Sejam α e os ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às H

Matemática
Prof. Guilherme Neves
Sejam 𝛼 e 𝛽 os ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às H horas e M minutos. É
possível encontrar um desses ângulos (em graus) pela seguinte fórmula:
11𝑀 − 60𝐻
2
Sabendo um dos ângulos, o outro é o que falta para 360 graus.
Vamos resolver questões de concurso para entendermos como funciona esta fórmula.
01. (Companhia Docas do Estado de São Paulo 2010/FGV) Em um relógio de ponteiros, o
ponteiro dos minutos dá uma volta completa em 60 minutos. Nesse mesmo período, o
ponteiro das horas gira 30°. O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7 horas
e 20 minutos é
(A) 90°
(B) 100°
(C) 110°
(D) 80°
(E) 70°
Resolução
Queremos calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7 horas e
20 minutos. Assim, 𝑯 = 𝟕 e 𝑴 = 𝟐𝟎.
𝜶=
11𝑀 − 60𝐻
11 ∙ 20 − 60 ∙ 7
220 − 420
−200
200
=
=
=
=
2
2
2
2
2
𝜶 = 𝟏𝟎𝟎°
Letra B
Muito fácil, não?!
02. (Assistente Legislativo – Câmara Municipal de Registro-SP 2016/VUNESP) Quando um
relógio de ponteiros marca 4 horas, o menor ângulo formado entre os ponteiros dos
minutos e das horas é 120º. O tempo que irá se passar até que o ângulo formado entre
esses ponteiros seja igual a 180º é, aproximadamente,
a) 30 min
b) 36 min 30s.
c) 42 min
d) 54 min 30s
e) 60 min
Resolução
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Sabemos que o ângulo formado é igual a 180º e que H = 4. Queremos calcular M.
𝜶=
𝟏𝟖𝟎 =
11𝑀 − 60𝐻
2
11𝑀 − 60 ∙ 4
2
11𝑀 − 240 = 360
11𝑀 = 600
Devemos dividir 600 minutos por 11.
600 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 |
6 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
11
54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Ao dividir 600 por 11, obtivemos quociente 54 minutos e resto 6 minutos. Devemos dividir
6 minutos por 11. Entretanto, já conseguimos marcar a resposta na letra D.
6 minutos = 6 x 60s = 360 segundos.
360/11 é aproximadamente 32 segundos.
Assim, o ângulo formado pelos ponteiros será 180º às 4h 54min 32s aproximadamente.
Letra D
03. (Analista de Sistemas – Câmara SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 11: 50 horas?
a) 35 graus
b) 45 graus
c) 55 graus
d) 65 graus
e) 60 graus
Resolução
Neste caso, 𝐻 = 11 e 𝑀 = 50.
𝜶=
11𝑀 − 60𝐻
11 ∙ 50 − 60 ∙ 11
550 − 660
−110
110
=
=
=
=
2
2
2
2
2
𝜶 = 𝟓𝟓°
Letra C
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04. (Programador – Câmara Municipal SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 09: 35 horas?
a) 66,6 graus
b) 45,5 graus
c) 80 graus
d) 70 graus
e) 77,5 graus
Resolução
Neste caso, 𝐻 = 9 e 𝑀 = 35.
𝜶=
11𝑀 − 60𝐻
11 ∙ 35 − 60 ∙ 9
385 − 540
−155
155
=
=
=
=
2
2
2
2
2
𝜶 = 𝟕𝟕, 𝟓°
Letra E
05. (Assessor de Imprensa – Câmara Municipal SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor
ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 14:20 horas?
a) 30 graus
b) 40 graus
c) 50 graus
d) 60 graus
e) 70 graus
Resolução
Lembre-se que o relógio analógico tem a numeração de 1 a 12. Portanto, se o relógio
marca 14:20 horas, então devemos usar 𝐻 = 2 e 𝑀 = 20.
𝜶=
11𝑀 − 60𝐻
11 ∙ 20 − 60 ∙ 2
220 − 120
100
100
=
=
=
=
2
2
2
2
2
𝜶 = 𝟓𝟎°
Letra C
06. (Assistente Administrativo – UFABC 2006) O menor ângulo formado pelos ponteiros de
um relógio quando este marca 13 horas e 28 minutos é:
a) 124º
b) 138º
c) 144º
d) 140º
e) 114º
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Resolução
Novamente devemos nos lembrar que a numeração do relógio analógico vai de 1 a
12. Portanto, devemos utilizar 𝑯 = 𝟏 e 𝑴 = 𝟐𝟖.
𝜶=
11𝑀 − 60𝐻
11 ∙ 28 − 60 ∙ 1
308 − 60
248
248
=
=
=
=
2
2
2
2
2
𝜶 = 𝟏𝟐𝟒°
Letra A
07. (Engenheiro – TCM-RJ 2011/FJG) Os ponteiros de um relógio se superpõem várias
vezes ao dia. O intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas é de
aproximadamente:
(A) 1 h 5 min 27 s
(B) 1 h 6 min 12 s
(C) 1 h 7 min 31 s
(D) 1 h 8 min 24 s
(E) 1 h 12 min 11 s
Resolução
Quando os ponteiros de um relógio se superpõem, o ângulo formado por eles é igual a
zero.
Uma notável superposição ocorre quando os dois ponteiros apontam para o número 12.
Vamos supor, então que o relógio marca exatamente 12 h 00 min. A próxima superposição
acontecerá às 13 horas e M minutos. Como o relógio tem a numeração de 1 a 12, então
devemos utilizar 𝑯 = 𝟏. Nesta superposição, o ângulo formado é igual a zero.
Assim,
11𝑀 − 60𝐻
=0
2
O número 2 que está dividindo o primeiro membro, “passa multiplicando” para o segundo
membro.
11𝑀 − 60𝐻 = 0 ∙ 2
11𝑀 − 60𝐻 = 0
O módulo de um número é zero se e somente se o número for igual a zero. Portanto,
11𝑀 − 60𝐻 = 0
11𝑀 = 60𝐻
Como 𝐻 = 1, então:
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11𝑀 = 60 ∙ 1
𝑀=
60
𝑚𝑖𝑛
11
Vamos dividir 60 minutos por 11.
60 min
5 min
11
5 𝑚𝑖𝑛
Neste início de cálculo já podemos marcar a alternativa A.
Para continuar a divisão, devemos transformar o resto para segundos. Como 1 minuto é
igual a 60 segundos, então 5 𝑚𝑖𝑛 = 5 ∙ 60𝑠 = 300𝑠.
Vamos dividir 300 segundos por 11.
300 s
3s
11
27𝑠
Assim, a próxima coincidência será às 13 horas, 5 minutos e 27 segundos
(aproximadamente).
Como a primeira superposição aconteceu às 12 horas, então o intervalo entre duas
superposições consecutivas é de, aproximadamente, 1 hora, 5 minutos e 27 segundos.
Letra A
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