Lista 2

CM127 - Lista 2
Congruência de Triângulos e Desigualdade Triangular
1. Faça todos os exercícios dados em aula.
2. Em um triângulo ABC a altura do vértice A é perpendicular ao lado BC e divide
BC em dois segmentos congruentes. Mostre que AB = AC.
3. Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles.
4. Sejam dois triângulos ABC e ABD tais que AC = AD. Se AB é a bissetriz do
ângulo ∠CAD então AB é perpendicular a CD.
5. Considere um círculo de raio R centrado em um ponto O. Sejam A e B pontos
do círculo. Mostre que o raio que passa pelo ponto médio do segmento AB é
perpendicular a este segmento. Inversamente, mostre que, se o raio é perpendicular
ao segmento então o cortaria no seu ponto médio.
6. Dois círculos de centro A e B e de mesmo raio se interceptam em dois pontos C e
D. Se M é ponto de intersecção de AB e CD, mostre que M é ponto médio de AB
e CD.
7. Considere um ângulo ∠AOB onde AO = BO. Trace dois círculos de mesmo raio
centrados em A e em B. Suponha que seus raios sejam grande suficientes para que
eles se interceptem em dois pontos. Mostre que a reta ligando estes dois pontos
passa pelo vértice do ângulo e é sua bissetriz.
8. Seja ABCD um quadrilátero e E um ponto entre A e B. Suponha que AD = DE,
∠DAB = ∠DEC e ∠ADE = ∠BDC. Mostre que os triângulos ADB e EDC são
congruentes.
9. Determine o conjunto de pontos que satisfazem a propriedade de serem equidistante
dos extremos de um segmento.
10. Mostre que as bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares.
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11. Na figura abaixo sabendo que os ângulos α = β mostre que AC = BC.
12. Na figura abaixo sabendo que AB = AC e BD = CE, mostre as seguinte afirmações:
i) 4ACD ≡ 4ABE
ii) 4BCD ≡ 4CBE
13. Na figura abaixo suponha que AC = AD e que AB é bissetriz de ∠CAD. Prove
que 4ACB ≡ 4ADB.
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14. Na figura abaixo supondo que A é ponto médio dos segmentos CB e CE, prove que
4ABD ≡ 4ACE.
15. Na figura abaixo os ângulos ∠BAD e ∠BCE são retos e o segmento DE corta
segmento AC no ponto médio B de AC. Mostre que AD = CE.
16. Na figura abaixo temos que OC = OB, OD = OA e ∠BOD = ∠COA. Mostre que
CD = AB.
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17. Na figura abaixo o ângulo ∠CM A é reto e M é ponto médio de AB. Mostre que
AC = BC.
18. Na figura abaixo os triângulos 4ABD e 4BCD são isósceles com base BD. Prove
que ∠ABC = ∠ACD.
19. Na figura abaixo temos AD = DE, ∠DAE = ∠DEC e ∠ADE = ∠BDC. Mostre
que 4ADB ≡ 4EDC.
20. Mostre que se um triângulo tem os lados congruentes então também possui os
ângulos congruentes. A recíproca é verdadeira? (Um triângulo que possui todos
lados congruentes é chamado que equilátero)
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21. Na figura abaixo se 4ABD e 4BCD são isósceles com base BD, prove que
∠ABC = ∠ADC e que AC é bissetriz de ∠BCD.
22. Justifique o seguinte procedimento para a determinação do ponto médio de um
segmento. “Seja AB um segmento. Com um compasso centrado em A, desenhe
uma circunferência de raio AB. Descreva outra circunferência de mesmo raio e
centro em B. Estas duas circunferências se interceptam em dois pontos. Trace a
reta ligando estes dois pontos. A interseção desta reta com o segmento AB será o
ponto médio de AB”.
23. Na construção acima é realmente necessário que as circunferências tenham raio AB
(ou pode-se utilizar um raio r qualquer)? Justifique a resposta.
24. Mostre que, na construção descrita no exercício 22, a reta que determina o ponto
médio de AB é perpendicular a AB.
Definição: A mediatriz de um segmento AB é uma reta perpendicular ao segmento
e que passa pelo seu ponto médio.
25. Utilize a ideia da construção descrita no exercício 22 e proponha um método de
construção de uma perpendicular à uma reta dada passando por um ponto desta
reta. Justifique a construção.
26. Demonstre ou dê um contra exemplo caso a sentença seja verdadeira ou falsa: Dados
dois triângulos 4ABC e 4EF G, se ∠BAC = ∠F EG, AB = EF e BC = F G,
então 4ABC ≡ 4EF G. É um quarto caso (ALL) de congruência de triângulos?
27. Se 4ABC é equilátero e D é um ponto tal que B ∗ D ∗ C, mostre que AD > BD.
28. Demonstre que: dados 4ABC e 4DEF com AB = DE, ∠ABC = ∠DEF e
∠ACB = ∠DF E, então 4ABC ≡ 4DEF (este é mais um caso de congruência
de triângulos chamado de Lado-Ângulo-Ângulo Oposto - LAAo).
29. Demonstre que: dados 4ABC e 4DEF , retângulos com ângulos retos ∠ACB e
∠DF E, AB = DE e BC = EF , então 4ABC ≡ 4DEF (este é um caso especial
de congruência de triângulos retângulos chamado de Hipotenusa-Cateto - HC).
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30. Mostre que se um triângulo possui duas alturas congruentes então o triângulo é
isósceles.
31. Sejam AB e CD segmentos que se bissectam em M (isto é, M é ponto médio de
AB e CD). Mostre que AC e DB são congruentes.
32. Seja 4ABC com M o ponto médio de BC. Se AM é perpendicular à BC então
4ABC é isósceles com base BC.
33. Na figura abaixo os ângulos externos ∠ACE e ∠ABD satisfazem ∠ACE < ∠ABD.
Mostre que ∠ABD > ∠ABC.
34. Considere um quadrilátero ABCD tal que BD > BC e ∠DAB > ∠ABC. Mostre
que BD > AC.
35. Na figura abaixo m e n são duas retas perpendiculares. Qual o caminho mais curto
para se ir do ponto A ao ponto B tocando nas duas retas?
36. Mostre que qualquer triângulo tem pelo menos um ângulo externo obtuso.
37. Considere 4ABC. No segmento AB tome um ponto D, e no segmento CD tome
um ponto E. Mostre que ∠AEC > ∠DBC.
38. Mostre que a soma das diagonais de um quadrilátero é maior que a soma de dois
lados opostos.
39. Dado 4ABC seja D ∈ AB. Mostre que CD é menor do que o comprimento de um
dos lados AC ou BC.
40. Sejam 4ABC e 4DEF com ∠ACB = ∠DF E, AB = DE e BC = EF . Dê um
exemplo para mostrar que estas hipóteses não acarretam que os triângulos devam
ser congruentes.
41. Dois segmentos têm extremidades em um círculo. Mostre que o mais distante do
centro do círculo tem o menor comprimento.
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42. Na figura abaixo prove que ∠DCH > ∠F ED.
43. Na figura abaixo considere que EF é bissetriz de ∠DEC. Mostre que:
(a) ∠F GC > ∠F EC.
(b) Se ∠F GH = ∠EDH então ∠EDI > ∠GF H
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44. Na figura abaixo temos ∠DAB < ∠DBA e ∠DAC < ∠DBC.
Mostre que
∠CAB < ∠CBA.
45. Na figura abaixo temos AD = BD e AC > BC. Mostre que ∠DAC < ∠DBC.
46. Na figura abaixo temos ∠ABD > ∠DBC. Prove que AD > BD.
47. Na figura abaixo o triângulo 4KGH é isósceles com base GH. Seja P um ponto
com P ∗ G ∗ H. Mostre que
(a) ∠KGH > ∠KP H
(b) ∠KP H < ∠KHG
(c) P K > KH
(d) Se tivéssemos G ∗ H ∗ P como poderíamos comparar P K e KH?
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48. Na figura abaixo prove que AB + BC + CD > AD.
49. Na figura abaixo temos que AB + BC + CD > AD, como no exercício anterior?
50. Seja P um ponto interno do triângulo 4ABC. Mostre que AB + AC > BP + P C.
51. Na figura abaixo mostre que o perímetro do triângulo 4DEF é menor do que o
perímetro do triângulo 4ABC.
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52. Mostre que se é possível construir um triângulo com lados de medidas a, b e c então
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1
1
é possível construir um triângulos com lados de medidas
,
e
.
a+b a+c b+c
53. Na figura abaixo mostre que:
AB + BC + CD + DA
< BD + AC.
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(b) BD + AC < AB + BC + CD + DA.
(a)
54. Mostre que a distância entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo não é
maior que a metade do perímetro do triângulo.
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