A CONSTRUÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO DA MATEMÁTICA

Título: A CONSTRUÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO DA MATEMÁTICA
Área Temática: Educação em Ciências Naturais e Matemática
Autores: N. CHIKANTSEVA (1), E. SOVETOVA (2) e M. MIATCHINA (3)
Instituição: Universidade Federal de Pelotas – RS (Departamento de Ensino)
Introdução
Desenvolvimento do pensamento lógico-matemático e da intuição são
assuntos de grande importância para a educação. PUANCARÉ escreveu:
“Provam com ajuda da lógica, inventam com ajuda da intuição”. O estudo da
geometria contribui muito no desenvolvimento dessas qualidades e exerce uma
influência no desenvolvimento do pensamento ativo e criativo.
Nos últimos anos em vários países foi desenvolvido um método didático
de ensino da geometria nas escolas, que utiliza uma interligação das noções
geométricas com a construção e analise das figuras concretas do arte
japonesa ‘Origami’. O curso integrado da geometria baseado neste método
recebe o nome ‘origametria’ e aplica as capacidades criativos dos alunos no
processo de ensino. A metodologia dada permite desenvolver o pensamento
construtivo, logico-matemático e imaginação espacial dos alunos.
Neste trabalho é feito um análise dos fundamentos e as vantagens
principais deste método, e apresentada uma programa e planejamento
temático do curso de origametria (30h/aulas), acompanhada com os exemplos
das aulas concretas.
As atividades construtivos no processo de ensino
Como foi dito acima, origametria utiliza um método didático baseado na
construção e análise das figuras do arte origami no processo de ensino da
geometria. Qual as vantagens principais deste método?
O termo construtivista é uma palavra latina, que significa ‘estou
construindo, estou formando’. Na psicologia separa-se os tipos diferentes da
construção: criativa e reprodutiva, mental, gráfico etc. Qualquer construção é,
em primeiro lugar, um processo mental, onde os desenhos são os recursos
auxiliares. As operações mentais tais como análise, comparação, indução e
dedução fazem partes da construção.
Quando formamos as capacidades e as habilidades construtivas na
confecção dos modelos, ou na realização dos desenhos, ou no trabalho com
os instrumentos das medidas, estamos formando as qualidades dos alunos tais
como: capricho, pontualidade, atenção, persistência, iniciativa própria,
imaginação, gosto estético e outros.
O
curso
da
geometria
contém
muitos
possibilidades
para
o
desenvolvimento das capacidades e habilidades construtivas dos alunos, por
exemplo, as atividades da criação das figuras geométricas com as
propriedades definidas, etc. De outro lado, a construção é recurso bem efetivo
para estudar a geometria mesma.
Por exemplo, a construção gráfica é
uma realização dos desenhos, esquemas que permitem definir as formas e
medidas dos partes dos objetos. Tem que dizer que as capacidades e
habilidades construtivas dos alunos desenvolvem-se não só nas aulas da
matemática, mas também nas outras disciplinas. Neste sentido é muito
importante fazer uma coordenação das atividades criativas dos alunos nos
diferentes cursos.
Para utilizar a construção bem importante saber a lógica deste processo,
quer dizer conseqüência, interligação dos etapas diferentes. Dentro eles os
mais importantes são:
•
colocação de problema e destacamento do problema construtivo básico;
•
resolução teórico do problema e a exploração do projeto; e
•
aprovação do projeto e a utilização dele.
Os objetivos básicos e recursos necessários do curso Origametria
O curso integrado de geometria com o arte das dobraduras de papel,
que chama-se ‘origami’ é um curso que utiliza as atividade mentais e criativos
dos alunos das séries iniciais. Os objetivos básicos deste curso são:
•
estudo das noções geométricas básicas, preparação dos alunos para o
estudo do curso sistemático da geometria;
•
desenvolvimento da imaginação espacial com ajuda da ‘leitura’ do
desenho e de dobraduras das figuras;
•
desenvolvimento das habilidades para desenhar;
•
desenvolvimento do pensamento, atenção, capacidades comunicativas;
e
•
desenvolvimento das capacidades criativas com ajuda da formulação
dos problemas matemáticas com a própria iniciativa dos alunos com a
utilização da folha de papel.
Os recursos necessários são:
•
os quadrados de papel branco e colorido com os lados de 15-20 cm;
•
caderno para trabalho;
•
caneta, lápis preto e lápis de cor ou canetinhas;
•
tesoura;
•
pasta, para as papeis e os modelos, construídas nas aulas.
O curso de origametria constitui por 30 horas de aulas com o carga
horária 1hora por semana.
Sumário do curso origametria nas séries iniciais (ou nas 5 séries)
Abaixo é apresentada uma programa do curso de origametria que foi
aproveitada na escola n.º 549 de Moscou pelo professora de matemática E.V.
SOVETOVA.
Esta programa pode ser usada com as modificações baseadas na
experiência própria do professor e turma concreta dos alunos. Mas existe uma
condição única: o origami respeita as todas as regras do arte das dobraduras
de papel e muito capricho.
Tema 1 – As linhas e os pontos
•
Aula 1 – Conhecimento com a origametria. As linhas e os pontos.
•
Aula 2 – Linha reta. As formas básicas de origami. Forma básica
‘triângulo’.
Tema 2 – Os ângulos
•
Aula 3 – A noção do ângulo. As formas básicas de origami.
•
Aula 4 –Os tipos dos ângulos. Os ângulos retos, agudos, obtusos e
desdobrados. Forma básica de ‘triângulo’.
•
Aula 5 – As medidas dos ângulos. A bissetriz do ângulo.
•
Aula 6 – Os ângulos adjacentes.
•
Aula 7 – Aula : Resumo de tema ‘Os ângulos’.
•
Aula 8 – O trabalho criativo dos alunos.
Tema 3 – O triângulo
•
Aula 9 – A noção do triângulo. Os elementos do ‘triângulo’.
•
Aula 10 – Os tipos dos triângulos com o respeito de ângulos dele.
•
Aula 11 – Os tipos dos triângulos com o respeito de lados dele.
•
Aula 12 – A soma dos ângulos de um triângulo.
•
Aula 13 – Triângulos isósceles. Propriedade dos ângulos adjacentes a
base.
•
Aula 14 – Aula - Resumo de tema ‘O triângulo’.
•
Aula 15 – O trabalho criativo dos alunos.
Tema 4 – Simetria
•
Aula 16 – A noção do eixo de simetria. Simetria das figuras.
•
Aula 17 – Simetria e ornamentos. Origami de módulo.
Tema 5 – Retângulo
•
Aula 18 – Retângulo e os elementos dele. Eixos de simetria.
•
Aula 19 – A propriedade dos diagonais de um retângulo.
Tema 6 – Quadrado
•
Aula 20 – A noção do quadrado. Confecção de quadrado.
•
Aula 21 – Propriedade dos diagonais de um quadrado.
•
Aula 22 – Aula - Resumo de temas ‘O retângulo ‘O quadrado’.
Tema 7 – Paralelepípedo retangular – Cubo
•
Aula 23 – A noção do paralelepípedo retangular e os elementos dele.
•
Aula 24 – Área de superfície lateral do paralelepípedo.
•
Aula 25 – A noção do cubo e os elementos dele.
•
Aula 26 – Superfície lateral do cubo.
•
Aula 27 – Volume do paralelepípedo e do cubo.
•
Aula 28 – Os poliedros.
•
Aula 29 – Os poliedros.
•
Aula 30 – O trabalho criativo dos alunos.
O curso Origametria (séries iniciais ou 5 séries)
Aula 1 – Conhecimento com Origami e Origametria
“Origami é uma palavra japonesa que significa o arte das dobraduras de
papel (‘ori’- dobra, e ‘cami’ - papel). A origem do origami é tão remota como a
história do próprio papel. Sabe-se que o origami já era usado em rituais
religiosos na época antes do século VI, mas hoje é conhecida na forma
moderna que foi desenvolvida no século XIX. É julgado que o origami surgiu na
China, mas desenvolvimento recebeu na Japão. Capacidade de fazer de uma
coisa usando somente a folha de papel sem utilização de tesoura e cola,
alcançou neste pais o nível de arte (4). Origami é um arte universal e pode ser
aprendido por qualquer pessoa que tem paciência, capricho e obstinação” (5).
Uma parte da matemática é geometria. A palavra ‘geometria’ é a palavra
grega e substituída por duas partes: ‘geo’ e ‘metria’, que significa a ‘medida de
terreno’. No curso da geometria estudam-se as figuras diferentes, as
propriedades deles e os métodos das medidas. A importância da geometria é
muito grande na vida do homem. Um construtor, engenheiro ou pesquisador
sempre utiliza as fundamentos básicos da geometria no seu trabalho.
Neste curso que chama-se origametria nos vamos estudar a geometria
junto com a construção das figuras do arte japonesa ‘Origami’, nos vamos ver
de que maneira podemos construir as dobraduras de papel, e vamos procurar
as interligações entre as importantes noções geométricas e diferentes figuras
de origami.
Nesta aula vamos começar o nosso curso com o estudo das figuras
geométricas iniciais tais como: ponto; linha; e ângulo.
Linha. ‘Linha’ é palavra latina, que significa ‘linho, fio de linho, cordão,
corda, barbante’. O mundo das linhas é muito variado. A matemática estuda
diferentes tipos das linhas, em particular a linha reta. Os exemplos da linha
reta são: fio; o raio de luz, etc. Podemos fazer a linha reta usando a régua.
Habitualmente a linha reta é indicada através da uma letra minúscula, ou
através das duas letras maiúsculas.
Vamos construir uma linha reta, usando as dobraduras de papel.
Pegamos uma folha de papel e dobramos dela. Obtemos a linha reta. No
origamia o processo da construção de uma figura realiza-se através das
dobraduras das linhas retas. Existem diferentes maneiras de dobrar da papel :
•
dobra ‘vale’ (na esquema este tipo de dobradura é desenhada como
uma linha ponteada : ‘   ’ );
•
dobra ‘montanha’ (na esquema este tipo de dobradura é desenhado
como uma linha ponteada com os dois pontos: ‘ ⋅ ⋅ ’ );
•
dobra para ‘dentro’ (na esquema este tipo de dobradura é desenhada
como uma linha reta que não atinge as extremidades da figura: ‘
’);
•
dobra para ‘fora’ (na esquema este tipo de dobradura é desenhada
também como uma linha reta que não atinge as extremidades da figura:
‘ ’).
Exercício proposto: Tentamos fazer todas estas dobras. Desenhamos as
linhas de dobradura no caderno. Anotamos todas as dobras, utilizando os
símbolos que aplica-se no origami.
Ponto. O conhecido matemático da Grécia Antiga - Euclid falava que o
ponto é isso que não tem partes. Podemos dizer também que o ponto não tem
tamanho. Uma estrela no céu é um exemplo do ponto.
Quando as duas linhas cruzam-se temos ponto, mas possivelmente não
só único. Quando fazemos as dobraduras as linhas também cruzam-se e
temos conjunto dos pontos. Os pontos não indicam-se nos desenhos de
origami, mas com ajuda deles representa-se a linha invisível. Nas esquemas
de desenho o ponto marca-se usando as letras maiúsculas.
Agora tentam-se fazer uma figura simples - ‘copinho’ (desenho 1). Isso é
o modelo clássico que surgiu no Japão muitos séculos atras.
Tema (para fazer em casa)
•
1. Fazer um ‘copinho’ e colar no caderno;
•
2. Preparar os cinco quadradinhos para a próxima aula;
•
3. Fazer no caderno os seguintes exercícios:
a. colocar no caderno os três pontos A, B, C. Fazer (usando estes três
pontos) todas as linhas possíveis. Quantos linhas podemos fazer?
b. desenhar as duas linhas retas cruzadas b e c e marcar o ponto do
cruzamento.
a. Dobra o quadrado em
diagonal
b. Dobra o ângulo agudo
esquerdo ao meio
d. Dobra o ângulo esquerdo
para o ponto marcado
e. Dobra o ângulo agudo direto
para o ângulo obtuso à esquerda
f. Em frente e atrás abaixa
os ângulos de cima para
baixo
g. Abre o copinho
c. Marca o ponto
de crusamento
Desenho 1 - O copinho.
Aula 2 – Linha reta : As formas básicas de origami
Forma básica ‘triângulo’
Na aula passada conhecemos a linha reta. Marcamos agora no caderno
o ponto A e fazemos uma linha reta através deste ponto. Quantos linhas
podemos construir desta maneira? Agora marcamos dois pontos A e B.
Fazemos a linha reta que passa através estes pontos. Quantos linhas
podemos fazer agora? Lembra o propriedade muito importante: através dois
pontos podemos construir só uma linha reta. Este propriedade permita nos
indicar uma linha reta através só dois pontos dela.
Pegamos uma folha de papel. Para construir uma linha reta, é só dobrar
esta folha. O comprimento dela depende só do tamanho de papel. A linha reta
pode tem qualquer comprimento. Se ela não tem os pontos limites, então esta
linha é infinita.
Qualquer ponto que pertence da reta divide dela para as duas semiretas. A cada semi-reta chama-se o raio. O raio tem um ponto inicial, mas não
tem o ponto final. Para identificar um raio, na matemática usam-se duas letras
maiúsculas, onde a primeira letra indica o ponto inicial de raio.
Exercício proposto: Fazemos no caderno duas retas cruzadas a e b.
Quantos raios obtemos se o ponto do cruzamento é um ponto inicial do raio?
Indica estes raios.
As dobraduras no origami começam-se com as formas básicas. A
quantidade deles é 11. A cada forma tem sua nome próprio. A primeira e mais
simples forma básica chama-se o triângulo (Figura 2). Para fazer um triângulo
tem que dobrar um quadrado ao meio. Utilizando esta forma podemos construir
vários figuras interessantes: focinhos, as figuras dos animais etc..
Desenho 2 – O triângulo.
Exercício proposto: Fazer o focinho usando as esquemas do desenho 3.
Tema (Para fazer em casa)
•
1. Fazer (usando as esquemas do desenho 3) o focinho de um bichinho
e colar no caderno.
•
2. Tentar de fazer o focinho de qualquer animal, usando a forma básica
‘triângulo’.
•
3. Fazer no caderno o seguinte exercício: Traçar uma reta. Indicar nesta
reta os três pontos K, M, e H. Se achar que os pontos K, M, e H são os
pontos inicias dos raios diferentes, então raios obtemos? Anotar deles.
a. Colocamos a forma básica do triângulo
com o ângulo reto abaixo e dobramos ele
ao meio.
b. De lados direta e esquerda dobramos
os dois triângulos.
c. Em cima e em baixo dobrar dois triângulos
pequenos para tras.
d. Desenha os olhos, a boca e o nariz.
Desenho 3 – Cachorrinho.
Aula 3 – A noção do ângulo : As formas básicas de origami.
O ângulo é formado pelos dois raios diferentes iniciados em um ponto
comum. Este ponto chama-se o ‘vértice’ do ângulo, e os dois raios chamam-se
os ‘lados do ângulo’. Para indicar o ângulo usam-se três letras maiúsculas, ou
uma letra que indica o vértice do ângulo.
Desenhar no caderno o ponto O e fazer duas retas iniciadas neste
ponto. Marcar os dois pontos adicionais na cada reta de lados diferentes de
ponto O. Quantos ângulos obtemos? Quais?
Pegar uma folha de papel quadrado. Dobrar dela ao meio (Figura 1a).
Dobrar mais uma vez ao meio. Indicar as linhas de dobra como AD e BC onde
o ponto B é o ponto de cruzamento das retas AD e BC (Figura 1b). Dobrar
mais uma vez através de ponto B (Figura 1c). Desdobrando o papel obtemos o
conjunto dos ângulos (Figura 1d). Quantos ângulos obtemos? Chama todos os
ângulos.
C
A
D
A
B
E
D
A
C
E′
B A
C
E
B
E′′
C′
D
E′′′
abcd
Figura 1 – Um exemplo da formação dos ângulos dobrando de um quadrado.
Usando a esquema dada acima podemos fazer um cachorrinho
(desenho 4). Tentar à responder para os seguintes perguntas:
1. Quais ângulos obtemos quando fazemos a cabeça do cachorrinho?
2. Quais ângulos com o vértice B obtemos quando fazemos tronco?
Tema (para fazer em casa).
•
1. Tentar à fazer um carro de corrida (usando a esquema desta
desenho).
•
2. Fazer no caderno o seguinte exercício: Desenhar o ângulo MKD.
Dentro deste ângulo desenhar os dois raios KB e KC. Indicar todos os
ângulos obtidos.
•
3. Preparar cinco quadradinhos para próxima aula.
a. Prestam atenção: as linhas de dobra não se colocam no ângulo em cima.
b. de dois lados dobrar os triângulos para dentro
c. atrás dobrar ‘o rabo’
d. desenhar o cachorrinho
Desenho 4 – Um Cachorrinho.
Aula 4 – Os tipos dos ângulos
Os ângulos retos, agudos, obtusos e desdobrados
Pegamos uma folha de papel quadrado. Dobramos dela ao meio (Figura
1a). Dobramos mais uma vez ao meio. Indicamos as linhas de dobra como AD
e BC onde o ponto B é o ponto de cruzamento das retas AD e BC (Figura 1b).
Dobramos mais uma vez através de ponto B (Figura 1c). Desdobrando o papel
obtemos o conjunto dos ângulos (Figura 1d). Quantos ângulos obtemos?
Chama todos os ângulos.
Na matemática diferem-se vários tipos dos ângulos:
•
o ângulo desdobrado - isso é o ângulo formado pelos dois raios
iniciados num ponto (vértice) e que fazem uma reta. Nosso caso isso é o
ângulo ABD;
•
o ângulo reto - isso é o ângulo que é igual a metade do ângulo
desdobrado. Nosso caso isso é o ângulo ABC1;
•
o ângulo agudo - isso é um ângulo menos que o ângulo reto. Nosso
caso isso é o ângulo EBA;
•
o ângulo obtuso - isso é um ângulo maior que o ângulo reto. Nosso caso
isso é o ângulo EBA.
Exercícios propostos:
Utilizando os símbolos adicionais (Figura 1d) indica todos os ângulos
desdobrados, ângulos retos, ângulos agudos e ângulos obtusos.
Desenhar no caderno todos os tipos dos ângulos. Mostrar o vértice para cada
ângulo e os lados dele.
Atividade:
Usando a esquema, fazer o carro de corrida. Responder
nas seguintes perguntas em processo do trabalho:
•
1. Quantos ângulos obtusos têm na esquema?
•
2. Quantos ângulos retos têm na esquema?
Os alunos quem respondem correto para os perguntas participam no
jogo ‘corrida alegre’. Quem ganha o jogo - ganha também um presente.
Tema (para fazer em casa)
•
1. Fazer no caderno os exercícios seguintes:
a. Desenhar no caderno os ângulos agudo, reto, obtuso e desdobrado.
Anotar os tipos dos ângulos;
b. Desenhar dois ângulos com o mesmo lado, que fazem o ângulo
desdobrado.
•
1
2. Preparar quatro quadradinhos de papel para próxima aula.
No origami utiliza-se um simbolo especial para identificar o ângulo reto. (???)
Aula 5 – As medidas dos ângulos. A bissetriz do ângulo
Os todos sabem muito bem vários instrumentos geométricos tais como:
régua, compasso, triângulo. Com ajuda do triângulo pode desenhar o ângulo
reto e também verificar (ou definir) os tipos dos ângulos nos desenhos.
Exercícios propostos:
•
usando o triângulo definir os tipos dos ângulos que vocês fizeram em
casa;
•
usando o triângulo desenhar cinco ângulos retos em diferentes
posições;
Sabemos que podemos medir os segmentos usando a régua. Quais
unidades das medidas das retas vocês sabem?
Também podemos medir os ângulos. A unidade das medidas dos
ângulos é um grau. Se vamos medir o ângulo desdobrado obtemos o valor 180
graus. Sabemos que o ângulo reto é igual a metade do ângulo desdobrado.
Portanto o ângulo reto é igual a 90 graus.
Exercício proposto: Sabendo que o ângulo agudo é menos que o ângulo
reto, e o ângulo obtuso é maior que o ângulo reto, apresenta os exemplos dos
valores dos ângulos agudo e obtuso.
Pega uma folha de papel e dobrando dela faz um ângulo. Indica este
ângulo com a letra A (Figura 2a). Dobramos o ângulo BAC de modo que a linha
de dobra AD passa através do ponto A e a linha AB coincide com a linha AC
(tem que fazer a dobra no lado contrario das dobraduras AB e AC). Neste caso
o ângulo BAC divide-se ao meio, e o raio AD chama-se bissetriz do ângulo
BAC.
B
B
B
D
A
A
A
B′
C
C
abc
Figura 2 – A esquema da formação bissetriz de um ângulo.
C
Dobrando uma folha de papel vamos fazer os ângulos de 90 graus e 45
graus. Usando a esquema fazemos a figura ‘raposa’. Esta figura é conhecida
como uma figura de origami e foi desenvolvida na Japão.
Exercício proposto: Definir todos os ângulos na esquema dado pelo
professor. Procure os bissetrizes dos ângulos.
Tema (Para fazer em casa)
•
1. Fazer os seguintes exercícios no caderno:
a. desenhar com ajuda do triângulo três ângulos retos nas posições
diferentes;
b. o ângulo AOB é igual 48 graus. O raio OC - é a bissetriz do ângulo
AOB. Calcula o valor do ângulo AOM.
•
2. Preparar um jornal e os quatro quadradinhos de papel para próxima
aula.
Aula 6 – Os ângulos adjacentes
Hoje vamos conhecer um novo tipo dos ângulos - os ângulos
adjacentes. Pegamos uma folha de papel e dobramos dela formando as duas
linhas cruzadas. Desdobrando a folha podemos ver os quatro ângulos.
Numeramos eles no sentido dos ponteiros.
Os ângulos 1 e 2 têm o mesmo vértice e o mesmo lado. Os dois outros
lados dos ângulos 1 e 2 fazem uma linha reta. Tais ângulos chamam-se os
ângulos adjacentes.
Exercício proposto: Verifique que na folha desdobrada temos os quatro
pares dos ângulos adjacentes.
Indica todos os estes ângulos.
A soma de dois ângulos é igual ao ângulo desdobrado. Portanto, a
soma dos dois ângulos adjacentes é igual a 180 graus.
Exercício proposto: Desenhar no caderno os ângulos adjacentes e
anotar deles.
Usando a esquema do desenho 5, vamos construir um chapéu de
Chapeuzinho Vermelho. Este é um modelo clássico de origami. Para fazer este
modelo utilizam a forma básica ‘triângulo’. No processo do trabalho tem que
fazer os seguintes exercícios:
•
1. Marca todos os pares dos ângulos adjacentes na esquema do modelo
(desenho 5);
•
2. Faz o chapéu usando o papel de jornal para si mesmo.
a. Fazer a forma básica ‘triângulo’.
Colocar com ângulo reto abaixo.
c. Dobrar para cima os dois triângulos
de flancos e um triangulo de baixo.
b. Dobrar para baixo, dividindo
mentalmente o ângulo por três
partes iguais.
d. Dobrar para cima o triângulo
de baixo.
⇑
e.
Abre a chapeuzinho.
Desenho 5 – Chapéu de Chapeuzinho Vermelho.
Tema (para fazer em casa)
•
1. Usando a esquema do desenho 5, fazer um chapéu. No processo do
trabalho responder dos seguintes perguntas:
a. Quantos pares dos ângulos adjacentes tem na esquema?
b. Calcula o valor de todos os ângulos.
•
2. Fazer no caderno o seguinte exercício:
a. desenha os ângulos adjacentes ADC e CDK ;
b. calcule o valor do ângulo ADC se este ângulo é em três vezes maior
que o ângulo adjacente.
•
3. Prepare os quatro quadradinhos de papel para próxima aula.
Conclusão
O método didático do ensino da geometria nas escolas - origametria
utiliza uma interligação das noções geométricas com a construção e analise
das figuras concretas do arte japonesa ‘Origami’ permite desenvolver as
capacidades
criativos
dos
alunos,
o
pensamento
construtivo,
logico-
matemático e imaginação espacial dos alunos. A programa deste curso
apresentada neste trabalho pode ser usada no processo de ensino da
geometria nas serias iniciais (ou nas quintas séries) com as modificações
baseadas na experiência própria do professor e turma concreta dos alunos.
Notas
(1) Universidade da Pedagogia de Moscou.
(2) Escola n.º 549 de Moscou.
(3) Universidade Federal de Pelotas – RS.
(4) Alguns autores propõem também a origem da origami na Espanha.
(5) Emires Luis M. Geometria das dobraduras., São Paulo., 1988
(6) No origami utiliza-se um símbolo especial para identificar o ângulo reto.
Referências bibliográficas
CHIKANTSEVA, N. Origami ajuda da geometria. Moscou : MPGU, 1995. (Em
russo).
_____. Origami em geometria. Moscou, 1996. (Em russo).
IMENES, Luis M. Geometria das dobraduras. São Paulo : Supione, 1988
KANEGAL, Mari; HAGA Alice. Brincando com papel. São Paulo : Letras e
Imagens, 1986
ASCHENBACH, Maria Helena Costa Valente. As dobraduras de papel. São
Paulo : Nobel, 1993.
JACKSON, Paul; AÇOURT, Angela. Origami e artesanato em papel. Erechim
: Edelbra, 1996.