B I O E S T A T Í S T I C A

APONTAMENTOS DE
B I O E S T A T Í S T I C A
Bárbara Oliveiros, 2008
BioEstatística
1. INTRODUÇÃO À BIOESTATÍSTICA
A estatística é uma área do conhecimento que utiliza teorias probabilísticas para explicação
de eventos, estudos e experimentos. Tem por objectivo obter, organizar e analisar dados,
determinar as relações que estes apresentam, e avaliar as consequências para descrição e
explicação do que passou, e/ou para a previsão e organização do futuro.
A estatística é também uma ciência e prática de desenvolvimento de conhecimento humano
através do uso de dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo da matemática
aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e incerteza são modeladas pela teoria da
probabilidade. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planeamento, a
descrição e a interpretação de observações. Porque o objectivo da estatística é a produção da
"melhor" informação possível a partir dos dados disponíveis, alguns autores sugerem que a
estatística é um ramo da teoria da decisão.
Origem
O termo estatística surge da expressão em Latim statisticum collegium, palestra sobre os
assuntos do Estado, de onde surgiu a palavra em língua italiana statista, que significa "homem
de estado", ou político, e a palavra alemã Statistik, designando a análise de dados sobre o
Estado. A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel na
Universidade de Lena e adoptada pelo académico alemão Godofredo Achenwall. Aparece
como vocabulário na Enciclopédia Britânica em 1797, e adquiriu um significado de colecta e
classificação de dados, no início do século XIX.
Actualmente, é um ramo do conhecimento científico que tem por objectivo não só a
observação, classificação e análise dos fenómenos colectivos, mas também o estudo de
possibilidade de inferência indutiva a partir de dados observados.
A base da estatística e sua definição
A Estatística é uma ferramenta matemática que nos informa sobre o erro que as nossas
observações apresentam sobre a realidade pesquisada. A estatística baseia-se na medição do
erro que existe entre a estimativa de quanto uma amostra representa adequadamente a
população da qual foi extraída. Assim o conhecimento de teoria de conjuntos, teoria de
probabilidades, análise combinatória e cálculo são indispensáveis para compreender como o
3
Engenharia Biomédica
erro se comporta e a magnitude do mesmo. É o erro (erro amostral) que define a qualidade da
observação e do delineamento experimental.
A probabilidade de um evento é frequentemente definida como um número entre zero e um.
Na realidade, porém, nunca há situações que tenham probabilidades 0 ou 1. Pode dizer-se que
o sol irá certamente nascer na manhã seguinte, mas… e se acontecer um evento extremamente
difícil de ocorrer que o destrua? E se ocorrer uma guerra nuclear e o céu ficar coberto de
cinzas e fumo?
Normalmente aproximamos a probabilidade de alguma coisa para cima ou para baixo porque
elas são tão prováveis ou improváveis de ocorrer, que é fácil de reconhecê-las como
probabilidade de um ou zero.
Entretanto, isto normalmente leva a desentendimentos e comportamentos perigosos, porque as
pessoas não conseguem distinguir entre, uma probabilidade de 10-4 e uma probabilidade de
10-9. Na prática, há uma grande diferença: imagine que vai atravessar a estrada numa
passadeira cerca de 105 ou 106 vezes na sua vida. Considerando que o risco de atropelamento
é 10-9, pode ficar seguro para o resto da sua vida; considerando que o risco de atropelamento é
de 10-4, é bastante provável que venha a ser atropelado, mesmo com o sentimento intuitivo
que 0,01% é um risco muito baixo.
Bioestatística – é a estatística aplicada ao estudo das características biológicas das
populações (humanas) ou, de forma genérica, às ciências da vida.
A Bioestatística é cada vez mais uma área independente da estatística, ainda que as suas bases
assentem na teoria de probabilidades, tal como a própria Estatística.
Inicialmente, considerou-se a Bioestatística como a “Estatística aplicada à Biologia Humana e
Medicina”. Uma definição mais actual, e mais abrangente, passou a ser “a ciência que foca o
desenvolvimento e utilização de métodos estatísticos para resolver problemas e questões que
surgem nas áreas da Biologia Humana e Medicina”.
Contudo, começa a considerar-se que, na Bioestatística, poderão caber temas tão diversos
como a avaliação de recursos faunísticos e florais, estudos da teoria de aprendizagem e
comportamento animal, questões de ecologia e, sobretudo, Planeamento de Experiências.
4
BioEstatística
Assim, a Bioestatística tem de ser uma área interdisciplinar, onde o raciocínio dedutivo e
indutivo devem estar integrados de forma a considerar que:
•
a incerteza é fonte de conhecimento, quando a Probabilidade nos permite delimitá-la
caracterizando os seus padrões;
•
a informação obtida “por acaso” pode ser enganadora, enquanto que a informação obtida
“ao acaso” tem uma variabilidade útil;
•
mais importante do que a informação, é a transformação desta em conhecimento;
•
a amostragem é boa mas o Planeamento Experimental é ainda melhor, por ser um
investimento na obtenção de dados de qualidade, que importam analisar;
•
os problemas éticos não podem ser escamoteados na investigação experimental;
•
o problema do passado (e actual, no caso das doenças raras) era a escassez de dados e,
actualmente, o problema é, frequentemente, a proliferação de dados, muitas vezes de má
qualidade.
Estatística
Descritiva
Inferencial
Descrever dados através de
Tomada de decisão baseada
indicadores (estatísticas)
Estimadores dos reais
nos elementos observados
No conhecimento que o
ou experimentados (intervalos de
investigador tem sobre
Indicadores da população confiança e/ou testes estatísticos)
o problema em causa
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Engenharia Biomédica
Sumariar dados
Estatística descritiva
Conhecimento da população
Extrapolar para a população as conclusões obtidas na amostra
Estimação de parâmetros
Inferência estatística
Cálculo de Probabilidades
(estatística assenta na
Testes de Hipóteses
teoria de probabilidades)
Origem nos jogos de azar
Fenómeno aleatório – influenciado pelo acaso
Experiência aleatória – há possibilidade de ser repetida em condições idênticas
- é conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis, embora não
se saiba, à priori, qual será o resultado
- existe regularidade estatística na repetição da experiência
Experiência determinística – o resultado é conhecido antes da sua realização (ex: temperatura
de congelação ou ebulição da água)
6
BioEstatística
2. RECOLHA DE DADOS E AMOSTRAGEM
Primários – levantados especialmente para determinada investigação
Dados
Secundários- se se utilizam dados já existentes
Censo – informação relativa a todos os elementos da população
Recolha de dados
Dimensão mínima da amostra?
Amostragem – analisa-se um subconjunto da população
vantagens
Impossível a recolha de todos os elementos da população em
Populações infinitas
Com elevado nº de elementos
Quando o estudo das características de cada elemento conduz à sua destruição
O estudo cuidadoso de uma amostra conduz a resultados mais fidedignos do que o estudo
sumário de toda a população
Menor custo e obtenção de resultados em tempo oportuno
Problemas de ordem ética devem ser tidos em consideração
Estudo de novos medicamentos
Novas técnicas cirúrgicas
Técnicas invasivas
Amostra representativa da população
Não pode ser enviezada – definição correcta da população a inquirir e da técnica de
amostragem
Deve existir um controlo na obtenção de não respostas ou casos perdidos, o que pode
diminuir drasticamente a dimensão da amostra
Deve ter dimensão suficiente para que as conclusões a obter tenham um determinado grau
de confiança e nível de precisão
Amostras de conveniência são, muitas vezes, as únicas possíveis de obter, principalmente
quando se trata de populações raras, mal conhecidas, geograficamente mal determinadas
Perigo de tendenciosidade, logo inadequadas para produzir inferência
7
Engenharia Biomédica
Amostragem aleatória, casual ou probabilística é a que garante melhor representatividade
É necessário possuir uma listagem de todos os elementos da população de modo a que a
probabilidade de qualquer elemento da população ser seleccionado seja conhecida à priori
(≠0.)
Extremamente difícil obter-se tal amostragem ⇒ possível obter uma aproximação
Amostragem aleatória
Simples – todos os elementos têm igual probabilidade de serem seleccionados (1/N) por
sorteio (bolas numeradas num saco, tabela de nos aleatórios1). Este método não é muito
usado dado que é difícil obter populações réplica
Estratificada – quando se conhece a estrutura da população. Conduz a amostras
representativas de menor dimensão. A população é dividida em estratos, grupos
homogéneos relativamente a uma característica (ex: sexo), e dentro de cada estrato
seleccionam-se os elementos duma forma aleatória simples, de acordo com a proporção de
cada grupo na população.
Sistemática ou quase aleatória – Apenas o 1º elemento da amostra é escolhido
aleatoriamente, e os restantes são determinados de modo sistemático pela razão N/n (N –
dimensão da população; n – dimensão da amostra). O 1º elemento pode ser obtido por
uma tabela de nos aleatórios no intervalo [1, N/n], e os restantes por adição de N/n (valores
arredondados ao menor inteiro).
1
Geradas por processos matemáticos que constituem um conjunto de números que não obedecem a nenhum
plano prévio (amostras sem reposição)
8
BioEstatística
3. VARIÁVEIS, PROBLEMAS DE INVESTIGAÇÃO E QUESTÕES
3.1 Variáveis
Os elementos chave de uma investigação são as variáveis – características dos participantes
ou da situação de um determinado estudo, que pode tomar diferentes valores. Uma variável
tem de ter a capacidade de variar, ou tomar diferentes valores. Se um conceito apenas toma
um valor num estudo, então não é uma variável (por exemplo, o género não é uma variável se
todos os indivíduos do estudo forem mulheres).
Na investigação quantitativa, as variáveis podem ser definidas como:
Variável
Independente
Activa*
´Dependente
Estranha
Atributo **
3.1.1 Variável Independente
Activa – a variável ou a situação em que esta é avaliada pode ser manipulada. A variável de
interesse “é dada” ao participante (ex: terapia nova/terapia tradicional, substância
activa/placebo). A existência deste tipo de variáveis independentes é necessária mas não
suficiente para tirar conclusões de causa-efeito, ou seja, fazer inferência. Os Estudos
Experimentais (randomizados ou não) exigem a existência deste tipo de variáveis.
Atributo – a variável independente é medida, não pode ser manipulada, embora seja um foco
importante do estudo (os valores da variável independente são atributos “pré-existentes”, que
não se alteram sistematicamente com o desenrolar do estudo. Ex: género feminino/masculino,
escalão etário). Estudos que apenas têm variáveis independentes do tipo atributo são não
experimentais.
3.1.2 Variável Dependente – mede ou avalia o efeito da variável independente; é assumida
como o resultado.
9
Engenharia Biomédica
3.1.3 Variável Estranha – não são de interesse em determinado estudo, mas podem
influenciar a variável dependente. Factores ambientais e características do experimentador são
variáveis estranhas que devem ser controladas
.
3.2 Amostras independentes versus amostras emparelhadas
Independentes – se não existe nenhum tipo de relação ou factor unificador entre os
elementos das amostras: a probabilidade de um sujeito pertencer a ambas é nula (ex: uma
variável é avaliada para cada um dos géneros sexuais)
Emparelhadas – as amostras são constituídas usando os mesmos sujeitos experimentais,
ou homólogos (ex: a mesma variável é medida antes e depois de um determinado
tratamento). A excepção é quando se utilizam Gémeos ou animais da mesma ninhada
A distinção entre amostras independentes e emparelhadas é particularmente importante para a
inferência estatística: a relação, ou ausência de relação, existente entre os elementos de uma
ou mais amostras.
10
BioEstatística
3.3 Questões, Hipóteses e Objectivos de Investigação
A única diferença entre as questões e as hipóteses de investigação está no formato de
apresentação das ideias a investigar (pergunta/frase). A partir do momento em que estão
definidas as questões ou as hipóteses de investigação, estas podem ser objectivadas num
capítulo: objectivos de investigação ou do estudo.
Exemplos:
Questões
Hipóteses
Objectivos
Será que este novo tratamento é
eficaz em comparação com o
placebo?
Será que este novo tratamento é tão
seguro
como
o
tratamento
standard?
Pretende-se investigar a hipótese do
novo tratamento ser mais eficaz
que o placebo.
Pretende-se investigar a hipótese
que o novo tratamento é tão seguro
como o tratamento standard.
Pretende-se investigar a hipótese
que os expostos a determinados
factores de risco têm efectivamente
mais risco de doença que os não
expostos.
Pretende-se investigar a hipótese
que quem fez a terapia A tem 10
vezes menos risco de recidiva que
quem não fez.
Pretende-se investigar a hipótese
que os casos de doença estiveram
mais expostos a determinados
factores de risco que os controlos.
Pretende-se investigar a hipótese
desta doença apresentar uma
prevalência ao nível nacional que
não justifica que a mesma seja
considerada um problema de saúde
pública.
Pretende-se investigar a hipótese
dos
acidentes
de
viação
apresentarem uma incidência anual
que
realmente
justifica
ser
considerado um problema de saúde
pública.
Comparar a eficácia do novo
tratamento versus a eficácia do
placebo.
Comparar a segurança do novo
tratamento versus a segurança do
tratamento standard.
Será
que
os
expostos
a
determinados factores de risco têm
efectivamente mais risco de doença
que os não expostos?
Será que quem fez a terapia A tem
10 vezes menos risco de recidiva
que quem não fez?
Será que os casos de doença
estiveram mais expostos a determinados factores de risco que os
controlos?
Será que esta doença apresenta um
prevalência ao nível nacional que
justifique que a mesma seja
considerada um problema de saúde
pública?
Será que os acidentes de viação
apresentam um incidência anual
que justifique ser considerado um
problema de saúde pública?
Comparar as incidências da doença
entre os expostos a factores de risco
e os não expostos.
Comparar as taxas de recidiva entre
um grupo que faz a terapia A e um
grupo que não faz qualquer
tratamento.
Comparar casos com controlos
relativamente à exposição prévia a
factores de risco.
Determinar a taxa de prevalência
da doença a nível nacional.
Determinar a taxa de incidência
anual média dos acidentes de
viação nos próximos 5 anos.
11
Engenharia Biomédica
3.3.1 Relação entre variáveis e Questões/hipóteses e objectivos da Investigação
As variáveis têm de ser observadas para se poderem analisar os objectivos da investigação. De
acordo com os exemplos anteriores, poder-se-ia ter:
3.4 Níveis de mensuração das variáveis
Existem variáveis Qualitativas e Quantitativas.
As primeiras, embora categorias, podem ser ordenáveis ou não, ainda que, por vezes, se
considere que as variáveis dicotómicas são sempre ordenáveis. As variáveis quantitativas
podem ser discretas (se tomam valores num conjunto finito ou infinito numerável) ou
contínuas (se tomam valores no conjunto nos reais).
Dado que as variáveis medem qualidades ou quantidades, podem ser classificadas quanto ao
seu nível de mensuração, sendo que a escolha do tratamento estatístico adequado exige a
identificação da escala e níveis de medida das variáveis.
Níveis de Mensuração
Nominal
=, ≠
Ex: sexo, raça, religião, estado civil, nº na camisola do jogador de futebol
Os valores são atributos ou categorias; os úmeros apenas servem para identificar
categorias
Variáveis qualitativas – classificação dos indivíduos de acordo com as suas categorias
Nominal Dicotómica tem alguns privilégios
12
BioEstatística
Ordinal
=, ≠, <, >
Ex: nível sócio-económico, ordem de preferências, faixas etárias, grau de escolaridade
Podem ser distinguidos diferentes graus de um atributo ou categoria, existindo entre eles
uma
relação
de
ordem;
categorias
que
podem
ser
ordenadas
de
forma
ascendente/descendente; os códigos numéricos atribuídos a estas categorias devem
obedecer a essa ordem
Intervalar
=, ≠, <, >, valor das diferenças
Ex: temperatura, escala QI, medidas de atitudes e personalidade
Variáveis quantitativas – quanto valem as diferenças entre os valores: “Entre 10ºC e 30ºC
existe uma diferença idêntica à encontrada ente 70ºC e 90ºC.”… mas 90ºC não é 3 vezes
mais quente do que 30ºC! O zero é arbitrário e não ausência da característica!
Racional
Todas as operações aritméticas
Ex: peso, altura, idade, velocidade, níveis de glicémia
O valor mínimo é o zero absoluto, que representa ausência da característica medida.
É possível passar de um nível de mensuração para outro inferior ⇒ Perda de informação
3.5. Plano de Operacionalização das variáveis
Desde o momento que estão definidas diferentes variáveis para um estudo, é de todo o
interesse definir um plano de operacionalização (ou informatização) de variáveis. Neste
plano deve constar qual a notação computacional da variável, assim como os seus possíveis
valores ou códigos, o tipo de variável e a sua importância na investigação. Por exemplo:
13
Engenharia Biomédica
3.6 Codificação das variáveis
3.6.1 Regras
-
Todos os dados devem ser numéricos;
-
Cada indivíduo ou participante corresponde a uma linha da base de dados;
-
Cada variável de cada caso corresponde a uma coluna, na mesma linha, da base de dados;
-
Os códigos de uma variável devem ser mutuamente exclusivos;
-
Cada variável deve ser codificada de forma a que se obtenha o máximo de informação;
-
Cada indivíduo deve estar codificado com um identificador único
-
Os códigos devem ser consistentemente aplicados a todos os casos da base de dados
3.6.2 Controlo da Base de dados
É conveniente que se criem regras (escritas) para lidar com alguns problemas como: respostas
duplas, incompletas, em branco, não muito claras, etc.
Não respostas DEVEM ser células em branco, e não ZERO! Eventualmente, atribui-se um
valor superior ao máximo possível para aquela variável como, por exemplo, 99, 999, ...
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BioEstatística
As não respostas podem
Resultar de erros de introdução ou de recolha de dados ⇒ devem ser eliminadas
Fazer parte da natureza intrínseca do fenómeno⇒ devem ser retidas
Caso estas atinjam ou ultrapassem 20% dos dados, devem ser analisadas com atenção pois, se
não tiverem um comportamento aleatório, irão enviezar os resultados do estudo, podendo
caracterizar o segmento da população que se negou a responder.
15
Engenharia Biomédica
4. REPRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS
4.1 Indicadores numéricos
As estatísticas apropriadas dependem do nível de mensuração da variável.
Medidas de
Nominal
Tendência central
Moda
Localização
-
Dispersão
Indicadores da
distribuição
-
Nível de mensuração
Ordinal
Intervalar/Ratio
Média aritmética
Moda
Moda
Mediana
Mediana
Quantis:
Quantis:
Quartis/decis/percentis... Quartis/decis/percentis...
Amplitude inter-quartis
Erro/Desvio-padrão
Coeficiente de
Assimetria/Achatamento
Distribuição
Simétrica
- coef. assimetria = 0
- média=mediana=moda
Assimetria não confirmada
-
coef .assimetria
≤ 1.96
erro − padrão
- moda ≈ mediana ≈ média
assimétrica
-
coef .assimetria
> 1.96
erro − padrão
- assimétrica positiva ou à direita: Mo < Md < x
- assimétrica negativa ou à esquerda: x < Md < Mo
4.2 Representação gráfica
Gráfico de barras, Gráficos Circulares, Histograma de frequências ou de frequências
acumuladas, Polígono de frequências e ogiva de Galton são gráficos já conhecidos do aluno.
Diagrama de extremos e quartis ou caixa de bigodes - Outliers
A representação gráfica permite visualizar o comportamento da variável e identificar as
observações aberrantes ou outliers, que tendem a distorcer a média (aumentando-a ou
16
BioEstatística
diminuindo-a) e o desvio-padrão (aumentando-o). Nestes casos, Assim, estes devem ser
expressamente referidos e analisados aquando da interpretação dos resultados, analisando
ainda o efeito daqueles na distribuição através da comparação das estatísticas resultantes da
análise com e sem observações aberrantes.
Quando os outliers afectam significativamente os resultados, não se deve utilizar o desviopadrão como medida de dispersão, mas sim aplicar estatísticas mais robustas, como por
exemplo a amplitude inter-quartil ou a MAD (mediana dos desvios absolutos em relação à
mediana); alternativamente, podem transformar-se os dados de forma a obter a simetria.
Gráficos de Caule e Folhas – reúnem a informação dos
histogramas, mantendo o valor em cada observação.
Actualmente não são muito utilizados.
]
Diagrama de barras de erro: desvio-padrão, erro-padrão e
comparar uma variável dependente intervalar/ratio em pelo
menos dois grupos independentes. Ilustram não só o valor da
média, mas também a dispersão observada ou o valor esperado
na população, para cada grupo.
VEMS (S) 200ML
intervalo de confiança – muito úteis quando se pretende
4.00
3.00
]
2.00
]
Testemunha
Controlo
Estudo
Grupo
Diagramas de Dispersão – Ilustram a relação, casuística ou de
mera associação, entre 2 variáveis; particularmente úteis para
verificar se a relação entre variáveis é do tipo linear.
17
Engenharia Biomédica
4.3 Representação Tabular
Tabela de distribuição de frequências – 1 variável
Tabela de contingência - Representação simultânea de 2 variáveis
18
BioEstatística
Exemplo: Pretende-se avaliar uma possível relação entre a existência de cáries dentárias e o
sexo e o índice de massa corporal dos jovens portugueses. Pensa-se aidna que o IMC poderá
estar relacionado com a região de residência dos indivíduos.
1. Como planearia este estudo? Descreva sucintamente.
2. Suponha agora que já tinha colhido os dados referentes ao Sexo, Altura e existência de
cáries dentárias. Abra um livro do Microsoft Excel.
2.1. Na folha 1, crie um Plano de Operacionalização de Variáveis para os seguintes dados:
Id
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Sexo
M
M
M
F
F
M
F
M
M
F
F
M
M
Altura
1.717
1.574
1.618
1.402
1.427
1.558
1.462
1.504
1.754
1.626
1.529
1.521
1.711
1.623
Cáries
Sim
Sim
Sim
Não
Não
Não
Sim
Sim
Não
Não
Não
Não
Sim
Sim
Id
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Sexo
F
M
M
M
F
F
F
M
M
M
F
M
F
F
Altura
1.552
1.627
1.516
1.718
1.475
1.505
1.408
2.522
1.527
1.622
1.481
1.704
1.449
1.595
Cáries
Sim
Não
Sim
Sim
Não
Não
Sim
Sim
Não
Não
Sim
Não
Não
Id
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Sexo
F
F
F
M
M
M
M
F
M
M
M
F
F
Altura
1.557
1.535
1.535
1.520
1.577
1.554
1.533
1.562
1.458
1.649
1.629
1.533
1.592
1.494
Cáries
Sim
Não
Não
Não
Não
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Não
Não
2.2. Na folha 2, introduza os dados
3. Abra o SPSS
3.1. Importe os dados do Microsoft Excel
3.2. Altere as propriedades das variáveis: Label, Values, Measure
4. Determine a média, desvio-padrão e amplitude de variação das variáveis altura, peso, e
IMC.
4.1. Detecta algum erro de introdução? Em caso afirmativo, corrija esse valor para 1.522,
e determine novamente os valores pedidos em 4.
4.2. Determine os quartis e amplitude inter-quartil destas variáveis, segundo o sexo.
4.2.1. Existem outliers? Justifique.
5. Qual a percentagem de indivíduos, na amostra, que:
5.1. são do sexo masculino?
5.2. têm dentes cariados?
5.3. são do sexo feminino e têm dentes cariados.
5.4. são do sexo feminino, sabendo que têm dentes cariados.
5.5. têm dentes cariados, sabendo que são do sexo masculino.
19
Engenharia Biomédica
6. Por lapso, não tinham sido registados os valores de peso, para cada indivíduo, nem a
região de residência. Acrescente estas variáveis ao plano de operacionalização das
variáveis, e na base de dados em SPSS introduza a variável peso logo após a variável
altura, e a variável regiao no final, alterando as suas propriedades adequadamente.
Id
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Peso
92.2
75.5
73.0
41.1
53.9
67.7
42.3
52.4
102.1
65.0
46.4
53.0
76.6
60.9
Regiao
N
S
N
N
S
N
S
S
S
N
N
S
S
N
Id
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Peso
47.2
84.3
48.0
68.1
46.2
47.9
40.6
78.4
63.2
71.1
51.3
98.2
57.6
51.4
Regiao
S
S
N
N
S
S
N
S
N
N
S
S
S
N
Id
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Peso
65.7
49.4
47.7
65.8
68.4
79.3
63.8
67.6
52.3
58.5
69.8
67.2
47.8
41.2
Regiao
N
S
N
S
N
N
S
S
S
S
N
S
N
S
7. Crie a variável Índice de Massa Corporal (IMC), que será automáticamente calculada
como peso altura 2 .
7.1. Descreva sucintamente esta variável, em termos estatísticos.
8. Crie a variável IMC_cl, que representa o IMC em classes, de acordo com a seguinte
classificação:
1
IMC < 18
Magreza
2
18 < IMC < 25
Normal
3
25 < IMC < 30
Excesso de Peso
4
30 < IMC < 35
Obesidade I
5
35 < IMC < 40
Obesidade II
6
40 < IMC < 45
Obesidade III
9. Recodifique esta variável (IMC_cl) em 4 clases, aglutinando as classes 4, 5 e 6 numa só.
(não se esqueça de acrescentar estas variáveis ao Plano de Operacionalização de Variáveis).
9.1. Descreva esta variável, em termos estatísticos
9.2. Qual a taxa de indivíduos com excesso de peso e obesidade?
9.3. Qual a taxa de indivíduos obesos, com cárie dentária.
9.4. Qual a taxa de indivíduo normais, com cárie dentária.
9.5. Qual a taxa de indivíduos com e sem cáries dentárias, entre os indivíduos:
9.5.1. obesos.
20
BioEstatística
9.5.2. normais
9.5.3. Parece-lhe ser viável o objectivo definido?
9.6. Parece-lhe que a ocorrência de cáries é mais frequente no sexo masculino?
9.7. Para cada região, determine
9.7.1. Em que região é mais frequente haver cáries dentárias?
9.7.2. O IMC médio em cada região.
9.7.3. Fará sentido estudar o objectivo do estudo, em cada região?
21
Engenharia Biomédica
5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Função densidade de probabilidade – função que determina a probabilidade do valor de cada
observação da amostra na população: f(x)
A partir do conhecimento desta função, e dum número infinito de amostras com a mesma
dimensão da amostra em estudo pode estimar-se a distribuição amostral, ou seja, na prática, é
possível testar se as observações da amostra em estudo se ajustam a uma distribuição teórica.
Função de distribuição – Função real de variável real: F(x)= P(X < x)
1. 0 < F(x) < 1
2. F é não decrescente
3. Para qualquer função de distribuição F tem-se que
a.
lim F ( x) = 0 ; lim F ( x) = 1
x → −∞
x → +∞
b. ∀a, b ∈ ℜ : a < b, P ( a < X ≤ b) = F (b) − F ( a )
c. F é contínua à direita
5.1 Algumas distribuições de variáveis aleatórias contínuas
Distribuição Uniforme
U ( a, b )
Esta é a mais simples das distribuições contínuas, mas uma das mais importantes. É utilizada
para representar quantidades que variam aleatoriamente no intervalo [a,b], e cuja
probabilidade de tomar valores num qualquer subintervalo de [a,b] é proporcional ao seu
comprimento, logo constante nesse subintervalo.
Distribuição normal ou de Gauss 2
N (µ ,σ 2 )
Fenómenos físicos, medidas biológicas, erros de medição, etc.
Polígonos de frequências regulares com grau de simetria e achatamento próximos dos de uma
distribuição normal
Quando se passa da distribuição de frequências para a distribuição de probabilidades obtém-se
2
Descrita pela primeira vez por De Moivre em 1733; Gauss, séc. XVIII-XIX teve um papel decisivo no seu
desenvolvimento.
22
BioEstatística
Características:
A variável aleatória X pode tomar um qualquer valor dentro do intervalo de variação
A curva representativa da distribuição tem a forma de sino e é simétrica relativamente à
média
Os valores da média, mediana e moda são iguais
Devido à simetria, P ( X < µ ) = P ( X > µ ) = 0.5
As curvas em forma de sino diferem apenas pelos valores de µ , centro da distribuição, e de
σ , variabilidade dos valores de X relativamente à média.
Geometricamente, a probabilidade da variável aleatória X, de média 0 e variância 1, assumir
valores no intervalo ]-1,96; 1,96[ é dada pela região a
sombreado na figura:
Para esta variável, existe uma tabela que fornece os valores
de probabilidade em intervalos sucessivos e de amplitude
suficientemente pequena de modo a que a aproximação a
efectuar no encontro da área apropriada é bastante boa.
MAS…há uma infinidade de curvas, consoante µ e σ . Nos restantes casos utiliza-se
P ( a < X < b) = ∫
b
a
1
2π σ
e
−
1
2
 x−µ 


 σ 
2
23
Engenharia Biomédica
Necessidade de padronizar: Z =
X −µ
σ
: Z é N(0,1)
A média amostral é uma das estatísticas mais importantes quer para a teoria da estimação quer
da decisão. Outra característica importante da distribuição de probabilidades é que, à medida
que a dimensão das amostras utilizadas para calcular a distribuição amostral da média
aumenta,
a
distribuição
da
média amostral
tende
para
a
distribuição
normal,
independentemente do tipo de distribuição da variável em estudo – teorema do limite central.
Ex.: Distribuição da média das classificações a uma cadeira de estatística em 100 amostras
aleatórias de dimensão n
Inicialmente, a distribuição era claramente assimétrica à direita, mas à medida que a dimensão
das amostras aumenta, o histograma das frequências de X vai assumindo a “forma de sino”
típica da distribuição normal.
24
BioEstatística
χ2(n)
Distribuição do Chi-quadrado
n
Uma variável aleatória X ( X = ∑ Z i ) obtida pela soma dos quadrados de n variáveis
2
i =1
aleatórias Z i ~ N (0,1) diz-se ter uma distribuição do tipo
χ2 com n graus de liberdade
A representação gráfica da função densidade de
probabilidade é a seguinte, para 2, 4, 8 e 22 graus de
liberdade. Note-se que, à medida que o número de graus
de liberdade aumenta, a curva vai-se tornando mais
parecida com a curva normal.
Distribuição t-Sudent
t(n)
Dadas Z ~ N (0,1) e Y~χ2(n) tais que Z e Y são
independentes,
a variável
X =
Z
Y
diz-se ter uma
n
distribuição t-Student com n graus de liberdade.
A
representação
gráfica
da
função
densidade
de
probabilidade é dada de seguida, para 3 e 6 graus de
liberdade.
Distribuição F-Snedecor
F(n1,n2)
Sejam Y1, χ2(n1) e Y2, χ2(n2) duas variáveis aleatórias e
Y1
X =
Y2
n1
. X diz-se ter uma distribuição F-Snedecor com
n2
n1 e n2 graus de liberdade. Na imagem seguinte
encontram-se representadas duas variáveis com (5,5)
graus de liberdade e (15,15) graus de liberdade.
25
Engenharia Biomédica
Distribuição Exponencial
E( 1 )
λ
Esta distribuição está associada a um processo de Poisson3, ou seja, a ocorrência de eventos
independentes a uma taxa constante, num intervalo de tempo ou numa região dos espaço, e
tem uma larga aplicação no estudo das filas de espera e da fiabilidade de sistemas complexos,
usando-se para representar o intervalo de tempo entre dois eventos. Tem-se:
5.2 Algumas distribuições de variáveis aleatórias discretas
Distribuição Discreta Uniforme
DU (i, j )
É a mais simples de todas as distribuições discretas. Caracteriza-se por:
todos os valores possíveis são equiprováveis:
Aplicam-se, assim, à ocorrência de fenómenos aleatórios igualmente prováveis, ou como
primeiro modelo para quantidades que variam entre i e j, mas acerca da qual pouco é sabido.
Distribuição Binomial
Β ( n, p )
Sequência de experiências com as seguintes características:
cada prova tem como resultado um de dois acontecimentos mutuamente exclusivos
(sucesso/insucesso)
a probabilidade de sucesso p permanece constante nas várias provas e a probabilidade de
insucesso é q = 1-p
as provas são independentes, ou seja, o resultado de cada uma não afecta o resultado das
restantes
3
Ver distribuição de Poisson (discreta)
26
BioEstatística
À semelhança da distribuição χ2(n) e da t-Student, o teorema do limite central assegura
também que a distribuição binomial se aproxima da distribuição normal para valores elevados
de n e valores de p que produzam uma distribuição simétrica.
0.1 < p < 0.9

Na prática, consideramos uma aproximação correcta para np > 5
nq > 5

A padronização da variável X, B(n,p), para a variável Z, N(0,1) obtém-se através da seguinte
transformação, aplicando a correcção de continuidade:
Z=
( X ± 0.5) − np
npq
µ = np
, dado que  2
σ = npq
P (λ )
Distribuição de Poisson
Associada a processos de contagens de um determinado número de eventos independentes, ao
longo do tempo ou numa região do espaço:
o número de eventos que ocorrem em dois intervalos disjuntos são independentes
a probabilidade de ocorrer exactamente um evento em qualquer intervalo de amplitude ∆t
arbitrariamente pequena é aproximadamente λ∆t
a probabilidade de ocorrerem dois ou mais eventos em qualquer intervalo de amplitude ∆t
arbitrariamente pequena é aproximadamente igual a zero.
Também a distribuição de Poisson
pode
ser
aproximada
distribuição
normal,
a
uma
uma
vez
que µ = σ 2 = λ , considerando que a
aproximação
é
correcta
 p < 0.1 ∨ p > 0.9
quando 
λ ≥ 5
A padronização da variável X, P (λ ) ,
para a variável Z, N(0,1) obtém-se
através da seguinte transformação:
Z=
( X ± 0.5) − λ
λ
27
Engenharia Biomédica
5.3 Relação entre as Distribuições Contínuas
5.4 Relação entre as Distribuições Discretas
28
BioEstatística
6. INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES ESTATÍSTICOS EM POPULAÇÕES NORMAIS
6.1 Teoria da Estimação
A teoria da estimação tem como objectivo estimar parâmetros de uma população teórica a
partir de estatísticas obtidas numa amostra representativa dessa população.
Assim, se se extraírem n amostras de uma população cuja função densidade depende de um
parâmetro (por exemplo, a média) do qual se desconhece o verdadeiro valor, é necessário
estimá-lo, com um determinado grau de
Precisão - estimação por pontos
Confiança - estimação por intervalos
Fixada a dimensão da amostra, quanto mais precisa for a resposta, menor será a confiança
nela depositada.
Estimação por pontos:
x é o melhor estimador de µ
^
s=
n
× s é o melhor estimador de σ
n −1
Estimativa ≠ Estimador
Estimador ( θ ) é uma variável aleatória, função da amostra casual
^
Estimativa ( θ ) é o valor concreto do estimador para uma amostra em particular
Uma estimativa pontual de um parâmetro da população está fortemente dependente da
estimativa amostral. Se se extraírem n amostras da mesma população, é altamente improvável
obter amostras que tenham a mesma média amostral, ou seja, teria n estimativas diferentes da
média populacional. Dado que o valor da média populacional é único, uma estimativa pontual
pode ou não ser coincidente com o parâmetro populacional. Assim, este tipo de estimativa não
possui nenhum grau de certeza (ou incerteza) associado à estimativa obtida. A alternativa é
utilizar a estimação por intervalos.
Estimação por intervalos:
Há situações em que é preferível a estimação por intervalos. Esta pode obter-se associando
um determinado grau de confiança ao estimador pontual, uma vez conhecida a distribuição
amostral. Assim, em vez de propor uma estimativa isolada para um determinado parâmetro,
29
Engenharia Biomédica
faz-se acompanhar esta de um determinado intervalo (a, b) para significar que o verdadeiro
valor do parâmetro está, muito provavelmente, entre a e b. Ao associar um intervalo à
estimativa proposta, atribui-se ao mesmo intervalo um grau de confiança. Este intervalo pode
ser considerado uma medida da precisão ou do erro inerente à estimativa.
Normalmente, o que se pretende estimar é µ (média da população), σ 2 (variância da
população) ou π (proporção da população).
Tendo uma amostra particular, a partir da qual se determina a estimativa para um parâmetro
(ex: a média), o intervalo de confiança a (1-α)100% para µ , dado por (a, b), traduz o grau
de confiança que se tem em que uma particular amostra dê origem a um intervalo (a,b).
Incorrecto dizer que (1-α) é a probabilidade de θ ∈ (a, b) dado que os extremos do intervalo, a
e b, não são aleatórios.
6.2 Teoria da Decisão
A teoria da decisão, através dos testes de hipóteses, é uma outra forma de inferir sobre o
parâmetro da população, associando a este processo um determinado nível de significância
(α). Contrariamente aos intervalos de confiança, o teste de hipóteses tem como objectivo
refutar (ou não) uma determinada hipótese acerca de um ou mais parâmetros da população, a
partir de uma ou mais estimativas obtidas nas amostras.
Ex: Testar se, por hipótese, a média populacional é igual a um determinado valor, ou se a
média de uma população é superior à de outra, se a variância de 5 populações são iguais, etc.
30
BioEstatística
Considere-se uma população com uma determinada função de distribuição (F). Uma hipótese
estatística é qualquer conjectura sobre aspectos desconhecidos de F. Quando a forma da
função de distribuição ou da função densidade (função probabilidade) é conhecida, e a
conjectura diz respeito apenas ao parâmetro, tem-se uma hipótese paramétrica.
Ex: A conjectura “X é uma variável aleatória com distribuição normal” é uma hipótese
estatística não paramétrica. Caso se saiba que X segue uma distribuição normal, a conjectura
“ µ = 3, σ 2 = 1 ” corresponde a uma hipótese paramétrica.
Estas questões são formuladas sob a forma de hipóteses referentes ao(s) valor(es) do(s)
parâmetro(s) e referentes a alternativa caso se rejeite aquela hipótese. Assim, a hipótese
inicial, mais restritiva, designa-se por hipótese nula e representa-se por H0, representando-se
a hipótese alternativa por H1 ou Ha. A hipótese nula só deve ser rejeitada caso exista
evidência suficiente, a um nível significativo, que de facto H0 não é válida, ou seja, deve ser
defendida até a evidência mostrar o contrário, enquanto que a hipótese alternativa apenas é
adoptada se a hipótese nula for rejeitada.
Ex: A média dos efeitos de um determinado medicamento é nula
H 0 : µ = 0
Teste bilateral 
H 1 : µ ≠ 0
H 0 : µ = 0
Teste unilateral à esquerda 
H 1 : µ < 0
H 0 : µ = 0
Teste unilateral à direita 
H 1 : µ > 0
Assim, considerando-se uma amostra casual da população, (X1,X2,…,Xn), com determinada
função densidade (probabilidade), o espaço-amostra é o conjunto de todas as amostras
particulares (x1,x2,…,xn). Um teste de hipóteses deve basear-se no comportamento
probabilístico de (X1,X2,…,Xn), no espaço-amostra, e estabelecer um critério para determinar
quais as amostras concretas (x1,x2,…,xn) que levam à rejeição da hipótese nula (e,
consequentemente, à aceitação da alternativa). Assim, um teste de hipóteses é uma regra que
permite especificar um subconjunto R do espaço-amostra tal que
31
Engenharia Biomédica
se (x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R ⇒ Re jeita − se H 0
(x1 , x 2 ,..., xn ) ∉ R ⇒ Aceita − se
H0
A este conjunto R chama-se região crítica ou região de rejeição de H0.
A definição desta região depende do tipo de teste escolhido. No caso de um teste bilateral,
tem-se
Por outro lado, se o teste é unilateral à esquerda, a região crítica é definida à esquerda da
média, enquanto que num teste unilateral à direita define-se a região de rejeição à direita da
média:
Ao proceder ao teste de H0 contra H1 podem ser cometidos dois tipos de erros:
O erro de 1ª espécie ou erro tipo I que consiste em rejeitar H0 quando esta é verdadeira
O erro de 2ª espécie ou erro tipo II que consiste em aceitar H0 quando esta é falsa
Decisão tomada
Rejeitar H0
Aceitar H0
32
H0 verdadeira
H0 falsa
Erro tipo I
Potência do teste
α = P (rejeitarH 0 / H 0 verdadeira)
1 − β = P(rejeitarH 0 / H 0 falsa )
Nível de confiança
Erro tipo II
1- α
β = P(aceitarH 0 / H 0 falsa )
BioEstatística
Por exemplo, seja H0: Inocente; H1: Culpado
Então α=P(enviar um inocente para a cadeia) e β=P(não prender um culpado)
α e β estão inversamente relacionados. Só aumentando n se reduz simultaneamente
ambos.
Quando se emprega o teste de nível de significância α, associado à região crítica R, e se
observa a amostra concreta (x1,x2,…,xn), pode ocorrer uma das duas situações seguintes:
(x1 , x2 ,..., xn ) ∉ R e não há motivo para rejeitar H0 ao nível de α100%
(x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R e deve rejeitar-se H0 ao nível de α100%
Passos de um teste estatístico
Identificação do tipo de distribuição amostral
Formulação das hipóteses a testar
Definição do nível de significância
Definição da região crítica ou região de rejeição de H0
Calculo da estatística do teste (VC), sob H0
Decisão estatística
Ao menor valor de α a partir do qual se rejeita H0 chama-se probabilidade de significância
ou, mais simplesmente, valor-p. O teste de hipóteses permite obter a probabilidade de, em
qualquer experiência, ser encontrado o valor observado nesta amostra ou outro valor mais
extremo, sendo a hipótese nula verdadeira. Designando esta probabilidade por p:
p = prob(|valor| ≥ valor observado | H0)
Este valor representa uma medida complementar do grau de certeza a partir do qual
assumimos como real o resultado da estatística amostral dado que é a probabilidade de obter
este ou outro valor mais desfavorável para a hipótese nula, admitindo que esta hipótese é
verdadeira. Assim, o valor-p é uma medida da evidência que os dados fornecem a favor de H0.
Normalmente, situa-se o valor-p relativamente aos níveis de significância mais habituais
(0.05, 0.01), fixados previamente ao estudo, donde deve rejeitar-se a hipótese nula sempre que
se tem p<α. Por exemplo, se 0.01 < p < 0.05 ⇒ a evidência contra H0 não é significativa ao
nível de 0.01 (1%) mas já o é ao nível de 0.05 (5%), ou deve rejeitar-se H0 ao nível de 5%
33
Engenharia Biomédica
mas não de 1%, ou seja, quanto menor for p menor é a consistência dos dados com a hipótese
a testar (H0). Abaixo de determinados valores ou limiares de significância (0,05 ou 0,01)
dizemos que existe forte evidência contra esta hipótese (H0) que por isso deve ser rejeitada.
Passos de um teste estatístico com recurso a uma aplicação estatística (ex: SPSS)
Identificação do tipo de distribuição amostral
Formulação das hipóteses a testar
Definição do nível de significância
Cálculo do valor-p, sob H0
Decisão estatística
O problema que agora se coloca é saber a que nível de significância deve ser rejeitada H0.
Suponha que com determinada amostra é encontrado o valor p=0,03. Deve ou não rejeitar H0?
Estando este valor p compreendido entre os limiares de significância (ou níveis de
significância habitualmente considerados) 0,01 e 0,05 há autores que diriam ser de rejeitar ao
nível de significância de 5% mas não ao de 1%.
Outros autores consideram apenas a comparação do valor p observado com o nível de
significância estabelecido antes do estudo, dependente do critério do investigador. Se, por
exemplo, o nível fixado foi de 5%, dir-se-ia apenas que sendo p<0,05 rejeita-se H0 ao nível de
significância de 5%. Se o nível fixado foi de 1%, dir-se-ia que sendo p>0,01 não pode
rejeitar-se H0 ao nível de significância de 1%.
6.3 Intervalos de Confiança versus Testes de Hipóteses
Ambos são métodos de inferência estatística que têm associado uma determinada
probabilidade de erro;
Pode utilizar-se um intervalo de confiança a (1-α)100% para concluir acerca da rejeição
ou não de H0 num teste de hipóteses bilateral para um nível de significância α.
Qual dos métodos usar?
Depende dos objectivos do estudo… em ensaios clínicos, pretende-se geralmente demonstrar
a eficácia (ou não) de um determinado tratamento ou medicamento. Se o tratamento tiver um
34
BioEstatística
efeito significativo, então a média das variações da variável sob estudo será
significativamente diferente de 0, isto é, pretendemos rejeitar H 0 : µ = 0 em favor de
H 1 : µ ≠ 0 , independentemente da magnitude de µ , sendo este tipo de inferência requerido
para publicação do estudo em revista científica.
Contudo, para o gestor do produto (medicamento), o intervalo de confiança para a média das
variações tem mais interesse, pois o gestor poderá concluir acerca da dimensão e credibilidade
do efeito do medicamento, o que será de maior peso em decisões administrativas do que o
facto do efeito médio ser (ou não) diferente de zero.
Pense no seguinte exemplo:
Uma companhia produtora de baterias para pacemakers garante que a vida média de cada
bateria é de, pelo menos, 3 anos. Se a data de operação cirúrgica, para substituição da bateria,
se basear na garantia do fabricante:
Como explicaria ao gestor da companhia as consequências do erro tipo I e erro tipo II?
Preferia utilizar um teste estatístico para averiguar se a vida média de cada bateria é, de
facto, 3 anos, ou utilizaria um Intervalo de Confiança? Porquê?
35
Engenharia Biomédica
7. POPULAÇÕES NORMAIS
7.1 Intervalo de Confiança e teste t de Student
H 0 : µ = 0
Normalmente, quando se está a fazer um teste à média ( teste bilateral : 
) ou a
H 1 : µ ≠ 0
determinar um intervalo de confiança para a média populacional ( µ ), não se conhece a
^2
variância da população ( σ 2 ). Assim, utiliza-se s =
a variável aleatória Z ( Z =
X −µ
σ
n
n
× s 2 como estimador de σ 2 , donde
n −1
~ N (0,1) ) deixa de poder ser utilizada uma vez que, para
além µ , se desconhece σ (parâmetro perturbador).
A variável que passa a ter condições para ser utilizada na determinação do intervalo de
confiança para µ ou na realização do teste estatístico é T =
X −µ
^
s
~ t (n − 1) .
n
O intervalo de confiança é dado por
( x − tα 2
^
^
s
s
n
; x + tα 2
n
) , com tα 2 a verificar P(T> tα 2 ) =
α
2
Dado que esta variável aleatória (T) tem, também, uma distribuição simétrica relativamente à
origem, tem-se que a amplitude do intervalo varia de amostra para amostra, já que depende de
^
s e da dimensão da amostra.
Pense nos seguintes casos:
O que acontece ao intervalo de confiança quando aumenta o nível de confiança?
Se a variância da amostra aumentar para o dobro, o que acontece à amplitude do intervalo
de confiança?
Se a amostra passar a ter mais 100 casos, com valores iguais à média amostra, o que
acontece ao intervalo de confiança?
O que pode fazer se quiser reduzir para metade a amplitude de um intervalo de confiança?
36
BioEstatística
7.1.1 Duas Amostras emparelhadas
Neste caso, o intervalo de confiança pode ser determinado, baseando-nos na média das
diferenças de cada uma das variáveis. Constrói-se a variável Diferença, e determina-se o
Intervalo de Confiança para a nova variável. Para a realização do teste estatístico, procede-se
da mesma forma. Contudo, as aplicações estatísticas fazem-no automaticamente.
 H 0 : µ Dif = 0
 H 0 : µ Antes − µ Depois = 0
 H 0 : µ Antes = µ Depois
teste bilateral : 
⇔
⇔
 H 1 : µ Dif ≠ 0
 H 1 : µ Antes − µ Depois ≠ 0
 H 1 : µ Antes ≠ µ Depois
Exemplo 1: Deseja-se saber se um programa de reabilitação após enfarte de miocárdio
diminui a frequência cardíaca de esforço. Para tal, 10 doentes com enfarte do miocárdio foram
submetidos a uma prova de esforço antes e depois do programa. Os resultados, expressos em
batimentos por minuto, estão no quadro seguinte. Indique se o programa de reabilitação foi
eficaz.
Doente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
s
Antes
Depois
Dif.
147
132
15
122
117
5
127
142
-15
141
125
16
150
116
34
132
130
2
157
122
35
147
118
29
157
135
18
155
117
38
143.5
125.4
18.1
12.63
8.99
17.03
160
s
n
4.00
2.84
5.38
40,00
150
30,00
95% CI
95% CI fc
140
20,00
130
10,00
120
110
0,00
Antes
Depois
Média das diferenças: frequência cardíaca
Exemplo 2: Foi estudado o grau de satisfação (medido por questionário) de vários utentes de
uma clínica dentária antes e depois de lhes ser aplicada uma nova prótese total removível. Os
resultados, expressos em score de satisfação, foram os apresentados de seguida. Supondo que
os scores seguem uma distribuição normal, indique se aplicação da nova prótese influenciou o
grau de satisfação dos utentes.
Doente
1
2
3
4
5
6
7
8
x
s
Antes
Depois
Dif.
4
4
0
10
16
-6
8
11
-3
13
17
-4
7
17
-10
3
4
-1
15
18
-3
7
11
-4
8.38
12.25
-3,88
4.14
5.75
3,09
s
n
1.46
2.03
1.09
37
Engenharia Biomédica
0,00
17,5
15,0
-2,00
95% CI
95% CI p
12,5
10,0
7,5
-4,00
-6,00
5,0
-8,00
Antes
Depois
Média das diferenças: Satisfação Prótese
7.1.2 Duas Amostras independentes
Neste caso, não é possível construir o intervalo de confiança fazendo a média das diferenças,
uma vez que cada indivíduo não tem um par de observações (tem-se a diferença de médias). O
mesmo se passa com o teste estatístico. Eventualmente, poderão existir grupos de dimensões
diferentes…
H 0 : µ A − µ B = 0
H 0 : µ A = µ B
teste bilateral : 
⇔
H 1 : µ A − µ B ≠ 0
H 1 : µ A ≠ µ B
Por outro lado, o que acontece se a variabilidade de cada grupo é diferente? Serão as médias
de dois grupos com variabilidade diferente comparáveis?
O teste de Levene (1960) é um dos testes mais potentes para testar a homogeneidade das
variâncias e é automaticamente efectuado pelo SPSS quando se efectua um teste t para
amostras independentes, sendo o intervalo de confiança determinado com base no resultado
daquele. As hipóteses estatísticas são as seguintes:
 H 0 : σ A 2 = σ B 2

 H 1 : σ A 2 ≠ σ B 2
No caso de se desconhecer a variância populacional, a variável T tem condições para se
definir como variável fulcral, ficando o Intervalo de Confiança definido por
(( x A − x B ) − tα 2 s * ; ( x A − x B ) + tα 2 s * ) , e P(T> tα 2 ) =
α
2
com s * dado computacionalmente por uma qualquer aplicação estatística (SPSS).
38
BioEstatística
Exemplo 1: Foi efectuado um estudo sobre o índice de massa corporal consoante o escalão
etário, em 16 estudantes do ensino superior, tendo-se obtido os seguintes dados:
Idade
17-19
20-22
IMC
20,8
21,1
19,6
15,1
39
8,7
30,3
17,7
29,1
13,3
15,4
18,2
30,7
20,6
27
15,7
x
s
26.49
16.30
7.55
4.06
Observe agora os resultados obtidos no SPSS. O que conclui?
Levene's Test
F
IMC
Equal variances
assumed
2,82
Sig.
,115
Equal variances
not assumed
t-test for Equality of Means
T
Sig.
(2-tailed)
df
Mean
Difference
Std. Error
Difference
95% Confidence Interval
of the Difference
Lower
Upper
3,36
14
,005
10,18750
3,03053
3,68767
16,68733
3,36
10,7
,007
10,18750
3,03053
3,49811
16,87689
Pelo teste de Levene pode-se assumir a
30,00
A leitura do teste t de Student para amostras
independentes e do Intervalo de confiança
95% CI IMC
igualdade de variâncias.
25,00
20,00
para a diferença de médias é feita, assim, na 1ª
linha da tabela de resultados, ou pelo gráfico
15,00
seguinte:
17-19
20-22
Escalão etário
Exemplo 2: Verificou-se ter havido um erro na introdução dos dados (IMC=8,7), pelo que
esse indivíduo será eliminado da amostra.
Suponha ainda que os critérios de inclusão/exclusão do estudo exigiam que os sujeitos
tivessem IMC entre 15 e 30, pelo que se excluíam 3 sujeitos no escalão dos 17-19 anos, e 2 do
outro grupo. Os resultados seriam os seguintes:
Levene's Test
F
IMC
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
5,49
Sig.
,044
t-test for Equality of Means
T
Sig.
(2-tailed)
df
Mean
Difference
Std. Error
Difference
95% Confidence Interval
of the Difference
Lower
Upper
1,71
9
,121
4,31333
2,51796
-1,38269
10,00936
1,59
5,28
,168
4,31333
2,69781
-2,51350
11,14016
39
Engenharia Biomédica
Neste caso, não há homogeneidade de variância pelo que os resultados do teste t de Student
para amostras independentes têm de ser lidos na segunda linha, ou visualizados no gráfico que
se segue:
30,00
28,00
95% CI IMC 15-30
26,00
24,00
22,00
20,00
18,00
16,00
17-19
20-22
Escalão etário
7.2 K Populações Normais e Independentes (k>2): ANOVA
Uma das aplicações da Análise de Variância (ANOVA) é a comparação entre médias de m
populações normais, ou seja, testar a hipótese
 H 0 : µ1 = µ 2 = ... = µ m

 H 1 : ∃i, j ∈ {1,2,..., m}, i ≠ j : µ i ≠ µ j
A primeira hipótese que provavelmente colocaria seria comparar as médias duas a duas
através de um teste t-Student… Este procedimento, ainda que possível, não é válido, dado que
a estatística e o valor crítico deste teste só são válidos para comparar médias de 2, e apenas 2
populações, a partir das quais se extraíram duas amostras aleatórias.
De facto, enquanto que no teste a duas populações o erro tipo I não será superior a α × 100% ,
utilizando esse mesmo teste para comparar mais m populações, duas a duas, ter-se-ia um erro
tipo I aproximadamente de 1 − (1 − α ) m × 100% . Por exemplo, em 3 populações, para
α = 0.05 , a probabilidade de um erro tipo I, ou seja, de concluir erradamente que existe
diferença entre as 3 populações é de 14.3%.
Assim, é necessário avaliar a forma como as m populações são definidas, com base num ou
mais critérios (ou factores) e a variabilidade patenteada pelas amostras de cada uma das
populações.
40
BioEstatística
Por exemplo, suponha que queria testar a igualdade da média em 3 populações (A, B e C), e
considerem-se as duas situações apresentadas na imagem seguinte, onde se podem observar 5
observações amostrais de cada uma das 3 populações:
Note-se que as médias amostrais relativas às várias populações são iguais nas duas situações.
Contudo, intuitivamente os gráficos sugerem conclusões diferentes; enquanto que no primeiro
caso se tende a rejeitar quase de imediato a hipótese de igualdade de médias, no segundo caso
a tendência é para aceitar, com alguma facilidade, a hipótese de igualdade de médias.
Assim, a variabilidade dos dados relativos a cada população é um aspecto fundamental a ter
em conta no teste de hipóteses de igualdade de médias.
Se a variabilidade em torno de cada uma das médias amostrais é grande,
comparativamente com a variabilidade entre as médias amostrais (2º caso), tende-se a
não rejeitar a hipótese nula;
Assim, parece aceitável fundamentar o teste de hipóteses na comparação entre estas
variabilidades ⇒ Análise de Variância (ANalysis Of VAriance).
41
Engenharia Biomédica
A ANOVA é relativamente robusta a desvios à normalidade desde que o número de
elementos em cada grupo seja relativamente grande, sendo que a não normalidade tem
consequência mínimas na interpretação dos resultados quando a distribuição não é muito
enviezada.
A distribuição F, na qual se baseia a ANOVA, é também robusta a violações da
homocedasticidade (homogeneidade de variâncias entre os grupos) desde que o número de
observações em cada grupo seja aproximadamente igual, considerando-se que os grupos são
de dimensão semelhante quando o quociente entre a dimensão do maior grupo e do menor for
inferior a 1,5.
7.2.1 ANOVA a 1 factor
A definição das m populações é feita com base num critério ou factor (por exemplo, definemse 3 populações segundo os escalões etários [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[).
Caso se rejeite a hipótese H0 de igualdade de médias, conclui-se, para um determinado nível
de significância α, que as m populações não apresentam comportamento idêntico perante o
critério ou factor que serviu para efectuar a classificação. Contudo, só é legítimo considerar
este factor a causa das diferenças entre as médias das populações se se puder garantir a
homogeneidade das populações relativamente a todos os outros factores que podiam ser
relevantes para a explicação do fenómeno.
Sejam X i1 , X i 2 ,..., X ini , i = 1,2,..., m m amostras causais independentes com distribuição
normal de média desconhecida e variância comum desconhecida, isto é,
X ij ~ N ( µ i , σ 2 ), j = 1,2,..., ni , i = 1,2,..., m
Assim, X ij = µ + α i + ε ij , ε ij ~ N (0, σ 2 ) , o que implica que µ i = µ + α i
Valor Observado = Média Geral + Efeito do nível i do factor + Variável Residual
Baseado no modelo teórico da ANOVA para a população, é possível escrever o modelo a
partir das observações amostrais:
(
)
xij = x + x i − x + ( xij − x i )
Observação ij
Média amostral (estimativa de µ)
42
Efeito do nível i do factor
Resíduos
BioEstatística
O cálculo da estatística teste para a ANOVA requer o conhecimento das estimativas da
variabilidade dentro dos grupos (isto é, a variação residual ou dos erros de medida), estimada
a partir de ( xij − x i ) e da variabilidade entre as amostras (variação factorial, devida ao factor)
(
)
que pode ser estimada a partir de x i − x . Em ambos os casos, determinam-se as somas dos
quadrados:
m
ni
(
SQD = ∑∑ X ij − X i
i =1 j =1
m
(
) =∑ (n
2
i =1
SQE = ∑ ni X i − X
i =1
^2
m
i
− 1) s i
)
2
Sendo assim, é possível obter uma estimativa da variabilidade total, dada por
Soma Quadrados Total = Soma Quadrados Dentro Amostras + Soma Quadrados Entre Amostras
A estatística teste da ANOVA é dada pela razão entre a variância do factor (ou entre as
amostras, estimada a partir de
SQE
), e a variância dos erros (ou dentro das amostras,
m −1
SQE
(m − 1)
SQD
), ou seja, a partir da variável F =
~ F (m − 1, n − m) .
estimada a partir de
SQD
n−m
( n − m)
Fonte de Variação
Entre Amostras
Dentro das
amostras
Total
Soma dos
Graus de
Quadrados
Liberdade
SQE
m-1
MQE = SQE (m − 1)
SQD
n-m
MQD = SQD (n − m)
SQT
n-1
Médias Quadráticas
F
F = MQE MQD
Este procedimento permite testar a existência de diferenças estatisticamente significativas
entre as médias das m populações.
Quando se conclui que tais diferenças existem é interessante qualificá-las, através:
43
Engenharia Biomédica
Do cálculo do intervalo de confiança para a média de cada população, usando a

MQD
MQD 
distribuição t-Student com n-m graus de liberdade:  x i 0 − tα / 2
, x i 0 + tα / 2

ni
ni 

No SPSS, efectuam-se comparações múltiplas das médias usando as comparações PostHoc através dos testes de Tuckey, Fisher-LSD, Scheffé ou Bonferroni, entre outros.
O teste de Tuckey é um dos mais robustos a desvios à normalidade e homogeneidade de
variâncias para amostras grandes, enquanto que em amostras pequenas, o teste de
Bonferroni é um dos mais potentes.
Quando se compara um número reduzido de grupos, muitas vezes opta-se por testes mais
simples, como os de Fisher-LSD ou de Scheffé.
É possível, ainda que pouco provável, que a ANOVA e os testes de comparações
múltiplas cheguem a conclusões diferentes, isto é, pode rejeitar-se H0 na ANOVA, sem
que um teste para comparações múltiplas detecte a diferença entre pares de médias… Tal
deve-se ao facto de a ANOVA ser um teste mais potente (ou seja, onde a probabilidade de
rejeitar H0 correctamente é mais elevada), enquanto que os testes para comparações
múltiplas têm associado maiores probabilidades de erro tipo II) ⇒ repetição do estudo
com amostras de maior dimensão de modo a reduzir a probabilidade de erro tipo II.
Outra hipótese é realizar comparações à priori, ou seja, comparações planeadas,
usando contrastes. Estas comparações são mais potentes do que testes post-hoc, uma vez
que, de facto, serão testes t de Student que serão efectuados, mas exigem que a decisão
acerca das condições de interesse a testar sejam tomada à priori, daí serem menos
utilizados.
Os coeficientes do contraste são números positivos ou negativos (eventualmente nulos)
que definem as hipóteses a serem testadas, testando relações específicas entre grupos
através de uma combinação linear das médias cuja soma dos coeficientes se anula.
Por exemplo, se houver 5 grupos e pretender comparar os grupos 1 e 3 com o grupo 4,
basta definir os coeficientes do contraste como, por exemplo, 1, 0, 1, -2, 0; se quiser
comparar os grupos 1, 2 e 3 com o grupo 4 e 5 utiliza-se, por exemplo, 1, 1, 1, -1.5, -1.5.
44
BioEstatística
Exemplo 1: ANOVA a 1 factor ordinal.
Neste caso (factor ordinal), é possível fazer uma análise de
tendência. Suponha que as notas de Bioestatística da
Licenciatura de Medinina Dentária da UC, no ano lectivo de
2006/2007, foram as apresentadas no quadro seguinte,
consoante as condições motivacionais dos alunos.
Será a motivação um factor de diferenciação das notas nesta
disciplina?
Em caso afirmativo, quais os grupos com diferença
significativa?
Apresente um gráfico que lhe permita avaliar alguma
tendência.
Baixa
14
15
9
15
15
10
11
11
10
14
16
11
15
12
12
14
13
10
Média
12
11
14
13
16
15
13
14
13
12
13
14
13
15
16
14
13
13
Alta
17
16
16
18
16
17
14
15
16
12
18
13
18
14
16
17
15
17
Exemplo 2: ANOVA a 1 factor nominal
No quadro seguinte apresentam-se o número de acidentes segundo o tipo de bebida alcoólica
consumido pelo condutor, nas duas horas anteriores ao acidente.
Bebida
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Acidentes
5
4
4
5
5
6
6
4
4
5
Bebida
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Acidentes
6
5
3
5
4
4
4
4
4
2
Bebida
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Acidentes
2
2
3
3
1
2
2
4
3
2
Bebida
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Acidentes
2
1
2
1
2
2
3
2
3
4
Bebidas: 1 = Aguardente; 2 = Vinho; 3 = Cerveja; 4 = Não bebe
Verifique se existe diferença estatisticamente significativa no número de acidentes, consoante
o tipo de bebida ingerida. Em caso afirmativo, identifique as diferenças através do teste de
Tuckey.
Indique ainda o que significam os contrastes seguintes, efectue-os e conclua:
a) 1/3 aguardente + 1/3 vinho + 1/3 cerveja – 1 Não bebem
b) 0,5 aguardente + 0,5 vinho – 0,5 cerveja – 0,5 não bebem
45
Engenharia Biomédica
7.2.2 Exemplos de outras Análises de Variância
ANOVA a mais do que 1 factor - 2 factores fixos
Amostra aleatória de 30 mães, tendo-se seleccionado aleatoriamente 5 por cada categoria de
parto e por continente de origem. Avaliar o efeito da origem (asiática, europeia, africana) e do
Distócico
Eutócico
tipo de parto (eutócico, distócico) no peso dos recém-nascidos.
Asiática
2.9
3.3
2.7
2.8
3.2
2.9
3.3
3.1
3
3.2
Europeia
3.5
3.4
3.3
3.4
3.3
3.9
4.1
4
4
3.9
Africana
2.1
2.2
2.3
2.4
2.3
2
2.3
2.2
2.1
2
ANOVA a mais do que 1 factor - modelo aleatório: factores aleatórios – não tinha escolhido o
continente onde seriam seleccionadas as mães, nem tipo de parto, mas tinha seleccionado
aleatoriamente
ANOVA a mais do que 1 factor - efeitos mistos: inclui factores fixos, aleatórios, e variáveis
concomitantes
ANCOVA – ANalysis OF COVAriance
Avaliar a relação entre o tipo de acompanhamento que as crianças tiveram até aos 5 anos de
idade (infância) e as notas de matemática.
É lógico que crianças com maior QI tendam a originar melhores notas a matemática
- factor infância tem 3 níveis: 1 = jardim-infância; 2 = casa; 3 = ama
– QI é variável concomitante
Infância
1
1
1
1
1
1
1
46
QI
105.7
100.3
94.3
108.7
93.1
96.7
106.9
Notas
15.526
14.826
13.44
15.645
11.586
11.53
16.66
Infância
2
2
2
2
2
2
2
QI
100.3
86.5
96.1
101.2
97.6
96.4
109.6
Notas
14.78
9.18
12.966
12.82
8.734
10.08
16.868
Infância
3
3
3
3
3
3
3
QI
94
112
112
100
103
112
112
Notas
9
14
14
9
14
14
14
BioEstatística
MANOVA (Multiple ANalysis OF Variance) e MANCOVA (Multiple ANalysis OF COVariance)
A análise de variância multivariada (MANOVA) é um teste mais potente do que a realização
de várias análises de variância, quando se têm várias variáveis dependentes relacionadas. A
realização de várias ANOVS’s assenta no pressuposto que as várias variáveis dependentes
eram ortogonais, ou seja, independentes. De facto, em muitos casos, a MANOVA detecta
diferenças que não seriam detectadas por múltiplas ANOVAs, assim como a ANOVA pode
detectar diferenças não detectáveis pelos testes post-hoc.
Para ilustrar este facto, pode observar-se a figura seguinte, onde é visível a diferença existente
entre os dois grupos de pontos (escuros e claros), mas quando as funções densidade são
projectadas em cada um dos eixos, ou seja, em cada uma das variáveis, as diferenças já não
são aparentes:
Na MANOVA, as variáveis dependentes são consideradas em simultâneo, organizadas de
forma composta e com os efeitos associados a cada variável ponderados pela correlação
existente entre ambas, de forma a que o erro tipo I permaneça igual a α, uma vez que o erro
tipo I através de ANOVAs sucessivas em k amostras é igual a kα.
47
Engenharia Biomédica
7.3 Correlação linear
Quando se pretende estudar a relação ou associação entre 2 variáveis quantitativas aleatórias
X e Y, e sendo ambas provenientes de populações normais, determina-se o coeficiente de
correlação r de Pearson, coeficiente este que varia entre -1...0...1 e é dado por
r=
cov xy
sx × s y
=
∑ [(x − x )× (y − y )]
∑ (x − x ) × ∑ (y − y )
i
i
2
2
i
i
O coeficiente de correlação r mede a força da associação entre as variáveis e o teste que lhe
está associado ( t o =
r
1− r 2
n − 2 ~ t (n − 2) ) tem como hipóteses:
 H 0 : Não existe relação linear entre X e Y (r = 0)

 H 1 : X e Y estão linearmente relacionadas (r ≠ 0)
Sempre que existe uma correlação estatisticamente significativa, é interessante avaliar o sinal
de r, dado que este indica o sentido da relação (Note-se que a significância estatística de r=0.7
ou r=-0.7 é a mesma, o que muda é o sentido da relação). Graficamente, através de um
diagrama de dispersão, pode observar-se uma tendência crescente ou decrescente consoante o
valor do coeficiente de correlação é positivo ou negativo.
1.00
Fracção de Sobrevivência
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
200.00
400.00
Dose
r>0
r<0
Normalmente há vantagem em ser efectuada uma análise de regressão em vez da correlação
simples, sendo necessário ter uma variável dependente e outra independente. Em termos
laboratoriais podemos dizer que uma das variáveis é manipulada pelo investigador enquanto
na outra são medidos os valores obtidos.
48
BioEstatística
7.4 Análise de Regressão Linear Simples
A regressão linear simples é um método para estudar a relação entre 2 variáveis quantitativas,
normalmente distribuídas, com o objectivo de estimar uma variável Y em função da outra X,
ou seja, de estudar como modificações numa variável independente produzem modificações
noutra variável dependente.
À equação que traduz a função y de x dá-se o nome de curva de regressão de y sobre x. Se
for uma regressão linear, tem-se uma recta: y* = a + bx
O coeficiente a é designado por intersecção ou ordenada na origem, e o coeficiente b por
inclinação ou declive da recta de regressão de y sobre x.
Contudo, nem todos os pontos do diagrama de dispersão4 ficam sobre a recta5, ou seja, nem
sempre y coincide com y*. Isto significa que nem toda a variabilidade de y é explicada pela
regressão; parte da variabilidade de y não é explicada pela regressão - é a variabilidade
residual devida a outros factores ou ao erro ou resíduo: ε=y*-y.
Se esta variabilidade residual for devida a erros casuais não tem uma magnitude significativa
relativamente à variabilidade devida à regressão (tem-se, normalmente, ε = 0 ).
O objectivo é encontrar os valores de a e b que melhor traduzem a recta de regressão, ou seja,
que minimizam os erros cometidos entre o valor y* previsto pela recta e o seu valor
( )
observado y, e de tal forma que x, y seja um ponto dessa recta.
7.4.1 Determinação dos coeficientes da recta de regressão
Baseando-nos nos valores amostrais, determina-se o declive da recta (b), através de
b=
cov xy
sx × sx
=
cov xy
s
2
x
∑ (x − x )× (y − y ) ou de b = r × s
s
∑ (x − x )
i
i
2
i
y
x
Conhecido o valor de b, o coeficiente a fica determinado se conhecermos um ponto da recta.
( )
Ora, é suposto que x, y pertença à recta de regressão, donde a = y − b x
7.4.2 Hipóteses estatísticas para o declive da recta de regressão
 H 0 : Não existe relação linear entre X e Y (b = 0)
, para um nível de significância α

 H 1 : X e Y estão linearmente relacionadas (b ≠ 0)
4
5
Pontos do diagrama de dispersão: (x,y); y é o valor observado na amostra
Pontos da recta de regressão: (x,y*); y* é a estimativa de y, determinada pela recta de regressão
49
Engenharia Biomédica
Sempre que a recta de regressão está bem ajustada, é necessário calcular a força ou magnitude
da associação para determinar se esta é relevante, através do coeficiente de determinação r2:
r2 =
SQexp licada
SQtotal
∈ [0,1]
r2 = 0
recta de regressão coincidente com a recta y (ausência de associação)
r2 reduzido:
grande dispersão de valores em torno da recta de regressão (associação fraca)
2
r elevado:
pequena dispersão de valores em torno da recta de regressão (associação forte)
r2 = 1
dispersão nula em torno da recta y (associação máxima)
7.4.3 Estimativa de valores de y pela recta de regressão:
A predição de valores da variável dependente pela equação de regressão só é legítima dentro
dos limites de variação dos valores observados na variável independente.
Trata-se de uma estimativa pontual... haveria necessidade de determinar o seu intervalo de
confiança a 1-α% usando
 *

y −t α
× EPy* ; y * + t α
× EPy* 

1− , n − 2
1− , n − 2
2
2


Exemplo 1: Na seguinte janela do SPSS pode visualizar-se a
fracção de sobrevivência f de um vírus sujeito a uma dose de
radiação d.
Usando um diagrama de dispersão, parece existir uma relação
linear entre a dose de radiação e a fracção de sobrevivência do
vírus:
1.00
Fracção de Sobrevivência
0.80
De facto, parece que a fracção de
0.60
sobreviência do vírus diminui com o
aumento da dose de radiação. Assim, a
0.40
existir
correlação
estatisticamente
0.20
significativa, esta será negativa. Supondo
0.00
que a distribuição dos valores da dose de
0.00
200.00
Dose
50
400.00
radiação e racio de sobrevivência seguem
BioEstatística
distribuição normal, tem-se:
Correlação de Pearson
Racio de Sobrevivência
r
p
n
Dose
-.980
.000
9
Assim, o que parecia óbvio no diagrama de dispersão confirma-se: existe uma correlação
estatisticamente significativa entre a dose de radiação administrada e o racio de sobrevivência
do vírus (p < 0.001), no sentido em que doses de radiação mais elevadas estão associadas a
racios de sobrevivência menores (r = -0.98 < 0).
Neste caso, para além da relação existente entre as duas variáveis, parece ser interessante
avaliar em que sentido é que a fracção de sobrevivência do vírus poderá depender da dose de
radiação administrada, ou seja, se existe uma relação de causa (dose) – efeito (sobrevivência),
o que se poderá obter por regressão linear simples.
O quadro sumário do modelo de regressão linear mostra que o r2 é de 0.96, ou seja, 96% da
variabilidade encontrada no racio de sobrevivência é devida à variabilidade da dose
administrada, ou seja, a variabilidade conjunta é de 96%. Note-se que r, neste quadro, é de
0.98! O valor real da correlação deve ser avaliado através da matriz de correlação e não do
sumário do modelo de regressão.
Model Summary
R
.980
R Square
.960
Adjusted R Square
.954
Std. Error of the Estimate
.07932
O valor de r2 pode ser obtido fazendo 0.9802= 0.96 ou usando SQ do modelo da ANOVA:
0.96=1.044/0.044.
No quadro da ANOVA pode ainda observar-se que esta recta se ajusta bem aos dados (p <
0.001), sendo que a variabilidade devida à regressão é cerca de 166 vezes superior à
variabilidade residual.
ANOVA(b)
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
1.044
df
1
Mean Square
1.044
.044
7
.006
1.088
8
F
165.989
Sig.
.000(a)
51
Engenharia Biomédica
No quadro seguinte podemos observar os valores determinados para a e b, coeficientes da
recta de regressão, assim como a confirmação de que existe uma relação linear entre a dose
adminsitrada e o racio de sobrevibvência do vírus (p < 0.001).
Coefficients(a)
Unstandardized
Coefficients
b
Std. Error
1.001
.049
(Constant)
Dose
-.003
Standardized
Coefficients
Beta
.000
-.980
t
Sig.
20.522
.000
-12.884
.000
Tem-se assim que Sobrevivência*=1.001 – 0.003xDose:
Dose
(x)
.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
400.00
erro
N
9
Racio sobrevivênia
Observada (y) Prevista (y*) Erro (ε=y*-y)
1.00
1.00051
.00
.96
.86858
-.09
.78
.73664
-.04
.57
.60471
.03
.38
.47278
.09
.25
.34084
.09
.16
.20891
.05
.10
.07698
-.02
.06
-.05496
-.11
Min
-.11
Max
.09
Mean
.0000
SD
.0742
Mais uma vez se pode confirmar a qualidade do ajustamento da recta de regressão ( ε = 0 ).
Podem assim prever-se valores para o racio de sobrevivência, a partir da recta de regressão
obtida. Por exemplo, para uma dose de 210, obtém-se uma previsão para o rácio
sobrevivência = 1.001-0.003*210 = 0.371.
7.5 Modelo de Regressão Linear Múltipla
O modelo de regressão linear múltipla é uma técnica estatística descritiva e inferencial que
permite analisar a relação entre uma variável dependente (Y) e um conjunto de variáveis
independentes (X’s).
Este modelo requer que as variáveis sejam intervalares ou rácio, e que as relações entre as
variáveis sejam lineares e aditivas, embora estas restrições não sejam absolutas.
Variáveis nominais podem ser introduzidas no modelo com recurso a variáveis dummy
(artificiais), e a transformação de equações pode conduzir a relações lineares. Muitas funções
52
BioEstatística
não lineares são linearizáveis. Por exemplo, o seguinte modelo com duas variáveis
independentes não é linear e aditivo: Y = c 0 * c1 X 1 1 * c 2 X 2
K
Mas o modelo que se obtém fazendo
k2
ln(Y ) = ln(a 0 * a1 X 1 1 * a 2 X 2 2 )
K
k
conduz a
ln(Y ) = ln(c 0 ) + (ln(c1 ) + k1 ln( X 1 )) + (ln(c 2 ) + k 2 ln( X 2 )) , que é transformável e equivalente a
Y * = t 0 + t1 X 1 + t 2 X 2 .
*
*
Por outro lado, não deve existir multicolinearidade, ou seja, as variáveis independentes
devem ser independentes. Caso este pressuposto não se verifique, então a lista de variáveis
independentes deve ser analisada, pois existem, com certeza, variáveis redundantes. Pode
recorrer-se à correlação bivariada para observar quais as variáveis com maior correlação entre
si, ou observar a Tolerância ou a VIF de cada variável, obtidas computacionalmente em
qualquer aplicação estatística. A tolerância mede o grau em que uma variável X é explicada
por todas as outras variáveis independentes, ou seja, a proporção da sua variância que não é
explicada por todas as outras variáveis independentes. Esta varia entre 0 e 1, e quanto mais
próxima estiver de 0 maior será a multicolinearidade, considerando-se como limite inferior
para que não exista multicolinearidade o valor de 0.10. Todas as variáveis com valores de
tolerância < 0.1 devem ser excluídas do modelo.
Define-se VIF (variance inflaction factor) como o inverso da tolerância (1/Tol), pelo que não
existirá multicolinearidade quando VIF < 10.
Métodos de procura do “melhor modelo”
Um dos objectivos principais da regressão linear múltipla é a previsão da variável dependente
a partir de um conjunto de variáveis independentes.
Num problema de regressão linear múltipla, o investigador pode conhecer à partida quais as
variáveis independentes a incluir no modelo. Contudo, nas fases exploratórias da análise de
regressão, o investigador desconhece quais as variáveis que conduzem ao “melhor modelo”.
Existem vários métodos de procura do melhor modelo, e nenhum deles conduz ao modelo
óptimo. A análise do coeficiente de determinação é geralmente o nivelados da qualidade do
modelo.
No método forward o modelo inicial apenas inclui a constante, sendo as variáveis
independentes acrescentadas ao modelo de forma a que, em cada passo, é incluída a que maior
correlação apresenta com a variável dependente. Assim, em cada passo, entra a variável que
53
Engenharia Biomédica
maior alteração provoca no valor do F da ANOVA, ou, de modo semelhante, a variável que
produza um maior aumento no valor de r2, enquanto esta alteração for significativa.
No método backwards o modelo inicial a constante e todas as variáveis seleccionadas pelo
investigador, sendo as variáveis independentes retiradas do modelo, em cada passo, de acordo
com o menor valor de F associado a cada variável (de forma inversa à anterior).
O método stepwise é um híbrido dos anteriores, e é o que é, normalmente, utilizado.
Exemplo 1: Suponha que está a efectuar a previsão da
sua nota de Bioestatística (Y), a partir das variáveis
número médio de horas de estudo semanal (HORAS),
número de refeições diárias do aluno (REFEIÇÃO) e
do curso que o aluno frequenta (medicina ou dentária).
Esta última variável terá de ser recodificada em duas
variáveis artificiais: o aluno frequenta o curso de
Medicina (MED, sim/não) ou de Medicina dentária
(DENT, sim/não).
Model Summary
Model
a
b
c
d
R2
Adjusted
R2
Std. Error
of the
Estimate
1 ,823(a)
,677
,670
1,3670
2 ,915(b)
,837
,829
,9828
3 ,941(c)
,885
,876
,8359
4 ,951(d)
,904
,894
,7736
Predictors: (Constant), horas
Predictors: (Constant), horas, refeição
Predictors: (Constant), horas, refeição, med
Predictors: (Constant), horas, refeição, med, dent
ANOVA(e)
Model
a
b
c
d
e
R
SS
df
Regression
168,445
1
1
Residual
80,355
43
Total
248,800
44
…
…
…
…
Regression
224,860
4
4
Residual
23,940
40
Total
248,800
44
Predictors: (Constant), horas
Predictors: (Constant), horas, refeição
Predictors: (Constant), horas, refeição, med
Predictors: (Constant), horas, refeição, med, dent
Dependent Variable: notas
54
R Square
Change
,677
,160
,048
,019
F
Change
90,139
41,186
17,059
7,871
Change Statistics
Sig. F
df1 df2
Change
1
43
,000
1
42
,000
1
41
,000
1
40
,008
MS
168,445
1,869
F
90,139
Sig.
,000(a)
…
56,215
,598
…
93,928
…
,000(d)
BioEstatística
Coefficients(a)
Model
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
(Constant) 10,294
horas
3,329
…
…
…
(Constant) 11,376
horas
1,464
refeição
,425
4
med -1,787
dent
1,055
a Dependent Variable: notas
,447
,351
…
,600
,348
,102
,376
,376
1
Standardized
Coefficients
T
Sig.
Beta
,823
…
,362
,256
-,358
,211
23,050
9,494
…
18,949
4,203
4,154
-4,755
2,806
,000
,000
…
,000
,000
,000
,000
,008
Collinearity Statistics
Tolerance
VIF
1,000
…
1,000
…
,325
,634
,423
,423
3,080
1,578
2,361
2,361
Nestes casos, pode-se comparar a variância explicada por cada variável, no modelo (r2), e é
interessante observar os valores de β e não de b, no quadro dos coeficientes de regressão. Os
coeficientes b reflectem a escala em que a variável foi medida, enquanto que β são os
coeficientes b padronizados. Assim, as variáveis com peso na predição do modelo podem ser
comparadas e avaliadas. No quadro anterior pode observar-se que o peso relativo de cada
variável na nota final, comparando os valores absolutos de β.
7.6 Outros Modelos de Regressão
Em bioestatística é comum usar outros tipos de regressão, para além dos modelos de regressão
linear múltipla. Entre eles destacam-se a estimativa de curvas e o modelo de regressão
logística, utilizado frequentemente para identificar preditores de risco de determinadas
situações.
Curve Estimation
The Curve Estimation procedure produces curve estimation regression statistics and related
plots for 11 different curve estimation regression models. A separate model is produced for
each dependent variable. You can also save predicted values, residuals, and prediction
intervals as new variables.
Example: An Internet service provider tracks the percentage of virus-infected e-mail traffic on
its networks over time. A scatterplot reveals that the relationship is nonlinear. You might fit a
quadratic or cubic model to the data and check the validity of assumptions and the goodness
of fit of the model.
55
Engenharia Biomédica
Logistic Regression
Logistic regression is useful for situations in which you want to be able to predict the
presence or absence of a characteristic or outcome based on values of a set of predictor
variables. It is similar to a linear regression model but is suited to models where the
dependent variable is dichotomous. Logistic regression coefficients can be used to estimate
odds ratios for each of the independent variables in the model. Logistic regression is
applicable to a broader range of research situations than discriminant analysis.
Example: What lifestyle characteristics are risk factors for coronary heart disease (CHD)?
Given a sample of patients measured on smoking status, diet, exercise, alcohol use, and CHD
status, you could build a model using the four lifestyle variables to predict the presence or
absence of CHD in a sample of patients. The model can then be used to derive estimates of
the odds ratios for each factor to tell you, for example, how much more likely smokers are to
develop CHD than nonsmokers.
56
BioEstatística
8. TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
A comparação de parâmetros populacionais a partir de amostras aleatórias é uma das
necessidades fulcrais em estatística inferencial, principalmente quando se pretende testar a
significância de tratamentos ou factores que são capazes de influenciar a resposta da variável
medida e, em que se pretende testar se o tratamento teve ou não um efeito significativo.
Assim, existem basicamente duas metodologias para efectuar estes tipos de testes: os testes
paramétricos que exigem que a forma da distribuição amostral seja conhecida (sendo a
distribuição Normal a mais utilizada…); os testes não paramétricos não exigem que seja
conhecida a distribuição amostral (embora possuam outras condições de aplicação), e devem
ser aplicados em alternativa aos testes não paramétricos.
Porque não utilizar, então, sempre testes não paramétricos? Porque a potência dos testes
paramétricos, ou seja, a probabilidade de rejeitar correctamente H0 é superior num teste
paramétrico6, devendo os testes não paramétricos ser, assim, utilizados, apenas quando não
existe alternativa, ou quando o nível de mensuração da variável dependente é ordinal ou
nominal (situação em que apenas se podem utilizar testes não paramétricos).
8.1 Condições Gerais de aplicação dos testes paramétricos
A variável dependente é quantitativa e segue uma distribuição normal
As variâncias populacionais são homogéneas, caso estejamos a comparar 2 ou mais
populações
8.1.1 Testes estatísticos mais utilizados para testar a
Normalidade da distribuição: Teste de Kolmogorov-Smirnov
H 0 : X ~ N ( µ ,σ )

 H 1 : X não segue distribuição normal
Em alternativa ao teste de Kolmogorov-Smirnov, o SPSS efectua também o teste de
Shapiro-Wilk quando n < 50 para testar se a variável em estudo na amostra aleatória
possui ou não distribuição normal, sendo este teste particularmente apropriado e preferível
ao teste de Kolmogorov-Smirnov sempre que n<30.
6
Embora, em amostras de pequena dimensão seja, muitas vezes, preferível utilizar testes não paramétricos
57
Engenharia Biomédica
Homogeneidade de variâncias: Teste de Levene
 H 0 : σ 12 = σ 22 = ... = σ k2

2
2
 H 1 : ∃i, j ∈ {1,2,..., k }, i ≠ j : σ i ≠ σ j
8.1.2 Quadro de Decisão para variáveis Intevalares/Racio
Variáveis Intervalar/Rácio (Scale)
Variáveis Ordinais
Avaliar distribuição:
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Aceitar H0
H0: Distribuição = Normal
Rejeitar H0
H1: Distribuição ≠ Normal
Avaliar homogeneidade de variâncias
se nº grupos > 3: Teste de Levene
Aceitar H0
H0: Variâncias homogéneas
Rejeitar H0
H1: Distribuição ≠ Normal
TESTES PARAMÉTRICOS
TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
Será o IMC da população de estudantes do ensino superior português = 20.5 kg/m2?
t 1 média
H0: µ = 20.5
H1: µ ≠ 20.5
Wilcoxon / Sinal (variável constante)
H0: md = 20.5
H1: md ≠ 20.5
DIFERENÇA
Há alteração significativa nos valores de TAS antes e depois de um tratamento?
t amostras emparelhadas
H0: µA= µD
H1: µA≠ µD
Wilcoxon / Sinal
H0: mdA = medD
H1: mdA ≠ medD
O tratamento é eficaz na redução dos valores de TAS (relativamente ao placebo)?
t amostras independentes
H0: µSA= µP
H1: µSA≠ µ P
Mann-Whitney
H0: mdSA = md P
H1: mdSA ≠ md P
Há diferença nos valores de glicémia relativamente aos escalões de IMC?
RELAÇÃO
ANOVA (1-factor)
H0: µ1= µ2= ... = µ6
H1: ∃µi ≠ µ j, i ≠ j
58
Kruskal-Wallis
H0: md1 = md2 = ... = md6
H1: ∃mdi ≠ mdj, i ≠ j
Haverá relação entre os valores de TAS antes e depois de um tratamento?
Estarão os valores de TAD relacionados com o IMC? E com o IMC em escalões?
Pearson (r)
H0: r=0
H1: r≠0
Coeficiente de correlação
Spearman (ρ) / Kendall (τ)
H0: ρ=0 / τ=0
H1: ρ≠0 / τ≠0
BioEstatística
Exemplos:
1. Suponha que se pretende avaliar se as condições de temperatura e humidade influenciam o
tempo demorado a adormecer dos recém-nascidos, assim como a duração da sesta. Assim,
observaram-se 3 amostras independentes de recém-nascidos, em 3 maternidades com
diferentes condições de temperatura e humidade nos quartos, sendo cada amostra
constituída por 10 elementos.
Qual o teste estatístico que utilizaria neste caso, para cada uma das variáveis dependentes
estudadas, após observar o seguinte quadro?
Tests of
Normality
Maternidade
Tempo a
adormecer
Duração da sesta
Kolmogorov-Smirnov(a)
Statistic
df
Sig.
Statistic
df
Sig.
MDM
.214
10
.200(*)
.938
10
.531
MBB
.228
10
.152
.907
10
.262
CSS
.216
10
.200(*)
.845
10
.051
MDM
.196
10
.200(*)
.872
10
.107
MBB
.244
10
.092
.774
10
.007
10
.083
.928
10
.424
CSS
.247
* This is a lower bound of the true significance.
a Lilliefors Significance Correction
Levene
Statistic
.188
Test of Homogeneity of Variance
Based on Mean
Tempo a
adormecer
Duração da
sesta
Shapiro-Wilk
df1
df2
Sig.
2
27
.830
Based on Median
.171
2
27
.844
Based on Median and with adjusted df
.171
2
24.650
.844
Based on trimmed mean
.186
2
27
.831
Based on Mean
1.569
2
27
.227
Based on Median
.698
2
27
.506
Based on Median and with adjusted df
.698
2
18.685
.510
Based on trimmed mean
1.287
2
27
.292
Observe agora os resultados obtidos e comente-os:
Tempo a adormecer
95% Confidence Interval for Mean
Lower Bound
Upper Bound
4.0853
6.7147
N
Mean
Std.
Deviation
Std.
Error
MDM
10
5.4000
1.83787
.58119
MBB
10
5.7000
1.56702
.49554
4.5790
CSS
10
7.4000
1.77639
.56174
6.1292
Total
30
6.1667
1.89525
.34602
5.4590
Mean
Std.
Deviation
Std.
Error
Minimum
Maximum
2.00
9.00
6.8210
3.00
9.00
8.6708
4.00
9.00
6.8744
2.00
9.00
Minimum
Maximum
Duração da sesta
N
95% Confidence Interval for Mean
Lower Bound
Upper Bound
210.9438
237.0562
MDM
10
224.000
18.25133
5.7716
198.00
245.00
MBB
10
227.800
41.46431
13.112
198.1382
257.4618
123.00
265.00
CSS
10
222.100
34.07981
10.777
197.7208
246.4792
159.00
268.00
Total
30
224.63
31.6734
5.783
212.8063
236.4604
123.00
268.00
59
Engenharia Biomédica
7.50
228.00
227.00
Mean of Duração da sesta
Mean of Tempo a adormecer
7.00
6.50
6.00
226.00
225.00
224.00
5.50
223.00
5.00
222.00
MDM
MBB
CSS
MDM
Maternidade
MBB
CSS
Maternidade
Tempo a Adormecer
ANOVA: Tempo a adormecer
Sum of
Squares
df
Mean
Square
F
Sig.
3.883
.033
Between Groups
23.267
2
11.633
Within Groups
80.900
27
2.996
Total
104.167
29
Multiple Comparisons: Dependent Variable: Tempo a adormecer; Tukey HSD
(I)
Maternidade
(J)
Maternidade
Mean Difference
(I-J)
Std. Error
Sig.
MDM
MBB
CSS
-.30000
-2.00000(*)
.77412
.77412
.921
.040
Lower Bound
-2.2194
-3.9194
Upper Bound
1.6194
-.0806
MBB
MDM
.30000
.77412
.921
-1.6194
2.2194
.77412
.77412
.77412
.090
.040
.090
-3.6194
.0806
-.2194
.2194
3.9194
3.6194
CSS
-1.70000
MDM
2.00000(*)
CSS
MBB
1.70000
* The mean difference is significant at the .05 level.
Duração da Sesta
Ranks
Maternidade
Duração da sesta
N
Mean Rank
MDM
10
13.85
MBB
10
17.70
CSS
10
14.95
Total
30
Test Statistics(a,b)
Duração da
sesta
Chi-Square
df
1.017
2
Asymp. Sig.
.602
a Kruskal Wallis Test
b Grouping Variable: Maternidade
60
95% Confidence Interval
BioEstatística
2.
Suponha agora que se seleccionava a maternidade que demonstrava ter melhores
condições de temperatura e humidade nos quartos das parturientes, e que, nesta, se
estudava o tempo médio demorado a adormecer e a duração da sesta de 30 recémnascidos. Estará o tempo médio da sesta relacionado com o tempo demorado a
adormecer?
260.00
Duração da sesta
240.00
220.00
200.00
180.00
160.00
140.00
120.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
Tempo a adormecer
Observando os coeficientes de correlação de Pearson e de Spearman, para um nível de
significância de 0.05, concluímos que ... !!!
Tempo a Adormecer vs
Duração da Sesta
Correlation coefficient
r (Pearson)
rho (Spearman)
-.303
-.372
Sig. (2-tailed)
.103
.043
N
30
30
Qual dos coeficientes de correlação devemos utilizar? As conclusões a que se chega são
opostas, ainda que o coeficiente de correlação seja fraco. Com o coeficiente de correlação de
Pearson, conclui-se que não existe relação significativa entre a duração da sesta e o tempo
demorado a adormecer dos recém-nascidos (p = 0.103), enquanto que quando se utiliza um
coeficiente de correlação não paramétrico conclui-se que existe relação entre ambas (p =
0.043), no sentido em que sestas mais prolongadas estão relacionadas com menor tempo
demorado a adormecer (rho < 0).
Qual dos dois coeficientes deve ser utilizado?
Tests of Normality
Kolmogorov-Smirnov(a)
Tempo a adormecer
Shapiro-Wilk
Statistic
df
Sig.
Statistic
df
Sig.
.164
30
.038
.924
30
.034
30
.032
.885
30
.004
Duração da sesta
.167
a Lilliefors Significance Correction
b Calculated from data
61
Engenharia Biomédica
3.
Numa das outras maternidades, seleccionaram-se 30 recém-nascidos ao acaso, e foram
aleatoriamente divididos em dois grupos iguais: num grupo colocou-se no berço uma peça
da roupa da mãe, enquanto que no outro colocou-se uma peça de roupa de outro familiar.
Quais os testes estatísticos que poderia utilizar para avaliar a influência do cheiro da mãe
no sono dos recém-nascidos?
Tests of Normality
Kolmogorov-Smirnov(a)
Shapiro-Wilk
Peça de roupa
da mãe
Statistic
df
Sig.
Statistic
df
Sig.
Sim
.171
15
.200(*)
.962
15
.725
Não
.210
15
.073
.839
15
.012
Sim
.128
15
.200(*)
.961
15
.704
.153
.921
15
.199
Tempo a
adormecer
Duração da
sesta
Não
.189
15
* This is a lower bound of the true significance.
a Lilliefors Significance Correction
Observe e comente os resultados:
Descriptive Statistics
Peça de roupa da mãe
Sim
Não
N
Minimum
Maximum
Mean
Std. Deviation
Tempo a adormecer
15
2.00
9.00
5.2667
1.70992
Duração da sesta
15
223.00
268.00
243.8000
12.36470
Tempo a adormecer
15
5.00
9.00
7.0667
1.66762
Duração da sesta
15
123.00
255.00
205.4667
33.73397
Tempo a Adormecer
Ranks
Tempo a
adormecer
Peça de Roupa
da mãe
Sim
Não
15
Mean
Rank
11.50
Sum of
Ranks
172.50
15
19.50
292.50
N
Tempo a
adormecer
52.500
Test Statistics(b)
Mann-Whitney U
Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]
.011(a)
a Not corrected for ties.
b Grouping Variable: Peça de roupa da mãe
Duração da Sesta
Independent Samples Test
Levene's Test
for Equality of
Variances
F
Duração
da sesta
62
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
6.213
Sig.
t-test for Equality of Means
t
df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Differenc
Std. Error
Differenc
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
4.132
28
.000
38.333
9.277
19.331
57.336
4.132
17.695
.001
38.333
9.277
18.819
57.847
.019
BioEstatística
9. VARIÁVEIS QUALITATIVAS
9.1 Testes Qui-quadrado (Tabelas de Contingência)
Cáries
Não
Classes
de IMC
Normal
10
20
7
6
13
Excesso Peso
Obesidade
Total
Total
Sim
10
3
4
7
20
20
40
Teste Qui-Quadrado: testes de homogeneidade (diferença de proporções); Testes de
independência:
H0: As proporções são iguais ou
Não existe associação entre as variáveis/As variáveis são independentes
H1: As proporções são diferentes/
Existe associação entre as variáveis/As variáveis não são independentes
O teste Chi2 não pode ser utilizado em qualquer tabela de contingência. É necessário que
cumpra as Regras de Cochran para aplicação do teste Chi2
Tabelas de 2x2:
1.
Se n ≥ 40 pode usar o teste do qui-quadrado, de preferência corrigido; Os valores
esperados têm de ser ≥ 5;
2. Se 20 ≤ n ≤ 40 deve usar o teste do qui-quadrado corrigido; Os valores esperados têm de
ser ≥ 5; caso contrário terá de usar o teste exacto de Fisher;
3. Se n < 20 não deve usar o teste do qui-quadrado mas o teste exacto de Fisher.
Tabelas LxC, com L>2 ou C>2:
1. Pelo menos 80% dos valores esperados têm de ser ≥ 5 e nenhum deve ser < 1
Se as condições impostas anteriormente não existirem, deve combinar-se linhas ou colunas
para aumentar os valores esperados; isto terá como resultado a diminuição dos graus de
liberdade.
Exemplo 1: Considere a seguinte tabela de contingência relativa a 145 sujeitos classificados
63
Engenharia Biomédica
em dois grupos segundo os valores de tensão arterial (N: normal; HTA: hipertensão arterial) e
a existência de patologia cardio-vascular (N: normal; DCV: doença cardiovascular).
Doença Cardiovascular * Hipertensão Crosstabulation
TA
DCV
Doença
Cardiovascular
Normal
HTA
Normal
Count
43
33
Expected Count
30,9
45,1
Count
16
53
Expected Count
28,1
40,9
Count
59
86
Total
Total
76
69
145
Se avaliarmos o resíduo, ou seja, a diferença entre os valores observados e esperados, em cada
célula, observamos o seguinte:
TA
Doença
CV
N
DCV
N
12.1
-12.1
HTA
-12.1
12.1
Assim, aparentemente, encontramos mais casos normais para as duas patologias do que
esperávamos encontrar se as proporções fossem todas iguais, assim como mais casos com
ambas as patologias do que esperávamos encontrar, o que nos poderá indicar que é mais
frequente um sujeito normal para uma das patologias também o ser para a outra, e que quando
têm uma das doenças, muito provavelmente também terá a outra. Assim, este parece ser um
indicador da existência de relação entre a hipertensão arterial e a doença cardiovascular.
Aplicando o teste Chi2, dado que se cumprem as regras de Cochran para tabelas 2x2...
Chi-Square Tests
Value
df
Asymp. Sig.
(2-sided)
Pearson Chi-Square
16,708
1
,000
Continuity Correction(a)
15,353
1
,000
Likelihood Ratio
17,184
1
,000
16,593
1
,000
Fisher's Exact Test
Linear-by-Linear Association
Exact Sig.
(2-sided)
Exact Sig.
(1-sided)
,000
,000
N of Valid Cases
145
a Computed only for a 2x2 table
b 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 28,08.
Verifica-se que parece existir uma associação significativa entre a ocorrência de doença
cardio-vascular e a existência de hipertensão (Chi2(1)=16.708; p<0.001).
9.2 Teste de McNemar – 2 variáveis qualitativas emparelhadas, tabelas 2x2
64
BioEstatística
Este teste, também denominado de teste da mudança de opinião, baseia-se na comparação das
proporções das respostas dicotomizadas de duas variáveis (A e B), ou seja, classificando as
respostas em positivas ou sucessos, e em negativas ou insucessos.
A aplicação de A e B a n indivíduos dá origem a n pares de respostas agrupadas nas 4
combinações seguintes:
B
+
A
a
c
+
b
d
As hipóteses7 a testar são, assim,
 H 0 : p A (+ ) = p B (+), ie, a proporção de sucessos em A é igual à proporção de sucessos em B

 H 1 : p A (+ ) ≠ p B (+)
Muitas vezes, a variável A significa Antes e a B Depois de um determinado acontecimento8.
Neste caso, a rejeição de H0 pode ser uma indicação do efeito desse acontecimento.
Exemplo 1: Relação entre os valores de TAS iniciais e após tratamento
Suponha agora que os todos os sujeitos hipertensos (positivos: 59) se submetiam a tratamento
para a tensão arterial e que, 6 meses após a avaliação inicial, os 145 casos eram, de novo,
avaliados relativamente à sua tensão arterial. Será que houve alteração significativa na
proporção de casos inicialmente hipertensos, ou, terá o tratamento surtido efeito?
Esta análise pode ser efectuada através de um teste de McNemar, desde que a principal fonte
de discórdia seja a passagem de hipertensos a normais, e não o contrário.
Hipertensão * HTA após tratamento Crosstabulation
TA após tratamento
Normal
TA
HTA
Total
Normal
Count
80
6
86
HTA
Count
31
28
59
Count
111
34
145
Total
9.3 Teste Binomial
7
As células b e c são aquelas onde se opera a mudança de opinião de sucesso para insucesso ou vice-versa. Se
b+c>20, a estatística deste teste é um chi2; se b+c<20, a estatística dos teste é uma binomial.
8
No SPSS, a variáveis devem ser codificadas da mesma forma, atribuindo-se o valor 0 ao insucesso e 1 ao
sucesso
65
Engenharia Biomédica
BINOMIAL tests whether the observed distribution of a dichotomous variable is the same as
what is expected from a specified binomial distribution. By default, each named variable is
assumed to have only two values, and the distribution of each named variable is compared to
a binomial distribution with p (the proportion of cases expected in the first category) equal to
0.5. The default output includes the number of valid cases in each group, the test proportion,
and the two-tailed probability of the observed proportion.
Exemplo 1: A proporção de indivíduos que tem cáries, na amostra, é idêntica à que não tem
cáries?
Category
Observed
Prop.
Binomial Test
Cáries
Group 1
N
Sim
20
.50
Group 2
Não
20
.50
40
1.00
Total
Test Prop.
Asymp. Sig.
(2-tailed)
.50
1.000(a)
a Based on Z Approximation.
Exemplo 2: pode-se afirmar que existem 15% de obsesos na população?
Binomial Test
Classes de IMC
Category
Observed
Prop.
N
Group 1
<= 3
35
.83
Group 2
>3
7
.17
42
1.00
Total
Test Prop.
.85
Asymp. Sig.
(1-tailed)
.445(a,b)
a Alternative hypothesis states that the proportion of cases in the first group < .85.
b Based on Z Approximation.
9.4 Teste de Cochran
COCHRAN calculates Cochran’s Q, which tests whether the distribution of values is the same
for k related dichotomous variables. The output shows the frequency distribution for each
variable in the Cochran Frequencies table and the number of cases, Cochran’s Q, degrees of
freedom, and probability in the Test Statistics table.
Exemplos:
66
BioEstatística
1. Num estudo sobre a importância do “efeito placebo” entraram 200 doentes. Foram
divididos em dois grupos: ao grupo P foi administrado placebo e ao grupo S uma substância
activa suporífera. Os doentes foram inquiridos sobre o efeito do “medicamento” ao fim de 15
dias: 30 dos 150 doentes do grupo P sentiram efeito benéfico e bem como 40 do grupo S.
Verifique as condições de aplicabilidade do teste Chi2 e, em caso afirmativo, indique se a
substância administrada está ou não relacionada com o efeito sentido pelos sujeitos.
Efeito
Substância * Efeito Crosstabulation
Count
Subs. Activa
Substância
Efeito
Benéfico
40
10
50
Expected Count
17.5
32.5
50.0
Residual
22.5
-22.5
Count
Placebo
Total
Total
Sem efeito
30
120
150
Expected Count
52.5
97.5
150.0
Residual
-22.5
22.5
70
130
200
70.0
130.0
200.0
Count
Expected Count
Dado não existirem frequências esperadas inferiores a 5, e n= 200 > 40, permite aplicar o teste
Chi2. O facto de os resíduos serem iguais na diagonal principal (simétricos na diagonal
secundária) poderá indicar a existência de uma associação entre as duas variáveis.
Chi-Square Tests
Value
df
Asymp. Sig.
(2-sided)
.000
.000
.000
Exact Sig.
(2-sided)
Pearson Chi-Square
59.341(b)
1
Continuity Correction(a)
56.733
1
Likelihood Ratio
58.818
1
Fisher's Exact Test
.000
Linear-by-Linear Association
59.044
1
.000
N of Valid Cases
200
a Computed only for a 2x2 table
b 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 17.50.
Exact Sig.
(1-sided)
.000
De facto, existe uma associação significativa (Chi2(1)=59.241; p < 0.001 rejeita-se H0)
entre a substância administrada e o efeito sentido.
Analisando as estimativas de risco, verifica-se que é cerca de 16 vezes mais provável que o
efeito sentido seja benéfico quando se administra substância activa do que quando se
administra placebo, sendo este valor significativamente diferente9 de 1 (para α = 0.05), e
superior, dado que o intervalo de confiança a 95% para o odds ratio é (7.2; 36.6).
9
Um odds ratio de 1 indica ausência de risco/associação
67
Engenharia Biomédica
95% Confidence Interval
Value
Risk Estimate
Lower
Upper
Odds Ratio for Substância (Subs. Activa / Placebo)
16.000
7.188
35.614
For cohort Efeito = Efeito Benéfico
4.000
2.822
5.669
For cohort Efeito = Sem efeito
.250
.143
.438
N of Valid Cases
200
Poderá, neste caso, ser interessante analisar as “% within substância”, “% within efeito” e “%
of total”. Analise-as e estabeleça relações com o risco relativo apresentado no quadro anterior.
Efeito
Substância * Efeito Crosstabulation
Subs.
Activa
Substância
Placebo
Total
68
% within Substância
Efeito
Benéfico
80.0%
% within Efeito
57.1%
Total
Sem efeito
20.0%
100.0%
7.7%
25.0%
% of Total
20.0%
5.0%
25.0%
% within Substância
20.0%
80.0%
100.0%
% within Efeito
42.9%
92.3%
75.0%
% of Total
15.0%
60.0%
75.0%
% within Substância
35.0%
65.0%
100.0%
% within Efeito
100.0%
100.0%
100.0%
% of Total
35.0%
65.0%
100.0%
BioEstatística
Exemplo 2: Os dados que se seguem foram obtidos de um ensaio clínico de estreptomicina
para tratamento de tuberculose pulmonar em 107 sujeitos. Avalie as condições de
aplicabilidade do teste chi2 a este conjunto de dados:
Substância
Total
Efeito * Substância Crosstabulation
Estreptomicina
Muito melhor
Melhor
Sem alteração
Efeito
Ligeiramente pior
Pior
Morte
Total
Placebo
Count
28
4
32
Expected Count
16.4
15.6
32.0
Count
10
13
23
Expected Count
11.8
11.2
23.0
Count
2
3
5
Expected Count
2.6
2.4
5.0
Count
5
12
17
Expected Count
8.7
8.3
17.0
Count
6
6
12
Expected Count
6.2
5.8
12.0
Count
4
14
18
Expected Count
9.3
8.7
18.0
Count
55
52
107
Expected Count
55.0
52.0
107.0
Temos uma tabela de contingência 6 × 2 logo, com 12 células. Entre estas, tem-se Eij < 5 em
2 células (16.7%), pelo que se pode aplicar o teste Chi2 a este conjunto de dados.
Caso houvesse 3 células com Eij < 5 , não teríamos pelo menos 80% das células com
Eij ≥ 5 pelo que seria necessário proceder à junção de linhas ou colunas. Neste caso, talvez
fizesse sentido juntar as categorias “muito melhor” com “melhor”, ou “ligeiramente pior” com
“pior”; contudo, as Eij < 5 aparecem na categoria “sem alteração”. No meu entender deverse-ìa juntar “sem alteração” com “ligeiramente pior”, dado que “sem alteração” indica que
não houve efeito benéfico da estreptomicina.
Analise se o facto de a administração de estreptomicina está associada a uma melhoria da
situação clínica de tuberculosae pulmonar - interprete os resultados obtidos:
Chi-Square Tests
Value
df
Asymp. Sig. (2-sided)
Pearson Chi-Square
26.966(a)
5
.000
Likelihood Ratio
29.612
5
.000
Linear-by-Linear Association
17.761
1
.000
N of Valid Cases
107
a 2 cells (16.7%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2.43.
69
Engenharia Biomédica
Substância
Total
Efeito * Substância Crosstabulation
Muito melhor
Melhor
Sem alteração
Efeito
Ligeiramente pior
Pior
Morte
Total
70
Estreptomicina
Placebo
% within Efeito
87.5%
12.5%
100.0%
% within Substância
50.9%
7.7%
29.9%
% of Total
26.2%
3.7%
29.9%
% within Efeito
43.5%
56.5%
100.0%
% within Substância
18.2%
25.0%
21.5%
% of Total
9.3%
12.1%
21.5%
% within Efeito
40.0%
60.0%
100.0%
% within Substância
3.6%
5.8%
4.7%
% of Total
1.9%
2.8%
4.7%
% within Efeito
29.4%
70.6%
100.0%
% within Substância
9.1%
23.1%
15.9%
% of Total
4.7%
11.2%
15.9%
% within Efeito
50.0%
50.0%
100.0%
% within Substância
10.9%
11.5%
11.2%
% of Total
5.6%
5.6%
11.2%
% within Efeito
22.2%
77.8%
100.0%
% within Substância
7.3%
26.9%
16.8%
% of Total
3.7%
13.1%
16.8%
% within Efeito
51.4%
48.6%
100.0%
% within Substância
100.0%
100.0%
100.0%
% of Total
51.4%
48.6%
100.0%