Aula_08 Estados Planos de Tensão e Deformação

PME-2350 – MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
AULA #8: ESTADO PLANO DE TENSÃO &
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO1
8.1.
Introdução
Nesta aula veremos as condições em que ocorrem alguns estados tensionais relativamente mais
simples, cujas formulações encontram-se implementadas em códigos de elementos finitos. Estes
estados mais simples são denominados: estado plano de tensão e estado plano de deformação. Veremos
também que é possível passar de um (estado) para outro com uma simples mudança das constantes
elásticas envolvidas nas formulações.
8.2.
O Estado Plano de Tensão (EPT)
O estado plano de tensões (EPT) é caracterizado pelas seguintes condições (ver figura 1):
•
Aplicável a chapas finas (espessura da chapa é pequena quando comparada às demais dimensões
da chapa) cujo plano de meia espessura encontra-se, por exemplo, no plano Oxy (estruturas 2D);
•
A chapa deve ser carregada apenas em seu próprio plano (não há esforços transversais ao plano
da chapa);
•
Carregamento deve ser uniformemente distribuído (ao longo da espessura) e aplicado apenas
sobre o contorno da chapa.
y
y
Faces descarregadas
x
z
Fig. 1 Chapa fina sob estado plano de tensão.
1
Notas de Aula preparadas pelo Prof. Dr. Roberto Ramos Jr., email: [email protected]
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1
Nestas condições as componentes de tensão ௭ , ௭௫ e ௭௬ são nulas nas duas faces da chapa (uma
vez que o carregamento externo está aplicado apenas sobre o contorno da chapa), e pode-se admitir, a
princípio, que tais tensões também sejam nulas (ou tenham magnitudes desprezíveis) no interior da
chapa, dada a hipótese de continuidade das tensões e a condição de pequena espessura da chapa. E,
pelas mesmas razões, pode-se postular que as tensões restantes (௫ , ௬ e ௫௬ ) sejam independentes da
coordenada z (ou seja, também não variam ao longo da espessura), sendo funções apenas das
coordenadas x e y. Desta forma, temos:
௫ = ௫ (, ), ௬ = ௬ (, ),
௭ ≅ 0,
௭௫ ≅ 0,
௫௬ = ௫௬ (, )
௭௬ ≅ 0
Decorre, do exposto, o nome “estado plano de tensão” ao estado caracterizado pelas condições
apresentadas no início.
Considerando, como de costume, que o material possua comportamento elástico-linear, seja
homogêneo e isótropo, podemos determinar as deformações a partir das três componentes de tensão
não-nulas, utilizando as equações constitutivas do material na forma:
1
1
௫ − ௬ + ௭ ⇒ ௫ ≅ ௫ − ௬ 1
1
௬ = ௬ − ௫ + ௭ ⇒ ௬ ≅ ௬ − ௫ ௫ =
௭ =
௫ + ௬ 1
௭ − ௫ + ௬ ⇒ ௭ ≅ −
௫௬
௫௬ =
௬௭
௬௭ =
⇒ ௬௭ ≅ 0
௭௫
௭௫ =
⇒ ௭௫ ≅ 0
Vê-se, portanto, que, apesar de termos três componentes de tensão nulas (ou de magnitudes
desprezíveis), teremos apenas duas componentes de deformação nulas (ou de magnitudes desprezíveis,
frente às demais componentes de deformação). Com relação às equações diferenciais de equilíbrio, é
imediato verificar que, em condições de estado plano de tensões (e considerando que as forças
distribuídas no volume tenham somente componentes segundo as direções x e y, ou seja, desde que
௭ = 0), tais equações ficam expressas na forma simplificada:
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௫ ௬௫
௫ 0
௫௬ ௬
௬ 0
Percebe-se, então, que mesmo os problemas (mais simples) de estado plano de tensão são
estaticamente indeterminados, visto que as duas equações diferenciais de equilíbrio que restam são, em
geral, insuficientes para a determinação das três tensões não-nulas (௫ , ௬ e ௫௬ ). Mais adiante,
veremos que a equação necessária para a solução do problema (de determinação destas três tensões)
pode ser posta na forma de uma equação de compatibilidade de deformações, expressa em função das
tensões.
8.3.
O Estado Plano de Deformação (EPD)
O estado plano de deformação (EPD) é caracterizado pelas seguintes condições (ver figura 2):
Condições geométricas: aplicável a estruturas longas e prismáticas, sem variação de sua seção
transversal ao longo do eixo longitudinal (aqui considerado como sendo o eixo z);
Condições do carregamento: o carregamento deve ser aplicado transversalmente aos elementos
longitudinais, não deve variar ao longo do eixo longitudinal, e deve ser auto-equilibrado (portanto, não
deve haver esforços transversais ao eixo nas seções extremas);
Condições cinemáticas: admite-se ainda a existência de planos rígidos, fixos e sem atrito nas seções
extremas, os quais impedem quaisquer deslocamentos dos pontos pertencentes às seções extremas para
fora do plano ao qual pertencem.
y
y
z
x
Carregamento equilibrado em todas as
seções transversais.
Planos rígidos,
fixos e sem atrito.
Fig. 2 Estrutura prismática sob estado plano de deformação.
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Nestas condições, pode-se verificar que os deslocamentos dos pontos pertencentes à seção
transversal situada a meio-comprimento só podem ocorrer no próprio plano e, por extensão, o mesmo
vale para todas as seções transversais, de tal modo que os deslocamentos dos pontos do sólido ficam
dados por:
= (, ), = (, ), = 0
E, das relações deformações-deslocamentos, resultam:
(, )
⇒ ௫ = ௫ (, )
(, )
௬ =
⇒ ௬ = ௬ (, )
௫ =
௫௬ =
(, ) (, )
+
⇒ ௫௬ = ௫௬ (, )
e
=0
=
+
=0
௭ =
௬௭
௭௫ =
+
=0
Decorre, do exposto, o nome “estado plano de deformação” ao estado caracterizado pelas condições
apresentadas no início.
Considerando, novamente, que o material possua comportamento elástico-linear, seja homogêneo e
isótropo, temos, da condição de que o alongamento ௭ deve ser necessariamente nulo em todo o sólido,
a seguinte relação para determinar a tensão ௭ :
௭ =
1
− ௫ + ௬ = 0 ⇔ ௭ = ௫ + ௬ ௭
Esta tensão normal, que é desenvolvida nos planos de seção extrema, é a tensão necessária para
garantir a existência do estado plano de deformação pois, sem ela, o sólido estaria livre para se
deformar na direção longitudinal.
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Utilizando a expressão anterior nas demais equações constitutivas para nos livrarmos da tensão
normal ௭ , podemos estabelecer as seguintes relações entre deformações e tensões, válidas para as
condições de estado plano de deformação:
௫ =
௬ =
1
(1 − ଶ )
௫ − ௬ + ௭ ⇒ ௫ =
௫ −
(1 − ) ௬
1
(1 − ଶ )
௬ − ௫ + ௭ ⇒ ௬ =
௬ −
(1 − ) ௫
E, como as componentes de deformação ௫ e ௬ independem de z, decorre das relações acima que as
tensões normais ௫ e ௬ também serão independentes de z. Já as relações entre distorções e tensões
cisalhantes continuam sendo as mesmas e, no estado plano de deformação, fornecem:
௫௬ = ௫௬ ⇒ ௫௬ = ௫௬ (, )
௬௭ = ௬௭ ⇒ ௬௭ = 0
௭௫ = ௭௫ ⇒ ௭௫ = 0
Vê-se, portanto, que, apesar de termos três componentes de deformação nulas, teremos apenas duas
componentes de tensão nulas. Com relação às equações diferenciais de equilíbrio, pode-se verificar
que, em condições de estado plano de deformação (e considerando que as forças distribuídas no volume
tenham somente componentes segundo as direções x e y, ou seja, desde que ௭ = 0), tais equações
ficam expressas na mesma forma encontrada para o estado plano de tensão, ou seja:
௫ ௬௫
+
+ ௫ = 0
௫௬ ௬
+
+ ௬ = 0
Assim, os problemas de estado plano de deformação também ficam estaticamente indeterminados,
sendo necessária uma equação adicional para a determinação das tensões ௫ , ௬ e ௫௬ . Uma vez
determinadas estas tensões, a tensão normal ௭ necessária para garantir o estado plano de deformação
decorre diretamente da relação:
௭ = ௫ + ௬ Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – Departamento de Engenharia Mecânica
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8.4.
Relação entre o estado plano de tensão e o estado plano de deformação
Do exposto, podemos verificar que o estado plano de tensão e o estado plano de deformação
guardam diversos pontos em comum, embora deva ficar claro que no primeiro caso temos uma
aproximação (dado que as tensões ௭ , ௭௫ e ௭௬ no interior da chapa não são exatamente nulas) ao
passo que no segundo caso nenhuma aproximação foi necessária (as tensões cisalhantes ௭௫ e ௭௬ serão
realmente nulas se as condições de EPD forem verificadas). Também vimos que as relações entre os
alongamentos ௫ e ௬ e as tensões planas ௫ e ௬ ficam dadas pelas seguintes equações:
•
Para o EPT:
1
− ௬ ௫
1
௬ = ௬ − ௫ ௫ =
•
Para o EPD:
௫ =
(1 − ଶ )
௫ −
(1 − ) ௬
(1 − ଶ )
௬ −
௬ =
(1 − ) ௫
Assim, se num problema de estado plano de deformação, definirmos duas constantes elásticas
(fictícias) ᇱ e ᇱ , dadas por:
ᇱ =
ᇱ
=
(1 − ଶ )
(1 − )
onde e correspondem às constantes elásticas reais do material, então as relações entre
deformações e tensões no EPD assumem a forma:
1
− ᇱ ௬ ᇱ ௫
1
௬ = ᇱ ௬ − ᇱ ௫ ௫ =
que são justamente as relações entre deformações e tensões no EPT.
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Deve-se observar que esta mudança nas constantes elásticas não afeta o valor do módulo de
cisalhamento do material que permanece inalterado como fica demonstrado facilmente a seguir:
ᇱ =
ᇱ
1
=
=
=
2(1 + ᇱ ) 2(1 − ଶ ) 1 +
2(1
+
)
(1 − )
Conclui-se, assim, que a solução de um problema de EPT pode perfeitamente ser adaptada para se
obter a solução de um problema de EPD bastando fazer uma mudança nas constantes elásticas
empregadas da forma descrita anteriormente.
8.5.
Referências
[1] Timoshenko, S.P.; Goodier, J.N., Theory of Elasticity, 3rd ed., Mc-Graw-Hill, Inc., 1970, 567p.
[2] Sadd, M.H., Elasticity: theory, applications, and numerics, 2nd ed., Elsevier, Inc., 2009, 536p.
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