Relações de Recorrência Lineares

Relações de
Recorrência Lineares
Rosen 7.2
Exercício 1
Um jovem casal de coelhos é colocado em
uma ilha. Um casal de coelhos não procria
até que eles tenham dois meses de idade.
Depois que eles completam dois meses de
idade, cada casal de coelhos produz outro
casal todo mês. Encontre a relação de
recorrência para o numero de casais de
coelhos na ilha depois de n meses, supondo
que nenhum casal morra.
Exercício 1
Fn = número de casais depois de n meses
Exercício 1
F1 = 1 e F2 = 1
Exercício 1
Fn = Fn-1 + Fn-2
Exercício 2
Encontre a relação de recorrência e de as
condições iniciais para o número de cadeia
de bits de extensão n que não têm dois 0’s
consecutivos. Quantas dessas cadeias tem
extensão 5?
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos
Exercício 2
Encontre a relação de recorrência e de as
condições iniciais para o número de cadeia
de bits de extensão n que não têm dois 0’s
consecutivos. Quantas dessas cadeias tem
extensão 5?
an número de cadeias de bits de extensão n que
não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Exercício 2
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Condições Iniciais
a1 = ?
a2 = ?
Exercício 2
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Condições Iniciais
a1 = 2
a2 = 3
{0, 1}
{01, 10, 11}
Exercício 2
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Condições Iniciais
a1 = 2
a2 = 3
{0, 1}
{01, 10, 11}
terminam
____________0
____________1
Exercício 2
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Condições Iniciais
a1 = 2
a2 = 3
{0, 1}
{01, 10, 11}
terminam
____________0
____________1
an-1 sem 0’s consecutivos
Exercício 2
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Condições Iniciais
a1 = 2
a2 = 3
{0, 1}
{01, 10, 11}
se termina com 0
______X_____00
____________10
an-2 sem 0’s consecutivos
Exercício 2
an número de cadeias de bits de extensão n
que não tem dois 0’s consecutivos.
n
3
Condições Iniciais
a1 = 2
a2 = 3
{0, 1}
{01, 10, 11}
se termina com 0
______X_____00
____________10
an-2 sem 0’s consecutivos
an = an-1 + an-2
Exercício 3
Uma industria automobilística fabrica carros
com uma taxa crescente. No primeiro mês,
apenas um carro é fabricado, no segundo
mês, dois carros são fabricados, e assim por
diante, com n carros fabricados no n-esimo
mês.
Encontre a relação de recorrência para o numero
de carros produzidos nos n primeiros meses por
essa fabrica.
an = n + an-1
a0 = 0
Exercício 3
Uma industria automobilística fabrica carros
com uma taxa crescente. No primeiro mês,
apenas um carro é fabricado, no segundo
mês, dois carros são fabricados, e assim por
diante, com n carros fabricados no n-esimo
mês.
Quantos carros são produzidos no primeiro ano.
a12 = 78
Exercício 3
Uma industria automobilística fabrica carros
com uma taxa crescente. No primeiro mês,
apenas um carro é fabricado, no segundo
mês, dois carros são fabricados, e assim por
diante, com n carros fabricados no n-esimo
mês.
Encontre uma formula explicita para o numero de
carros produzidos nos primeiros n meses
an = n(n+1)/2
Exercício 4
Encontre a solução para as relações de
recorrência abaixo:
an = 3an-1
an = an-1 + 2
Relações de Recorrência
Lineares
Uma grande variedade de relações de
recorrência ocorre em modelos.
Algumas dessas relações podem ser
resolvidas usando iteração ou outra técnica
direta.
Existe uma classe de relações de recorrência
que pode ser resolvida explicitamente de
maneira sistemática.
Relações de Recorrência
Lineares
Uma relação de recorrência linear e
homogênea de grau k com coeficientes
constantes é uma relação de recorrência na
forma:
an = c1an-1 + c2an-2 + ... +ckan-k
em que c1, c2, ... ,ck são números reais e
ck
0
Relações de Recorrência
Lineares
Uma relação de recorrência linear e
homogênea de grau k com coeficientes
constantes é uma relação de recorrência na
forma:
an = c1an-1 + c2an-2 + ... +ckan-k
em que c1, c2, ... ,ck são números reais e
Linear, pois o lado direito é a
ck
0
soma dos termos anteriores da
seqüência multiplicados por
uma função de n
Relações de Recorrência
Lineares
Uma relação de recorrência linear e
homogênea de grau k com coeficientes
constantes é uma relação de recorrência na
forma:
an = c1an-1 + c2an-2 + ... +ckan-k
em que c1, c2, ... ,ck são números reais e
ck
0
Homogênea, pois nenhum
termo aparece sem estar
multiplicado por aj
Relações de Recorrência
Lineares
Uma relação de recorrência linear e
homogênea de grau k com coeficientes
constantes é uma relação de recorrência na
forma:
an = c1an-1 + c2an-2 + ... +ckan-k
em que c1, c2, ... ,ck são números reais e
ck
0
Os coeficientes dos
termos são constantes,
não dependem de n
Relações de Recorrência
Lineares
Uma relação de recorrência linear e
homogênea de grau k com coeficientes
constantes é uma relação de recorrência na
forma:
an = c1an-1 + c2an-2 + ... +ckan-k
em que c1, c2, ... ,ck são números reais e
ck
0
O grau é k, pois an é
expresso em termos
dos k termos anteriores
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
É linear!!!!
É Homogênea!!!!
Tem grau 1
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
Fn = Fn-1 + Fn-2
É linear!!!!
É Homogênea!!!!
Tem grau 2
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
Fn = Fn-1 + Fn-2
an = an-5
É linear ??
É Homogênea??
Tem grau??
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
Fn = Fn-1 + Fn-2
an = an-5
É linear !!!!
É Homogênea!!!!
Tem grau 5
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
Fn = Fn-1 + Fn-2
an = an-5
an = an-1 + (an-2)2
Não é linear!!!
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
Fn = Fn-1 + Fn-2
an = an-5
Hn = 2Hn-1 + 1
Não é
homogênea!!!
Relações de Recorrência
Lineares
Exemplos
Pn = (1,11)Pn-1
Fn = Fn-1 + Fn-2
an = an-5
Hn = 2Hn-1 + 1
Bn = nBn-1
Não é tem
coeficientes
constantes!!!