1º Teste - 2012-13

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Mecânica e Ondas
1º Ano -2º Semestre
1º Teste
05/04/2013 – 18:30h
Duração do teste: 1:30h
Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas.
Identifique e numere todas as folhas da prova.
Problema 1
Um mergulhador salta de um penhasco para a água. A partir do momento em que o mergulhador entra na
água (na direcção vertical), este passa a estar sujeito à força de impulsão do meio (igual ao peso do volume
de fluido deslocado) e também a uma força de atrito considerável.
a) Considerando que a força de atrito é proporcional à velocidade com um coeficiente de atrito ,
escreva a equação diferencial que descreve o movimento do mergulhador no interior da água
(massa do mergulhador m = 80 kg, volume do mergulhador V = 0,08 m3, densidade da água
f = 1000 kg/m3).
b) Determine a velocidade limite do mergulhador em queda livre no interior da água.
c) Verifique que, nas condições particulares deste problema, o módulo da velocidade (direcção
vertical) do mergulhador pode ser descrito pela função
em que
é a velocidade
incial com que este entra na água (tendo em conta a equação diferencial encontrada na alínea a) e
verificando que a expressão
dada satisfaz essa equação). Determine, em função dos
parâmetros do problema, a expressão do tempo que o mergulhador levaria a atingir uma
velocidade igual a 20% da respectiva velocidade inicial.
Problema 2
Três acrobatas, cada um com uma massa m = 80 Kg
rolam, sem escorregar, ao longo de um plano inclinado
(inclinação
) suportados por uma estrutura
semelhante a uma superfície cilíndrica, cuja espessura
(contando com os acrobatas) pode ser considerada
desprezável em relação ao respectivo raio médio (raio
médio da estrutura + acrobatas: R = 0,8 m, massa da
estrutura M = 60 kg).
a) Admitindo que a massa dos acrobatas se
distribui de forma aproximadamente uniforme à
superfície da estrutura cilíndrica, calcule o
momento de inércia do conjunto correspondente à estrutura e aos três acrobatas.
b) Tendo em conta que o conjunto (acrobatas mais estrutura) rola sem escorregar ao longo do plano
inclinado, escreva a função de Lagrange do sistema em função do grau de liberdade x
correspondente à projecção perpendicular do centro de massa do sistema ao longo da rampa (note
que quando o sistema roda de um ângulo  o centro de massa respectivo desloca-se de uma
distância R).
c) Determine a equação de movimento do centro de massa do sistema e o valor da respectiva
aceleração linear. Se os acrobatas partirem do repouso no topo da rampa (h = 8 m) qual a
velocidade angular final do conjunto (acrobatas mais estrutura) ao atingirem o fim do plano
inclinado.
Problema 3
a) Mostre que num sistema de dois corpos o momento linear de cada um deles, no referencial do
centro de massa pode ser escrito na forma:
Em que
são as velocidades de cada um dos corpos no referencial do laboratório e  é a
“massa reduzida” do sistema, dada por:
Mostre que a energia cinética deste sistema no referencial do centro de massa é dada por
(sugestão: lembre-se da relação entre energia cinética e momento linear, aplicando-a a cada um
dos corpos do sistema no referencial do CM).
b) Utilizando o resultado da alínea anterior e determinando a posição do centro de massa do sistema
Terra-Sol, explique, justificando quantitativamente, porque é que o movimento deste sistema no
respectivo referencial do centro de massa pode ser descrito em boa aproximação como o
movimento da Terra em torno Sol (massa da Terra:
; massa do Sol:
;
distância média Terra-Sol:
; raio do Sol:
).
  2 . f 


F  ma


P  mv
 
W   F  dr
C

L
 
 ri  Pi
i
I 

 
N   ri  Fi
i
m R
i
2
i

F  U
1
T  mv 2
2
 dp
F
dt
L  T U
L d  L 
0
 
qi dt  qi 


dL
N
dt


L  I
TROT 
i

Mm 
F   G 2 er
r
2
T
1 2
I
2
Soluções:
Problema 1
a)
(eixo dos zz dirigido de cima para baixo).
b) Velocidade limite (constante)
c)
logo
Problema 2
a) Uma vez que toda a massa está distribuída uniformemente à mesma distância R do eixo de
rotação:
b)
c)
Ou, utilizando o princípio da conservação da energia:
Problema 3
a)
c.q.d.
(A)
(massa reduzida do sistema)
logo:
utilizando (A)
c.q.d.
b) A posição do centro de massa do sistema Sol-Terra num referencial cuja origem coincida com o
centro do Sol é dado por (considerando um eixo coincidente com o centro dos dois astros):
Devido à grande diferença entre as massas do Sol e da Terra (superior a 5 ordens de grandeza),
o centro de massa do sistema coincide praticamente com o centro do Sol e a massa reduzida do
sistema coincide praticamente com a massa da Terra. Logo, podemos descrever, em muito boa
aproximação, o movimento deste sistema, no referencial do centro de massa respectivo, como
o movimento da Terra em torno do Sol.