slides - divisão de engenharia mecânica
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Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/∼denise [email protected] 2o. semestre/2013 Princípios de Estatística Probabilidade × Estatística Probabilidade POPULAÇÃO Distribuições de probabilidades (conhecidas) – utilizadas para calcular probabilidades de eventos AMOSTRA Estatística Dados coletados – utilizados para estimar probabilidades, tomar decisões, fazer previsões Princípios de Estatística Populações e Amostras População: totalidade das observações sobre as quais temos interesse. Finita: – altura dos alunos do ITA – tamanho dos peixes no lago do CTA Infinita: – temperatura em SJC medida a partir de hoje – profundidade do lago medida em todos os locais possíveis Nota: Às vezes, populações finitas podem ser consideradas infinitas (N → ∞). Exemplo: População de todos os tempos de duração de um determinado tipo de bateria automotiva produzida no país. Princípios de Estatística Populações e Amostras População: Seja X uma v.a. tal que X ∼ fX (x). Cada observação na população corresponde a um valor x assumido por X . Diz-se: População fX (x): População binomial: População normal: ... X ∼ fX (x) X ∼ Bin(n,p) X ∼ N(µ, σ) Os parâmetros que definem as populações (f.d.p.) são desconhecidos, a menos que se observe toda a população! ... normalmente inviável... Princípios de Estatística Populações e Amostras População: Seja X uma v.a. tal que X ∼ fX (x). Cada observação na população corresponde a um valor x assumido por X . Diz-se: População fX (x): População binomial: População normal: ... X ∼ fX (x) X ∼ Bin(n,p) X ∼ N(µ, σ) Os parâmetros que definem as populações (f.d.p.) são desconhecidos, a menos que se observe toda a população! ... normalmente impossível ou inviável... Princípios de Estatística Populações e Amostras – Queremos chegar a uma determinada conclusão (inferência) a respeito de uma população quando é impossível ou inviável observar todos os indivíduos da população. Amostra: Consiste em um subconjunto da população. Inferências válidas são construídas apenas a partir de uma amostra representativa: – Observações realizadas de forma aleatória e independentemente. Princípios de Estatística Populações e Amostras Amostra: Queremos uma amostra de tamanho n a partir de uma população fX (x). Seja a v.a. Xi = i-ésima observação desta população, para i = 1, . . . , n. Temos: X1 , x1 , X2 , x2 , ... ... Xn xn : a.a. de fX (x) : valores observados X1 , X2 , . . . , Xn são i.i.d. fX (x) e f(x1 , . . . , xn ) = fX (x1 ) · . . . · fX (xn ) é f.d.p. conjunta Princípios de Estatística Populações e Amostras Suponha que queremos chegar a uma conclusão a respeito da proporção p da população brasileira que tem acesso à internet em casa. – Impossível entrevistar todas as pessoas para calcular o parâmetro p! – Coletamos uma a.a. X1 , X2 , . . . , Xn – A partir da amostra calculamos a quantidade p̂ = proporção na amostra – p̂ é então utilizada para inferência da proporção verdadeira p Nota: p̂ = g (x1 , x2 , . . . , xn ) valor de uma v.a. P varia de amostra a amostra chamada estatística: qualquer função de v.a.’s que formam uma a.a. Princípios de Estatística Estatísticas Importantes Média Amostral: X Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma a.a. de tamanho n. A média amostral é definida pela estatística (também uma v.a.): Pn X n = n1 i=1 Xi Nota: Para uma determinada a.a. X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn , temos: xn = n 1X xi n i=1 Princípios de Estatística Estatísticas Importantes Variância Amostral: S 2 Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma a.a. de tamanho n. A variância amostral é definida pela estatística (também uma v.a.): n 1 X (Xi − X )2 n−1 i=1 n X 1 = n Xi2 − n(n − 1) Sn2 = i=1 n X !2 Xi i=1 (Demonstração) Nota: Para uma determinada a.a. X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn , temos: n sn2 = 1 X (xi − x)2 n−1 i=1 Princípios de Estatística Exemplo 1. Considere as seguintes medidas (em litros) de duas amostras de caixas de suco de laranja produzidas pelas companhias A e B: A 0,97 1,00 0,94 1,03 1,06 B 1,06 1,01 0,88 0,91 1,14 As propagandas veiculadas pelas compahinas afirmam que cada caixa contém 1L de suco. Ao comprar uma caixa de suco produzida por cada uma das marcas, qual caixa selecionada parecerá ser mais fiel à propaganda? Justifique. Estatística – organizar – resumir – descrever Matemática (Inferência) Descritiva Natureza dos Dados Qualitativa – organizar – resumir – descrever Paramétrica Quantitativa Não-Paramétrica Natureza dos Dados Qualitativa Quantitativa Parâmetro Parâmetro Média Variância Modelo de Relação Estimação Interv. Conf. Testes Hipót. Ctrl. Qualidade – Análise Regressão Simples/Múltipla – Constr. Modelos Proporção – Estimação – Interv. Conf. – Testes Hipót. – Análise Categ. (Tab. Conting.) – – – – – Estimação Interv. Conf. Testes Hipót. ANOVA Ctrl. Qualidade – – – –
