Ângulos no plano

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Ângulos
• Ângulo é a figura formada pela união dos pontos de duas semirretas com origem no mesmo ponto.
^
^
VA ∪ VB = AVB ou simplesmente V.
V
A
V é o vértice, VA e VB são os lados e α é a medida do ângulo.
α
V
P
Q
P pertence à região angular convexa.
Q pertence à região angular côncava.
B
• Ângulo raso é o nome dado ao ângulo formado por duas semi-retas colineares e opostas.
180º
A
VA ∪ VB = AB
V
⇔
^
med (AVB) = 180º ou π rad
O ângulo raso divide o plano em duas regiões convexas.
B
• Ângulo geométrico é aquele que tem uma media entre 0º e 180º. ( 0º< α < 180º )
O conceito de ângulo geométrico é muito importante para evitar confusões em relação ao número de
ângulos apresentados por uma mesma figura. Numa contagem de ângulos, só devem ser considerados
aqueles que são geométricos, ou seja, não se deve contar ângulos rasos nem ângulos cuja medida seja
maior do que 180º.
O ângulo raso não é geométrico e, por isso, não deve ser contado para nomear o polígono que o
possui. O triângulo, por exemplo, é um polígono que possui uma infinidade de ângulos rasos mas apenas
três ângulos geométricos.
• Ângulo agudo é aquele que tem uma medida entre 0º e 90º. ( 0º < α < 90º )
• Ângulo reto é aquele que mede 90º. ( α = 90º )
• Ângulo obtuso é aquele que tem uma medida entre 90º e 180º.
( 90º < α < 180º )
C
C
agudo
A
B
V
reto
reto
obtuso
A
V
B
Pares de ângulos
• Ângulos adjacentes são aqueles que têm uma semirreta comum.
A
V
α
β
^
med ( AVB ) = α
B
C
^
med ( BVC ) = β
^ ) = α+β
med ( AVC
• Ângulos complementares são aqueles cujas medidas somam um ângulo reto.
( α+β = 90º )
• Ângulos suplementares são aqueles cujas medidas somam um ângulo raso.
( α+β = 180º )
1
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Bissetriz de um ângulo
É a semi-reta que tem origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos adjacentes de
mesma medida.
A
^
VS é a bissetriz do ângulo AVB.
α/2
V
α/2
S
^
med ( AVB ) = α
α
^
^
med ( AVS ) = med ( BVS ) =
2
B
Um cruzamento
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos geométricos que podem ser todos retos, quando
as retas são perpendiculares ou podem ser dois agudos e dois obtusos, quando as retas são oblíquas.
α
Quatro ângulos,
ângulos, mas apenas
duas medidas suplementares:
suplementares:
α+β = 180º
s ⇒ 4 ângulos
2 agudos opostos pelo vértice de medida α
e
2 obtusos também o.p.v. mas de medida β
r
r
β
α
β
s
s
r ⊥ s ⇒ 4 ângulos retos
r
Dois cruzamentos
Duas retas paralelas e uma transversal determinam oito ângulos geométricos que podem ser todos
retos, quando a transversal for perpendicular às paralelas, ou podem ser quatro agudos e quatro obtusos,
quando a transversal for oblíqua às paralelas.
t
t
β α
r
α
s // r
t ⊥ r ⇒ 8 ângulos retos
β α
α β
t
r ⇒ 8 ângulos:
Oito ângulos, mas apenas
duas medidas suplementares:
α+β
β = 180º
r
β
s // r
4 agudos de medida α e
4 obtusos de medida β
t
Na figura ao lado, os pares de ângulos correspondentes são:
São alternos internos:
aez
bew
cex
São alternos externos:
dey
São colaterais internos:
xea
yeb
zec
wed
aew
bez
y
z
r
b
cey
São colaterais externos:
dex
c
x
w
a
d
s // r
2
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Três cruzamentos
Três retas concorrentes em três pontos distintos determinam doze ângulos geométricos e um triângulo.
B
r
β
α+γ
β
α+γ
α+β+γ = 180º
β
β+γ
α
u // AB
α
α+β
γ
α
β+γ
α+β
t
γ
γ
C
A
s
Ângulo
externo
β do
α ∆ABC
s
Na figura acima, os ângulos indicados com
medida α são correspondentes e os indicados
com medida β são alternos internos.
internos
O teorema angular de Tales diz que: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
qualquer é 180º. E o teorema do ângulo externo diz que: prolongando-se um dos lados de um triângulo,
obtém-se um ângulo externo cuja medida é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes
a ele, ou seja, igual à soma das medidas dos ângulos internos dos outros vértices do triângulo.
Ângulos de um triângulo
O teorema angular de Tales nos garante que a soma das medidas dos três ângulos internos de um
triângulo é igual à medida de um ângulo raso: 180º ou π radianos. Mas, além disso, devemos saber que em
todo triângulo, o maior lado está oposto ao maior ângulo e o menor lado está oposto ao menor ângulo. Se
não houver maior ângulo, então não haverá maior lado e se não houver menor ângulo então não haverá
menor lado.
Os triângulos são classificados de duas maneiras distintas:
ACUTÂNGULO – quando todos os seus ângulos forem agudos.
Quanto às medidas dos ângulos: RETÂNGULO – quando um de seus ângulos for reto.
•
OBTUSÂNGULO – quando um de seus ângulos for obtuso.
ESCALENO – quando as três medidas são diferentes.
Quanto às medidas dos lados: ISÓSCELES – quando pelo menos duas das medidas coincidem.
•
EQUILÁTERO – quando todos os lados têm a mesma medida.
De acordo com estas classificações, não é possível que um triângulo seja simultaneamente acutângulo e
retângulo, por exemplo, mas um triângulo equilátero é também um triângulo isósceles.
Acutângulo
A
α < 90º
90º
β < 90º
Retângulo
α
γ < 90º
β
B
γ
C
γ é reto
α+β = 90º
CA e CB são os catetos
e AB é a hipotenusa
β
B
Obtusângulo
A
A
α+β < 90º
γ > 90º
α
β
C
B
α
γ
C
Note que as três alturas do triângulo acutângulo são internas e encontram-se num mesmo ponto
chamado ortocentro do triângulo.
No caso do triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é a única visível, pois as outras duas
coincidem com os próprios catetos então o ortocentro do triângulo retângulo é o vértice do seu ângulo
reto. Se um dos catetos for considerado como base então o outro cateto será a altura. Assim a área do
triângulo retângulo pode ser obtida tanto da metade do produto dos catetos quanto da metade do produto
entra a hipotenusa e a altura relativa.
O triângulo mais perigoso de ser estudado é o triângulo obtusângulo, pois apenas uma de suas alturas
é interna, as outras duas ficam do lado de fora do triângulo e são representadas pelos segmentos que
indicam a distância entre o vértice de um de seus ângulos agudos até a reta suporte do lado oposto.
Temos o hábito de indicar as medidas dos lados de um triângulo pelas mesmas letras que designam
seus os vértices opostos só que minúsculas, assim: BC = a, AC = b e AB = c.
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Quatro cruzamentos
Quando dois pares de retas paralelas determinam um paralelogramo temos um total de dezesseis
ângulos que podem ser todos retos caso o paralelogramo seja retângulo ou podem ser oito agudos e oito
obtusos.
u // t
t
β α
α
β α
α β
β
β α
α β
β α
α β
r
Dezesseis ângulos,
ângulos, mas apenas
duas medidas suplementares.
α+β = 180º
180º
s // r
Os lados opostos de um paralelogramo são paralelos entre si e têm a mesma medida. Além disso, os
ângulos internos dos vértices opostos de um paralelogramo também têm a mesma medida.
Polígonos convexos
eA
A
N
iB
iA
eN
Este polígono convexo possui:
B
eB
C
iC
iN
n vértices: A , B , C , D , E , F , ... , N
eC
n-ágono
iD D
eD
i V + e V =180º
iF
eF
iE
eE
E
n lados: AB , BC , CD , DE , EF , ... , NA
n⋅(n – 3) diagonais: AC , AD , AE , AF , ... , BD , BE , BF , …
2
n ângulos internos: iA , iB , iC , iD , iE , iF , ... , iN
F
Em todo polígono convexo, a soma
das medidas do ângulo interno e do
externo de mesmo vértice é 180º.
Si + Se = n ⋅ 180º
Na verdade, o número de ângulos externos de um polígono convexo é 2n,
2n pois há dois deles em cada
vértice, mas como os ângulos externos de um mesmo vértice têm a mesma medida (o.p.v), contamos
apenas um em cada vértice para enunciar as formulas a seguir:
• A soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo é: Si
= (n – 2) ⋅180º
• A soma de todos os ângulos externos de um polígono convexo é constante: Se
60º
150º
• O polígono cujos lados têm todos a
mesma
medida
é
chamado
EQUILÁTERO.
Pentágono equilátero
150º
Pentágono equiângulo
108º
108º
108º
= 360º
108º
108º
• O polígono cujos ângulos internos
têm todos a mesma medida é
chamado EQUIÂNGULO.
• O polígono que é simultaneamente
equilátero e equiângulo deve ser
chamado polígono REGULAR.
108º
108º
108º
108º 108º
Pentágono regular
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O triângulo é o único polígono que se for
equilátero também será equiângulo, por isso
podemos chamar o triângulo regular de triângulo
equilátero.
O quadrilátero equilátero é o losango.
losango.
O quadrilátero equiângulo é o retângulo.
retângulo
O quadrilátero regular é o quadrado.
60º
60º
60º
60º
Alguns polígonos são inscritíveis e outros são circunscritíves em circunferências.
F
E
G
C
Heptágono inscrito
Circunferência circunscrita
B
O centro O determinado
pelas mediatrizes dos lados
é chamado de circuncentro.
O
A
D
B
Pentágono circunscrito
Circunferência inscrita
I
A
O centro I é determinado
pelas bissetrizes dos ângulos
internos do polígono. Ele é
chamado de incentro.
C
D
E
Todo triângulo é inscritível e circunscritível. Já, os losangos são apenas circunscritíves e os retângulos
apenas inscritíveis, a não ser que estejamos diante de um quadrado .
B
A
A
I
O
A
I
C
C
B
B
O
D
C
D
“ Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em circunferências de mesmo centro ”
(n – 2)
2)⋅⋅180º
n
α
A
O raio do círculo circunscrito é também o raio do polígono, ao
passo que o raio do círculo inscrito é o apótema do polígono.
Cada ângulo interno do polígono regular de n lados mede:
E
F
D
I≡O
B
Cada ângulo externo do polígono de n lados regular mede:
360º
360º
n
C
Na figura, α representa a medida do ângulo central do
polígono regular, que coincide com a medida do ângulo externo
em qualquer polígono regular.
Nomenclatura dos polígonos convexos:
convexos:
n = 3 Triângulo
n = 7 Heptágono
n = 11 Undecágono
n = 4 Quadrilátero
n = 8 Octógono
n = 12 Dodecágono
n = 5 Pentágono
n = 9 Eneágono
n = 13 Tridecágono
n = 6 Hexágono
n =10 Decágono
n = 14 Tetradecágono
n = 15 Pentadecágono
n = 20 Icoságono
5
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Ângulos na circunferência
• Ângulo central é aquele que possui como vértice o centro de uma circunferência.
B
^
med( AVB ) = med( AB ) = α
V≡O α
A medida do ângulo é igual a medida do arco da
circunferência determinado por este ângulo não importa qual
seja o raio desta circunferência desde que seu centro coincida
com o vértice do ângulo.
Se α = 80º,
80º então tanto o ângulo quanto o arco da figura
α
A
• Ângulo inscrito é aquele cujo vértice é um ponto pertencente à circunferência.
B
V
^
med( AVB ) = 1 ⋅ med( AB ) = β
2
A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do
arco da circunferência determinado por ele. Não importa qual
seja o A posição do seu vértice V, desde que ele esteja situado
no contorno da circunferência que contêm o arco.
β
2β
A
• Arco capaz é o lugar geométrico dos pontos do semiplano que observam um segmento sob um mesmo
ângulo.
V1
B
x
V2
^
x
x
x
V4
^
^
Se dois pontos A e B determinam um arco de circunferência.
Para todo ponto V deste arco, a medida do ângulo oposto ao
lado AB no triângulo AVB será a mesma.
x
V3
^
med(AV1B ) = med(AV2B ) = med(AV3B ) = med(AV4B ) = …
A
V5
Outras posições relativas entre ângulos e arcos
Sejam A, B, C e D pontos de uma circunferência, ordenados no sentido horário, que determinam arcos
AB e CD com medidas diferentes e V o ponto de intersecção das retas determinadas pelas extremidades
destes arcos.
1º caso: V é ponto do interior da circunferência.
V = AC ∩ BD
A
D
x
α
V
V = AD ∩ BC
A
^ )= x
med( AVB
β
med( AB ) = α
C
B
2º caso: V é ponto do interior da circunferência:
x=
α+β
2
D
α
V
x
β
C
med( CD ) = β
B
x=
α–β
2
6