Unidade II: Escolha de Carteira e CAPM

Investimentos
Unidade II: Escolha de Carteira e CAPM
Nesta unidade primeiramente abordaremos o problema de escolha de carteira do
investidor. Depois agregaremos as escolhas do investidor para determinarmos o
retorno de equilíbrio na abordagem do CAPM.
Capítulo 3: Escolha de Carteira
Os investimentos se dão num ambiente de incerteza, como vimos na unidade
anterior, e os investidores em geral têm aversão ao risco. Para um dado ambiente
de risco, investidores com diferentes graus de aversão ao risco terminam por
escolher carteiras diferentes. Inicialmente relacionaremos a aversão ao risco dos
investidores ao problema mais simples de alocar sua riqueza entre um ativo sem
risco e um ativo arriscado. Em seguida caracterizaremos o problema de escolha de
carteiras no universo de ativos arriscados, para finalmente abordar o problema no
ambiente onde existe um ativo sem risco e múltiplos ativos arriscados.
3.1 Alocação de Capital entre um Ativo sem Risco e uma Carteira
Arriscada
3.1.2 Preferências
A maior parte dos investidores pode ser caracterizada como sendo avesso ao risco.
Um investidor avesso ao risco rejeita oportunidades de investimento arriscadas que
não lhe dêem um ganho esperado positivo. Eles requerem uma compensação em
termos de retorno esperado para o risco incorrido, compensação esta que é tanto
maior quanto maior for a aversão ao risco do investidor.
Suporemos que cada investidor atribuirá um nível de utilidade para cada escolha de
investimentos, de tal forma que a escolha do melhor investimento na ótica de um
investidor será representada pelo processo de maximização do seu nível de
utilidade. A representação de utilidade que adotaremos atribui a cada carteira com
retorno esperado E(r) e variância dos retornos σ2 o seguinte nível de utilidade:
onde U é o nível de utilidade e A é o coeficiente de aversão ao risco do investidor.
De acordo com esta representação, para um dado nível de risco – medido pela
variância dos retornos – dos investimentos, quanto maior for o retorno esperado
maior será a sua utilidade. Para um dado nível de retorno esperado dos
investimentos, quanto maior o risco menor o nível de utilidade. O parâmetro A
regula qual o aumento de risco que o investidor está disposto a incorrer em troca
de um aumento no seu retorno esperado de forma a manter o mesmo nível de
satisfação.
Portanto, a partir da equação acima podemos desenhar curvas de indiferença do
investidor numa representação gráfica onde no eixo das abscissas temos a
esperança do retorno, enquanto no eixo das ordenadas temos o desvio de padrão
do retorno. Conforme mostrado na Figura 1 (reproduzida do livro) abaixo, estas
curvas têm inclinação positiva e sua inclinação depende do coeficiente de aversão
ao risco A. A curva com inclinação maior é de um investidor mais avesso ao risco,
i.e. com coeficiente A mais alto.
Figura 1
Mas qualquer que seja a aversão ao risco do investidor, ao considerar duas
oportunidades de investimentos A e B, com
e
,
sendo uma das desigualdades estritas, o investidor prefere o investimento A ao
investimento B. Neste caso podemos dizer que o investimento A domina o
investimento B no critério média-variância.
3.1.3 O problema de alocação e a curva de alocação de capital
Considere o problema de alocação de riqueza entre dois ativos: um sem risco com
retorno rf e um arriscado r com retorno esperado E(r)> rf e desvio padrão dos
retornos σ. O indivíduo deve escolher a proporção y alocada no ativo arriscado.
Observe que o retorno do investimento será dado por:
Por conseguinte o retorno esperado da sua carteira
Equação 1
será dado por
enquanto o desvio padrão da carteira σC será dado por
Equação 2
É importante notar que um aumento da partipação y do ativo arriscado na carteira
leva tanto a um aumento do retorno esperado da carteira quanto do seu risco.
É possível representar num gráfico o retorno esperado da carteira em função do
seu risco, onde ambos variam como resultado de uma mudança em y. Para tanto,
primeiro note da equação acima, y pode ser escrito como a razão entre o desvio
padrão da carteira e do ativo sem risco:
Substituindo na expressão do retorno esperado da carteira, obtemos:
Equação 3
A figura 2 (reproduzida do livro) apresenta o conjunto de oportunidade
representado por esta equação.
Figura 2
É uma reta com intercepto rf e inclinação igual ao índice de Sharpe S do ativo
arriscado:
A curva traçada representa graficamente a equação 3, e é denominada de curva
de alocação de capital (CAL). No ponto P, y é igual a 1 e o retorno esperado e o
desvio padrão da carteira são idênticos ao do ativo arriscado. Para pontos da reta
entre o intercepto e P a proporção investida no ativo arriscado é inferior a 1 e os
pontos à direita de P representam alocações alavancadas nas quais y é superior a
1.
Observe que todas as carteiras representadas na curva de alocação de capital têm
o mesmo índice de Sharpe S do ativo arriscado.
3.1.4 Alocação ótima
A solução para o problema de alocação de carteira do investidor pode ser descrita
como sendo a carteira que lhe dá a maior utilidade dentre as representadas na
curva de alocação de capital. Graficamente esta solução é dada pelo ponto de
tangência da CAL com curva de indiferença mais alta do investidor que a intercepta,
conforme mostrado na Figura 3 (reproduzida do livro) abaixo.
Figura 3
A solução gráfica é ilustrativa, mas é útil derivarmos a solução algébrica. Em
primeiro lugar, escrevemos a utilidade do investidor em termos dos parâmetros do
nosso problema (excesso de retorno esperado e variância do retorno do ativo
arriscado e alocação y), substituindo as fórmulas encontradas para o retorno
esperado da carteira (equação 1) e do desvio padrão (equação 2) na equação 5.1.
Obtemos:
.
O problema do indivíduo passa a ser o de encontrar y de forma a maximizar a
expressão acima. A condição para que y seja ótima é que:1
O lado esquerdo da expressão acima representa o ganho de utilidade trazido pelo
aumento marginal do retorno esperado da carteira quando aumentamos em 1% a
exposição à carteira arriscada, enquanto o lado direito representa a perda marginal
de utilidade devido ao aumento equivalente de risco. A igualdade representa o fato
de que quando estamos escolhendo y otimamente uma mudança marginal de y não
altera a utilidade. Podemos explicitar y na equação acima obtendo:
Vemos, portanto, que para um investidor com um coeficiente de aversão ao risco A,
a proporção aplicada no ativo arriscado é tanto maior quanto maior for o seu
excesso de retorno esperado em relação ao ativo sem risco e tanto menor quanto
maior for o risco do ativo arriscado. Ou seja, o montante aplicado se relaciona
positivamente do retorno do ativo arriscado e negativamente com o risco deste
ativo. Vemos também que indivíduos com coeficientes de aversão ao risco
diferentes quando colocados diante do mesmo problema reagem de forma
diferente: indivíduos mais avessos ao risco – com maior A – escolhem investir
menos no ativo arriscado.
Exemplo: Seja uma carteira de renda fixa com retorno de 12% ao ano, e uma
carteira de ações com retorno esperado de 28%. Suponha que o risco de curto
prazo da sua carteira de renda fixa seja negligível, e que o desvio padrão anual do
retorno das ações seja de 40%. Ache a carteira ótima para um indivíduo com
coeficente de aversão 2 e para um indivíduo com coeficiente de aversão ao risco 4.
e
Note que o indivíduo com aversão ao risco 2 escolhe alocar 50% da sua carteira em
ações, enquanto o indivíduo com aversão ao risco 4 escolhe alocar somente 25%.
Leitura e Exercícios
Leia o capítulo 6 do livro-texto com especial atenção às seções 6.4,6.5 e 6.6. Depois, faça os
seguintes exercícios do capítulo:
1, 2,3,5,7,8,9,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,30,31,32,33 e 34.
3.2 Carteiras Arriscadas Ótimas
Carteiras diversificadas reduzem o nível de risco, quando comparada a carteiras
com poucos ativos. Este fenômeno é conhecido como diversificação do risco. Este
será um tema recorrente nesta seção. Começaremos mostrando este efeito através
1
Esta expressão pode ser obtida matematicamente a partir da condição de primeira ordem do
problema de maximização, i.e. derivando a expressão acima em relação a y e igualando a zero.
de um exemplo simplificado. A seguir, mostraremos a representação de carteiras
de dois ativos arriscados no espaço “retorno esperado – desvio padrão”, para
finalmente abordar o problema genérico do espaço gerado por múltiplos ativos
arriscados e sua fronteira eficiente.
3.2.1 Diversificação e risco da carteira
Veremos os ganhos de redução de risco que podem ser obtidos através da
diversificação, ou seja, através do aumento do número de ativos. Este efeito tende
a se atenuar depois que este número se torna grande o suficiente. Mas a outra
mensagem importante é que o maior entrave à redução do risco através da
diversificação é a correlação positiva entre os ativos, o que tende a acontecer no
mercado acionário.
Suponha que existam n ativos com a mesma variância σ² e mesma correlação
entre eles ρ. Vamos examinar a variância de uma carteira de pesos iguais, na qual
(1/n) da riqueza inicial é aplicado em cada ativo. Neste caso temos:
A Figura 4 mostra a o desvio padrão da carteira como função de n. Note que o
desvio padrão da carteira decresce com n mas decresce cada vez menos e tende
assintoticamente a √ρ×σ (é fácil ver da fórmula acima que a variância tende a
ρσ2).
Figura 4
Vemos que quando os ativos são não correlacionados, ρ=0, a variância do retorno
da carteira tende a ser (1/n) da variância de um ativo, onde n é o número de
ativos. Portanto o poder da diversificação é ilimitado e a variância tende a 0 quando
o número de ativos tende a infinito.
Mas na realidade tende a haver correlação positiva entre os ativos. Isto limita o
poder da diversificação. Se no nosso exemplo a correlação entre os ativos for 30%,
então a variância da carteira pode ser reduzida no limite para 30% da variância do
ativo, mas não mais. (Obviamente, se todos os ativos forem perfeitamente
correlacionados, ρ=1, não existe redução de risco).
Suponha que o desvio padrão seja de 50% (σ=0,5), e comparemos os casos em
que a correlação é zero e 40%. Se temos uma carteira de 20 ativos, no caso de
correlação zero teremos desvio padrão da carteira de ((0,5)/(√(20)))=0,112 ainda
bastante acima do desvio padrão assintótico, que é zero. No outro caso teremos
desvio padrão igual a raiz quadrada de 0,25/20+(19/20)×0,4×0,25, que resulta em
32,79%, ao passo que o desvio padrão assintótico é igual a √ρσ=31,62%. Vemos
portanto que os ganhos de diversificação depois de vinte ativos são muito
pequenos.
Uma estimativa pra o mercado americano (ver Figura 7.2 do livro) sobre o efeito da
diversificação mostra que o desvio padrão de carteiras compostas por uma ação
individual é de quase 50%, e que aumentando o número de ações este risco pode
ser reduzido no limite para pouco menos de 20%.
3.2.2 Carteiras com dois ativos arriscados
Vamos encontrar o conjunto de oportunidades gerado quando combinamos duas
carteiras de ativos arriscados. Suponha que tenhamos um fundo de ações com
retorno esperado E(rE) e variância de retorno σE2 e um fundo de títulos de renda
fixa de longo prazo com retorno esperado E(rD) e variância de retorno σD2 e que a
correlação dos retornos das duas carteiras seja ρ. Seja w o montante aplicado na
carteira de ações. Então o retorno da carteira é dado por
Logo, o retorno esperado da carteira é dado por:
Suponha que o fundo de ações tenha retorno esperado superior ao fundo de renda
fixa. Reescrevemos a equação acima como:
Equação 4
O que torna claro que o retorno esperado é linear em w.
A variância da carteira é
Nota-se que para um dado peso w a variância da carteira é tanto menor quanto
menor for a correlação entre os fundos. No caso de correção perfeita (ρ=1), temos
que
e
Equação 5
Note que neste caso o desvio padrão dos retornos das carteiras é a média
ponderada dos desvios padrão dos retornos dos fundos componentes e é também
linear em w. Como o retorno esperado da carteira também é linear em w, temos
que neste caso (com ρ=1) o retorno esperado varia linearmente em função do
desvio padrão. Este resultado pode ser encontrado algebricamente: resolvendo a
equação 5 para w e subtituindo em 4 resulta na seguinte relação
Equação 6
Ao desenharmos no espaço com desvio padrão nas ordenadas e retorno esperado
nas abscissas as carteiras geradas pela variação de w, obtemos o conjunto de
oportunidade de carteira. Esta relação se encontra na Figura 5. No caso de
correlação perfeita este conjunto é uma reta. Normalmente temos ρ<1, e,
portanto, o desvio padrão da carteira será menor do que a média ponderada pelos
pesos dos retornos dos componentes. Por isto, quando ρ<1 temos que para uma
mesma média de retorno (mesmo w), o desvio padrão da carteira será menor do
que no caso de correlação perfeita. Temos então uma curva que reflete o efeito
diversificação. Quanto menor ρ, maior o efeito diversificação e mais pronunciada
será esta curva.
Figura 5
No outro caso extremo em que um fundo é um hedge perfeito para o outro, ou seja
em que a correlação entre os retornos é -1, temos que
e
Note que é possível zerar o risco escolhendo w adequadamente. Fazendo
Resulta em
Equação 7
Assim como no caso em que ρ=1, neste caso o desvio de padrão da carteira
também é linear em w, mas a reta tem uma quebra no ponto que faz com que o
desvio padrão da carteira seja zero. Na Figura 5, o conjunto de oportunidades deste
caso é a reta quebrada. Esta quebra acontece quando o desvio padrão é zero, que
corresponde ao w da equação 7.
Embora não tivéssemos feito referência explícita a este fato, a princípio w pode ser
menor que 0 ou maior do que 1. Estes casos correspondem a um montante
investido maior do que a riqueza do investidor em um ativo, vendendo a descoberto
o outro. É possível também hedgear um ativo com o outro no caso em que os dois
ativos têm ρ=1. Mas diferentemente do caso em que ρ=-1, isto requer vender a
descoberto o outro ativo na proporção adequada.
3.2.3 Alocação de Ativos com Dois Ativos Arriscados e um Ativo sem
Risco
Na seção 3.1 consideramos o problema de escolher a carteira ótima aplicando num
ativo sem risco e numa carteira de ativos arriscados. Agora consideraremos
simultaneamente o problema de alocar entre o ativo sem risco e a carteira ótima de
ativos arriscados e como escolher esta última quando temos dois ativos arriscados.
Este problema tem uma importância prática, pois é comum escolher a carteira
ótima em etapas. Primeiro escolhe-se o que alocar em classes de ativos. Depois
escolhe-se a carteira ótima dentro de cada classe de ativos. O problema que
tratamos nesta seção é útil para a primeira destas etapas.
Vimos na seção 3.2.2 que a combinação de dois ativos arriscados com correlação
imperfeita (-1<ρ<1) tende a gerar um conjunto de oportunidade de carteiras
arriscadas do tipo representado pela curva rosa na Figura 5 acima. Quando unimos
um ativo sem risco a uma carteira arriscada desta curva geramos a curva de
alocação de capital (CAL), representada na Figura 2 que vimos na seção 3.1.3.
Abaixo reproduzimos várias CALs resultantes da combinação de um ativo sem risco
com uma carteira gerada por uma combinação diferente de dois ativos arriscados
fixos. Note na Figura 6 abaixo, que cada combinação de pesos dos dois ativos
arriscados leva a uma nova CAL. Observe que uma CAL mais inclinada, como a
gerada pela combinação do ativo sem risco e a carteira B da figura, domina em
termos de média-variância uma CAL menos inclinada, como a gerada pela carteira
A. Isto quer dizer que qualquer indivíduo prefere uma carteira na CAL mais
inclinada a qualquer carteira na CAL menos inclinada.
Portanto, podemos nos concentrar na CAL mais inclinada de todas: a que tangencia
o conjunto de oportunidade de carteiras arriscadas, reproduzida na Figura 7. A
carteira de ativos arriscados que faz parte da CAL é a carteira P do ponto de
tangência da curva. Lembre da seção 3.1.3 que a inclinação da CAL é o índice de
Sharpe da carteira arriscada. Portanto a carteira P é a carteira com maior índice de
Sharpe entre as carteiras de ativos arriscados. Isto nos provê um método para
encontrar P, que é achar a composição da carteira de ativos arriscados (no caso de
dois ativos arriscados, o peso w de um deles) que maximize o índice de Sharpe.
Figura 6
Figura 7
Formalmente o problema pode ser escrito como:
Neste caso a solução do problema pode ser achada derivando a expressão em
relação a w, igualando a zero, e explicitando w na equação resultante. O peso
ótimo na carteira E é dado por:
Exemplo:
Suponha que um investidor com coeficiente de aversão ao risco 4 deseja alocar
otimamente sua riqueza entre um fundo de ações, um fundo de renda fixa e um de
CDI. O fundo de renda fixa tenha retorno esperado de 13% e desvio padrão dos
retornos de 12%, enquanto que um fundo de ações têm retorno esperado de 13%
e desvio padrão de 20%. Suponha também que a correlação entre os retornos dos
dois fundos seja 0,3 e que o fundo DI (proxy para ativo sem risco) tenha retorno de
5%.
Usando a fórmula acima podemos calcular a participação do fundo de ações na
carteira de ativos arriscados, resultando em w=0.60. O retorno esperado da
carteira de ativos arriscados então é 11% e o desvio padrão 14.2%.
Encontrada a carteira ótima de ativos arriscados, ou carteira de tangência, pode-se
então calcular a posição do investidor na carteira de ativos arriscados. Isto significa
encontrar dentre as carteiras na CAL, gerada pela combinação entre a carteira de
tangência e o ativo sem risco, a carteira que atinge a curva de indiferença mais
alta, conforme mostrado na Figura 8, reproduzida abaixo.
Figura 8
Vimos na seção 3.1.4 que a proporção na carteira de ativos arriscados pode ser
encontrada através da seguinte fórmula:
Então o investidor escolhe alocar 25,61% no fundo DI, 44,63% (0,6×0,7439) no
fundo de ações e 29,76% (0,4×0,7439) no fundo de renda fixa.
3.2.4 O Modelo de Seleção de Carteiras de Markowitz
Aqui estendemos a análise para um número arbitrário de ativos arriscados (r1,r2,
...rn ) e um ativo sem risco. Considere o problema em que você receba dos seus
analistas projeções do retorno do ativo sem risco rf, do retorno esperado para os n
ativos arriscados E(r1),E(r2), ...E(rn), e estimativas de covariância dos retornos para
qualquer par de ativos arriscados σij (que compõem a matriz de covariância dos
retornos).
Em primeiro lugar, temos um conjunto de oportunidade de carteiras de ativos
arriscados muito mais rico. Este conjunto está ilustrado na Figura 9 abaixo.
Observe que os ativos individuais estão normalmente à direita da fronteira, pois é
possível eliminar parte do risco que cada um deles tem que não é correlacionado
com o risco de outros ativos.
Figura 9
O envoltório do conjunto de oportunidade é chamado de fronteira de variância
mínima, que pode se encontrar a partir do problema de encontrar os pesos da
carteira que minimiza a variância do retorno para um dado retorno esperado µ,
impondo também a restrição de que a soma dos pesos de uma carteira deve ser 1.
Este procedimento equivale a achar o ponto mais a esquerda da interseção de uma
reta horizontal partindo do eixo das abscissas num ponto arbitrário µ com o
conjunto de oportunidade. Matematicamente podemos escrever:
Problema 1
sujeito a
e
Figura 10
Variando o retorno esperado µ da carteira, formamos o envoltório, conforme
mostrado na Figura 10, reproduzida abaixo. Pode-se mostrar que este envoltório
forma uma hipérbole no espaço retorno esperado – desvio padrão.
O ponto mais a esquerda da fronteira de variância mínima corresponde à carteira
de variância mínima. Os pontos da fronteira de variância mínima acima da
carteira de variância mínima formam a fronteira eficiente de ativos arriscados,
pois cada ponto da fronteira abaixo da carteira de variância mínima é dominado por
um outro ponto acima na mesma reta vertical que tem retorno esperado maior e
mesma variância. Na construção não colocamos nenhuma restrição aos valores dos
pesos das carteiras, a não ser que a sua soma seja 1. Isto inclui a possibilidade de
venda a descoberto de qualquer ativo. Na prática é comum haver restrições como,
por exemplo, à venda a descoberto de determinados ativos, ou seja, que se
imponha
para alguns i’s. Estas restrições teriam que ser adicionadas às
condições do problema acima, alterariam o formato da curva eficiente, e poderiam
reduzir o índice de Sharpe máximo atingível.
Combinando as carteiras de fronteira eficiente com o ativo sem risco encontramos
diversas curvas de alocação de capital, como na Figura 11. A curva mais alta, e que
domina as outras, é a que tangencia a fronteira eficiente de ativos arriscados. Esta
CAL se constitui na nova fronteira eficiente de ativos, depois de adicionado o
ativo sem risco.
Figura 11
Para encontrar a fronteira eficiente constituída pela curva de alocação da capital
mais alta podemos proceder em duas etapas, como no caso da seção anterior. Em
primeiro lugar, encontramos a carteira de ativos arriscados com maior índice de
Sharpe. Em seguida fazemos todas as combinações possíveis desta carteira com o
ativo sem risco. Formalmente, em primeiro lugar:
Problema 2
Seja a solução deste problema a carteira de ativos arriscados com pesos
w1t,w2t,...wnt. Colocamos, então o peso λ na carteira sem risco e o peso 1-λ na
carteira de tangência, resultando no vetor de pesos de dimensão n+1, ordenado de
tal forma que o primeiro peso corresponde ao ativo sem risco:
Esta formulação é prática e útil para implementação em planilhas.
Uma implicação do fato da carteira de tangência ter o maior índice de Sharpe, é
que sua covariância com qualquer ativo i é proporcional ao prêmio de risco deste
ativo2:
Como esta relação vale para qualquer ativo i, então vale para qualquer carteira. Em
particular, seja wi o peso do ativo i na carteira de tangência p. Multiplicando cada
equação por wi e somando temos:
ou
Temos portanto que:
Finalmente, podemos usar a igualdade entre o primeiro e o terceiro termo para
escrever:
Equação 8
onde
.
Ou seja, se identificarmos a carteira de tangência de ativos arriscados p, podemos
usá-la como referência para precificar as outras carteiras da economia. Dado o
prêmio de risco da carteira p, o prêmio de risco de qualquer carteira q será tanto
maior quanto maior for o beta desta carteira em relação a carteira de referência p.
Se fosse possível rodar uma regressão de toda a população de retornos de q em
retornos de p, βqp corresponderia ao coeficiente de rp nesta regressão. Em outras
palavras, corresponde à sensibilidade do retorno de q ao retorno de p – um βqp
maior implica que um dado aumento de rp tende a ser acompanhado por um maior
aumento de rq.
Observe que a Equação 8 é obtida apenas da matemática da fronteira, sem que
seja necessário fazer qualquer hipótese econômica.
Uma forma alternativa de resolver o problema de encontrar a fronteira médiavariância é, como no Problema 1, mas desta vez incluindo o ativo sem risco.
Formalmente,
2
Outra formulação desta relação é que a razão entre o prêmio de risco do ativo i e sua covariância com
a carteira de tangência é constante. Se esta razão fosse maior (menor) para um ativo específico seria
possível aumentar o índice de Sharpe da carteira de tangência através de um aumento (redução) do
peso do ativo cuja razão (entre o seu prêmio de risco e sua covariância com a carteira de tangência)
fosse maior (menor) às custas de uma redução (aumento) do peso do ativo sem risco.
Problema 3
sujeito a
Note que como definimos o peso no ativo sem risco como resíduo, ou seja o que
falta para a soma dos pesos somar 1, não precisamos adicionar a restrição relativa
a soma dos pesos.
Por fim é possível encontrar a carteira ótima para o indivíduo que tem aversão ao
risco A como a melhor combinação entre o ativo sem risco e a carteira de tangência
(em termos do Problema 2, encontrando o melhor λ), utilizando a fórmula derivada
na seção 3.1.4. Note que todos os indivíduos vão reter combinações diferentes do
ativo sem risco e da mesma carteira de ativos arriscados. Esta propriedade é
denominada de separação em dois fundos.
Leitura e Exercícios
Leia o capítulo 7, e com especial atenção o apêndice A, que ensina como computar
a fronteira média variância através de um exemplo em Excel. Baixe a planilha
referente a este apêndice no seu computador.
Faça os seguintes exercícios do capítulo 7 do livro: 1 a 7, 9, 10, 11, 14 a 16, 20 a
26, 29, 30, 31.
Capítulo 4: O CAPM
Neste capítulo começaremos a abordar os modelos que explicam a relação entre o
risco de um ativo e seu retorno esperado apresentando o mais famoso deles: o
CAPM. O CAPM é um modelo de equilíbrio entre oferta e demanda de ativos, onde a
demanda é derivada de investidores que se preocupam somente com o retorno
esperado e a variância da sua carteira, como no capítulo 3.
4.1 O CAPM
O CAPM é um modelo que determina o prêmio de risco de qualquer ativo
arriscado a partir do prêmio de risco de uma carteira especial, que é a carteira de
mercado. Ele se baseia fortemente no modelo de gestão de carteira de Markowitz.
O CAPM foi desenvolvido conjuntamente por William Sharpe e John Lintner no
começo dos anos 60 e foi generalizado posteriormente por Fischer Black.
4.1.1 Hipóteses
O CAPM de Sharpe-Lintner é a versão padrão do CAPM. Pressupõe a existência de
um ativo sem risco e da possibilidade de comprá-lo e vendê-lo a descoberto
ilimitadamente à mesma taxa rf . A seguir listamos as hipóteses que nos
permitem derivá-lo:
1. Existem muitos investidores que são pequenos em relação ao mercado. Da
mesma forma que no modelo de competição perfeita, eles agem como
tomadores de preço (“price-takers”), isto é, ignorando o efeito das suas
transações sobre os preços dos ativos.
Utilizamos esta hipótese ao abordar o comportamento do investidor ao alocar sua
riqueza entre vários ativos no capítulo 3.
2. Todos os investidores tomam decisão com base na distribuição de retornos
de um período. Este comportamento é míope, porque ignora tudo o que
ocorre depois deste período.
Esta hipótese também foi adotada no capítulo 3. Na verdade os investidores vivem
muitos períodos e deveriam se preocupar com o seu consumo ao longo do tempo.
As oportunidades de investimento podem variar no tempo, e estratégias de
investimento que são pouco arriscadas no curto prazo, podem ser muito arriscadas
no longo prazo e vice-versa. Por exemplo, um título de renda fixa com cupon fixo
tem retornos de curto prazo que variam bastante com flutuações na taxa de juros,
mas tem retornos de longo prazo estáveis. Um título pré-fixado de curto prazo tem
uma taxa conhecida no horizonte de tempo curto, mas se rolarmos este tipo de
aplicação no longo prazo sua taxa de retorno será incerta, refletindo a incerteza
proveniente das taxas futuras às quais o título é rolado.
3. Os investimentos estão limitados ao universo dos ativos financeiros
transacionados publicamente, nele incluído o ativo sem risco. É possível
comprar ou vender ilimitadamente todos os ativos deste universo. Esta
hipótese descarta o investimento em ativos não-transacionáveis como
educação, empreendimentos privados, etc.
Em realidade a demanda por ativos transacionados no mercado deve ser afetada
pelos ativos não-transacionáveis que o investidor possui. Por exemplo, se o
indivíduo tem capital humano especializado em determinada atividade da
economia, ele deveria aceitar retornos esperados menores de ativos negativamente
correlacionados com o retorno destas atividades.
4. Não existe custo de transação e impostos sobre os retornos auferidos.
Na prática, dividendos e ganhos de capital são taxados, reduzindo o retorno. Em
certos países, como Noé EUA, investidores diferentes pagam alíquotas diferentes.
Há em geral custo de se transacionar os ativos. O preço para compra é maior do
que o preço para venda, e a diferença é tanto maior quanto menor for a liquidez do
ativo. No CAPM supomos que não há imposto e que podemos comprar e vender
qualquer ativo ao mesmo preço.
5. Todos os investidores são otimizadores racionais se preocupando somente
com a média e variância dos retornos, o que significa que eles usam o
modelo de seleção de carteira de Markowitz.
Investidores racionais podem ser preocupar também com outros momentos da
distribuição de retornos, como assimetria e curtose. No modelo de Markowitz
supõe-se que o investidor é indiferente a estes outros momentos.
6. Todos os investidores estimam a expectativa dos retornos e as suas
covariâncias da mesma forma. Isto significa que eles usam o mesmo vetor
de retorno esperado e a mesma matriz de covariância como insumos do seu
problema de seleção de carteira. Esta hipótese é conhecida como
expectativas homogêneas.
Dois investidores na prática podem ter estimativas de retorno esperado diferentes
para o mesmo ativo, o mesmo acontecendo com estimativas de covariâncias. Caso
isto aconteça, eles enxergarão fronteiras eficientes de ativos arriscados diferentes.
Para que o CAPM valha é necessário que eles se deparem com a mesma fronteira.
4.1.2 Derivação da equação básica
Para derivar a equação do CAPM, temos que estabelecer que a carteira de
mercado de ativos arriscado está na fronteira. A carteira de mercado de ativos
arriscados é carteira onde o peso de cada ativo é a razão entre o valor de
capitalização deste ativo e o valor de mercado de todos os ativos arriscados. Este é
o lado da oferta. Pelo lado da demanda, vimos no capítulo 3, que com as hipóteses
adotadas vale a propriedade de separação em dois fundos, segundo a qual todos os
investidores demandam combinações diferentes entre o ativo sem risco e a mesma
carteira de ativos arriscados. Então a demanda por ativos arriscados vai ser na
mesma proporção para todos os indivíduos. O equilíbrio de mercado requer que a
demanda total por cada ativo arriscado seja igual a oferta. Logo segue-se que a
carteira de mercado de ativos arriscados é a carteira arriscada demandada por
todos os indivíduos. Mas esta está necessariamente na fronteira eficiente. Segue-se
que a carteira de mercado de ativos arriscados está na fronteira eficiente. A Figura
12 abaixo ilustra a fronteira com a carteira de mercado identificada como carteira
de tangência. Neste caso chamamos a curva de alocação de capital comum a todos
investidores de curva de mercado de capital (CML).
Figura 12
Agora podemos proceder ao segundo e último passo. Era uma conseqüência do
modelo de Markowitz que o prêmio de risco de qualquer carteira q poderia ser
relacionada ao prêmio de risco de uma carteira da fronteira através da equação xx.
Agora podemos identificar a carteira de mercado como uma carteira da fronteira e
substituir M por p na equação xxx:
Equação 9
onde
.
Esta é a equação do CAPM, segundo a qual, dado o prêmio de risco do mercado, o
prêmio de risco de um ativo é tanto mais alto quanto maior for o seu beta. Agora
usamos somente β omitindo a carteira de referência, que subentende-se ser a
carteira de mercado. A equação do CAPM está representada na Figura 13 abaixo.
Figura 13
Relacionamos o retorno esperado do ativo ao seu beta, de acordo com a equação 9.
A esta relação chamamos de curva de mercado dos ativos (SML). De acordo
com o CAPM qualquer ativo deve estar sobre a SML. Note que a sua inclinação é o
prêmio de risco do mercado e o seu intercepto é o retorno do ativo sem risco. O
retorno do mercado tem beta igual a 1 e satisfaz trivialmente a equação 9.
A SML provê uma referência importante para a avaliação do desempenho
deinvestimentos e também para a seleção de papéis. Um investimento pode ser
considerado extremamente vantajoso se o seu retorno esperado é superior àquele
justificado pelo seu risco. O retorno esperado justificado pelo risco pode ser
encontrado através da SML. Dado o beta do investimento, se o retorno esperado
dele for superior ao justificado pelo risco ele estará acima da SML, conforme
indicado na Figura 14 abaixo. Neste caso dizemos que o investimento tem um α
positivo, onde α é a distância vertical entre o retorno esperado e a SML. Quando
uma ação tem um α positivo (negativo), podemos dizer que ela está subavaliada
(superavaliada) pelo mercado.
Figura 14
4.1.3 Beta enquanto medida de risco e igualação da remuneração
por risco incorrido
Fica claro que no CAPM a medida de risco do ativo é o beta do ativo, que é dado
pela razão entre a covariância do retorno do ativo com o retorno do mercado e a
variância do retorno do mercado. Vê-se portanto que a característica do ativo
associada ao seu risco é a sua covariância com o retorno do mercado, e não a
variância do seu retorno, como se poderia pensar a primeira vista. Embora em
aparente contradição a hipótese de que o risco relevante para o investidor é medido
pela variância do retorno da carteira, na verdade esta medida é consistente com
ela. Cada investidor tem como carteira arriscada a carteira do mercado. Portanto o
risco incorrido nesta carteira é dado pela variância da carteira do mercado. A
contribuição de um ativo individual para este risco é dada pela covariância do seu
retorno com o retorno do mercado. Este fato pode ser exemplificado a partir da
seguinte decomposição da variância de mercado:
Logo a contribuição do ativo i para a variância do mercado é dada por
Obviamente esta depende da participação
claro então que a contribuição por unidade é
.
do ativo na carteira do mercado. É
A razão entre a
compensação pelo risco do ativo i e o seu risco adicionado pode então ser escrita
como:
De acordo com a equação do CAPM esta razão é igual para qualquer ativo.
Substituindo a expressão para beta em 9 e rearrumando encontramos:
Note que do lado direito temos a razão entre remuneração e risco do mercado, e
que do lado esquerdo poderíamos ter qualquer ativo ou carteira. Concluímos então
que de acordo no equilíbrio atingido no CAPM a remuneração por unidade de risco
incorrido é idêntica para todos os ativos, se igualando a remuneração por risco
incorrido do mercado. Intuitivamente, se algum ativo desse uma remuneração
maior por risco incorrido haveria uma maior demanda por ele até que o seu preço
subisse até o ponto que a redução de remuneração restabelecesse a igualdade com
a remuneração por unidade de risco do mercado. Note que esta última é
freqüentemente denominada de preço de mercado do risco.
4.1.4 Prêmio de risco do mercado
O CAPM relaciona o prêmio de risco de cada ativo com o prêmio de risco do
mercado, mas é agnóstico em relação à magnitude deste último. Mas o que
determina o prêmio de risco do mercado? Intuitivamente, ele deve resultar da
interação entre o risco do mercado e a aversão ao risco dos investidores. Assim
quanto maior o risco do mercado maior o prêmio de risco do mercado. Por outro
lado, para um dado risco de mercado, quanto maior a aversão ao risco dos
investidores maior o prêmio de risco. Este resultado pode ser derivado a partir das
preferências e da equação de alocação de ativos do capítulo 3. Lá tínhamos que a
proporção investida no ativo arriscado (no caso, a carteira de mercado) era dada
pela seguinte relação:
Seja Wi a riqueza total do indivíduo i. Então montante demandado pelo indivíduo i
da carteira de mercado deve ser yi Wi. Seja Wm o valor de capitalização da carteira
de mercado. Temos então que
Rearrumando chegamos a:
onde
é um múltiplo da média harmônica das aversões ao risco dos investidores
ponderada pela sua riqueza relativa. As expressões acima mostram que se os
investidores ficarem mais avessos ao risco, i.e. se cada Ai aumenta, haverá um
aumento da aversão ao risco média da economia, e por conseguinte do prêmio de
risco do mercado. O aumento do prêmio de risco de mercado é necessário para
induzir os investidores, que agora são mais avessos ao risco, a continuarem a
demandar a carteira de mercado.
4.1.5 Utilidade, Limitações e Extensões
O CAPM pode ser utilizado tanto na seleção de papéis transacionados no mercado,
na avaliação de desempenho como na decisão de investimentos de uma firma
(capital budgeting). Neste último caso o gerente avalia o beta do projeto de
investimento e a partir dele calcula o retorno requerido para compensar o seu risco
utilizando o CAPM. Então compara seu retorno esperado com o retorno requerido.
Se for maior, o investimento é vantajoso, ou em tese será possível financiar o
investimento a uma taxa menor que o seu retorno.
Mas suponha que o CAPM não valha. Existe evidência de que o retorno das ações
não é bem explicado pelo CAPM. Temos duas hipóteses para esta falha. Ou os
riscos do mercado não são adequadamente capturados pelos betas do CAPM, ou o
mercado não é eficiente. Se a primeira hipótese for verdade, devemos substituir o
CAPM por um modelo que capte melhor os riscos de mercado. O APT, que veremos
na próxima seção, é uma alternativa. Mas se os betas captam adequadamente os
riscos de mercado e a falha se dá porque a avaliação de ativos no mercado não é
racional, o CAPM continua a ser útil na avaliação de desempenho, na seleção de
papéis e na seleção de projetos para a firma.
Extensões do CAPM foram propostas relaxando algumas das suas hipóteses. Uma
delas é a versão do CAPM de Black ou modelo de beta zero. Sob as hipóteses
alternativas de que não existe ativo sem risco, ou que não é possível vendê-lo a
descoberto (tomar um empréstimo a uma taxa fixa e sem risco), ou que a taxa de
empréstimo é diferente da de aplicação, Fischer Black derivou uma versão
alternativa do CAPM que no lugar da taxa sem risco usa a taxa de retorno esperada
de uma carteira na fronteira média-variância não-correlacionada
com o
retorno da carteira do mercado. A expressão resultante é
onde
.
Outra extensão considera a existência de renda do trabalho ou outros ativos não
transacionados que o investidor deve levar em conta na escolha da sua carteira
ótima. A liquidez de um ativo aparece empiricamente como um importante
determinante do seu retorno esperado e o CAPM também pode ser extendido para
levá-la em consideração. Estas extensões são abordadas mais extensivamente no
final capítulo 9 do livro.
Leitura e Exercícios
Leia o capítulo 9 do livro texto com especial atenção a seção 9.1 e faça os
seguintes exercícios 1 a 15, 18, 19, 21 a 28, 31.