* Lógica Proposicional

Lógica, Informática e Comunicação
Elthon Allex da Silva Oliveira
e-mail: [email protected]
* Lógica Proposicional
Formas de Argumento
Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.
Hoje não é segunda-feira.
Hoje é sexta-feira.
Juca pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou.
Não foi Juca quem a pintou.
Michelângelo pintou a Mona Lisa.
Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
Ele não é menor de 18 anos.
Ele é um irresponsável.
Os 3 argumentos são da seguinte forma:
P ou Q
Não é o caso que P
Q
As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais).
P pode representar: Hoje é segunda-feira.
Q pode representar: Hoje é terça-feira.
Os argumentos anteriores são variantes gramaticais ou instâncias daquela
forma.
Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.
A lógica trata de formas de argumentos consistindo de letras sentenciais
combinadas com as expressões:
Não é o caso que; E; Ou; Se ... então; Se e somente se
Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.
* Conectivo Não é o caso que
Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a
qual chamamos a negação da primeira.
Exemplo: A sentença
'Não é o caso que ele é fumante‘
é a negação da sentença
'Ele é fumante'.
Variações gramaticais da negação:
´Ele é não-fumante’,
´Ele não é fumante’ e
´Ele não fuma’.
* Conectivo E
Uma composição constituindo-se de duas sentenças ligadas por 'e' chamase conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor
A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas',
'todavia', 'embora', 'contudo', ...
”Chove mas faz calor”
* Conectivo Ou
Um enunciado composto consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou'
chama-se disjunção.
Exemplo: Chove ou faz calor
* Conectivo Se ... então
Enunciados do tipo se... então ... chamam-se condicionais.
O enunciado subseqüente ao 'se' chama-se o antecedente e o subseqüente
ao 'então' chama-se o conseqüente.
Forma do condicional:
Se antecedente então conseqüente
Ex: ‘Se sinto frio então visto o casaco '.
O antecedente é condição suficiente para ocorrência do conseqüente.
O conseqüente é condição necessária para ocorrência do antecedente.
Exemplo: Se é Juiz então é advogado.
O fato de ser juiz é suficiente para ser advogado para alguém ser juiz é
necessário que seja advogado, mas não é o suficiente.
* Conectivo Se ... então
Exemplos:
‘O fogo é uma condição suficiente para a fumaça´
‘Se houver fogo haverá fumaça’
ou
‘Se chover então molha a rua´
É suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada o fato da rua
ficar molhada não garante que choveu
Uma condicional também pode ser expressa na ordem inversa.
‘Visto o casaco se sentir frio‘
mantém a semântica de
‘ Se sentir frio, visto o casaco’
‘ Se sentir frio então visto o casaco’
Variações gramaticais da condicional:
Exemplo:
Se chove então molha a rua.
Chover implica em molhar a rua.
Chove somente se molha a rua.
Se chove, logo molha a rua.
Molha a rua, se chove.
Chover é condição suficiente para molhar a rua.
Molhar a rua é condição necessária para chover.
* Conectivo Se e somente se
Os enunciados formados com a expressão ...se somente se... são
chamados bicondicionais.
Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois
condicionais.
Exemplo:
'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.'
Equivale:
'T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo
somente se T é um polígono de três lados.'
Que equivale:
'Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um
triângulo então T é um polígono de três lados.'
* Formalização
Para facilitar o reconhecimento e a comparação de formas de argumento,
cada operador lógico é representado por um símbolo especial:
Não é o caso que: ~ ou ¬
E: ^ ou &
Ou: v
Se ... então: →
Se e somente se: ↔
O Silogismo disjuntivo é simbolizado:
. PvQ
. ~P
∴Q
Ou assim:
{ P v Q , ~P} ├ Q
O traço de asserção (afirmação), ├ , significa dizer que Q é deduzido
(provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.
A linguagem, consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos
juntamente com as regras a serem empregadas, chama-se Lógica
Proposicional ou Cálculo Proposicional.
O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica:
Mostrar a Validade de certas formas de argumento!!
Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas.
Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias
é inválida.
Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é
válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa
enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.
Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são
corretas.
Exemplo:
O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto.
‘Juca pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa.
O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para
qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a
sua conclusão será verdadeira.
Observe a seguinte forma de argumento:
. Se P então Q.
. Q.
P
Ou: {P→Q, Q} ├ P
Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida:
Se você está dançando na Lua então você está vivo.
Você está vivo.
Você está dançando na Lua.
Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue.
A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até
Sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a
proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira.
Solução:
1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os árbitros a receberem até
Sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a
proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira]. (a,b,c)
a: A proposta de auxílio está no correio.
b: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.
c: Os árbitros analisarão a proposta.
{a, bc, ab} ├ c
* Fórmula bem formada – fbf
Qualquer letra sentencial é uma fbf.
Se Φ é uma fbf, então ~Φ também o é.
Se Φ e Ψ são fbf, então
(Φ ^ Ψ), (Φ v Ψ), (Φ → Ψ), (Φ ↔ Ψ) também o são.
Exercícios:
1) Quais das expressões seguintes são fórmulas (fbf's) e quais não são:
a)
b)
c)
d)
e)
~~~R
(~R)
PQ
~(PQ)
~(~P ^ ~Q)
2) Formalize os seguintes argumentos usando as letras sentenciais
indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar.
a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a
vida tem significado. (a,b)
c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quintafeira ou Sexta-feira. (a,b)
d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo.
Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado. (a,b,c)