fundamentos das geometrias hiperbólica, esférica e

FUNDAMENTOS DAS GEOMETRIAS HIPERBÓLICA, ESFÉRICA E
PROJETIVA.
Antonio Deígerson da Costa Lopes (Bolsista do PIBIC/CNPq);
Newton Luís Santos (Orientador, Depto. de Matemática– UFPI).
Resumo Expandido
Introdução
Euclides de Alexandria sistematizou na sua obra Os Elementos os conhecimentos
de Matemática da época, nas categorias de conceitos primitivos, axiomas (verdades que se
assume sem demonstração), teoremas e proposições (que devem ser demonstradas). A
geometria descrita naquele trabalho veio a chamar-se geometria Euclidiana. Dentre os axiomas
que fundamentavam a geometria Euclidiana, o quinto axioma, chamado axioma (ou postulado)
das paralelas, tem um enunciado singular:
"Dada uma reta e um ponto fora dela, então por este ponto passa uma única reta
que não intersecta a reta dada".
É possível provar, sem assumi-lo, que dada uma reta e um ponto externo, então por
este ponto passa uma reta que não intersecta a reta dada. Seria então possível demonstrar este
axioma? Foi esta aparente demonstrabilidade do axioma que fez com que inúmeros estudiosos
e matemáticos se interessassem pelo problema e procurassem por uma prova. Foi buscando tal
demonstração, que Girolamo Saccheri (1667-1733) e Johann Lambert (1728-1777), propuseram
uma nova abordagem ao tema, a saber: impor a não validade do postulado como um substituto
àquele e desenvolver a teoria, procurando chegar em algum momento a uma contradição.
Estavam dados os primeiros passos para o surgimento de uma nova disciplina na geometria: a
Geometria Hiperbólica. Esta, contudo, somente passou a existir como uma geometria de fato,
com um sistema completo de axiomas, após os trabalhos fundamentais de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855), Johan Bolyai (1802-1860) e Nikolai Ivanovich Lobachewsky (1793-1856).
Atualmente, as geometrias hiperbólica e elíptica tornaram-se apenas mais um
capítulo dentre a infinidade de geometrias não euclidianas existentes - o que, de maneira alguma
diminui sua importância. Esferas, espaços Euclidianos e espaços hiperbólicos, por se tratarem
de ambientes cuja geometria é amplamente conhecida (são geometrias homogêneas), teorias e
técnicas avançadas da geometria são frequentemente testadas nestes espaços. O nascimento
das geometrias hiperbólica, elíptica e das geometrias não-euclidianas determinaram mudanças
de paradigmas dentro da Matemática que nos poderiam trazer mudanças internas e em todas as
demais áreas do conhecimento que dependiam de ideias profundas na Matemática, tais como a
Física, a Lógica Matemática e mesmo a Filosofia. Compreender estas mudanças permite
entender o caminho sutil e repleto de contradições e dificuldades em que a Matemática foi
construída.
Metodologia
Tendo em vista a temática Fundamentos das Geometrias Hiperbólica, Elíptica e
Projetiva, objetivamos conhecer os caminhos do surgimento destas geometrias, os seus
principais fundamentos, bem como as suas axiomáticas. Dessa forma, compreendemos que a
metodologia é o caminho que orienta o pesquisador a buscar a compreensão do objeto estudado.
Esta pesquisa se inscreve numa abordagem bibliográfica e descritiva, pois permite-nos entender
e responder às nossas indagações sobre os fundamentos das geometrias, é através dela que
podemos comprovar e demonstrar, teoremas e resultados da pesquisa, bem como, descrevê-las
à luz do referencial teórico.
Nos desdobramentos da pesquisa realizamos apresentações de seminários para o
orientador, uma vez na semana, no intuito de discutir as principais definições, demonstrações de
teoremas, possibilitando o desenvolvimento de novas habilidades e competências para
prosseguirmos e alcançar os objetivos desejados. Para isso, dentre as principais fontes
bibliográficas da pesquisa, alguns livros selecionados pelo orientador, como Andrade (2010),
Andrade (2013) e Andrade (2015). Além disso, foram feitas diversas consultas e pesquisas em
artigos publicados na internet, periódicos, dissertações e outros.
Resultados e Discussão
A validade (no sentido de consistência) dos axiomas da Geometria Euclidiana foi
levada a cabo por David Hilbert. A consistência é verificada apresentando-se um modelo onde a
geometria efetivamente se realiza e, neste caso, o espaço R² é um modelo aritmético para o
Plano Euclidiano, onde podemos verificar os axiomas de Hilbert, assim também, a esfera
redonda em R³ é o modelo aritmético para a Geometria Elíptica. Ficou mais ou menos
estabelecido entre 1832 (advento da Geometria Hiperbólica) e 1932 (axiomatização da
Geometria Rimanniana) que um sistema axiomático teria validade se existisse um "conjunto
numérico" no qual os axiomas poderiam ser verificados. Para tanto a Matemática deixou de ser
uma Ciência da Natureza, como era considerada até então e passou a ser um conhecimento
autônomo, uma criação intelectual, sem compromisso imediato e necessário com a realidade
física (ANDRADE, 2013).
O modelo geométrico consistente para a geometria elíptica é a esfera unitária
canônica, S². Essa geometria é fundamentada num grupo de axiomas que são verificáveis.
Compõem-se o grupo por: Axiomas de incidência, de congruência e de continuidade. Neste
modelo não há retas que são paralelas, e este axioma é enunciado na seguinte redação:
" Seja 𝑟𝜇 uma reta e A um ponto não pertencente á 𝑟𝜇 , então toda reta que passa
por A , a intersecta"
a intersecção é dupla, ou seja, em dois pontos. E o que corresponde a retas euclidianas são
grandes círculos ou círculos máximos e esta são chamados de geodésicas. Por exemplo, a linha
do equador é uma reta elíptica que divide o globo terrestre em dois hemisférios, e a distância
entre dois pontos elípticos, é a menor das determinações de comprimento de arco. Definimos
ângulos ou Lua como um conjunto obtido pela interseção de dois semiplanos positivos, dada
uma reta elíptica 𝑟𝜇 , o semiplano positivo, 𝐻𝜇 , definido por 𝑟𝜇 é a região formada por todos os
pontos u ∈ S², tais que <u, 𝜇> ≥ 0. Veja a configuração de uma Lua:
Figura 1: Lua 𝑳µ𝜼
É importante compreender a geometria dos espaços em que vivemos e suas regras.
Um triângulo elíptico, em uma esfera é definido por uma região limitada por três
segmentos esféricos (menores arcos das retas elípticas definidos pelos vértices u, v e w ∈ S²)
conforme configura na figura 2. Em todo triângulo elíptico, tem-se que a soma dos ângulos
internos excede 180º, diferentemente da geometria Euclidiana.
Teorema de Girard Seja 𝛥𝑢𝑣𝑤 um triângulo elíptico de vértices u, v e w. Se as
medidas dos ângulos determinados pelos vértices u, v e w são, respectivamente, α, β e γ, então
Área (𝛥𝑢𝑣𝑤 ) = α + β + γ –π
Corolário A soma das medidas dos ângulos internos dos ângulos do triângulo
elíptico é maior do que π.
Outro resultado importante em geometria elíptica são as leis dos senos e cossenos
para triângulos elípticos.
Lei dos senos e lei dos cossenos. Seja 𝛥𝑢𝑣𝑤 um triângulo elíptico. Se as medidas
dos lados opostos aos vértices u, v e w são, respectivamente, a, b, c, e as medidas dos ângulos
com vértices u, v e w são, respectivamente, α, β e γ, então
senα senβ
senγ
cosc−cosa.cosb
=
=
e cosγ =
.
sena senb
senc
sena.senb
Quando nos referimos a fenômenos de ilusão ótica, tais como,
uma longa estrada em que suas margens parecem encontrar-se no infinito, nas
diversas ilustrações de M. C. Escher (1898-1972) em que são retratadas
situações impossíveis, entre outras, podemos perceber que a Geometria
Euclidiana é um modelo da realidade não tão próximo das nossas sensações
quanto estamos acostumados a pensar. É nesse sentido, intuitivamente que
surge a geometria projetiva.
Ao olharmos aquela estrada longa em linha reta, em que suas
margens assumidas paralelas aparentam encontrar-se em um ponto afastado, Figura 2 Triângulo elíptico
estamos lidando com outro tipo especial de geometria, que tratamos neste projeto, que é a
Geometria Projetiva. Nesta geometria também não existem retas paralelas.
Conclusão
A pesquisa intitulada "Fundamentos das Geometrias Hiperbólica, Elíptica e Projetiva
nos possibilitou compreender as características históricas de suas construções. Entender
também que com a negação do Quinto Postulado de Euclides, desencadeariam anos e anos de
estudos feitos por grandes matemáticos como Carl Friederich Gauss (1777-1855), Johan Bolyai
(1802-1860), Nikolai Ivanovich Lobachewsky (1793-1856) e Bernhard Riemann (1826-1866).
Foram necessárias inúmeras tentativas e estratégias de demonstração via redução ao absurdo
até atingirem a compreensão do axioma, como independente dos outros.
Portanto, no ambiente em que vivemos a matemática nos ensina estratégias de
como nos apropriarmos de suas estruturas para melhor compreendermos o nosso universo
(inclusive sensorial).
Apoio
PIBIC - UFPI
Referências Bibliográficas
ANDRADE, Plácido; BARROS, Abdênago. Introdução à Geometria Projetiva. Coleção Textos
Universitários. Rio de Janeiro, SBM, 2010;
ANDRADE, Plácido. Introdução à Geometria Hiperbólica. Rio de Janeiro: SBM, 2013.
ANDRADE, Andrea Ferreira Faccioni de. Um estudo da geometria projetiva elíptica. Rio Claro,
2015. Dissertação de Mestrado.
HILBERT, David. Foundations of Geometry. Illinois: The Open Court Publishing, 1980.
Palavras-chave: Fundamentos; Geometria Elíptica e Geometria Projetiva.