Soluções das Atividades - MAT-UnB

SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM POLÍGONOS
1. Classificação das vinte figuras de Polígonos segundo o número dos seus lados.
Representação em tabela.
Número
de
lados
Polígono
Três lados
Triângulo
Representação gráfica
Quatro lados
Quadrilátero
Cinco lados
Pentágono
Seis lados
Hexágono
Sete lados
Heptágono
Oito lados
Octógono
Nove lados
Eneágono
Nenhum
Dez lados
Decágono
Nenhum
Nenhum
Onze lados
Undecágono Nenhum
Doze lados
Dodecágono
1
2. Classificação dos polígonos pela convexidade.
Polígonos não convexos:
As restantes figuras de Polígonos são todos polígonos convexos.
3. Exemplos de construção dos seguintes polígonos:
i. Polígono não convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto.
ii. Polígono convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto.
4. Comparação do comprimento dos lados das figuras (resultados obtidos pela superposição das
peças).
i. Polígono com o menor lado:
ii. Polígono que possui o maior lado:
2
5. Classificação dos Polígonos pelas características dos lados.
i. Número de lados congruentes.
- Dois lados congruentes:
- Três lados congruentes:
- Quatro lados congruentes:
- Cinco lados congruentes:
- Seis lados congruentes:
- Oito lados congruentes:
ii. Pares de lados congruentes:
- Um par de lados congruentes:
- Dois pares de lados congruentes:
- Três pares de lados congruentes:
- Quatro pares de lados
congruentes:
- Seis pares de lados congruentes:
3
6. Classificação dos polígonos pelo número de pares de lados paralelos que possuem.
Pares de lados
paralelos
1
2
3
Polígonos
7. i. Polígono convexo com a menor diagonal:
ii. Polígono convexo que possui a maior diagonal:
8. Os polígonos convexos que têm todas as diagonais iguais são os seguintes:
9. O número de vértices e de diagonais dos polígonos convexos representados em tabela.
Polígono convexo
Lados Vértices Diagonais em cada vértice Diagonais do polígono
Triângulo
3
3
Nenhuma
0
Quadrilátero
4
4
1
2
Pentágono
5
5
2
5
Hexágono
6
6
3
9
Heptágono
7
7
4
14
Octógono
8
8
5
20
Eneágono
9
9
6
27
Decágono
10
10
7
35
4
10. O número de diagonais que têm cada um dos seguintes polígonos é:
i. Decágono: 35 diagonais.
ii. 50-ágono: 1175 diagonais.
iii. 100-ágono: 4850 diagonais.
11. Representação de todas as diagonais dos polígonos não convexos pertencentes a Polígonos.
Tabelamento dos dados, mantendo a ordem de esquerda à direita dos polígonos da figura acima:
Polígono não convexo
Lados Vértices Diagonais do polígono
Quadrilátero
4
4
2
Quadrilátero
4
4
2
Hexágono
6
6
9
Octógono
8
8
20
Dodecágono
10
10
54
12. i. Polígono não convexo que possui a menor diagonal:
ii. Polígono não convexo que possui a maior diagonal:
13. O número N de diagonais de um polígono P (convexo ou não convexo) com n lados (n-ágono)
é dado por:
(Número de diagonais do polígono P)
N=
n(n−3)
2
5
14. Identificação dos polígonos que satisfazem as seguintes definições:
i. Polígonos equiláteros e não equiângulos:
ii. Polígono equiângulo e não equilátero:
15. i. Polígono convexo que possui o maior ângulo interno:
ii. Polígono convexo que possui o menor ângulo interno.
16. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos retos que possuem.
Ângulos internos retos
1
2
Polígonos convexos
3
4
Nenhum
17. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos agudos que possuem.
Ângulos
internos
1
2
3
4
agudos
Polígonos
convexos
Nenhum
6
18. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos obtusos que possuem.
Ângulos
internos
1
2
3
4
5
6
obtusos
Polígonos
Nenhum
convexos
Observação. A seguir, aplicamos três métodos diferentes para calcular a soma das medidas dos
ângulos internos de um polígono convexo.
19. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 1.
Num polígono convexo dado, hexágono convexo, são traçadas todas as
diagonais num vértice fixado.
i. No hexágono ficam determinados quatro triângulos justapostos.
ii. A soma T das medidas dos ângulos internos de um triângulos é T = 180º,
então a soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono é igual a:
S = 4 . 180 = 720º.
20. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 2.
No hexágono ficam determinados seis triângulos justapostos.
i. No interior do hexágono é escolhido um ponto P e unindo P com os
vértices, resulta a secção do polígono em triângulos justapostos.
P
ii. No hexágono ficam determinados seis triângulos justapostos.
iii. A soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono é igual a soma T das medidas dos
ângulos de cada um dos seis triângulos menos a soma S´ das medidas dos ângulos em torno do
ponto P, ou seja:
S = 6 . T – S´ = 6 . 180 - 360 = 1080 – 360 = 720º.
7
21. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 3.
Os seguintes polígonos são seccionados em triângulos justapostos usando diagonais que não se
intersectam.
Os dados são tabelados como segue:
Polígono
Diagonais
Triângulos
Soma dos
convexo
sem intersecção
internos
ângulos internos
Quadrilátero
1
2
360º
Pentágono
2
3
540º
Hexágono
3
4
720º
Heptágono
4
5
900º
Octógono
5
6
1080º
Observação. O resultado obtido para S é o mesmo pelos três métodos aplicados nas Atividades 1921.
22. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono não convexo.
Um hexágono não convexo é seccionado em triângulos justapostos usando diagonais
internas que não se intersectam.
i. No hexágono não convexo ficam determinados quatro triângulos.
ii. A soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono não convexo é igual a:
S = 4 . 180 = 720º.
8
23. Verificação da soma das medidas dos ângulos internos do polígono não convexo é de igual
valor da soma das medidas dos ângulos internos do polígono convexo com o mesmo número de
lados:
- A decomposição de um polígono de n lados, convexo ou não convexo, com diagonais que não se
cortam resulta sempre no mesmo número (n – 2) de triângulos justapostos, determinados pelo
mesmo número (n – 3) de diagonais.
- Logo, a soma S das medidas dos ângulos internos de um polígono, convexo ou não convexo, é
obtida levando sempre em conta que a soma S´ das medidas dos ângulos internos de um triângulo é
S´= 180º.
Segue que
S = (n - 2) . 180º
24. Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
Representação dos ângulos externos de um polígono convexo.
Um ponto arbitrário P do plano é escolhido e os ângulos externos do
polígono são transladados paralelamente até coincidir o vértice de cada
ângulo com P.
Verifica-se que os ângulos transladados em torno de P somam 360º, por tanto, a soma das medidas
dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a 360º.
25. i. Um ângulo externo de um polígono não convexo é definido como o ângulo formado por um
lado do polígono e a prolongação do lado adjacente.
ii. No polígono não convexo ABCD são marcados todos os ângulos externos
𝛼̂ , 𝛽̂ , 𝛾̂ e 𝛿̂ , com vértice em A, B, C e D, respectivamente. Pela definição, o
ângulo externo com vértice A é o ângulo 𝛼̂, mesmo que ele está no interior de ABCD.
iii. Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente são ângulos suplementares. Em cada vértice
reentrante de um polígono não convexo, o ângulo interno correspondente mede mais de 180º. Logo,
̂ ) + med(𝛼̂) = 180º e med(𝐷𝐴𝐵
̂ ) > 180º; de onde segue que
med(𝐷𝐴𝐵
̂ ) < 0.
med(𝛼̂) = 180º - med(𝐷𝐴𝐵
9
26. No polígono não convexo ABCD da Atividade 25, a soma S das medidas dos ângulos externos
𝛼̂ , 𝛽̂ , 𝛾̂ e 𝛿̂ , é calculada fazendo a soma das medidas dos ângulos
internos de ABCD (2.180) mas S e igualando à soma das medidas dos
ângulos suplementares em cada vértice de ABCD, isto é:
2.180 + S = 4 . 180. De onde resulta:
S = 360º.
27. Determinação dos triângulos pertencentes a Polígonos.
Polígonos T
28. Classificação dos triângulos de Polígonos T pelos seus lados.
Triângulos
Isóscele
Equilátero
Escaleno
29. Classificação dos triângulos de Polígonos T pelos seus ângulos.
Acutângulo
Triângulos
Retângulo
Obtusângulo
10
30. Análise da existência segundo a sua classificação nos seguintes triângulos.
Triângulo
Sempre Algumas vezes Nunca
Triângulo escaleno obtusângulo
X
Triângulo escaleno retângulo
X
Triângulo escaleno acutângulo
X
Triângulo equilátero obtusângulo
X
Triângulo equilátero retângulo
X
Triângulo isóscele obtusângulo
X
Triângulos isóscele retângulo
X
Triângulo isóscele acutângulo
X
31. Destaque dos quadriláteros pertencentes a Polígonos.
Polígonos Q
32. Classificação dos quadriláteros pelo comprimento dos lados:
- quatro lados congruentes (4),
- três lados congruentes e um diferente (3-1),
- dois pares de lados congruentes (2-2),
- um par de lados congruentes e outro dois lados diferentes (2-1-1),
- quatro lados com diferentes comprimentos (1-1-1-1).
4
3-1
Quadriláteros. Comprimento dos lados
2-2
2-1-1
1-1-1-1
11
33. Classificação dos quadriláteros pelas suas diagonais.
i. As diagonais têm ponto de interseção:
As diagonais não se cortam:
ii. O ângulo de corte das diagonais é reto:
Nos outros quadriláteros da coleção o ângulo de corte das diagonais não é reto.
iii. As diagonais são congruentes:
As diagonais dos outros quadriláteros do conjunto Polígonos Q não são congruentes.
iv. As duas diagonais se interceptam no ponto médio
de ambas diagonais e o ângulo de corte é reto:
v. As duas diagonais se interceptam no ponto médio
de ambas diagonais e o ângulo de corte não é reto:
vi. O ponto de intersecção das duas diagonais é
o ponto médio somente de uma das diagonais:
vii. O ponto de intersecção das duas diagonais não é ponto médio de nenhuma das duas diagonais.
12
34. Os paralelogramos que pertencem a Polígonos Q são:
- Quadrado:
- Retângulo:
- Losango ou Rombo:
- Paralelogramo:
35. Os trapézios de Polígonos Q são:
- Trapézio retângulo:
- Trapézio isóscele:
- Trapézio escaleno:
36. Os quadriláteros que não são paralelogramos e não são trapézios.
- Romboide ou Pipa:
- Seta:
- Trapezoide:
13
37. Classificação dos quadriláteros, com indicação sobre a afirmação ser verdadeira ou falsa.
Enunciado
Verdadeiro
ou Falso
V
Todos os quadrados são retângulos.
Alguns retângulos são losangos ou rombos.
V
Todos os paralelogramos são quadriláteros.
V
Todo losango ou rombo é um quadrilátero regular.
F
Todo paralelogramo é um trapézio.
F
Todo quadrado é uma pipa.
F
Alguns retângulos são quadrados.
V
Nenhum quadrado é um retângulo.
F
Nenhum trapézio é um paralelogramo.
V
Um trapézio isóscele pode não ser uma pipa.
V
Nenhum paralelogramo é um trapézio isósceles.
V
38. Classificação dos polígonos regulares convexos pelo número de lados (entre parênteses).
Triângulo
equilátero (3)
Quadrado (4)
Pentágono
regular (5)
Hexágono
regular (6)
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
regular (7)
regular (8)
regular (9)
regular (10)
14
39.
Polígonos R
Indicação de todos os elementos dos polígonos regulares convexos.
ângulo interno
ângulo externo
raio
lado
vértice
apótema
ângulo central
centro
diagonal
40. Determinação da medida em graus de cada ângulo interno e da soma dos ângulos internos dos
polígonos regulares convexos. Tabelamento dos dados.
Polígono regular
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
Octógono
Decágono
Dodecágono
n-ágono
Lados
3
4
5
6
8
10
12
n
Ângulo interno
60°
90°
108º
120º
135º
144º
150º
(𝑛 − 2). 180
𝑛
Soma dos ângulos internos
180º
360º
540º
720º
1080º
1440º
1800º
(𝑛 − 2). 180
41. A soma S das medidas dos ângulos externos de um n-ágono regular convexo é dada pela
diferença entre a soma das medidas dos ângulos em cada vértice e a soma das medidas dos ângulos
internos do polígono : S = n. (180) - (𝑛 − 2). 180 = 360º
A medida do ângulo externo 𝛼̂ de um n-ágono regular convexo é: med(𝛼̂) =
2 . 180
𝑛
15
42. Determinação da medida em graus, do ângulo central de cada polígono regular convexo.
Lados do polígono 3
4 5 6 8 10 12
Ângulo central
120 90 72 60 45 36 30
43. Construção de todos os polígonos convexos equiláteros possíveis utilizando somente triângulos
equiláteros e quadrados de lados congruentes, ambos tipos de polígonos em cada figura.
pentágono
hexágono
eneágono
heptágono
decágono
octógono
undecágono não equilátero
O undecágono convexo é polígono não equilátero, dois quadrados consecutivos, com lados
alinhados, produzem um novo lado desse polígono que mede o dobro dos outros lados.
dodecágono
No dodecágono convexo equilátero todos os ângulos internos medem 150º. Portanto, não
existe polígono convexo equilátero, formado por triângulos equiláteros e por quadrados, com maior
número de lados. As figuras acima representam todos os polígonos convexos equiláteros que podem
ser construídos com triângulos equiláteros e quadrados.
16
44. Exemplos de construções de figuras congruentes com cópias de triângulos iguais.
Triângulos equiláteros
Losangos
Hexágonos
45. Identificação das figuras pertencentes a Polígonos que possuem simetria central.
17
46. Classificação dos Polígonos pelo número de eixos de simetria que possuem.
- Um eixo de simetria:
- Dois eixos de simetria:
- Três eixos de simetria:
- Quatro eixos de simetria:
- Cinco eixos de simetria:
- Seis eixos de simetria:
18
47. Exemplos de construções com polígonos:
i. Com cópias de uma mesma peça, construção de polígono semelhante a um elemento de Polígono.
Exemplo 1. Com doze peças triangulares iguais ao triângulo
Triângulo
construir:
que é semelhante a
equilátero
Triângulo
Construído com seis cópias do mesmo triângulo.
equilátero
Este triângulo também é semelhante aos anteriores.
Exemplo 2. Construção de um pentágono com dois tipos de triângulos:
Pentágono
semelhante a
regular
ii. Com diferentes polígonos, que incluem quadrados e triângulos obtusângulos, forma-se um
polígono semelhante a outro polígono dado.
Exemplo. Construção de decágonos semelhantes.
19
48. Comparação das seguintes figuras planas e análise das propriedades de semelhança segundo que
elas existem sempre, eventualmente ou nunca.
Figuras planas
Sempre Algumas vezes Nunca
Dois ângulos
X
Dois triângulos equiláteros
X
Dois triângulos isósceles
X
Dois quadrados
X
Dois retângulos
X
Um quadrado e um retângulo
X
Dois pentágonos
X
Dois pentágonos regulares
X
Um pentágono regular e um hexágono regular
X
49. Construção de diferentes figuras geométricas, com doze peças triangulares iguais.
Losango ou rombo
Paralelogramo
Paralelogramo
Paralelogramo
Estrela
Trapézio
Estrela
20
50. Identificação dos seis polígonos que integram a coleção Polígonos C: hexágono convexo
regular, losango A, triângulo equilátero, quadrado, losango B, trapézio isóscele.
Polígonos C
Hexágono regular
Quadrado
Losango A
Losango B
Triângulo equilátero
Trapézio isóscele
Comparação dos lados das figuras de Polígonos C.
21
51. Comparação dos ângulos das figuras de Polígonos C e verificação que essas figuras satisfazem
as seguintes condições:
i. Um ângulo do triângulo equilátero e
um ângulo do losango A são congruentes.
ii. Um ângulo do losango B mede a metade da
medida de um ângulo do triângulo equilátero.
iii. Um ângulo do losango B mede a metade
da medida de um ângulo do losango A.
iv. Um ângulo do trapézio isóscele e um ângulo do triângulo
equilátero são congruentes.
v. Um ângulo do triângulo equilátero mede a metade da
medida de um ângulo do trapézio isóscele.
vi. Um ângulo do hexágono convexo regular e um ângulo do trapézio
isóscele são congruentes.
vii. Um ângulo do trapézio isóscele mede a metade da medida de um
ângulo do hexágono convexo regular.
viii. Um ângulo do triângulo equilátero mede a metade da medida de um ângulo
do hexágono convexo regular.
ix. Um ângulo do quadrado mede a soma das medidas de um
ângulo do triângulo equilátero e de um ângulo do losango B.
x. A soma de três vezes a medida de um ângulo do losango B é a medida
de um ângulo do quadrado.
22
52. Comparação dos tamanhos das superfícies das figuras de Polígonos C.
i. O losango A contem dois triângulos equiláteros.
ii. O trapézio isóscele contem três triângulos equiláteros.
iii. O hexágono regular contem dois trapézios isósceles.
iv. O hexágono regular contem seis triângulos equiláteros.
v. O hexágono regular contem três losangos A.
vi. O trapézio isóscele contem um triângulo equilátero e um losango A.
23
53. Construção de polígonos convexos e não convexos, regulares e irregulares e de diversas figuras
geométricas com as peças de Polígonos C.
24
Observação. Construimos um mosaico quando recobrimos o plano com figuras planas sem
superposições e sem deixar espaços vazios entre as figuras.
O mosaico é lado a lado se os lados dos polígonos adjacentes coincidem inteiramente, incluindo os
vértices.
54. Construção de dois exemplos de mosaico lado a lado com cópias congruentes de um triângulo
equilátero.
55. Construção de dois exemplos de mosaico lado a lado com cópias congruentes de um quadrado.
56. Construção de um mosaico lado a lado com cópias iguais de um hexágono regular.
Observação. Os mosaicos das Atividades 55-57 são chamados mosaicos regulares e são os únicos
mosaicos formados com cópias congruentes de um mesmo polígono regular convexo.
25
Observação. Construiremos, a seguir, os mosaicos semirregulares formados por mais de um tipo
de polígonos regulares, todos com lados congruentes e tais que em cada vértice concorre o mesmo
número de polígonos e na mesma ordem.
57. Construção de dois exemplos de cada um dos mosaicos semirregulares formados por triângulos
equiláteros e por quadrados, todas as peças com lados congruentes.
58. Construção de um mosaico semirregular que possui octógonos regulares convexos congruentes
na sua formação. Determinar qual(is) outro(s) polígono(s) também faz(em) parte desse mosaico
26
59. Construção de dois exemplos de mosaicos semirregulares formados por triângulos equiláteros e
por hexágonos regulares. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes.
60. Construção de dois exemplos de mosaico semirregular formado por triângulos equiláteros,
quadrados e hexágonos regulares convexos. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados
congruentes.
27
61. Representação de dois exemplos de cada um dos mosaicos semirregulares que possuem
dodecágonos regulares convexos congruentes na sua formação. Determinar em cada caso qual(is)
outro(s) polígono(s) também faz(em) parte do mosaico. Em cada mosaico, todas as peças têm os
lados congruentes.
28
62. Construção do fractal Floco de neve de Koch.
i. Formação de um triângulo equilátero com lados
medindo nove unidades, 9u.
ii. Determinação da porção central de cada um dos lados do triângulo depois de efetuar a divisão em
três partes iguais. Construção de um triângulo equilátero sobre cada um dos terços centrais.
iii. Repetição dessa operação sobre cada um dos novos triângulos da figura. Cada novo elemento da
figura é obtido construindo novos triângulos equiláteros cada vez menores sobre o terço central dos
lados.
29
63. Construção do fractal antifloco de neve.
i. Formação de um triângulo equilátero com
lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Determinação da porção central de cada um dos lados do triângulo depois de efetuar a divisão em
três partes iguais. Retirada de um triângulo equilátero com base em cada um dos terços centrais do
lados do triângulo original.
iii. Repetição dessa operação em cada um dos novos triângulos da figura. Cada novo elemento da
figura é obtido retirando novos triângulos equiláteros cada vez menores com base no terço central
dos lados.
30
64. Construção do fractal Tapete de Sierpinski.
i. Construção de um quadrado com lados
medindo nove unidades, 9u.
ii. Determinação do quadrado central da figura medindo três unidades de lado. Retirada do
quadrado central medindo 3u de lado do quadrado original com lados medindo 9u.
iii. Repetição da operação anterior, retirada do quadrado central com lados medindo 1u em cada um
dos oito quadrados restantes com lados medindo 3u. Cada novo elemento da figura é obtido
retirando quadrados cada vez menores do centro dos novos quadrados.
31
65. Construção do fractal Triângulo de Sierpinski ou Peneira de Sierpinski.
i. Representação de um triângulo equilátero com lados
medindo nove unidades, 9u.
ii. Determinação dos pontos médios dos três lados e retirada do triângulo com vértice nesses pontos.
iii. Repetição dessa operação em cada um dos três triângulos
equiláteros restantes, retirando o triângulo central de cada um.
iv. Repetição deste procedimento, sempre
retirando triângulos cada vez menores
determinados pelos pontos médios dos lados
dos triângulos resultantes da etapa anterior.
32
66. Construção de um fractal tomando como peça base a figura
formada por três quadrados unidos pelos lados, veja a figura original
ao lado.
i. Substituição de cada quadrado da figura por uma peça igual à figura original.
ii. Repetição da operação anterior em cada um dos quadrados da nova figura.
33
67. Construção de um fractal tomando como peça base a figura
formada por três quadrados dispostos como na figura ao lado.
i. Substituição de cada quadrado da figura por uma peça igual à figura original.
ii. Repetição da operação anterior em cada um dos quadrados da nova figura. Continuar com sucessivas
repetições deste procedimento.
34
68. i. Construção de um quadrado com lados medindo três unidades, 3u.
ii. Retirada dos quatro quadrados dos cantos, cada um com lados medindo 1u.
iii. Substituição de cada um dos cinco quadrados na figura pela figura formada em (ii).
35
69. i. Construção de um quadrado com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Retirada de dois quadrados com lados medindo 1u, um é o quadrado central e o outro é o
quadrado acima dele.
iii. Substituição de cada um dos sete quadrados restantes na figura pela figura formada em (ii).
36