Princípios de Estatística

Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
MOQ-13 Probabilidade e Estatística
Profa. Denise Beatriz Ferrari
www.mec.ita.br/∼denise
[email protected]
05/10/2011
Princípios de Estatística
Probabilidade × Estatística
Probabilidade
POPULAÇÃO
Distribuições de probabilidades
(conhecidas)
– utilizadas para calcular
probabilidades de eventos
AMOSTRA
Estatística
Dados coletados
– utilizados para estimar
probabilidades, tomar decisões,
fazer previsões
Princípios de Estatística
Populações e Amostras
População: totalidade das observações sobre as quais temos interesse.
Finita: – altura dos alunos do ITA
– tamanho dos peixes no lago do CTA
Infinita: – temperatura em SJC medida a partir de hoje
– profundidade do lago medida em todos os locais
possíveis
Nota:
Às vezes, populações finitas podem ser consideradas infinitas (N → ∞).
Exemplo:
População de todos os tempos de duração de um determinado tipo de
bateria automotiva produzida no país.
Princípios de Estatística
Populações e Amostras
População:
Seja X uma v.a. tal que X ∼ fX (x).
Cada observação na população corresponde a um valor x assumido por X .
Diz-se:
População fX (x):
População binomial:
População normal:
...
X ∼ fX (x)
X ∼ Bin(n,p)
X ∼ N(µ, σ)
Os parâmetros que definem as populações (f.d.p.) são desconhecidos, a
menos que se observe toda a população!
... normalmente inviável...
Princípios de Estatística
Populações e Amostras
População:
Seja X uma v.a. tal que X ∼ fX (x).
Cada observação na população corresponde a um valor x assumido por X .
Diz-se:
População fX (x):
População binomial:
População normal:
...
X ∼ fX (x)
X ∼ Bin(n,p)
X ∼ N(µ, σ)
Os parâmetros que definem as populações (f.d.p.) são desconhecidos, a
menos que se observe toda a população!
... normalmente impossível ou inviável...
Princípios de Estatística
Populações e Amostras
– Queremos chegar a uma determinada conclusão (inferência) a
respeito de uma população quando é impossível ou inviável
observar todos os indivíduos da população.
Amostra:
Consiste em um subconjunto da população.
Inferências válidas são construídas apenas a partir de uma amostra
representativa:
– Observações realizadas de forma aleatória e independentemente.
Princípios de Estatística
Populações e Amostras
Amostra:
Queremos uma amostra de tamanho n a partir de uma população fX (x).
Seja a v.a. Xi = i-ésima observação desta população, para i = 1, . . . , n.
Temos:
X1 ,
x1 ,
X2 ,
x2 ,
...
...
Xn
xn
: a.a. de fX (x)
: valores observados
X1 , X2 , . . . , Xn são i.i.d. fX (x) e
f(x1 , . . . , xn ) = fX (x1 ) · . . . · fX (xn ) é f.d.p. conjunta
Princípios de Estatística
Populações e Amostras
Suponha que queremos chegar a uma conclusão a respeito da proporção
p da população brasileira que tem acesso à internet em casa.
– Impossível entrevistar todas as pessoas para calcular o parâmetro p!
– Coletamos uma a.a. X1 , X2 , . . . , Xn
– A partir da amostra calculamos a quantidade
p̂ = proporção na amostra
– p̂ é então utilizada para inferência da proporção verdadeira p
Nota:
p̂ = g (x1 , x2 , . . . , xn )
valor de uma v.a. P
varia de amostra a amostra
chamada
estatística:
qualquer função de v.a.’s
que formam uma a.a.
Princípios de Estatística
Estatísticas Importantes
Média Amostral: X
Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma a.a. de tamanho n. A média amostral é definida
pela estatística (também uma v.a.):
Pn
X n = n1 i=1 Xi
Nota:
Para uma determinada a.a. X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn , temos:
n
1X
xn =
xi
n
i=1
Princípios de Estatística
Estatísticas Importantes
Variância Amostral: S 2
Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma a.a. de tamanho n. A variância amostral é
definida pela estatística (também uma v.a.):
n
Sn2
1 X
(Xi − X )2
=
n−1
i=1

n
X
1
n
=
Xi2 −
n(n − 1)
i=1
n
X
!2 
Xi

i=1
(Demonstração)
Nota:
Para uma determinada a.a. X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn , temos:
n
1 X
sn2 =
(xi − x)2
n−1
i=1
Princípios de Estatística
Exemplo
1. Considere as seguintes medidas (em litros) de duas amostras de
caixas de suco de laranja produzidas pelas companhias A e B:
A
0,97
1,00
0,94
1,03
1,06
B
1,06
1,01
0,88
0,91
1,14
As propagandas veiculadas pelas compahinas afirmam que cada
caixa contém 1L de suco. Ao comprar uma caixa de suco produzida
por cada uma das marcas, qual caixa selecionada parecerá ser mais
fiel à propaganda? Justifique.
Estatística
– organizar
– resumir
– descrever
Matemática
(Inferência)
Descritiva
Paramétrica
Natureza dos Dados
Qualitativa
– organizar
– resumir
– descrever
Quantitativa
Não-Paramétrica
Natureza dos Dados
Qualitativa
Quantitativa
Parâmetro
Parâmetro
Média
Variância
Modelo
de
Relação
Estimação
Interv. Conf.
Testes Hipót.
Ctrl. Qualidade
– Análise Regressão
Simples/Múltipla
– Constr. Modelos
Proporção
– Estimação
– Interv. Conf.
– Testes Hipót.
– Análise Categ.
(Tab. Conting.)
–
–
–
–
–
Estimação
Interv. Conf.
Testes Hipót.
ANOVA
Ctrl. Qualidade
–
–
–
–