experimentos em parcelas subdivididas

158
EXPERIMENTOS EM FAIXAS
1. Introdução
Os experimentos em faixas (split block) distinguem-se dos experimentos em parcelas
divididas pela distribuição dos tratamentos não serem inteiramente casualizados nas unidades
experimentais, mas, sim, dispostos de modo a formarem faixas. Este esquema experimental
pode ser conveniente nas situações onde pode-se facilitar as operações físicas de instalação,
normalmente onde é necessário testar fatores que exigem áreas bastante grandes. No entanto,
neste tipo de experimento ocorre uma diminuição da precisão de avaliação dos efeitos
principais dos fatores A e B e, propicia maior precisão na interação, que será melhor
determinada do que num ensaio em blocos casualizados ou em parcelas divididas.
Considerando que os números de graus de liberdade associados aos resíduos para os
fatores A e B são, em geral, pequenos, é recomendado ser usado somente nas situações em
que considerações práticas indiquem seu uso, existem dificuldade de aplicar os fatores em
parcelas pequenas ou quando a interação seja o principal objetivo em estudo. Por exemplo,
suponha um experimento para testar o fator A em quatro níveis e outro fator B em dois níveis
usando três blocos de um ensaio em blocos casualizados. Após a casualização do fator A nas
colunas e do fator B nas linhas, um esquema de instalação é
Bloco I
Bloco II
Bloco III
a4b1
a3b1
a1b1
a2b1
a2b1
a1b1
a4b1
a3b1
a1b2
a4b2
a2b2
a3b2
a4b2
a3b2
a1b2
a2b2
a2b2
a1b2
a4b2
a3b2
a1b1
a4b1
a2b1
a3b1
Observa-se que a casualização é feita em dois estágios; primeiro casualiza-se os níveis do
fator A nas colunas e, em seguida, os níveis do fator B nas linhas. Cada linha pode ser
considerada como um bloco completo em relação ao fator A e cada coluna como um bloco do
fator B.
Esse tipo de experimento pode ser útil em situações, tais como: a) deseja-se estudar o
comportamento simultâneo da aplicação de fósforo a lanço e no sulco e para facilidade de
aplicação das doses, esta é feita em faixas; b) quando tem-se métodos de preparo do solo e
profundidades de avaliação; c) estudo de espaçamento e adubação de cobertura; d)
espaçamentos de plantio e densidades de plantio e e) nas situações práticas onde é difícil a
instalação do experimento no esquema de parcelas subdivididas ou em fatorial. Uma farta
bibliografia sobre o assunto, sua aplicação e a metodologia de análise está ressaltada em
159
diversos textos, de estatística experimental, tais como, Piedade (1987), Banzato e Kronka
(1995), Pimentel Gomes (2000), dentre outros.
A única vantagem deste esquema é que permite a aplicação de fatores que não podem
ser usados em parcelas pequenas e, como desvantagem apresenta precisão diferente na
estimação da interação e efeitos principais e, ainda, uma análise um pouco mais complicada.
Será discutida a forma de análise de variância de em experimento instalado no
delineamento em blocos casualizados, sendo os tratamentos dispostos no esquema de faixas
com dois fatores. Seja J o número de blocos, I o número de níveis do fator A e K o número de
níveis do fator B. Supondo J = 3, I = 3 e K = 4. As parcelas são em número de nove (I x J = 3
x 3 = 9); os 8 graus de liberdade para comparações entre parcelas são decompostos em 2 graus
de liberdade para blocos, 2 graus de liberdade para o efeito principal do fator A e 4 graus de
liberdade para o erro experimental existente entre as parcelas, que corresponde ao resíduo (a).
Existem 3 graus de liberdade associado com a variação entre os níveis do fator B e seis (2 x 3)
relativo a interação blocos x fator B, que corresponde ao resíduo (b) e, ainda, 6 graus de
liberdade para a interação A x B e 12 graus de liberdade para um erro experimental ou resíduo
(c). O esquema de análise de variância de um experimento em faixas conduzido nos
delineamentos experimentais inteiramente casualizados e blocos casualizados, está mostrado
na Tabela 76.
Tabela 76. Esquema de análise de variância de um experimento em faixas com I tratamentos
primários, K tratamentos secundários e repetidos J vezes nos delineamentos
experimentais inteiramente casualizado e blocos casualizados.
Inteiramente Casualizado
Blocos Casualizados
V.C.M.
G.L.
V.C.M.
G.L.
Fator A
I-1
Blocos
J-1
Resíduo(a)
I(J-1)
Fator A
I-1
Parcelas
IJ-1
Resíduo(a)
(I-1)(J-1)
Fator B
K-1
Parcelas
IJ-1
Resíduo (b)
(J-1)(K-1)
Fator B
K-1
AxB
(I-1)(K-1)
Resíduo(b)
(J-1)(K-1)
Resíduo (c)
(I-I)(J-1)(K-1)
AxB
(I-1)(K-1)
Total
IJK-1
Resíduo(c)
(I-1)(J-1)(K-1)
Total
IJK-1
160
2. Um modelo linear
Um modelo linear adequado para um experimento em blocos casualizados com os
tratamentos dispostos em faixas é
y ijk    a i  b j  abij  c k  bc jk  abik   ijk
onde com: i = 1,2, ..., I níveis do fator A; j = 1,2, ..., J blocos; k = 1,2, ..., K níveis do fator B;
yijk é o valor observado na parcela correspondente ao k-ésimo nível do fator B, no do i-ésimo
nível do fator A e no j-ésimo bloco;  é uma constante inerente a todas as observações (às
vezes, representa a média geral); ai é o efeito do i-ésimo nível do fator A; bj é o efeito do jésimo bloco; abij é o efeito da interação fator A x blocos (considerada como o resíduo(a)); ck é
o efeito do k-ésimo nível do fator B; bcjk é o efeito da interação fator B x blocos (considerada
como o resíduo(b)); acik é o efeito de interação entre o i-ésimo nível do fator A e o k-ésimo
nível do fator B; ijk é o erro aleatório atribuído a observação yijk , considerado como o
componente do resíduo.
3. Um exemplo
Os dados da Tabela 77 são provenientes de um experimento conduzido no
delineamento em blocos casualizados com três repetições, com os tratamentos constituídos
por três laminas de irrigação (0%, 30% e 60% da EPA) e por quatro tipos de amostragem
(ápice, base, geral e externa) em plantas de tangerina cravo.
Tabela 77. Valores do peso por fruto da tangerineira cravo em função das lâminas de
irrigação, tipos de amostragem e blocos.
Blocos
I
II
III
Total
Lâminas
0
30
60
0
30
60
0
30
60
Posição de Amostragem
Ápice
150
188
220
147
157
173
146
172
204
1557(9)
Base
163
174
170
141
166
165
140
158
163
1440
Fonte: Dados adaptados de P.A.M. Silva (1999).
SQTot = 1702 + 1632 + ... + 1752 - C = 12388,00
Geral
164
182
170
133
144
152
149
142
150
1386
Total
Externa
171
182
182
140
143
170
150
160
175
1473
648(4)
726
742
561
610
660
585
632
692
5856(36)
161
C = (5856)2/36 = 952576,00
Para cálculo da soma de quadrado de parcelas, de blocos, de lâmina e do resíduo (a),
deve-se organizar uma tabela auxiliar que relaciona os totais dos níveis de lâmina com blocos:
Lamina
0
30
60
Total
SQBlo =
1
12
(4)(3)
1
4
Bloco 2
561
610
660
1831
Bloco 3
585
632
692
1909
Total
1794(12)
1968
2094
5856(36)
(21162  18312  19092 ) - C = 3615,50
1
SQLam =
SQPar =
Bloco 1
648(4)
726
742
2116(12)
(17942  19682  20942 ) - C = 3782,00
( 6482  5612    692 2 ) - C = 7543,50
SQBloxLam = SQRes(a) = SQPar - SQLam - SQBlo = 7543,00 - 3782,00 – 3615,20 = 146,00
Para calcular a soma de quadrados de Posição de Amostragem e para o resíduo(b),
deve-se organizar uma tabela auxiliar que relaciona os níveis de posição com blocos:
Posição
Ápice
Base
Geral
Externa
Total
SQPos =
1
(3)(3)
SQBlo e Pos =
Bloco 1
558(3)
507
516
535
2116(12)
Bloco 2
477
472
429
453
1831
Bloco 3
522
461
441
485
1909
Total
1557(9)
1440
1386
1473
5856(36)
(15572  14402  13862  14732 ) - C = 1710,00
1
(3)
(5582  4772    4852 ) - C = 5813,33
SQBloxPos = SQRes(b) = SQBloePos - SQBlo - SQPos = 5813,33 – 3615,50 – 1710,00 =
487,83
E, para calculo da interação sugere-se organizar uma tabela auxiliar que relaciona os
totais de níveis de lâmina com os níveis de posição:
Lâmina
0%
30%
60%
Total
Posição
Ápice
443(3)
517
597
1557(9)
Base
444
498
498
1440
Total
Geral
446
468
472
1386
Externa
461
485
527
1473
1794(12)
1968
2094
5856(36)
162
SQL e P =
1
(3)
(4432  4442    4722  5272 ) - C = 7187,33
SQLamxPos = SQL e P - SQLam - SQPos = 7187,33 – 3782,00 - 1710,00 = 1695,33
E, a soma de quadrados do resíduo (c) é obtida pela diferença
SQRes(c) = SQTot - SQBlo - SQLam - SQRes(a)- SQPos - SQRes(b) - SQLxP = 951,84
Obtidas as somas de quadrados, pode-se construir a análise de variância (Tabela 78).
Tabela 78. Análise de variância para os dados de peso por fruto.
V.C.M.
G.L.
S.Q.
Q.M.
Blocos
2
3615,00
1807,50
Lâmina
2
3782,00
1891,00
Resíduo(a)
4
146,00
36,50
Posição
3
1710,00
570,00
Resíduo (b)
6
487,83
81,31
Lam x Pos
6
1695,33
282,56
Resíduo(c)
12
951,84
79,32
Total
35
12388,00
Fc
Prob > F
51,81
0,0028
7,01
0,0224
3,56
0,0289
Verifica-se que houve efeito significativo de lâmina, posição de amostragem e
interação sobre os resultados de peso por fruto. Prob > F indica o nível de significância do
valor de Fc, por exemplo, 0,0289 é a probabilidade do valor Fc = 3,56 ser significativo, logo
este valor é significativo a 5%, mas não o é a 1%, é uma probabilidade de 2,89%,
intermediária.
Nesses experimentos podem ser distinguidos três coeficientes de variação:
em relação as laminas:
C.V.(a) =
36,50
QM Re s( a )
100 =
100 = 3,71%
162,67
y ...
em relação as posições:
C.V.(b) =
81,31
QM Re s(b)
100 = 5,54%
100 =
162,67
y ...
e, em relação a interação:
C.V.(c) =
QM Re s( c)
y ...
100 =
79,32
162,67
100 = 5,47%
163
Em geral, espera-se que os C.V.(a) e C.V.(b) sejam sempre maior que ou igual ao C.V.(c);
quando isto não ocorre possivelmente existe alguma correlação entre as subparcelas ou o
modelo adotado não é o mais adequado, entre outras possibilidades.
4. Comparações múltiplas
Admitindo-se a possibilidade de rejeição das hipóteses de nulidade, referentes aos
efeitos de laminas, posição e interação, tem-se interesse em comparar as médias desses
tratamentos usando os procedimentos usuais. Para isto precisa-se das estimativas das
variâncias entre duas médias, que são obtidas segundo a metodologia exposta e são
considerados os seguintes casos:
a) Um contraste entre duas médias de tratamentos A (duas médias de lâminas)
A estimativa da variância é
Var( yi..  yi'.. ) =
2
2
36,50 = 6,0833
QM Re s( a ) =
(3)(4)
JK
Para a aplicação de algum teste de médias, como o teste de Tukey, a diferença
mínima significativa () é dada por
 = q[I ; GLRes(a) ; %]
1
1
 ( y i..  y i ' . ) = 5,04 ( 6,0833) = 8,8
Var
2
2
sendo q o valor tabelado, obtido em função de I tratamentos A e GLRes(a) número de graus
de liberdade do resíduo (a) a um nível de significância  desejado, ou seja, q[3 ; 4 ; 5%] = 5,04.
b) Um contraste entre duas médias de tratamentos B (duas médias de posição)
A estimativa da variância é:
 ( y..k  y..k ' ) 
Var
2
2
81,31 = 18,0689
QM Re s(b) =
( 3)( 3)
IJ
Para a aplicação de algum teste de médias, como o teste de Tukey, a diferença
mínima significativa () é dada por
 = q[K ; GLRes(b) ; %]
1
1
 ( y..k  y..k ' ) = 4,90 (18,0689) = 14,7
Var
2
2
sendo q o valor tabelado, obtido em função de K tratamentos B e GLRes(b) número de graus
de liberdade do resíduo(b) a um nível de significância  desejado, ou seja, q[4 ; 6 ; 5%] = 4,90.
c) Um contraste entre duas médias de tratamentos B, dado um tratamento A
A estimativa da variância para a diferença entre duas médias de posição dado uma
lâmina é:
164
 ( yi.k  yi.k ' ) 
Var
2 QM Re s(b)  ( K  1)QM Re s( c) 2 81,31 (4  1) 79,32
=
= 53,212
3
4
J
K
Para a aplicação de algum teste de médias, como o teste de Tukey, a diferença
mínima significativa () é dada por
 = q[K ; v1 ; %]
1
1
 ( yi.k  yi.k ' ) = 4,00 (53,212) = 20,6
Var
2
2
sendo q o valor tabelado, obtido em função de I tratamentos primários e v1 número de graus
de liberdade associado à combinação dos dois resíduos, a um nível de significância 
desejado, ou seja, q[4 ; 18 ; 5%] = 4,00. Com v1 obtido de acordo com Satterthwaite (1947)
através de
v1 =
[QM Re s(b)  ( K  1)QM Re s(c)]2
[QM Re s(b)]2
GL Re s(b)

[( K  1)QM Re s(c)]2
=
[81,31 (4  1)79,32)]2
[81,31]2
6
GL Re s(c)

[(3)79,32]2
= 17,5  18
12
d) Um contraste entre duas médias de tratamentos A, dado um tratamento B
A estimativa da variância para a diferença entre duas médias de lâminas dado uma
posição é:
 ( yi.k  yi '.k ) 
Var
2 QM Re s(a )  ( K  1)QM Re s( c) 2 36,5  (4  1)79,32
=
= 45,74
3
( 4)
J
K
Para a aplicação de algum teste de médias, como o teste de Tukey, a diferença mínima
significativa () é dada por
 = q[I ; v ; %]
1
1
 ( y i.k  y i '.k ) = 3,67 (47,74) = 17,6
Var
2
2
sendo q o valor tabelado, obtido em função de I tratamentos A e v2 número de graus de
liberdade, a um nível de significância  desejado, ou seja, q[3 ; 15 ; 5%] = 3,67, com v2 obtido
(Satterthwaite, 1947) através de
v2 =
[QM Re s(a )  ( K  1)QM Re s(c)]2
[QM Re s(a )]2
GL Re s(a )

[( K  1)QM Re s(c)]2
GL Re s(c)
=
[ 36,50  ( 4  1) 79,32]2
[ 36,50]2
4

[( 3) 79,32]2
= 14,9  15
12
Para comparar os tratamentos de modo mais fácil, pode-se reunir as comparações
entre as médias e a aplicação do teste de Tukey numa única Tabela 79. Observa-se que na
lâmina de 60% houve efeito significativo das posições, sendo que o ápice apresentou frutos
mais pesados do que nas demais posições; já na lâmina de 30% e na ausência de irrigação não
foi verificado diferença entre os pesos dos frutos em função das posições. Por outro lado, os
165
frutos da base e geral não apresentaram significativa em função dos manejos da irrigação, já
no ápice a irrigação com 60% propiciou frutos mais pesados e sem irrigação, os frutos menos
pesados; na posição externa, os frutos irrigados com 60% e 30% não diferiram entre si, mas
na irrigação de 60% ocorreram frutos mais pesados do que sem irrigação. Na média geral
observa-se que, o ápice apresentou frutos mais pesados, enquanto que, os frutos da base e da
amostragem geral foram os menos pesados; quanto a irrigação, verificou-se que frutos mais
pesados foram obtidos com o uso de 60% da EPA e os menores quando não de irrigou.
Tabela 79. Valores médios dos pesos por fruto (g) em função das lâminas de irrigação e
posição de amostragem dos frutos de tangerina murcotte e respectivas
comparações usando o teste de Tukey.
Lâminas
Posição
Média
Ápice
Base
Geral
Externa
0%
147,7 c A
148,0 a A
148,7 a A
153,7 b A
149,5 c
30%
172,3 b A
166,0 a A
156,0 a A
161,7 ab A
164,0 b
60%
199,0 a A
166,0 a BC
157,3 a C
175,7 a B
174,5 a
173,0 A
160,0 AB
154,0 B
163,7 AB
162,7
Média
Em cada coluna, médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de
Tukey (P > 5%). Idem para letras maiúsculas em cada linha.
Exercício
1. Um experimento foi realizado com o objetivo de comparar posições de coletas de frutos na árvore,
sendo os tratamentos constituídos de: altura dos frutos (parte superior, mediana e inferior da planta) e
posição dos pontos cardeais na planta (norte, sul, oeste e leste). O delineamento experimental foi em
blocos casualizados com três repetições, com os tratamentos considerados como dispostos no
esquema de faixas. Os valores obtidos de peso por fruto (g) da tangerina murcote, em função dos
tratamentos foram:
Posição
Superior
Mediana
Inferior
Ponto Cardeal
Norte
Sul
Oeste
Leste
Norte
Sul
Oeste
Leste
Norte
Sul
I
148
111
140
142
142
116
124
142
120
123
Blocos
II
151
154
180
144
136
128
121
135
131
117
III
159
169
151
148
162
145
157
156
124
129
166
Oeste
Leste
125
129
113
128
a) Faça a análise de variância com interpretação dos resultados;
b) Faça um desdobramento da interação e comente os resultados.
127
137