulos com vértices em A e C,
iguais a 72°, estão corretas. Inicialmente, seja a bissetriz do ângulo de
medida igual a 36° é a altura
assim forma com
catelo
e
do triângulo ABC relativa a
o triângulo DBC que é retângulo com
e hipotenusa
logo
O valor de
será calculado a seguir.
Agora, observe que a bissetriz
do ângulo com vértice em A,
forma com
e
um triângulo isóscele pois os ângulos com
vértices em C e E têm medidas iguais a 72° assim
Veja
que o triângulo ABE é isóscele, pois os ângulos de vértices em A e B
têm medidas iguais a 36° assim
e daí
Logo, os triângulos ABC e AEC são semelhantes, assim da
propriedade 1 do tópico3 da aula 3, tem-se a proporção
resolvendo a equação
e
sendo
Como
acha-se
Portanto,
tem-se
obtém-se
EXEMPLO PROPOSTO 3
Calcular o seno e co-seno de
Calcular também seno e
co-seno de 27°
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Mostrar que
SOLUÇÃO
Da proposição 1, tem-se
da proposição 3,
obtém-se
assim
e
Logo, substituindo
acha-se
isto
é,
EXEMPLO PROPOSTO 4
Se
mostrar que:
EXEMPLO RESOLVIDO 5
O exemplo resolvido 3 do tópico 2 da aula 4 tem o seguinte
enunciado: se um triângulo eqüilátero de lado
está inscrito numa
circunferência de raio r, mostrar que
Usar unidades
trigonométricas para solucionar o exemplo.
SOLUÇÃO
Considere a figura a seguir.
O ângulo central tem medida igual a
isso justifica na
figura a medida do ângulo interno do triângulo retângulo de lados r,
a e
sendo igual a 60°. Logo, tem-se
e
EXEMPLO PROPOSTO 5
O exemplo proposto 3 do tópico 2 da aula 4 tem o seguinte
enunciado. Mostrar que se está inscrito numa circunferência de raio r
um: (a) Qadrado de lado
então
(b) Hexágono de
lado
então
Usar
unidades
trigonométricas
para
solucionar esse exemplo proposto 6.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Os exemplos propostos 1 à 5 deste tópico, são as respectivas
questões 1 à 5 da QUESTÃO 1 do trabalho desta aula a ser postado no
Portfólio individual do ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho seja
postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar,
NUM ÚNICO ARQUIVO DIGITADO NO WORD OU EM PDF, OU AINDA,
MANUSCRITO E ESCANEADO.