Sistema de Numeração e Aritmética Básica

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Sistema de Numeração e Aritmética Básica
O Sistema de Numeração Decimal possui duas características importantes: ele possui base 10 e é um
sistema posicional.
Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação dos números, são eles:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Por ser um sistema posicional, cada algarismo assume um valor relativo de acordo com a posição ocupada
em um número, por exemplo, no número 32, o algarismo 2 representa duas unidades ou vinte, e o 3
representa três dezenas ou 30. Já, no número 320, o algarismo 3 representa três centenas ou 300, o 2
representa duas unidades ou vinte e o 0 representa zero unidades.
1. A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir.
Entre as alternativas abaixo qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C?
a)
b)
c)
d)
e)
1, 4 e 8
2, 3 e 5
4, 5 e 6
1, 3 e 9
1, 6 e 5
Dessa adição resulta a seguinte equação:
3(ABC)  BBB
3(100A  10B  C)  100B  10B  B
B
100A  C
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Como A, B e C são números inteiros compreendidos entre 0 e 9 essa equação só é válida para A = 1,
B = 4 e C = 8.
2. Henrique escreveu a sequência de números naturais de 1 a 170. Quantos algarismos Henrique
escreveu?
1 a 9  9 números  9 algarismos
10 a 99  90 números  90.2 = 180 algarismos
100 a 170  71 números  71.3 = 213 algarismos
Assim, 9 + 180 + 213 = 402 algarismos
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Equação do 1º grau
Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser
escrita sob a forma: ax + b = 0. Em que a e b são números reais, com a ≠ 0.
Chamamos de solução de uma equação os valores numéricos que atribuídos às incógnitas da equação
tornam a igualdade verdadeira. Assim temos que:
 O número 2 é solução da equação 5x – 10 = 0, pois a sentença 5 . 2 – 10 = 0 é verdadeira;

O número 4 é solução da equação 5(z – 1) = 2z + 7, pois a sentença 5(4 – 1) = 2 . 4 + 7 é verdadeira.
Qualquer equação do 1º grau admite uma solução única. O símbolo () serve para indicar que duas
equações admitem a mesma solução e, neste caso, dizemos que essas equações são equivalentes. Veja
alguns exemplos.

5x – 10 = 0  5x = 10

–2x + 9 = y  9 = 3y

5(z – 1) = 2z + 7  3z – 12 = 0
3. Qual é a solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20?
5(x  3)  2(x  1)  20
5x  15  2x  2  20
3x  17  20
3x  20  17
3x  3
x 1
4. O conjunto solução da equação
a)
b)
c)
d)
S = {1}
S = {2}
S = {2}
S=
x 2
 2 em R é:
x
x 2
2
x
x  2  2x
x  2x  2
x  2
x 2
5. Determine os valores de a para os quais a equação ax + 1 = 2x + 7 possui solução.
ax  2x  6
a) a  1
b) a  2
x(a  2)  6
c) a  3
6
x
d) a  – 1
a2
e) a  – 2
a2  0
a2
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Problemas envolvendo equações de 1º grau
Para resolver problemas por meio de equações de 1º grau precisamos:

ler o enunciado com muita atenção;

verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x, por
exemplo)

escrever a equação de acordo com os dados do problema;


por meio de processos algébricos resolver a equação obtida;
fazer a interpretação da solução no correspondente problema;
6. Leia a seguinte descrição de uma sequência de cálculos sobre um número.

pensei em um número;

subtraí 4 desse número;

dividi o resultado por 5;

multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40.
Em que número pensei?
Seja x o número pensado.
Subtrai 4 desse número: x – 4
x4
Dividi o resultado por 5:
5
Multiplique o novo resultado por 8 e encontrei 40:
x 4
 x4 
8. 
 5  x  4  25  x  29
  40 
5
 5 
7. Suponha que para calcular a nota final de uma prova com 30 questões fossem contabilizados quatro
pontos a cada questão que o aluno acertasse e, menos um ponto, a cada questão que o alunos errasse.
De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as questões e obtenha 60 pontos,
quantas questões ele acertou?
4x – (30 – x) = 60
4x + x = 60 + 30
5x = 90
x = 18
8. Um grupo de jovens participava de uma festa. Às 23h retiram-se 12 garotas do grupo e o número de
rapazes ficou sendo o dobro do de garotas. Em seguida, retiram-se 15 rapazes e o número de garotas
ficou sendo o dobro do de rapazes. Qual era a quantidade inicial de jovens desse grupo?
Garotas
Rapazes
Inicial
x
y
23h
x  12
y
Em seguida
x  12
y - 15
y  2(x  12)
y  2x  24
y  2x  24 (  2)
2y  4x  48




x  12  2(y  15)
x  12  2y  30
2y  x  18
2y  x  18
3x  66  x  22  y  20
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Exercícios propostos
1. A seguinte figura representa a subtração de
dois números inteiros, no qual alguns
algarismos foram substituídos por letras
(A,B,C,D,E).
Os valores de A, B, C, D e E que tornam
correta a expressão, são tais que sua soma é
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
26
25
24
23
22
2. Na tabela seguinte, cada símbolo ( e )
substitui uma das quatro operações básicas,
que devem ser efetuadas em cada linha, para
obter o resultado que se encontra na última
coluna.
42

7

3
=
9
36

4

5
=
14
85

5

1
=
?
Dessa forma, para que o resultado da terceira
linha seja o correto, o ponto de interrogação
deverá ser substituído pelo número?
a)
b)
c)
d)
e)
18
17
16
13
12
3. Para abrir o cofre de sua casa, Glória precisa
usar uma senha, que é um número de quatro
algarismos diferentes de zero. Ela sabe que:

o algarismo da unidade é o dobro do
algarismo da unidade de milhar;

o algarismo da centena é o triplo do
algarismo da unidade de milhar;

o algarismo da centena é o dobro do
algarismo da dezena.
Qual é a senha do cofre de glória?
4. Um grupo de amigos está planejando uma
viagem. Se cada um deles contribuísse com
140 reais para as despesas previstas, faltariam
40 reais. Mas se cada um deles contribuísse
com 160 reais, sobrariam 60 reais. A quantia,
em reais, que cada um deveria contribuir de
modo a obterem exatamente o necessário
para essas despesas é
a)
b)
c)
d)
e)
144
146
148
150
152
5. Uma escola aplicou um provão para os alunos
concluintes do 9.º ano do Ensino
Fundamental, contendo 50 questões. Cada
aluno ganhava quatro pontos para cada
resposta correta e perdia um ponto para cada
resposta errada. Se Eduardo fez 130 pontos, o
número de questões acertadas por ele foi
a) 35
b) 36
c) 37
d) 38
e) 39
6. Se a diferença entre 60 e dois terços de um
número é igual a 54, então esse número é
a)
b)
c)
d)
e)
7
8
9
10
11
7. Observe a tabela
estacionamento.
de
preços
de
um
Com base na tabela acima, é correto afirmar
que não compensará pagar uma diária
completa caso o carro fique
no
estacionamento por, no máximo:
a)
b)
c)
d)
e)
3 horas
4 horas
5 horas
6 horas
7 horas
5
8. João Gastador e Pedro Econômico estavam
conversando quando João Gastador disse: “Se
você me vender um de seus automóveis
importados, nós ficaremos com a mesma
quantidade de automóveis importados”.
Imediatamente, Pedro Econômico retrucou:
“E se você me vender um de seus automóveis
importados, eu ficarei com o dobro da
quantidade de automóveis importados que
você tem”. O quadrado da metade da soma
das quantidades de automóveis importados
de João Gastador e de Pedro Econômico é
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
16
25
36
49
64
Gabarito
1
2
3
4
5
6
7
8
b
a
2634
c
b
c
a
c