8.2 Ângulos no triângulo retângulo

8
Gil da Costa Marques
8.1 Trigonometria nos primórdios
8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau
8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo
8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos
8.5 Outras razões trigonométricas
8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis
Licenciatura em Ciências · USP/ Univesp
Fundamentos de Matemática I
Trigonometria no
triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
163
8.1 Trigonometria nos primórdios
Por alguma razão, o número 60 tinha um apelo místico para os babilônios. Como resultado,
cerca de 2.000 anos antes da era cristã, já propunham um sistema de numeração cuja base era
esse número. Tal sistema tornou-se conhecido como sexagesimal, uma vez que a base escolhida
por eles era o número 60, ou seja, nesse sistema qualquer número poderia ser expresso como
soma de potências de 60 multiplicadas por constantes adequadas. Os Babilônios propuseram
a divisão da circunferência de um círculo em 360 partes iguais, daí resultando a unidade de
medida de ângulo conhecida como grau. Dessa forma uma circunferência tem 360°.
Hiparco (cerca 140 a.C.) recebeu o crédito por ter iniciado a trigonometria, ou melhor, ter introduzido, de forma indireta, o conceito de
seno de um ângulo. Hiparco era pesquisador no museu de Alexandria,
a primeira instituição científica financiada pelo poder público.
Transformou-se num dos maiores astrônomos da antiguidade. Sua
principal contribuição à matemática teve a influência da matemática
dos babilônios. Credita-se a ele a introdução, nos meios científicos relevantes na época, da medida de ângulo proposta pelos babilônios.
Introduziu também a função seno utilizando o número 60.
Considerando-se dois pontos (P1, P2 ), ambos localizados sobre uma circunferência, é
possível construir o segmento de reta determinado por esses dois pontos (veja Figura 8.1).
Hiparco definia corda (Crd) como o comprimento desse segmento. Para medi-lo, Hiparco
introduzia uma unidade de comprimento que dependia do raio da circunferência. Para isso,
dividia o raio da circunferência em 60 partes iguais.
Traçando duas semirretas a partir da origem, passando pelos dois
pontos, P1 e P2, podemos agora introduzir o ângulo a medindo
a inclinação dessas semirretas. Claramente, a corda depende desse
ângulo. Temos assim:
Figura 8.1: Definição de Corda
associada a um ângulo.
Crd = Crd ( a )
8.1
Fundamentos de Matemática I
164
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
A corda pode ser, nesse contexto, entendida como função do ângulo a.
Adotando essa forma de caracterizar ângulos, ou de medi-los, podemos agora entender
como Hiparco introduziu a função seno, como é definida nos dias de hoje. De fato, sua relação
com a função comprimento da corda é bem simples:
sen
a Crd ( a )
 a  Crd ( a )
→ sen   =
=
2
2R
120
2
8.2 Escrevendo a corda como sendo dada por
Crd ( a ) = 2l
8.3
e utilizando o valor do raio, sem efetuar sua divisão em 60 partes, a função seno, definida a
partir da função corda em 8.2, pode ser escrita como:
a l
sen   =
2 R
8.4
A rigor, Hiparco não estava introduzindo a função seno. Ele definia o que denominamos
seno de um ângulo. Tal definição é análoga àquela obtida a partir das relações métricas de
ângulos agudos num triângulo retângulo.
Hiparco gerou uma tabela de cordas. Essa tabela é muito semelhante a uma tabela dos senos,
desde que nos atenhamos a ângulos menores do que 180°. A fim de determinar a posição dos
corpos celestes, Hiparco teve a ideia de fazer a interpolação para gerar algo como a função corda.
Ptolomeu publicou, em sua obra O Almagesto, uma tabela de cordas para ângulos variando
dentro de intervalos de 0,5°.
8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau
Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto, isto é, dois de seus lados são
perpendiculares. Esses lados são denominados catetos e aquele oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa.
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
165
Para medir os ângulos de um triângulo retângulo utilizamos o grau como unidade de medida.
Você lembra?
1 grau é a medida do ângulo central obtido ao
dividir uma circunferência em 360 partes iguais.
Observamos que, como o ângulo reto tem 90° por medida, os outros dois ângulos de um
triângulo retângulo são complementares, ou seja, têm como medida de sua soma 90°.
Figura 8.2: Lados e vértices
do triângulo retângulo.
No caso de um triângulo retângulo, vale o teorema de Pitágoras, ou seja, vale a relação:
a 2 + b2 = c 2
8.5
onde c é medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos.
8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo
agudo num triângulo retângulo
Considerando o ângulo A, por exemplo, o lado que é
oposto a ele tem o nome de cateto oposto (o lado de medida
a ou simplesmente o lado a), enquanto o lado adjacente a ele,
e diferente da hipotenusa (o lado de medida b ou lado b), é
denominado cateto adjacente a esse ângulo. Observe que,
 , o lado b é o seu cateto oposto
considerando agora o ângulo B
enquanto o lado a é o seu cateto adjacente.
Figura 8.3: Lados de um
triângulo retângulo.
Fundamentos de Matemática I
166
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
A partir da notação, definimos o seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo como
sendo o quociente do cateto oposto pela hipotenusa:
sen θ =
cateto oposto
hipotenusa
Figura 8.4: Seno de um ângulo
agudo de um triângulo retângulo.
Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:
 a
 b
=
sen A =
sen B
c
c
8.6
Podemos também definir o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como
sendo o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa:
cosθ =
cateto adjacente
hipotenusa
Figura 8.5: Cosseno de um ângulo
agudo de um triângulo retângulo.
Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:
b
 a
=
cos A =
cos B
c
c
8.7
Convém observar que num triângulo retângulo só temos como definir senos e cossenos para
os ângulos agudos.
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
167
Exemplos
• Exemplo 1
A partir do triângulo equilátero ABC de lado l e do quadrado de lado a da Figura 8.6, preencha
as lacunas da tabela:
30°
60°
45°
Seno
Cosseno
→ Resolução:
Observemos a Figura 8.6:
Figura 8.6: O triângulo equilátero ABC e o quadrado DEFG.
a. Para o caso do triângulo equilátero ABC, de lado l:
Lembrando que, num triângulo equilátero, a altura, bissetriz e mediana, traçadas a partir de um
vértice, coincidem, consideremos CH a altura do triângulo equilátero ABC, relativa à base AB;
pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo HBC, obtemos que
h2 = l 2 −
de onde
h=
Portanto, temos que:
l2
4
l 3
l 3
ou h = −
(não convém)
2
2
l

ACB
cateto oposto 2 1

sen 30° = sen H CB = sen
=
= =
l 2
2
hipotenusa
Fundamentos de Matemática I
168
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
e
l 3

ACB
3
cateto
adjacente
h
 = cos
cos 30° = cos H CB
=
= = 2 =
l
l
2
2
hipotenusa
bem como:
l 3
3
cateto oposto h

sen 60° = sen C BH =
= = 2 =
l
l
2
hipotenusa
e
l
cateto adjacente 2 1

cos 60° = cos C BH =
= =
l 2
hipotenusa
b. Para o caso do quadrado DEFG, de lado a:
Consideremos DF a diagonal do quadrado; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo isósceles DEF, obtemos que
d 2 = a2 + a2
de onde
d = a 2 ou d = −a 2 (não convém)
Portanto, temos que:
sen 45° = cos 45° =
2
a
a
=
=
hipotenusa a 2
2
Completando então a tabela:
30°
60°
45°
Seno
1
2
3
2
2
2
Cosseno
3
2
1
2
2
2
Convém notar que sen 30° = cos 60° e cos 30° = sen 60° que, alias, é uma propriedade válida para
qualquer par de ângulos complementares, isto é sen α = cos (90° − α) e e cos α = sen (90° − α),
como adiante veremos.
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
169
8.4 Propriedades dos senos e cossenos:
a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos
Uma propriedade notável do cosseno e seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo
é facilmente derivada a partir do teorema de Pitágoras. De fato, tomando os valores do seno e
do cosseno do ângulo agudo A no triângulo retângulo da Figura 8.3, conforme as expressões
8.6 e 8.7, e, em seguida, somando os valores dos seus respectivos quadrados, obtemos:
2
b
a
sen 2 A + cos2 A =   +  
c
c
2
=
a 2 + b2
c2
8.8
Utilizando o teorema de Pitágoras (8.5), resulta de 8.8 que, para qualquer ângulo agudo
num triângulo retângulo, vale a relação:
sen 2 θ + cos2 θ = 1
8.9
A fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis
entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo
ser acutângulo ou obtusângulo, vamos ampliar o conceito de seno e cosseno de um ângulo.
Para tal, introduzimos as seguintes identidades:
sen 90° = 1
8.10
cos90° = 0
8.11
sen(180° − x ) = sen x
8.12
cos(180° − x ) = − cos x
8.13
Fundamentos de Matemática I
170
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Consideremos, em primeiro lugar, a Lei dos Senos a qual estabelece que, num triângulo
ABC qualquer, vale a seguinte relação:
a
b
c
= =
= 2r



sen A sen B sen C
onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente e r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerando um triângulo ABC qualquer, inscrito numa
circunferência de raio r, a partir do vértice B podemos encontrar,
na circunferência, um ponto diametralmente oposto D; ligando D
a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C, pois o
 é inscrito numa semicircunferência.
ângulo BCD
Os ângulos de vértices em A e D são inscritos na circunferência
 , logo têm a mesma medida.
e determinam o mesmo arco BC
Figura 8.7: Triângulo ABC qualquer,
inscrito numa circunferência de raio r.
Agora, no triângulo retângulo BCD, temos:
=
sen D
a
2r
sen A =
a
2r
de onde
ou seja,
a
= 2r
sen A
Repetindo o raciocínio, para os ângulos de vértices B e C, teremos as relações:
b
c
= 2r e
= 2r


sen B
sen C
a
b
c
= 2r
Logo, podemos concluir que: = =



sen A sen B sen C
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
171
Consideremos agora a Lei dos Cossenos, a qual estabelece que, num triângulo ABC,
qualquer, valem as seguintes relações:
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A

b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B

c 2 = a 2 + b2 − 2ab cos C
onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente.
Vamos provar apenas a primeira das relações e isso será suficiente, pois as três são análogas.
Analisemos as três possibilidades para o ângulo A (agudo, obtuso e reto).
a. A é um ângulo agudo.
Figura 8.8: Triângulo ABC em que
o ângulo de vértice A é agudo.
Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo AHC é retângulo e pelo
Teorema de Pitágoras,
b2 = h2 + m2
O triângulo HBC também é retângulo e, novamente pelo Teorema de Pitágoras,
a2 = h2 + n2
Além disso, m + n = c, e, eliminando h nas duas primeiras equações, obtemos:
b2 − m2 = a2 − n2
Eliminando n obtemos:
b2 − m 2 = a 2 − ( c − m )
2
Fundamentos de Matemática I
172
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Portanto, b2 − m2 = a2 − c2 + 2cm − m2 e daí a2 = b2 + c2 − 2cm.
 ou m = b.cos A .
Mas (m/b) = cos A
.
de onde a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A
b. A é um ângulo obtuso.
Figura 8.9: Triângulo ABC em que
o ângulo de vértice A é obtuso.
Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo CHA é retângulo e
assim, pelo teorema de Pitágoras,
b2 = h2 + m2
Como o triângulo CHB é retângulo, pelo teorema de Pitágoras,
a2 = h2 + (m + c)2
Eliminando h, temos:
b2 − m2= a2 − (m + c)2
Simplificando a última equação, temos:
a2 = b2 + c2 + 2cm
Mas
m
= cos H AC = cos(180° − A) = − cos A , ou seja,
b

m = − b.cos A
Logo,
.
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
173
c. A é um ângulo reto.
 = 0.
Este caso é o próprio teorema de Pitágoras, pois cos A
• Exemplo 2
1. Determine o valor de x no triângulo abaixo.
a.
Figura 8.10:
O triângulo dado.
→ Resolução:
Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo da Figura 8.10, temos:
x
100
=
sen 120° sen 45°
e, como sen 120° = sen 60° =
3
2
e sen 45° =
temos:
2
2
100 2 100
=
x =
6
3
3
b.
Figura 8.11:
O triângulo dado.
→ Resolução:
Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo ABC da Figura 8.11, temos:
x
100
=
sen 30° sen 45°
uma vez que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.
1
2
, temos
Logo, como sen 30° = e sen 45° =
2
2
x = 100 2
Fundamentos de Matemática I
174
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
c.
Figura 8.12:
O triângulo dado
→ Resolução:
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC da Figura 8.12, temos:
1
ou seja, como cos 60° = , temos:
2
x2 = 16 + 25 − 2.4.5.cos 60°
x2 = 21
ou seja,
x = 21
2. Mostre que a área S de um triângulo, cujos lados são a, b e c, é dada por:
S=
p( p − a )( p − b)( p − c ), onde p é o semi-perímetro do triângulo. Essa relação é devida
a Heron.
→ Resolução:
Consideremos a Figura 8.13.
Sabemos que a área do triângulo é dada por
S=
c⋅h
2
h
Também temos sen A = .
b
E, pela Lei dos Cossenos,
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A
ou seja,
cos A =
Como sen 2 A + cos2 A = 1, temos:
8 Trigonometria no triângulo retângulo
2
b2 + c 2 − a 2
2bc
2
2
2
2
h b +c −a 
+
 =1
  
2bc
b 

Figura 8.13: O triângulo ABC.
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
175
2
2
2
2
2
2S
 2S   b + c − a 
Ou seja,   + 
.
 = 1, pois h =
c
bc
2
bc
  

Multiplicando e dividindo por 2 a primeira fração, temos
2
2
2
2
2
 4S   b + c − a 
 =1

 +
2bc
 2bc  

ou seja,
(4S)2 + (b2 + c2 − a2)2 = (2bc)2
de onde resulta
16S2 = (2bc)2 − (b2 + c2 −a2)2
Uma vez que o segundo membro é uma diferença de quadrados, podemos escrever
16S 2 = [2bc − (b2 + c2 − a2)].[2bc + (b2 + c2 − a2)]
ou ainda,
16S 2 = [a2 − (b2 + c2 − 2bc)].[(b2 + c2 + 2bc)] − a2]
isto é,
16S 2 = [a2 −(b − c)2].[(b + c)2 − a2]
Novamente, fatorando as diferenças de quadrados,
16S 2 = [a + b − c]. [a − b + c].[b + c + a].[b + c − a]
ou
S2 =
Como p =
a+b−c a−b+c a+b+c b+c−a
⋅
⋅
⋅
2
2
2
2
a+b+c
é o semiperímetro, temos
2
S 2 = (p − c).(p − b).p.(p − a)
ou
S = ( p − c ).( p − b). p.( p − a )
Ou, de outra forma,
S=
p.( p − a ).( p − b).( p − c ).
Fundamentos de Matemática I
176
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
8.5 Outras razões trigonométricas
Num triângulo retângulo, sempre no caso de um ângulo agudo, ainda podemos definir
outras razões entre as medidas de seus lados, além daquelas que definem o seno e o cosseno.
Definimos a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quociente do cateto oposto pelo cateto adjacente:
tgθ =
cateto oposto
cateto adjacente
8.14
Figura 8.14: Tangente de um ângulo
agudo do triângulo retângulo.
Temos assim que, num triângulo retângulo, como o da Figura 8.3, definimos a tangente dos
 , em termos dos catetos do triângulo retângulo:
ângulos A e B
a
 b
=
tg A =
tg B
b
a
8.15
Definimos também a cotangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo
o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto ou o inverso da tangente do mesmo ângulo:
cotg θ =
1
cateto adjacente
=
tg θ
cateto oposto
8.16
Figura 8.15: Cotangente de um
ângulo agudo do triângulo retângulo.
 da Figura 8.3 são,
Temos assim que a cotangente do ângulo A e a cotangente do ângulo B
em termos dos catetos a e b:
b
 a
=
cotg A =
cotg B
a
b
8 Trigonometria no triângulo retângulo
8.17 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
177
Definimos ainda o valor da secante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o
inverso do cosseno do mesmo ângulo. Temos, pois, em termos dos lados do triângulo:
sec θ =
hipotenusa
cateto adjacente
8.18 Figura 8.16: Secante de um ângulo
agudo do triângulo retângulo.
 da Figura 8.3, temos:
Assim, para os ângulos A e B
c
 c
=
sec A =
sec B
b
a
8.19
Definimos a cossecante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do
seno do mesmo ângulo:
cossec θ =
hipotenusa
cateto oposto
8.20
Figura 8.17: Cossecante de um
ângulo agudo do triângulo retângulo.
 da
Consequentemente, os valores da cossecante do ângulo A e da cossecante do ângulo B
Figura 8.3 são dados, em termos dos lados do triângulo
c
 c
=
cossec A =
cossec B
a
b
8.21
Conclui-se que, num triângulo retângulo, podemos definir diferentes valores associados a
ângulos agudos, valores esses que são quocientes entre as medidas dos lados do triângulo.
Fundamentos de Matemática I
178
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis
Medir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta,
isto é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o
metro como unidade padrão para medir distâncias. Na astronomia utilizamos outras unidades,
as quais serão aqui apresentadas.
Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora
da Terra as medidas são efetuadas de uma maneira indireta.
Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangulação. Na Figura 8.18 esboçamos o esquema básico do uso da triangulação, para determinação
da altura (h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e
do cume do monte, e da distância (d) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos.
O ângulo θ é medido com um instrumento denominado teodolito.
Figura 8.18: Determinação da altura do monte por triangulação: tgθ = h/d ou h = d × tgθ.
Algumas vezes utilizamos a semelhança entre triângulos.
Um dos registros mais antigos de uso desse método indireto é aquele atribuído a Tales de
Mileto (625 – 558 a.C.), o qual teria determinado a altura da pirâmide de Gizé a partir da
determinação da dimensão da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar tal
medida no exato momento em que o tamanho de sua sombra projetada no solo era igual à
sua altura. Nesse momento, o tamanho da sombra da pirâmide era igual à altura da pirâmide.
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
179
Na Figura 8.19 está representada a configuração de uma estrela, vista da Terra em duas
posições diametralmente opostas no seu movimento de translação e o Sol. A paralaxe estelar é
o desvio aparente da estrela em relação às estrelas de
fundo. O ângulo de paralaxe é p. As posições aparentes
da estrela podem ser registradas em imagens da região
do céu, obtidas em épocas diferentes. As paralaxes são
diminutas. Ou seja, são medidas em segundos de arco.
Por exemplo, a estrela mais próxima do Sol, a Próxima
Centauro (e de grande paralaxe, portanto) tem paralaxe
de meros 0,77 segundo de arco (2 décimos-milésimo
de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores
ainda.Tendo em vista a dificuldade experimental de
distinguir pontos muito próximos, esse método é
Figura 8.19: Paralaxe estelar.
bastante limitado.
O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de
comprimento: o parsec. Um parsec é equivalente a 3,26 anos-luz ou 206.264 unidades
astronômicas, ou ainda 31 trilhões de quilômetros. Nesta unidade, as distâncias a estrelas mais
brilhantes visualmente ficam a distâncias entre 1,3 pc (a-Centauri) e 800 pc, excluindo-se
evidentemente o Sol.
D(parsec) = 1 / p(segundo de arco)
Experimente escrever essas distâncias em km, você vai ter que escrever muitos dígitos!
Um parsec = 206265 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1,49 · 108 km.
• Exemplo 3
1. Na Figura 8.20 está representado um morro entre
dois pontos A e B. Um teodolito colocado no ponto
C consegue mirar tanto A quanto B, informando que
 = 135°. Sabendo que CA = 100 m
o ângulo ACB
e que CB = 75 m, pede-se determinar a distância
entre A e B.
Figura 8.20: Encontrar
a distância entre A e B.
Fundamentos de Matemática I
180
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
→ Resolução:
Pela Lei dos Cossenos, temos:
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2AC.BC.cos 135°
2
então
2
(AB)2 ≅ 26231,6 de onde AB ≅ 161,96 m.
Como cos 135° = − cos 45° = −
2. Na Figura 8.21, estão representados os pontos A e B situados em
margens opostas de um rio. Para calcular a distância AB, o topógrafo
considerou um ponto C de onde fosse possível mirar os pontos A e
B. Em seguida, com uma trena, mediu BC, encontrando 300 m, e,
 e ABC
 , encontrando 85° e
com o teodolito, mediu os ângulos ACB
75°, respectivamente. Quanto mede AB aproximadamente?
→ Resolução:
Em primeiro lugar, sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é
180o, determinamos o ângulo A = B AC = 20°.
Pela Lei dos Senos, temos:
300
AB
=
sen 20° sen 85°
de onde temos
AB =
300.sen 85°
sen 20°
ou seja, usando uma calculadora, obtemos
AB ≅ 874
Glossário
Acutângulo: Todos os ângulos são agudos.
Obtusângulo: Há no triângulo um ângulo obtuso.
Parsec: Distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de arco.
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Figura 8.21: Encontrar
a distância entre A e B.