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Fundamentos de Matemática Superior - 2
BINÔMIO DE NEWTON
As potências naturais de binômios, isto é, (x + y)0, (x + y)1, (x + y)2,
3
(x + y) , ..., (x + y)n, apresentam desenvolvimentos que podem ser
facilmente obtidos de maneira conjunta, para valores não muito altos de n.
Seus resultados são formados por potências decrescentes de n a 0 para a
Estes resultados foram escritos com
variável x e por crescentes de 0 a n para a variável y. O quadro a seguir
expoentes 0 e 1 para reforçar a ideia do
ilustra os desenvolvimentos dos cinco primeiros destes binômios:
decrescimento para x e do crescimento para
y. Isso não invalida que 1 = (x + y)0 = 1.x0.y0
(x  y)0  1.x0 y 0
= 1.1.1 = 1 e também x + y = (x + y)1 = 1.x1y0
(x  y)1  1.x1y 0  1.x 0y1
0 1
+ 1.x y = 1.x.1 + 1.1.y = x + y e assim por
(x  y)2  1.x2 y 0  2.x1y1  1.x 0y 2
diante. Estes, no entanto, são casos
(x  y)3  1.x 3y 0  3.x 2y1  3.x1y 2  1.x 0y 3
particulares para o verdadeiro binômio
(x  y)4  1.x 4 y 0  4.x 3y1  6.x 2y 2  4.x1y 3  1.x 0y 4
estudado por Newton (x  y)q , onde q é um
número racional.
Em homenagem ao físico inglês Isaac Newton (16421727), estes
De fato, podemos explicar o coeficiente 2
resultados são conhecidos como binômios de Newton. Podemos formar
destacado ao lado a partir da soma dos
um quadro agora apenas com os coeficientes dos binômios:
coeficientes 1 acima e 1 à esquerda deste,
também destacados. Veja que, para
1
obtermos o desenvolvimento de (x  y)2 ,
1
1
fazemos o produto de (x  y)  (1x  1y) e isso
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1
5
10
10
5
1
6
15
20
15
resulta em x 2  (1 1)xy  y 2 , isto é, o
coeficiente 2 de xy é a soma dos
coeficientes da linha anterior 1x + 1y. Isso
porque, no momento de aplicar a propriedade
1
6 1
distributiva (D1), teremos y vezes 1x mais x
Trata-se de um triângulo infinito, assim como temos infinitos binômios (x
vezes 1y:
y
x
(x  y). (1x  1y)



linha anterior
Veja agora que, para obter (x  y) 3 , fazemos
(x  y).(x 2  2xy  y 2 )
. Assim, podemos pensar
que, para obter 3x2 y, multiplicamos y por x2 e
somamos com a multiplicação de x por 2xy:
+ y)n. Este já era do conhecimento do chinês Chu Shih-Chieh (1303), mas,
apesar disso, recebeu o nome do matemático francês Blaise Pascal (16231663) (triângulo de Pascal). Observe que, em cada linha, o primeiro e o
último números são iguais a 1 e isto é intuitivo a partir do fato de tais
números representarem os coeficientes de xn e de yn. Mostramos ao lado
que os demais números podem ser obtidos a partir da soma do número
acima com o imediatamente antes deste. Assim, destacamos 2 exemplos
y
x
2
(x  y)(
1x2 
2
x y  y
)
linha anterior
de como os coeficientes internos das linhas podem ser obtidos: a partir da
soma do coeficiente imediatamente acima com o anterior a este. Desta
Na prática, então, somamos 1 + 2 para obter
forma, 2 = 1 + 1 e 15 = 5 + 10. Com estas considerações, simplificamos
o coeficiente de 3x2y. O mesmo dizer para
o trabalho de várias multiplicações e somas para obter tais potências. Veja
todos os demais coeficientes internos do
a justificativa desta propriedade na coluna auxiliar.
triângulo. Resumindo, os coeficientes
internos de uma linha podem ser obtidos a
Exemplo 3O
partir de somas específicas da linha anterior.
Calcule o desenvolvimento de (3a  1)4 .
Esta propriedade é geralmente conhecida
com o nome de relação de Stifell.
(3a  1)4  1.(3a)4  4.(3a)3(1)  6.(3a)2 (1)2  4.(3a)(1)3  1.(1)4
 34a4  4.33 a3.(1)  6.32 a2(1)  4.3a.( 1)  1
 81a4  108a3  54a2  12a  1
Fundamentos de Matemática Superior - 3
Basta considerar x = 3a e y = 1 e utilizar a quinta linha do triângulo de
Pascal, considerando que os expoentes de x diminuirão de 4 até 0 e os de
Para fazer a prova real, substitua a por 1 e
y aumentarão de 0 até 4. Observe também os resultados alternados como
veja que, (3a  1)4 = 24 = 16 e que 16
consequências dos números negativos elevados a expoentes pares e
também será o valor numérico do lado direito
ímpares.
substituindo a = 1, isto é, a soma dos
Tais procedimentos se justificam para valores não muito altos de
coeficientes 81  108 + 54 12 + 1 = 16.
n, pois, para calcular uma linha de coeficientes específica, necessitamos
Com isso, a soma dos coeficientes é o valor
calcular todas as linhas anteriores. No entanto, é possível também o
numérico da expressão resultante para a = 1.
cálculo individual dos coeficientes do binômio de Newton (x + y)n sem
calcular os coeficientes anteriores, utilizando números binomiais:
n 
n!
 
 p  p! (n  p)!
Assim, por exemplo, 5! = 5.4.3.2.1 = 120 e
6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 720. Os fatoriais 0!
e 1! foram definidos convenientemente
como iguais a 1.
onde o sinal de exclamação significa fatorial de um número não-negativo:
o fatorial de n, quando n ≥ 2, é definido como o produto de n por todos os
seus antecessores não-nulos e definido como 1 quando n = 0 ou n = 1. O
triângulo de Pascal poderá assim ser representado:
1
1
1
1
1
1
1
2 1
3 3 1
4 6 4 1
5 10 10 5 1
 0
 0
 
1 
 0
 
 2
 0
 
 3
0
 
 4
0 
 
5 
 0
 

1
1
 
2
1 
 
3
1 
 
4
1 
 
5
1 
 
 2
 2
 
 3
 2
 
 4
2 
 
5 
 2
 
3
3
 
4
3
 
5
3
 
 4
 4
 
 5   5
 4   5
   
Exemplo 3P
Inicialmente, calculamos o binomial indicado
usando a definição. Em seguida, lembramos
Encontre o terceiro termo do desenvolvimento de (x5  3)8 usando
números binomiais.
que a potência do 1ª variável diminuirá de n =
8 até zero. Assim, para o terceiro termo, esta
8
8!
8  7  6! 56


 28
 
2
2! 6!
 2  2! (8  2)!
 8  82
 (3)2  28  x6  9  252x6
 x
2
potência será 6 (8 −2). Analogamente, a
potência da 2ª variável aumentará de zero até
n = 8. Assim, no terceiro termo, tal potência
será 2.
EXERCÍCIOS IMEDIATOS
30) Desenvolva os seguintes binômios:
a) (2x  1)4
b) (2x  2)5
c) (x  y)6
d) (x2  1)4
e) (x3  1)5
f) ( 2  1)6
g) ( 3 2  3 )4
h)   x 2 
x

1

5
4
31) Calcule a soma dos coeficientes das potências de:
a) (3x  1)10
b) (653x100 y 200  652)1.000
x 2
 
2 y
i) 
Fundamentos de Matemática Superior - 4
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Quando
Começando em n = no, se valer para este
desejarmos demonstrar uma relação matemática
natural, valerá também para o seguinte n = no
(igualdade, desigualdade ou propriedade) generalizada na dependência de
+ 1, por causa de (b). Se valer para n = no +
um número inteiro n, podemos usar o princípio da indução matemática
1, valerá também para o seguinte n = no + 2,
que se resume em:
por causa de (b), e assim por diante. Logo,
a) se ela valer para um inteiro no e
valerá para todos os naturais após n = no.
b) supondo a validade para o inteiro k, provarmos a validade para o inteiro
Este princípio matemático é comparado a
seguinte, k + 1:
uma fila de dominós levantados e
Então, a relação valerá para todo inteiro a partir de no.
posicionados a uma certa distância entre si:
se derrubarmos qualquer um deles (a) e a
Na prática, teremos o objetivo de provar a relação para o valor seguinte (k
distância entre os seguintes for menor que
+ 1), supondo a validade para o valor anterior (k) e a validade confirmada
seus tamanhos (b), podemos assegurar que
para algum valor específico natural no. Depois disso, a relação será
todos após o 1º derrubado (no) cairão. Este
verdadeira para todos os valores maiores ou iguais a no.
resultado é também conhecido como
princípio da indução finita.
Exemplo 3Q
Mostre, por indução matemática, que 10 + 20 + ... + 10n = 5n  (n+1) .
Podemos reescrever isso como 10  1 + 10  2 + ... + 10  n= 5n  (n+1) . Assim,
No quadro ao lado, reescrevemos o lado
esquerdo da fórmula para n = k + 1 e
destacamos a presença da fórmula para n = k
no poderá ser igual a 1. Mas:
a) Esta fórmula vale para no = 1 porque 10  1  5  1 (1 1)
b) Supondo validade para n = k, temos 10  1 + 10  2 + ... + 10  k= 5k  (k+1) .
Vejamos se vale para n = k +1:
como parte integrante. Como tal fórmula vale
10
 20
 ...  10k


  10(k  1)  5k(k  1)  10(k  1) 
para n = k, substituímos seu valor na
5k(k 1)
igualdade. Assim, teremos o trabalho de
(k+1)  (5k+10) 
chegar à validação para n = k + 1, isto é,
(k+1)  5(k+2)=
5(k  1)(k  2)
chegar em 5(k+1)(k+2), o que é conseguido
através de fatoração.
Como conseguimos escrever a soma para n = k + 1 ajustada à fórmula
que se quer provar, damos a demonstração por indução matemática
concluída.
Exemplo 3R
Mostre, por indução matemática, que n! > 3n,  n  7.
a) A desigualdade vale para n = 7 porque 5040  7!  37  2187.
b) Supondo que vale para n = k, teremos que k! > 3k , vejamos se vale
Inicialmente, desmembramos (k + 1)!
conforme a definição de fatorial. Em seguida,
para n = k + 1. Temos que provar que (k+1)! > 3k+1 , isto é, que vale para n
= k+1:
aplicamos a suposição de validade, isto é, se
vale para n = k, temos que k!  3k . Como
precisávamos arrumar uma potência de 3
com o expoente k + 1, substituímos 1 por 2
(k  1)!  (k  1).k!  (k  1).3k
k
k 1
k 1
(k  1)! > (k  2  3).3k  (k

2).3

3 3

+ 3 e aplicamos a propriedade distributiva
(D1). Mas, como (k−2).3k é um número
Veja a importância do princípio de indução matemática para demonstrar
natural (portanto, positivo), o resultado
esta desigualdade de forma definitiva. Se não o utilizássemos,
segue.
poderíamos tentar verificar sua validade para n = 7, 8, 9, 10, etc e ainda
que chegássemos à conclusão que a mesma desigualdade valesse para n
= 100, não haveria prova suficiente para nos certificar a validade para n =
101. Assim, o princípio de indução trabalha na velocidade dos números
naturais infinitos.
Fundamentos de Matemática Superior - 5
EXERCÍCIOS IMEDIATOS
Dica 32: em (a), chegue em (k + 1)2.
32) Prove, por indução, os seguintes resultados:
Em (b), chegue em (k +1).(k + 2).
a) 1 3  5  ...  (2n  1)  n2 , n  1
b) 2  4  6  ...  2n  n(n  1), n  1
EXERCÍCIO INTERMEDIÁRIO
33) Prove, por indução, os seguintes resultados:
n(n  1)
, n  1
2
n(n  1) (2n  1)
b) 12  22  ...  n2 

, n  1
2
3
n(n  1) n(n  1)
c) 13  23  ...  n3 

, n  1
2
2
a) 1  2  ...  n 
EXERCÍCIOS AVANÇADOS
Dica 34: em (c), use o fato de que 7...77 =
34) Prove, por indução, os seguintes resultados:
1...11 x 7 e que 1...11 x 81 =
a) n3  7n  1,  n  3
89..991 =10k+2 – 10...09 = 10k+2 – 10k+1 -9
b) (2n)!  5n ,  n  3
(com quantidades apropriadas de números
repetidos).
c) 7  77  777  ... 
7...7

n números 7

7(10n1  9n  10)
, n  1
81
35)
a) Tente provar por indução que o número da forma n2  n é sempre
ímpar usando apenas o critério (b).
b) Você poderia dizer qual é o menor valor de n a partir do qual isso
valerá
36) Vimos que, para obtermos os coeficientes internos do triângulo de
Pascal, utilizamos a relação de Stiffel, demonstrada no texto a partir da
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
 n   n   n  1
 


 p   p  1  p  1
Demonstre agora tal importante relação utilizando:
a) o conceito de número binomial;
b) o princípio da indução finita.
Fundamentos de Matemática Superior - 6
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