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2a Lista de Problemas de Fis403
— Fı́sica Geral III —
2o Semestre de 2015
IFQ/UNIFEI
1
Questões
1) Explique a diferença entre potencial elétrico e energia potencial eletrostática.
2) O campo elétrico que aparece na lei de Gauss,
I
q
E·n̂ dS = ,
0
S
é devido à presença da carga q?
3) Suponha que seja nula a carga total contida no interior de uma superfı́cie gaussiana. Podemos concluir,
da Lei de Gauss, que o campo deva ser zero em todos os pontos da superfı́cie? Será verdadeira a recı́proca
desta afirmação, isto é, se E for nulo em todos os pontos de uma superfı́cie fechada, então também é nula a
carga total nela contida?
4) Um condutor oco, grande e isolado está carregado com +q. Através de uma pequena abertura no
topo desse condutor, introduz-se uma pequena esfera metálica de carga −q, a qual permite-se que toque a
superfı́cie interna do condutor, sendo então retirada. Quais serão as cargas no condutor e na esfera depois
disso?
5) Aplicando-se a lei de Gauss a um condutor isolado em equilı́brio eletrostático, pode-se concluir que todos
os elétrons de condução deste se encontram necessariamente em sua superfı́cie?
6) Com base na mesma análise, pode-se concluir que os elétrons existentes na fiação elétrica de uma casa
se deslocam ao longo das superfı́cies desses fios? Em caso negativo, por que não?
7) Considerando um condutor maciço e de formato irregular, qual deve ser a relação entre o valor do potencial elétrico em pontos do seu interior e em pontos da sua superfı́cie? Responda novamente considerando
condutores com cavidades em seu interior, e também condutores formados por uma casca metálica muito
fina, todos de formato arbitrário.
8) Considere duas esferas condutoras de raios R1 e R2 com cargas Q1 e Q2 respectivamente que se encontram
muito distantes uma da outra. Conecte-as agora por fio condutor e encontre a relação entre suas densidades
superficiais de cargas, analise o resultado obtido e dê a sua explicação para o fenômeno do poder das pontas
em condutores.
9) Os conselhos que se dão a alpinistas surpreendidos por tempestades acompanhadas de descargas elétricas
são: a) abandonar rapidamente os picos; b) juntar ambos os pés e agachar-se num descampado, com apenas
os pés tocando o solo; c) evitar permanecer nas proximidades de árvores, principalmente se forem altas.
Discuta quais são as bases para esses conselhos.
2
Problemas
1) Determinar a densidade volumétrica de cargas na origem quando:
a) E = x2 y 2 z 2 x̂ + 9 sen y ŷ + (y + z)ẑ N/C
Resp: ρ(0) = 88,5 pC/m2
2
2
b) E = 2ρ sen ϕ ρ̂ + 3ρ sen ϕ ϕ̂ + 7z ẑ N/C
Resp: ρ(0) = 62,0 pC/m2
2
2
2
c) E = 3r sen ϕ r̂ + 2r sen θ cos ϕ θ̂ + 5r sen θ sen ϕ ϕ̂ N/C.
Resp:
ρ(0) = 0
2) Uma região do espaço está impregnada com carga elétrica de tal modo que o campo elétrico nela é dado
E0 ρ2
E0 R
por E =
ρ̂, para ρ ≤ R e E =
ρ̂, para ρ > R, onde ρ̂ é o versor perpendicular ao eixo de simetria
2
R
ρ
da distribuição, e R e E0 são constantes.
a) Que tipo de simetria possui esta distribuição?
b) Determinar a densidade volumétrica de cargas nas regiões ρ ≤ R e ρ > R.
c) Determinar a carga total contida entre os planos z = 0 e z = L desta região, supondo que o meio seja o
vácuo.
(
Resp: a) Cilı́ndrica.
b) ρv (ρ) =
30 E0 ρ
,
R2
0,
ρ≤R
ρ>R
c) Q = 2π0 RLE0 .
3) Em uma certa região do espaço o potencial é dado por V = axy + by 2 + cy.
a) Determinar E. Em que pontos ele se anula?
b) Determinar, na origem, a densidade volumétrica de cargas que produz este potencial e campo.
Resp: a) E = −ay x̂ − (ax + 2by + c) ŷ.
O campo se anula em y = 0 e x = −c/a
b) ρ = −2b0
4) Em uma certa região do espaço existe uma distribuição esférica de cargas cujo potencial é dado por:

r2
r3
 ρ0 a2
(1 − 3 2 + 2 3 ), para r ≤ a
V (r) =
a
a
 180
0,
para r > a
a) Calcular E para r ≤ a e r > a;
b) determine a densidade de carga ρ dessa distribuição;
c) determine a carga total dessa distribuição.
Resp:
a) E =
anulam.
ρ0 r
(1 − r/a) r̂,
30
r<a
b) ρ(r) = ρ0
4r
1−
,
3a
r<a
c) Q = 0. Para r > a as respostas dos itens a) e b) se
5) Três cargas pontuais q1 = 2,5 µC, q2 = −1,5 µC e q3 = 4,0 µC estão localizadas respectivamente nos
pontos P1 (1, 0, 0), P2 (1, 2, 2) e P3 (−1, 1, −1), com todas as coordenadas dadas em metros. Além disso, há
um arame infinito muito fino, carregado com uma densidade linear de cargas λ não uniforme e situado
sobre o eixo z deste sistema de coordenadas. Calcule o fluxo elétrico através da superfı́cie esférica dada por
x2 + y 2 + z 2 = R2 nos seguintes casos:
a) λ = 0,75 |z| µC/m e R = 2 m.
Resp: ΦE = 1,1.106 V.m
b) λ = 0,75 z µC/m e R = 3,5 m.
Resp: ΦE = 0,56.106 V.m
6) Um bloco condutor tem em seu interior uma cavidade de formato qualquer. Um pequeno corpo com
carga elétrica q é introduzido nesta cavidade. Provar que a carga induzida na superfı́cie interior do condutor
é −q.
7) Na figura ao lado o cubo de aresta a = 10 cm está imerso numa região onde o campo é descrito
por E = bx1/2 x̂, com b = 800 V/m3/2 . Determine:
a) O fluxo através do cubo. Resp: ΦE = 1,05 V.m
b) A carga em seu interior. Resp: Qi = 9,27.10−12 C
c) A densidade de cargas em cada vértice do cubo.
y
Resp:
x
ρ(x = a) = 11,2 nC/m3 , ρ(x = 2a) = 7,9 nC/m3 .
z
a
8) Um cilindro infinito não condutor, de raio a, se encontra uniformemente carregado com uma densidade
volumétrica de cargas ρv . Determine o campo E em pontos externos (ρ > a) e internos (0 < ρ < a)
ao cilindro. Exprima os resultados também em termos de λ (carga por unidade de comprimento). Resp:
ρv a2
λ
ρv ρ
λρ
E=
ρ̂ =
ρ̂, para ρ > a e E =
ρ̂ =
ρ̂, para (0 < ρ < a).
2
20 ρ
2π0 ρ
20
2π0 a
9) Uma camada infinita de cargas com densidade uniforme σ = 120 (C/m2 ) está localizada na superfı́cie
definida por 2x − y + 2z = 4, num sistema de coordenadas no vácuo. Calcular o campo elétrico E em todos
os pontos do espaço. Resp: E = ±(4x̂ − 2ŷ + 4ẑ)N/C
10) Sejam dois planos carregados, infinitos e paralelos, um deles no plano yz e o outro à distância x = a. a)
Determinar o potencial eletrostático no espaço entre eles, com V = 0 em x = 0 e cada plano com densidades
de carga iguais e positivas +σ. b) Repetir o problema se as densidades de carga forem iguais porém de
sinais contrários e a carga positiva estiver no plano yz. c) Faça um gráfico do potencial V em função de x
e do campo elétrico E em função de x, abrangendo regiões entre as placas e fora delas.
Resp: a) V = 0 para 0 < x < a, −(σ/0 )(x − a) para x > a e σx/0 para x < 0; b) −σx/0 para 0 < x < a, −σa/0 para x > a e 0 para
x<a
11) Uma carga Q é distribuı́da uniformemente ao longo do volume de uma esfera de raio R. Determine:
a) O campo E em pontos externos (r > R) e internos (r < R) à esfera.
b) O potencial em pontos externos (r > R) e internos (r < R) à esfera.
Q
r̂,
c) A energia potencial total da distribuição. Resp: Para r > R, E =
2
para r ≤ R, E =
Qr
r̂,
4π0 R3
V (r) =
Q(3R2 − r2 )
;
8π0 R3
U =
4π0 r
3Q2
20π0 R
V (r) =
Q
,
4π0 r
12) Uma carga Q é distribuı́da num volume esférico de raio R com densidade de carga dada por ρv =
A(R − r) (C/m3 ). Determinar:
a) A em termos de Q e R. No S.I., qual é sua unidade?
b) O campo eletrostático E em todas as regiões do espaço (dentro e fora da região esférica).
3Q
c) A energia necessária para produzir uma tal distribuição de cargas. Resp: a) A = 4 (C/m4 ). b) Para r > R,
E=
Qr
Q
r̂, e para r ≤ R, E =
(4R − 3r)r̂,
4π0 r2
4π0 R4
c) U =
πR
87Q2
.
280π0 R
13) Uma esfera de raio a possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por:
a
ρv = ρ0 ,
r
onde ρ0 é uma constante. Esta distribuição está concentricamente envolvida
por uma camada metálica esférica de raios interno e externo respectivamente
a
iguais a b e c, sendo b > a. Determine E nas seguintes regiões:
a.1) r ≤ a
a.2) a < r < b
a.3) b < r < c
b
b) A leitura de um voltı́metro cujos terminais são colocados em contato com
o centro e a superfı́cie externa da camada metálica (V0 − Vc ).
c
c) A densidade de cargas na superfı́cie interna da camada metálica. Resp:
a.1) E =
ρ0 a
r̂
20
a.2) E =
ρ0 a3
r̂
20 r2
a.3) E = 0
b) ∆V =
ρ0 a2
(2b − a)
20 b
c) σ = −
ρ0 a3
2b2
14) Um cilindro oco de raios interno e externo respectivamente iguais a a e b está carregado com uma
densidade volumétrica de cargas ρv = A/ρ. Determine o campo elétrico em todas as regiões do espaço
e a diferença de potencial entre as superfı́cies interna e externa do cilindro. Resp: E = 0, para 0 < ρ < a;
E=
A
A
A
(ρ − a)ρ̂, para a < ρ < b; E =
(b − a)ρ̂, para ρ > b. V (a) − V (b) =
(b − a − a ln(b/a)).
0 ρ
0 ρ
0
15) a) Determine o potencial eletrostático produzido por uma casca esférica de raio a, uniformemente
carregada com carga Q e esboce seu gráfico em função de r. b) Usando o resultado do item a), integre sobre
a configuração de cargas para determinar a energia potencial eletrostática associada. Obtenha este mesmo
resultado usando agora o conhecimento do campo E. c) Considerando a resposta do item b) , diga se seria
possı́vel formar a casca carregada usando a energia potencial eletrostática de uma configuração de duas
Q
pontuais, com carga Q cada, sendo a a distância entre as cargas pontuais (justifique). Resp: a) V (r) =
,
para r > a, e
Q2
b) U =
8π0 a
Q
V (r) =
, para r < a;
4π0 a
4π0 r
Q2
c) Sim, pois U =
4π0 a
0
16) Três cargas idênticas de 0,005 C são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de 1,0 m de lado.
a) Qual o trabalho necessário para se deslocar uma das cargas para o ponto
situado no meio do segmento de reta que une as outras duas cargas? Resp:
W = 4,5.105 J
b) Determine o fluxo elétrico através de uma esfera de raio 0,75 m, centrada
na carga inferior esquerda da figura, nas configurações inicial e final. Resp:
ΦEi = 5,6.108 V.m, ΦEf = 1,12.109 V.m
17) A figura ao lado ilustra um sistema de duas cargas q1 = −q2 = q. Pede-se
a) O potencial eletrostático em A e B;
q
q
VB = −
8π0 a
8π0 a
√
q2
Resp: U = − 5
20π0 a
Resp: VA =
b) A energia eletrostática desse sistema.
c) O trabalho que um agente externo deve realizar para levar uma carga q3 = 2q
q2
desde A até B. Resp: Wext(A→B) = −
2π0 a
q1
B
a
A
2a
q2
18) Considere 3 partı́culas idênticas, cada uma com carga Q e massa m, inicialmente distribuı́das na forma
y
de um triângulo equilátero como mostrado na figura ao lado. a) Calcule o
trabalho realizado ao se mover a carga localizada no ponto P1 para o ponto
a
P2 . b) Se a mesma carga for abandonada em repouso no ponto P1 , qual
a
será sua velocidade final quando
estiver muito afastada da distribuição de
√
a
Q2 (2 − 2)
Q
a
cargas? Resp: W = −
, v= √
P2
P1
8π0 a
π0 am
x
19) Um dipolo elétrico pontual de momento de dipolo p encontra-se a uma distância a de um fio retilı́neo
infinito de densidade linear de cargas λ uniforme. Inicialmente a orientação do dipolo é perpendicular ao fio
no sentido radial positivo.
a) Quais são a força e o torque que atuam sobre ele?
b) Que trabalho será necessário para girá-lo até que sua orientação fique paralela ao fio?
Resp: a) τ = 0,
F=−
pλ
ρ̂
2π0 a2
b)W =
pλ
2π0 a
20) Dois dipolos elétricos pontuais, de momentos de dipolo respectivamente p1 e p2 , estão a uma distância
a um do outro, sendo o primeiro localizado na origem e ao longo do eixo z, enquanto o segundo está num
ponto do eixo z, mas alinhado com o eixo y. Determine a força e o torque que o segundo dipolo sofre devido
ao primeiro e a energia potencial da interação entre eles. Repita, com p2 alinhado também ao longo de z.
Resp: a) F = 0,
U = 0,
τ =
p1 p2
x̂,
2π0 a3
b) U = −
p1 p2
,
2π0 a3
F=−
3p1 p2
ẑ,
2π0 a4
τ =0
1
21) Numa região do espaço onde o potencial é dado por V (x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes,
2
é colocado um pequeno dipolo elétrico de momento p = p0 x̂. Determine a força e o torque atuantes sobre
ele. Que energia foi dispendida para colocá-lo lá? Resp: τ = 0, F = p0 a, U = p0 (ax + b)
22) Metade de um disco de raio a está carregado com uma densidade superficial de cargas σ (imaginando
o disco dividido por um diâmetro), enquanto sua outra metade tem uma distribuição de cargas uniforme
−σ. Determine o campo e o potencial em pontos muito distantes do disco a) no seu eixo de simetria; b)
σa3
σa3 sen ϕ
no plano do disco. Resp: Disco no plano xy, metade positiva em y > 0: a) V = 0, E = −ŷ
, b) V =
, E=
3
2
σa3 2 sen ϕ ρ̂ − cos ϕ ϕ̂
σa3
=
[3 sen 2ϕ x̂ + (1 − 3 cos 2ϕ) ŷ].
3π0
ρ3
6π0 ρ3
3π0 z
3π0 ρ
23) Uma esfera condutora de raio R está imersa no vácuo. O campo elétrico
próximo à superfı́cie
muito
R3
R3
da esfera, na região r > R, é dado por E = E0 1 + 2 3 cos θ r̂ − E0 1 − 3 sen θ θ̂. Determine a
r
r
densidade de cargas na superfı́cie da esfera. Resp: σ = 30 E0 cos θ
24) No modelo clássico de J.J. Thomson para o átomo de hidrogênio, a carga +e do núcleo era imaginada
como estando uniformemente distribuı́da no interior de uma esfera de raio a da ordem de 10−8 cm (raio
atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme −e movendo-se no interior dessa distribuição.
a) Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto a uma distância r < a do centro da
esfera;
b) mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples;
c) calcule a frequência de oscilação e compare-a com uma frequência tı́pica da luz visı́vel.
Resp: a)E =
ρr
r̂; b) ω = e/(4π0 me a3 )1/2 ; c) ν ≈ 7, 2 × 1015 Hz
30