1a Prova de Cálculo Numérico

2o Trabalho de Cálculo Numérico – 2002/02
Data de entrega: 23 de setembro de 2002
Objetivo: Resolver equações diferenciais utilizando técnicas computacionais.
1a Questão:
A figura abaixo representa um bloco de metal de massa M = 1 kg, em repouso sobre uma superfície rugosa e
engastado a uma mola com constante de elasticidade K = 10 Nm. Considere que o bloco está deslocado de 1
m de sua posição de equilíbrio (x = 0). No instante inicial (t = 0 s) o bloco é liberado e inicia um movimento
oscilatório. O atrito entre o bloco e a superfície causa um amortecimento proporcional a velocidade do bloco.
Com base nestas condição deseja-se determinar a posição do bloco (x) em função do tempo (t).
K
M
x
Para resolver o problema acima podemos escrever uma equação para o movimento do bloco com base em
F  M .a
onde F representa a somatória das forças agindo sobre bloco, M representa a massa do bloco e a sua
aceleração. Para este problema as forças agindo sobre o bloco são a força da mola (Fmola = Kx) e a força
devido ao atrito (força proporcional à velocidade do bloco). Assim, podemos rescrever a equação acima
como:
 Kx  cv  M .a
onde K é a constante de elasticidade da mola, x é a posição do bloco, c é a constante de amortecimento (c=1
N.s/m) e v é a velocidade do bloco. Sabendo-se que :
v  x'
a  x' '
temos que:
 Kx  c.x'  M .x' '
que representa a equação diferencia governante do problema. Assim, para resolver determinar a posição do
bloco em função do tempo é necessário resolver o seguinte problema de valor inicial:
M .x' '   Kx  c.x'

x(0)  1


x' (0)  0

Pede-se:
a) Resolva o problema de valor inicial acima, utilizando o método de Euler, e apresente os resultados na
forma de um gráfico (x em função de t) para t variando de 0 ate 20 s. Determine o tamanho do passo
adequado para a solução do problema.
b) Resolva o problema de valor inicial acima, utilizando o método de Euler Aperfeiçoado. Determine o
tamanho do passo adequado para a solução do problema.
c) Compare o tamanho do passo utilizado para cada método, com base na acurácia do método.
2a Questão:
A figura abaixo representa um microprocessador em fase de projeto. Sabendo que este microprocessador
gera calor na taxa de 1 x 103 W/m3 e que sua superfície superior é mantida a 100oC por um dissipador de
calor, deseja-se determinar a temperatura máxima em seu interior, com o objetivo de evitar danos devido ao
super-aquecimento.
Microprocessador
Placa Mãe
0,01 m
É possível considerar que a troca de calor entre o processador e sua superfície inferior (interface
microprocessador/placa mãe) é desprezível em relação à troca de calor na superfície superior (interface
microprocessador/dissipador de calor). Visto que a espessura do processador é muito menor que suas outras
dimensões, podemos afirmar que somente as variações de temperatura ao longo da espessura do processador
são importantes. Assim, podemos escrever a equação governante do problema como sendo a equação de
condução de calor na forma unidimensional, dada por:
k
 2T
 C
y 2
onde k é a condutividade térmica do material (k = 1.0 x 10-3 W/moC) e C é a geração de calor (C = 1 x 103
W/m3). A figura abaixo apresenta uma representação esquemática do problema unidimensional, onde a
extremidade superior do domínio de estudo é mantida a 100oC e a extremidade inferior é possui um fluxo de
calor nulo, isto é T y  0 .
0.01 m
T= 100oC
T’= 0
Para resolver este problema precisamos então resolver o seguinte Problema de Valor de Contorno:
  2T
k 2  C '
 y
 T ' (0)  0
 T (1)  100


Pede-se:
a) Resolva o Problema de Valor de Contorno acima.
b) Apresente o gráfico da temperatura interior do processador (T vs. y).
c) Determine a temperatura máxima no interior do processador.
Obs.: Utilize pelo menos 50 pontos nodais para discretizar o problema.