material linear - cap1 espaços vetoriais

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
do Rio Grande do Norte
Campus: Mossoró
Curso: Licenciatura Plena em Matemática
Disciplina: Introdução à Álgebra
Linear
Prof.: Robson Pereira de Sousa
Capítulo 1
Espaços Vetoriais
O principal objetivo deste capítulo é levar o aluno a compreender o conceito de espaço
vetorial de um ponto de vista axiomático, isto é, o conceito abstrato de espaço vetorial
como objeto com uma estrutura algébrica especí…ca. Além disso, serão vistos os conceitos
de subespaços vetoriais, dependência e independência linear, bases e dimensão de um
espaço vetorial e relações entre bases de um mesmo espaço vetorial. O texto aqui apresentado em quase toda sua totalidade foi extraido de [1] com alguma adaptações. Para
um tratamento mais completo recomendamos [1] e [2].
1.1
Espaços Vetoriais
Um espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) é um conjunto não-vazio V
munido com duas operações: adição
!;
V
7! u + v
+: V V
(u; v)
e multiplicação por escalar
: R V
(a; u)
! V
7
!
au
tal que as seguintes propriedades valem:
1. u + (v + w) = (u + v) + w, para todos u; v; w 2 V .
2. Existe 0 2 V tal que u + 0 = u, para todo u 2 V .
3. Para cada u 2 V , existe
u 2 V tal que u + ( u) = 0.
4. u + v = v + u, para todos u; v 2 V .
5. (a + b)u = au + bu, para todos a; b 2 R e u 2 V .
6. a(u + v) = au + av, para todos u; v 2 V e a 2 R.
1
2
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
7. a(bu) = (ab)u, para todos a; b 2 R e u 2 V .
8. 1 u = u, para todo u 2 V .
Observações 1.1
1. Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independente de sua natureza. Pode parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser,
o fato de se chamar de vetores os polinômios (quando for constituído de polinômios),
as matrizes (quando V for constituído por matrizes) os números (quando V for um
conjunto numérico), e assim por diante. A justi…cativa está no fato de as operações
de adição e multiplicação por escalar realizadas como esses elementos de natureza
tão distintas se comportarem de forma idêntica, como se estivéssemos trabalhando
com os próprios vetores do R2 ou do R3 . Assim, a familiaridade que temos com os
vetores do R2 e do R3 terá continuidade nesses conjuntos, chamando seus elementos
também de vetores.
2. Se na de…nição acima tivéssemos tomado para escolares o conjunto C dos números
complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Daqui por diante, salvo referência
expressa em contrário, serão considerados somente espaços vetoriais reais. Assim
quando disser que V é um espaço vetorial, deve …car subentendido que V é um
espaço vetorial sobre o conjunto R, dos números reais.
3. Note que R com as operações usuais é um espaço vetorial sobre R.
4. Na Proposição 1:7, provaremos que
u
u=
1 u e podemos escrever
v = u + ( v);
para todos u; v 2 V , para representar a diferença entre elementos de V . Os elementos de V serão chamados, por conveniência, de vetores.
5. As propriedades associativa e comutativa da adição de vetores implicam que a soma
de um certo número de vetores é independente da maneira pela qual esses vetores
são combinados ou associados. Por exemplo, se u, v, w e t são vetores quaisquer
em V , então
(u + v) + (w + t) = [v + (u + w)] + t
e essa pode ser escrita sem confusão como
u + v + w + t:
Exemplo 1.2 O conjunto V = R2 = f(x1 ; x2 ) : x; y 2 Rg é interpretado como sendo o
plano cartesiano xOy. Se u = (x1 ; x2 ) e u = (y1 ; y2 ) 2 V , então V com as operações de
adição
u + v = (x1 + y1 ; y1 + y2 )
1.1. ESPAÇOS VETORIAIS
3
e multiplicação por escalar
au = (ax1 ; ax2 )
é um espaço vetorial sobre R.
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.3 O conjunto V = R3 = f(x1 ; x2 ; x3 ) : x1 ; x2 ; x3 2 Rg é interpretado como
sendo o espaço cartesiano tridimensional xyz. Se u = (x1 ; x2 ; x3 ) e u = (y1 ; y2 ; y3 ) então
V com as operações de adição
u + v = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; x3 + y3 )
e multiplicação por escalar
au = (ax1 ; ax2 ; ax3 );
é um espaço vetorial sobre R.
Solução. Fica como exercício. Análogo ao exercício anterior.
Exemplo 1.4 Sejam
V = R2 = f(x1 ; x2 ) : xi 2 Rg; u = (x1 ; x2 ) 2 V e v = (y1 ; y2 ) 2 V:
Veri…que se V com as operações de adição
u + v = (x1 + y1 ; x2 + y2 )
e multiplicação por escalar
au = (ax1 ; x2 )
é um espaço vetorial sobre R.
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.5 Seja V o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 2, isto é,
(
!
)
a b
V =
: a; b; c e d 2 R
(1.1)
c d
!
!
a b
e f
Se A =
2V eB=
2 V , então V , com as operações de adição
c d
g h
!
!
!
a b
e f
a+e b+f
A+B=
+
=
c d
g h
c+g d+h
e multiplicação por escalar
A=
é um espaço vetorial sobre R.
a
c
b
d
!
4
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Solução.Em Sala!
Exemplo 1.6 Sejam S um conjunto não-vazio e
V = F(S; R) = ff : S ! R : f é uma funçãog:
o conjunto de todas as funções de valores reais. Se f 2 V e g 2 V , então V , com as
operações de adição f + g dada por
(f + g)(x) = f (x) + g(x); 8 x 2 S;
e multiplicação por escalar af dada por
(af )(x) = af (x); 8 x 2 S;
é um espaço vetorial sobre R.
Solução. Em Sala!
Proposição 1.7 Seja V um espaço vetorial sobre R. Então:
1. Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro).
2. Cada vetor u 2 V admite um único vetor simétrico
u.
3. Existe um único x 2 V tal que u + x = v, para todos u; v 2 V .
4. a0 = 0, para todo a 2 R e 0 2 V .
5. 0u = 0, para todo u 2 V e 0 2 R.
6. Se au = 0, então a = 0 ou u = 0, com a 2 R e u 2 V .
7.
u = ( 1)u, para todo u 2 V .
8. ( a)u = a( u) =
(au), para todo a 2 R e u 2 V .
Prova. Vamos provar apenas os itens (1) e (4). Suponhamos que exista outro vetor
00 2 V tal que u + 00 = u, para todo u 2 V . Então
0 = 0 + 00 = 00 :
Como u + 0 = u, para todo u 2 V , temos, em particular, que 0 + 0 = 0. Logo,
a0 = a(0 + 0)
= a0 + a0:
Portanto, pelo item (1), a0 = 0.
1.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
Observação 1.8 Seja w =
5
u + u. Então
w + w = ( u + u) + ( u + u) =
=
u + (0 + u) =
u + ([u + ( u)] + u)
u + u = w:
Logo,
0 = w + ( w) = [w + w] + ( w) = w + [w + ( w)]
= w + 0 = w:
Portanto,
u + u = 0, para todo u 2 V . Além disso,
0 + u = [u + ( u)] + u = u + [ u + u]
= u + 0 = u;
isto é, 0 + u = u, para todo u 2 V:
1.2
Subespaços Vetoriais
Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto não-vazio de V . Dizemos
que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
1. W 6= ;
2. u + v 2 W , para todos u; v 2 W .
3. au 2 W , para todo a 2 R e u 2 W .
Observações 1.9
1. Qualquer subespaço W de V contém o vetor nulo 0, pois quando
a = 0, temos que
0 = 0u 2 W:
2. Pode ser provado que, se admitirmos essas duas propriedades em W , as oito propriedades de espaço vetorial são válidas em W . Dessa forma, W é também um
espaço vetorial com as propriedades herdadas de V .
3. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços, a saber, f0g e V , chamados de subespaços triviais ou impróprios. Os demais subespaços de V são chamados
de subespaços não-triviais ou próprios.
Exemplo 1.10 Sejam V = Rn e
W = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 V : x1 = 0g
= f(0; x2 ; : : : ; xn ) : x2 ; : : : ; xn 2 Rg:
Então W é um subespaço de V .
6
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.11 Sejam V = Rn
n
e
W = fA 2 V : At = Ag
o conjunto das matrizes simétricas. Então W é um subespaço de V .
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.12 Sejam V = F(R; R) o espaço vetorial de todas as funções reais e
W = ff 2 V : f ( x) = f (x); 8 x 2 Rg
o conjunto das funções pares. Então W é um subespaço de V .
Solução.Em Sala!
Exemplo 1.13 Sejam V = Rn e
W = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 V : x2 = x1 + 1g:
Então W não é um subespaço de V , pois
0 = (0; : : : ; 0) 2
= W:
Exemplo 1.14 Sejam V = R2 e
W = f(x1 ; x2 ) 2 V : x2 = jx1 jg:
Então W não é um subespaço de V , pois u = ( 1; 1) 2 W e v = (2; 2) 2 W mas
u + v = (1; 3) 2
= W:
Note que 0 = (0; 0) 2 W . Portanto, 0 2 W é condição necessária mas não su…ciente
para que W seja um subespaço de V .
Teorema 1.15 Seja V um espaço vetorial sobre R. Se W1 e W2 são subespaços de V ,
então W1 \ W2 é um subespaço de V .
Prova. Como W1 e W2 são subespaços, temos
0 2 W1 e 0 2 W2 ) 0 2 W1 \ W2 ) W1 \ W2 6= ;:
Dados u; v 2 W1 \ W2 e a 2 R. Como u; v 2 W1 \ W2 temos que u; v 2 W1 e u; v 2 W2 .
Assim, por hipótese,
u + v 2 W1 ; u + v 2 W2
e
au 2 W1 ; au 2 W2 :
Logo,
u + v 2 W1 \ W2 e au 2 W1 \ W2 :
Portanto, W1 \ W2 é um subespaço de V .
1.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
7
Exemplo 1.16 Sejam V = R3 ,
W1 = f(x; y; z) 2 V : x = 0g e W2 = f(x; y; z) 2 V : y = 0g
subespaços de V (prove isto!). Determine W1 \ W2 .
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.17 Sejam V = R2 2 ,
("
#
)
("
#
)
a 0
a b
W1 =
2 V : a; b; c 2 R e W2 =
2 V : a; b 2 R
c 0
0 d
subespaços de V (prove isto!). Determine W1 \ W2 .
Solução. Em Sala!
Pergunta. W1 [ W2 é um subespaço de V ? A resposta dessa pergunta é, em geral,
não. De fato, sejam V = R2 ,
W1 = f(x; y) 2 V : y = 0g e W2 = f(x; y) 2 V : x = 0g
subespaços de V (prove isto!). Então W1 [ W2 não é um subespaço de V , pois
u = (1; 0) 2 W1 [ W2 e v = (0; 1) 2 W1 [ W2
mas
u + v = (1; 1) 2
= W1 [ W2 :
Teorema 1.18 Seja V um espaço vetorial sobre R. Se W1 e W2 são subespaços de V ,
então o conjunto
W1 + W2 = fu1 + u2 : u1 2 W1 e u2 2 W2 g
é um subespaço de V .
Prova.Em Sala!
Exemplo 1.19 Sejam V = R3 ,
W1 = f(x; y; z) 2 V : x = 0g e W2 = f(x; y; z) 2 V : y = z = 0g
subespaços de V (prove isto!). Determine W1 \ W2 e W1 + W2 .
Solução. Em Sala!
Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 ; W2 subespaços de V . Dizemos que V é
decomposto em soma direta de W1 e W2 , em símbolos V = W1 W2 , se as seguintes
condições são satisfeitas:
8
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
1. V = W1 + W2 .
2. W1 \ W2 = f0g.
Exemplo 1.20 Sejam V = R3 ,
W1 = f(x; y; z) 2 V : x = 0g e W2 = f(x; y; z) 2 V : y = z = 0g
subespaços de V . Então, pelo Exemplo 1:19, V = W1
Exemplo 1.21 Sejam V = Rn
n
W2 .
,
W1 = fA 2 V : At = Ag e W2 = fA 2 V : At =
subespaços de V . Mostre que V = W1
Ag
W2 .
Solução. Em Sala!
1.3
Combinação Linear
Seja V um espaço vetorial sobre R. Um vetor u em V é uma combinação linear dos
vetores u1 ; : : : ; un em V se existirem escalares x1 ; : : : ; xn 2 R tais que
u = x 1 u1 +
+ x n un =
n
X
x i ui :
i=1
Exemplo 1.22 Consideremos no R2 os vetores v1 = (1; 0) e v2 = (2; 4). Vamos escrever
o vetor u = (2; 4) como combinação linerar dos vetores v1 e v2 :
Solução. Em Sala!
Teorema 1.23 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 ; : : : ; un vetores …xados em V .
Então o conjunto
( n
)
X
W = fx1 u1 +
+ xn un : x1 ; : : : ; xn 2 Rg =
x i ui : x i 2 R
i=1
é um subespaço de V .
Prova. É claro que W 6= ;, pois
0 = 0u1 +
+ 0un 2 W:
Dados u; v 2 W e a 2 R. Como u; v 2 W temos que existem
x 1 ; : : : ; x n ; y1 ; : : : ; y n 2 R
1.3. COMBINAÇÃO LINEAR
9
tais que
u = x 1 u1 +
+ x n un e v = y 1 u1 +
+ y n un :
Logo,
u + v = (x1 u1 +
+ xn un ) + (y1 u1 +
+ y n un )
= (x1 + y1 )u1 +
+ (xn + yn )un 2 W
au = a(x1 u1 +
+ x n un )
e
= (ax1 )u1 +
+ (axn )un 2 W:
Portanto, W é um subespaço de V .
O subespaço
W = fx1 u1 +
+ xn un : x1 ; : : : ; xn 2 Rg =
( n
X
i=1
x i ui : x i 2 R
de V é chamado o subespaço gerado por u1 ; : : : ; un . Mais geralmente, seja
junto não-vazio de V . Então
( k
)
X
W =
x i ui : x i 2 R e ui 2
)
um subcon-
i=1
é o subespaço de V gerado por , onde
por
é o conjunto de geradores de W , e será denotado
W = [ ]:
Quando
= fu1 ; : : : ; un g, denotamos [ ] por [u1 ; : : : ; un ].
Exemplo 1.24 Sejam V = R3 e e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0) e3 = (0; 1; 0), vetores em
V . Determine W = [e1 ; e2 ; e3 ].
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.25 Sejam V = R2 2 e
"
#
"
#
"
#
"
#
1 0
0 1
0 0
0 0
E11 =
; E12 =
; E21 =
; E22 =
0 0
0 0
1 0
0 1
vetores em V . Determine W = [E11 ; E12 ; E21 ; E22 ].
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.26 Sejam V = P3 (R) e
pi = xi ; i = 0; 1; 2; 3;
vetores em V . Determine W = [p0 ; p1 ; p2 ; p3 ].
Solução. Em Sala!
10
1.4
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Dependência e Independência Linear
Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 ; : : : ; un 2 V . Dizemos que os vetores
u1 ; : : : ; un são linearmente dependentes (LD) se existirem escalares x1 ; : : : ; xn 2 R, não
todos iguais a 0, tais que
x 1 u1 +
+ xn un = 0:
(1.2)
Ou, equivalentemente, a equação vetorial (1.2) admite uma solução não-nula. Caso contrário, dizemos que os vetores u1 ; : : : ; un são linearmente independentes (LI) ou, equivalentemente, a equação vetorial (1.2) admite apenas a solução nula.
Mais geralmente, sejam V um espaço vetorial sobre R e um subconjunto não-vazio
de V . Dizemos que é LI se para quaisquer vetores distintos u1 ; : : : ; un em , temos que
x 1 u1 +
+ x n un = 0 ) x 1 =
isto é, todo subconjunto …nito de
= xn = 0;
é LI. Caso contrário,
é LD.
Exemplo 1.27 Sejam V = R2 e
u1 = (2; 1) e u2 = (1; 3)
vetores em V . vamos veri…car que u1 e u2 são LI.
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.28 Sejam V = R3 e
u1 = (3; 0; 3); u2 = ( 1; 1; 2); u3 = (4; 2; 2); u4 = (2; 1; 1)
vetores em V . Veri…que se os vetores u1 , u2 , u3 e u4 são LI ou LD.
Solução. Para resolver esse problema devemos resolver a equação vetorial
x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 + x4 u4 = 0;
onde 0 = (0; 0; 0) 2 V . Mas isto é equivalente a resolver o sistema homogêneo
8
>
< 3x1 x2 + 4x3 + 2x4 = 0
x2 + 2x3 + x4 = 0 :
>
:
3x1 + 2x2 2x3 + x4 = 0
Para resolver o sistema, vamos considerar a matriz dos coe…cientes do sistema e reduzí-la
à forma em escada
2
3
2
3
3
1
4 2
1 0 2 0
6
7
6
7
A=4 0
! R = 4 0 1 2 0 5:
1
2 1 5!
3
2
2 1
0 0 0 1
1.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
11
Logo, nosso sistema é equivalente ao sistema
Escolhendo, x3 = c 2 R, temos que
8
>
< x1 + 2x3 = 0
x2 + 2x3 = 0 :
>
:
x4 = 0
S = f( 2c; 2c; c; 0) : c 2 Rg
é o conjunto solução do sistema. Em particular, se c = 1, então ( 2; 2; 1; 0) é uma
solução não-nula do sistema. Portanto, os vetores u1 , u2 , u3 e u4 são LD, isto é,
2u1
2u2 + u3 + 0u4 = 0:
Teorema 1.29 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 ; : : : ; un 2 V . O conjunto
fu1 ; : : : ; un g é LD se, e somente se, um desses vetores for combinação linear dos outros.
Prova. Suponhamos que o conjunto fu1 ; : : : ; un g seja LD. Então, por de…nição, existem
escalares x1 ; : : : ; xn 2 R, não todos nulos, tais que
x 1 u1 +
+ xn un = 0:
Como os escalares x1 ; : : : ; xn não são todos nulos temos que existe i 2 f1; : : : ; ng tal que
xi 6= 0. Logo,
ui = (
x1
)u1 +
xi
xi 1
)ui
xi
+(
1
+(
xi+1
)ui+1 +
xi
+(
xn
)un :
xi
Reciprocamente, suponhamos que um desses vetores seja combinação linear dos outros,
digamos
uj = x 1 u1 +
+ x j 1 uj
1
+ xj+1 uj+1 +
+ x n un :
Logo, a equação vetorial
x 1 u1 +
+ x j 1 uj
1
+ ( 1)uj + xj+1 uj+1 +
+ xn un = 0.
admite pelo menos uma solução não-nula, a saber, (x1 ; : : : ; xj 1 ; 1; xj+1 ; : : : ; xn ). Portanto, o conjunto fu1 ; : : : ; un g é LD
Exemplo 1.30 Os vetores v1 = (1; 2; 3) e v2 = (2; 4; 6) são LD, pois v1 = 21 v2 ou
v2 = 2v1 . Por outro lado, os vetores v1 = (1; 2; 3) e v2 = (2; 1; 5) são LI, pois v1 6= kv2
para todo k 2 R.
12
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
1.5
Bases e Dimensão
Seja V um espaço vetorial sobre R. Um conjunto = fu1 ; : : : ; un g de vetores em V
é uma base de V se as seguintes condições são satisfeitas:
1.
= fu1 ; : : : ; un g é LI.
2. V = [ ] = [u1 ; : : : ; un ]:
Ou, equivalentemente,
V = [u1 ]
[u2 ]
Mais geralmente, um subconjunto não-vazio
V.
[un ]:
de V é uma base de V se
é LI e
gera
Observação 1.31 Pode ser provado, que todo espaço vetorial V 6= f0g possui uma base.
Exemplo 1.32 Seja V = R3 . É fácil veri…car que o conjunto
= fe1 ; e2 ; e3 g
é uma base …nita de V , a qual é chamada de base canônica de V .
Exemplo 1.33 Seja V = R2 . Vamos veri…car que o conjunto
= f(1; 1); ( 1; 0)g
é uma base …nita de V .
Solução. Em Sala!
Seja V um espaço vetorial sobre R. Dizemos que V é de dimensão …nita se ele possui
uma base …nita, por exemplo, V = R3 é de dimensão …nita. Caso contrário, V é de
dimensão in…nita.
Teorema 1.34 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 ; : : : ; un vetores em V tais que
V = [u1 ; : : : ; un ]:
Então, dentre esses vetores, podemos extrair uma base de V .
Prova. Ver [1]
Exemplo 1.35 Sejam V = R3 e u1 = (1; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 = (0; 0; 1), u4 = (1; 1; 1)
vetores em V tais que
V = [u1 ; u2 ; u3 ; u4 ]:
Determine dentre esses vetores uma base de V .
1.5. BASES E DIMENSÃO
13
Solução. Para resolver esse problema devemos veri…car se os vetores u1 ; u2 ; u3 e u4 são
LI ou LD, isto é, veri…car se a equação vetorial
x 1 u1 + x 2 u2 + x 3 u3 + x 4 u4 = 0
tem solução nula ou não, onde 0 = (0; 0; 0) 2 V .
o sistema homogêneo
8
>
< x1 + x2 + x4
x2 + x4
>
:
x3 + x4
Mas isto é equivalente a determinar se
=0
=0
=0
tem solução. É fácil veri…car que
S = f(0; c; c; c) : c 2 Rg
é o conjunto solução do sistema. Em particular, se c = 1, então (0; 1; 1; 1) é uma
solução não-nula do sistema. Portanto, os vetores u1 , u2 , u3 e u4 são LD e
u4 = 0u1 + u2 + u3 :
Assim,
V = [u1 ; u2 ; u3 ]
e o conjunto
= fu1 ; u2 ; u3 g é uma base de V (prove isto!).
Teorema 1.36 Seja V um espaço vetorial sobre R tal que
V = [u1 ; : : : ; um ]:
Então todo conjunto com mais de m vetores em V é LD. Assim, todo conjunto de vetores
LI em V possui no máximo m vetores.
Prova. Ver [1]
Corolário 1.37 Seja V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R. Se
fu1 ; : : : ; um g e fv1 ; : : : ; vn g
são duas bases quaisquer de V , então m = n.
Prova. Como V = [u1 ; : : : ; um ] e fv1 ; : : : ; vn g é um conjunto LI temos, pelo Teorema
1.36, que n m. Por outro lado, como V = [v1 ; : : : ; vn ] e fu1 ; : : : ; um g é um conjunto
LI temos, pelo Teorema 1.36, que m n. Portanto, m = n.
Seja V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R. A dimensão de V é o número
de elementos em alguma base de V e será denotada por dim V ou dimR V . Note, pelo
Corolário 1.37, que essa de…nição não depende da base de V , isto é, está bem de…nida.
Quando V = f0g, convencionamos que dim V = 0.
Sejam V um espaço vetorial sobre R e = fu1 ; : : : ; un g um subconjunto qualquer de
vetores de V . O posto de é de…nido por
posto( ) = dim[ ]:
14
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Lema 1.38 Seja V um espaço vetorial sobre R. Seja fu1 ; : : : ; um g um subconjunto LI
em V . Então u 2 V [u1 ; : : : ; um ] se, e somente se, fu1 ; : : : ; um ; ug é um conjunto LI.
Prova. Sejam x1 ; : : : ; xm ; y escalares em R tais que
x 1 u1 +
+ xm um + yu = 0.
Então y = 0, pois se y 6= 0, então
u=(
x1
)u1 +
y
+(
xm
)um ) u 2 [u1 ; : : : ; um ];
y
o que é impossível. Assim, y = 0 e
x 1 u1 +
+ xm um = 0.
Logo, por hipótese,
x1 =
= xm = 0.
Portanto, fu1 ; : : : ; um ; ug é um conjunto LI.
Teorema 1.39 Sejam V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R e W um subespaço de V . Então todo conjunto de vetores LI em W é parte de uma base de W (ou
seja, pode ser completado até formar uma base de V ).
Prova. Seja fu1 ; : : : ; um g um conjunto de vetores LI em W . Se
W = [u1 ; : : : ; um ];
acabou. Caso contrário, existe pelo Lema 1.38
um+1 2 W
[u1 ; : : : ; um ] tal que fu1 ; : : : ; um ; um+1 g
é LI em W . Se
W = [u1 ; : : : ; um ; um+1 ];
acabou. Caso contrário, existe pelo Lema 1.38
um+2 2 W
[u1 ; : : : ; um ; um+1 ] tal que fu1 ; : : : ; um ; um+1 ; um+2 g
é LI em W . Continuando dessa maneira (em no máximo dim V
conjunto
fu1 ; : : : ; um ; um+1 ; um+2 ; : : : ; un g;
1 etapas), obtemos o
que é uma base de W .
Corolário 1.40 Seja V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R. Se W é um
subespaço próprio de V , então dim W < dim V . Além disso, se dim V = n, então todo
conjunto com n vetores LI em V é uma base de V .
1.5. BASES E DIMENSÃO
15
Prova. Como W 6= f0g temos que existe u em W com u 6= 0. É claro que fug é um
conjunto LI em W . Assim, pelo Teorema 1.39, existe uma base de W contendo u e no
máximo dim V elementos. Logo, dim W dim V . Como W V temos que existe v 2 V
tal que v 2
= W . Assim, acrescentando v a uma base de W , obtemos um conjunto LI para
V . Portanto, dim W < dim V .
Exemplo 1.41 Seja V = R3 . Veri…que se os vetores (1; 1; 0) e (0; 1; 1) é parte de uma
base de V .
Solução. Para resolver esse problema devemos veri…car se os vetores (1; 1; 0) e (0; 1; 1)
são LI, isto é, resolver a equação vetorial
x1 (1; 1; 0) + x2 (0; 1; 1) = (0; 0; 0):
Mas isto é equivalente a veri…car se o sistema homogêneo
8
>
x1 = 0
<
x1 + x2 = 0
>
:
x2 = 0
tem solução. É fácil veri…car que x1 = x2 = 0. Logo, os vetores (1; 1; 0) e (0; 1; 1) são LI.
Portanto, os vetores (1; 1; 0); (0; 1; 1) é parte de uma base de V . Agora, para determinar
u = (b1 ; b2 ; b3 ) 2 V
[(1; 1; 0); (0; 1; 1)];
devemos primeiro encontrar os vetores u = (b1 ; b2 ; b3 ) tais que
x1 (1; 1; 0) + x2 (0; 1; 1) = u;
isto é, resolver o sistema não-homogêneo
8
>
x 1 = b1
<
x 1 + x 2 = b2 :
>
:
x 2 = b3
Logo, o vetor u = (b1 ; b2 ; b3 ) 2 V é combinação linear dos vetores (1; 1; 0) e (0; 1; 1) se, e
somente se, b2 = b1 + b3 . Portanto,
u = (b1 ; b2 ; b3 ) 2 V
[(1; 1; 0); (0; 1; 1)] , b2 6= b1 + b3 :
Em particular,
u = (1; 1; 1) 2 V
[(1; 1; 0); (0; 1; 1)]:
Assim, os vetores (1; 1; 0), (0; 1; 1) e (1; 1; 1) são LI em V . Como dim V = 3 temos que
f(1; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 1; 1)g
é uma base de V .
16
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Teorema 1.42 Seja V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R. Se W1 e W2 são
subespaços de V , então
dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2
dim(W1 \ W2 ):
Prova. Ver [1]
Exemplo 1.43 Sejam V = R4 ,
W1 = f(x; y; z; t) 2 V : y + z + t = 0g
e
W2 = f(x; y; z; t) 2 V : x + y = 0 e z
2t = 0g:
subespaços de V .
1. Determine uma base de W1 + W2 e dim(W1 + W2 ).
2. V é soma direta de W1 e W2 ?
Solução. Note que
W1 = f(x; y; z; t) 2 V : y + z + t = 0g
= f(x; y; z; y
z) 2 V : x; y; z 2 Rg
= f(x; 0; 0; 0) + (0; y; 0; y) + (0; 0; z; z) : x; y; z 2 Rg
= [(1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 1); (0; 0; 1; 1)]:
e dim W1 = 3. De modo análogo, mostra-se que
W2 = [(1; 1; 0; 0); (0; 0; 2; 1)]
e dim W2 = 2. Agora, para determinar uma base de W1 +W2 , podemos escalonar a matriz
2
3
2
3
1
0 0
0
1 0 0 0
6
7
6
7
6 0
6 0 1 0 0 7
1 0
1 7
6
7
6
7
6 0
7!
6 0 0 1 0 7
!
0
1
1
6
7
6
7
6
7
6
7
1
1
0
0
0
0
0
1
4
5
4
5
0
0 2
1
0 0 0 0
Portanto, o conjunto
= f(1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 1); (0; 0; 1; 1); (1; 1; 0; 0)g
é uma base de W1 + W2 e dim(W1 + W2 ) = 4. Assim, V = R4 = W1 + W2 , pois
W1 + W2 V . Como
dim(W1 \ W2 ) = dim W1 + dim W2
= 3+2
4=1
dim(W1 + W2 )
1.5. BASES E DIMENSÃO
17
temos que V não é soma direta de W1 e W2 . Note que, para determinar uma base de
W1 \ W2 basta resolver o sistema
8
>
< y+z+t=0
x+y =0 :
>
:
z 2t = 0
Assim, W1 \ W2 = [(3; 3; 2; 1)].
Exemplo 1.44 Sejam V = R3 ,
W1 = [(1; 0; 1); (0; 1; 2)] e W2 = [(1; 2; 3) ; (1; 1; 1)] :
subespaços de V .
1. Determine uma base de W1 \ W2 e a dim(W1 \ W2 ).
2. V é soma direta de W1 e W2 ?
Solução. É fácil veri…car que dim W1 = 2 e dim W2 = 2. Agora, para determinar uma
base para W1 \ W2 , devemos primeiro determinar os vetores u = (x; y; z) em R3 que estão
nos subespaços W1 e W2 , isto é, escalonar as matrizes
2
3
2
3
.
.
1 0 .. x
1
1 .. x
6
7
6
7
..
6 0 1 ... y 7 e 6 2
7:
1
.
y
4
5
4
5
..
..
1 2 . z
3
1 . z
Assim,
e
2
6
6
4
2
.
1 0 .. x
.
0 1 .. y
.
1 2 .. z
3
.
1 .. x
.
1 .. y
.
1 .. z
3
1
6
6 2
4
3
7
7!
5
7
7!
5
Logo, pelo item 2: das Observações ??,
W1 = f(x; y; z) 2 V : x
2
.
1 0 ..
6
..
!6
4 0 1 .
.
0 0 .. x
2
.
1 0 ..
6
..
!6
4 0 1 .
.
0 0 ..
7
7
5
y
2y + z
x+y
3
2x y
3
5x 2y+3z
3
2y + z = 0g e W2 = f(x; y; z) 2 V :
Finalmente, basta resolver o sistema
(
3
x
3
7
7:
5
5x
2y + 3z = 0g:
x 2y + z = 0
:
5x 2y + 3z = 0
Assim, W1 \ W2 = [(1; 2; 3)] e dim(W1 \ W2 ) = 1. Portanto, V não é soma direta de W1
e W2 mas V = W1 + W2 , pois
dim(W1 + W2 ) = 2 + 2
1 = 3 = dim V e W1 + W2
V:
18
1.6
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Mudança de Bases
Seja V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R. Uma base ordenada de V é
uma seqüência …nita de vetores LI que gera V e será denotada por
(u1 ; : : : ; un ) ou fu1 ; : : : ; un g
Se a seqüência u1 ; : : : ; un é uma base ordenada de V , então
fu1 ; : : : ; un g
é uma base de V .
Observação 1.45 É importante destacar as principais diferenças entre seqüência e conjunto de vetores: a primeira é a ordem - no conjunto não importa a ordem dos elementos
enquanto na seqüência a ordem é importante - no conjunto os elementos são todos distintos enquanto na seqüência todos podem ser iguais.
Teorema 1.46 Sejam V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R e = fu1 ; : : : ; un g
uma base ordenada de V . Então todo vetor u 2 V pode ser escrito de modo único sob a
forma:
u = x 1 u1 +
+ x n un :
Prova. (Existência) Como u 2 V = [ ] temos que existem escalares x1 ; : : : ; xn em R tais
que
u = x 1 u1 +
+ x n un :
(Unicidade) Suponhamos, também, que
u = y 1 u1 +
+ y n un :
Então
0=u
Como
é LI temos que xi
u = (x1
y1 )u1 +
+ (xn
yn )un :
yi = 0, i = 1; : : : ; n. Portanto, xi = yi , i = 1; : : : ; n.
Os escalares x1 ; : : : ; xn são chamados as coordenadas (ou componentes) do vetor u em
relação à base ordenada e será denotada por
2
3
x1
6 . 7
[u] = 4 .. 5 :
xn
chamaremos ainda u = (x1 ; x2 ;
Note que
; xn ) de vetor componente de u em relação a base :
[u + v] = [u] + [v] e [au] = a[u] ; 8 u; v 2 V; a 2 R:
1.6. MUDANÇA DE BASES
19
Exemplo 1.47 Ssabendo que
= f(1; 2; 3); (0; 1; 2); (0; 0; 1)g
é uma base ordenada de V . Vamos determinar
1. A matriz-coordenada e o vetor-coordenada do vetor v = (5; 4; 2):
2. O vetor v 2 R3 cujo vetor coordenada em relação a
é v = (2; 3; 4).
Solução. Em sala!
Exemplo 1.48 Sejam V = R3 e
= f(1; 0; 1); (1; 1; 1); (1; 0; 0)g
uma base ordenada de V . Determine [(a; b; c)] .
Solução. Para resolver esse problema devemos encontrar x1 ; x2 ; x3 2 R tais que
(a; b; c) = x1 (1; 0; 1) + x2 (1; 1; 1) + x3 (1; 0; 0);
isto é, resolver o sistema não-homogêneo
8
>
< x1 + x2 + x3 = a
x2 = b :
>
:
x1 + x2 = c
É fácil veri…car que x1 = b
c, x2 = b e x3 = a
2
2b + c. Portanto,
3
b c
6
7
[(a; b; c)] = 4
b
5:
a 2b + c
Sejam V um espaço vetorial de dimensão …nita sobre R,
= fu1 ; : : : ; un g e
0
= fv1 ; : : : ; vn g
duas bases ordenadas de V . Então, pelo Teorema 1.46, todo vetor u 2 V pode ser escrito
de modo único sob a forma
(
u = x 1 u1 +
+ x n un
(1.3)
u = y1 v1 +
+ yn vn :
Assim,
2
3
2
x1
6 . 7
6
[u] = 4 .. 5 e [u] 0 = 4
xn
3
y1
.. 7
. 5:
yn
20
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
Como vj 2 V , para cada j = 1; 2; : : : ; n, temos que existem únicos aij 2 R tais que
v1 = a11 u1 +
..
.
..
.
..
.
+ an1 un =
..
.
..
..
.
.
vn = a1n u1 +
..
.
n
P
ai1 ui
i=1
..
.
+ ann un =
..
.
n
P
(1.4)
ain ui :
i=1
Logo, pela Equação (1.3), temos que
u = y1 v1 +
+ yn vn
n
n
X X
=
yj (
aij ui )
=
j=1
n
X
i=1
n
X
(
aij yj )ui :
i=1 j=1
Assim, pela unicidade das coordenadas, temos que
x1
..
.
xn
Em forma matricial
=
..
.
=
a11 y1
..
.
an1 y1 +
3 2
x1
6 .. 7 6
4 . 5=4
2
xn
Fazendo
+
.. . .
.
.
a11
..
.
..
a11
0
6 ..
[I] = 4 .
.
ann
..
an1
obtemos
a1n yn
..
.
ann yn :
32
a1n
.. 7 6
. 54
an1
2
+
..
.
+
.
3
y1
.. 7
. 5:
yn
3
a1n
.. 7
. 5;
ann
0
[u] = [I] [u] 0 :
0
A matriz [I] é chamada a matriz de mudança de base da base 0 para a base .
0
Comparando [I] com a equação (1.4), notamos que essa matriz é obtida colocando as
coordenadas em relação à base de vj na j-ésima coluna.
Observação 1.49 A matriz [I]
0
é invertível, pois para cada i = 1; 2; : : : ; n, temos que
vi = ai1 u1 + ai2 u2 +
+ ain un =
n
X
aij uj
(1.5)
bjk vk :
(1.6)
j=1
e para cada j = 1; 2; : : : ; n, temos que
uj = bj1 v1 + bj2 v2 +
+ bjn vn =
n
X
k=1
1.6. MUDANÇA DE BASES
21
0
Fazendo A = [aij ] e B = [bjk ], temos que [I] = At e [I] 0 = Bt . Substituindo a equação
(1:6) na equação (1:5), temos que
!
!
n
n
n
n
X
X
X
X
vi =
aij
bjk vk =
aij bjk vk :
j=1
k=1
k=1
j=1
Como fv1 ; : : : ; vn g é uma base de V temos que
n
X
j=1
aij bjk =
ik
) AB = In :
Portanto,
0
[I] 0 [I] = Bt At = (AB)t = (In )t = In ) [I]
Exemplo 1.50 Sejam V = R2 ,
de V . Determine [(5; 8)] :
= f(2; 1); (3; 4)g e
0
0
0
= ([I] ) 1 :
= fe1 ; e2 g duas bases ordenadas
Solução. Em Sala!
Exemplo 1.51 Sejam V = R2 , = f(1; 2); (3; 6)g e
matriz de mudança de base da base para a base 0 é
"
#
1
1
[I] 0 =
:
1
1
Determine a base
0
0
duas bases ordenadas de V . A
.
Solução. Em Sala!
Bibliogra…a
[1] ANDRADE, L. N. de, Introdução à Álgébrica Linear, Ed. UFPB 2007.
[4] BOLDRINI, J. L. et al, Álgebra Linear, 3:a Edição, Ed. Harbra Ltda, 1986.