PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
[email protected]
Aula 6
10/2014
Probabilidade
Interpretações
de
Probabilidade
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
3/79
Probabilidade
¨ 
¨ 
¨ 
Vamos trabalhar com espaços amostrais DISCRETOS.
Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou
chance de ocorrência de um resultado de um experimento
aleatório.
Quantificamos com um número entre [0, 1] ou em
porcentagem, de 0% a 100%.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Probabilidade
¨ 
Números maiores indicam que o resultado é mais provável
que números menores.
Probabilidade igual a 0
Resultado não
Probabilidade igual a 1
Resultado ocorrerá
ocorrerá
com certeza.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Definições de Probabilidade
¨ 
Definição Clássica;
¨ 
Definição Frequentista;
¨ 
Definição Axiomática.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Definição Clássica
¨ 
A probabilidade de um acontecimento E, que é um
subconjunto finito de um espaço amostral S, de resultados
igualmente prováveis, é:
n (E )
P (E ) =
n(S )
¨ 
Sendo n(E) e n(S) as quantidades de elementos de E e de S,
respectivamente.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Definição Clássica
¨ 
A definição clássica é dúbia, já que a ideia de “igualmente
provável” é a mesma de “com probabilidade igual”, isto é,
a definição é circular, porque está definindo essencialmente
a probabilidade com seus próprios termos.
¨ 
A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral
é infinito.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Frequência Relativa × Probabilidade
¨ 
Nem sempre é possível determinar, pela definição clássica, a
probabilidade de ocorrência de um evento.
¨ 
Qual a probabilidade de um avião cair?
¨ 
Qual a probabilidade de que um carro seja roubado?
¨ 
Qual a probabilidade de um aluno de Ciência da
Computação ser aprovado na disciplina de Probabilidade e
Estatística?
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Frequência Relativa × Probabilidade
¨ 
¨ 
¨ 
Respostas para esses problemas são fundamentais mas, como
não podemos calcular essas probabilidades pela definição
clássica, tudo o que podemos fazer é observar com que
frequência esses fatos ocorrem.
Com um grande número de observações, podemos obter
uma boa estimativa da probabilidade de ocorrência desse
tipo de eventos.
Denominamos de “
”
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Frequência Relativa × Probabilidade
¨ 
Seja E um experimento e A um evento de um espaço
amostral associado S. Suponha que E é repetido “n” vezes e
seja frA a frequência relativa do evento. Então, a
probabilidade de A é definida como sendo o limite de frA
quando “n” tende ao infinito. Ou seja:
P( A) = lim frA
n →∞
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Frequência Relativa × Probabilidade
¨ 
Deve-se notar que a frequência relativa do evento A é uma
aproximação da probabilidade de A. As duas se igualam
apenas no limite.
¨ 
Em geral, para um valor de n razoavelmente grande, a frA é
uma boa aproximação de P(A).
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Frequência Relativa × Probabilidade
¨ 
Probabilidade de 0,2 ao
Se analisarmos muitos
resultado que contém
pulsos, aproximadamente
um pulso corrompido
20% deles estarão
em um sinal digital
corrompidos
A proporção, ou frequência relativa, de réplicas do
experimento é 0,2.
¨ 
Escolhemos as probabilidades de modo que a
em um experimento
seja igual a
.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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EXEMPLO
¨ 
Distribuição de frequências referente às alturas (em
centímetros) dos alunos da UTFPR obtida na primeira aula.
Intervalos
de Classe
Ponto médio
Frequência
absoluta
Frequência
Relativa
150 |⎯ 154
(150+154)/2
= 152
4
4 / 40 = 0,100
4
0,100
154 |⎯ 158
156
9
0,225
4 + 8 = 13
0,325
158 |⎯ 162
160
11
0,275
24
0,600
162 |⎯ 166
164
8
0,200
32
0,800
166 |⎯ 170
168
5
0,125
37
0,925
170 |⎯ 174
172
3
0,075
40
1,000
40
1
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
Freq. Abs. Freq. Rel.
Acumulada Acumulada
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EXEMPLO
¨ 
Distribuição de frequências referente às alturas (em
centímetros) dos alunos da UTFPR obtida na primeira aula.
Intervalos
Pontode
médio
Probabilidade
de Classe
Frequência
absoluta
Frequência
Relativa
entre
150 e(150+154)/2
154 cm
150
|⎯ 154
é de 10%= 152
4
4 / 40 = 0,100
4
0,100
154 |⎯ 158
156
9
0,225
4 + 8 = 13
0,325
158Probabilidade
|⎯ 162
160
de
11
0,275
24 Soma das
0,600
um aluno ter altura
Freq. Abs. Freq. Rel.
Acumulada Acumulada
162 |⎯ 166
164
8
0,200
32
0,800
probabilidades
de
166 |⎯ 170
168
5
0,125
170 |⎯ 174
172
3
0,075
37 os resultados
0,925
todos
40
1
um aluno ter altura
entre 162 e 166 cm
é de 20%
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
40
1,000
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Resultados Igualmente Prováveis
¨ 
Toda vez que um espaço amostral consistir em N resultados
possíveis que forem
de cada resultado é
, a probabilidade
.
Lançamento
N=6
de um dado
Probabilidade de cada
resultado é 1/6
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Probabilidade e Estatística
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¨ 
¨ 
Pela definição frequentista, para saber qual a probabilidade
de que a face sorteada de um dado seja igual a 1, teríamos
que realizar o experimento aleatório n vezes.
Número de
Lançamentos
Face 1
Frequência
100
23
0,23
1.000
171
0,171
10.000
1688
0,1688
50.000
8266
0,16532
Quanto maior n, mais próximos estaremos da probabilidade
exata (1/6 = 0,1666...).
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Probabilidade e Estatística
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Probabilidade de Eventos
¨ 
É frequentemente necessário atribuir probabilidades a
eventos que sejam compostos por vários resultados do
espaço amostral.
¨ 
Para espaço amostral
¨ 
A
:
, denotada por
P (E), é igual à soma das probabilidades dos resultados em
E.
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Probabilidade e Estatística
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Exemplo 1
¨ 
Um experimento aleatório pode resultar em um dos
resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1,
respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c,
d} e C o evento {d}.
¨ 
Então quanto vale:
P (A); P (B); P (C)?
e P (A’ ); P (B’ ); P (C’ )?
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Exemplo 1
¨ 
Quanto vale:
P( A ∩ B )
P( A ∪ B )
P( A ∩ C )
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Probabilidade e Estatística
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Exemplo 2
¨ 
Uma inspeção visual de um ponto em pastilhas de um
processo de fabricação de semicondutores resultou na
seguinte tabela:
Número de
partículas de
contaminação
Proporção de
Pastilhas
0
1
2
3
4
5 ou
mais
0,40 0,20 0,15 0,10 0,05 0,10
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Exemplo 2
¨ 
Se informação fosse disponível para cada pastilha,
poderíamos definir o espaço amostral como o conjunto de
todas as pastilhas inspecionadas, porém esse nível de
detalhamento não é necessário nesse caso.
¨ 
Então, qual é o espaço amostral???
¨ 
Podemos considerar o espaço amostral consistindo nas seis
categorias que resumem o número de partículas
contaminantes em uma pastilha.
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ou mais}
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Probabilidade e Estatística
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Exemplo 2
¨ 
Se desse processo uma pastilha for selecionada, ao acaso, e o
ponto for inspecionado, qual será a probabilidade de que ele
não contenha partículas?
¨ 
Qual é a probabilidade de uma pastilha conter três ou mais
partículas no ponto inspecionado?
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Probabilidade e Estatística
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Exemplo 2
Os níveis de contaminação afetam o rendimento de
dispositivos funcionais na fabricação de semicondutores,
de modo que probabilidades, tais como essas, sejam
regularmente estudadas.
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Probabilidade e Estatística
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Exemplo 3
¨ 
Suponha que uma batelada contenha seis itens
{a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados
aleatoriamente, sem reposição. Suponha que o item f seja
defeituoso, porém que os outros sejam bons.
¨ 
Qual é a probabilidade de que o item f apareça na amostra?
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Probabilidade e Estatística
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¨ 
Esta definição frequentista, embora útil na prática,
apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não
existir.
¨ 
Em virtude dos problemas apresentados pela definição
clássica e pela definição frequentista, foi desenvolvida uma
teoria moderna, que é a
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Definição
Axiomática de
Probabilidade
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Axiomas de Probabilidade
¨ 
Os axiomas asseguram que as probabilidades atribuídas a um
experimento podem ser interpretadas como frequências
relativas e que as atribuições são consistentes com nosso
entendimento intuitivo das relações entre frequências
relativas.
Se o evento A estiver contido no evento B.
Então, deveríamos ter:
P(A) ≤ P(B)
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Probabilidade e Estatística
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Axiomas de Probabilidade
¨ 
Probabilidade é um número que é atribuído a cada membro
de uma coleção de eventos, a partir de um experimento
aleatório que satisfaça as seguintes propriedades:
¨ 
Se S for o espaço amostral e E for qualquer evento em um
experimento aleatório:
P (S) = 1;
0 ≤ P (E) ≤ 1;
Para dois eventos E1 e E2 com E1 ∩ E2 = ∅
P ( E1 ∪ E2 ) = P ( E1 ) + P ( E2 )
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Probabilidade e Estatística
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Axiomas de Probabilidade
¨ 
Estes axiomas implicam nos seguintes resultados:
P (∅) = 0
P ( E ') = 1− P ( E )
¨ 
Se o evento E1 estiver contido no evento E2:
P ( E1 ) ≤ P ( E2 )
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Probabilidade e Estatística
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são gerados pela aplicação de
operações básicas de conjuntos a eventos individuais.
A∪B
¨ 
A∩B
A
pode
frequentemente ser determinada a partir de probabilidades
dos eventos individuais que o compreendem.
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Probabilidade e Estatística
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Regra
da
Adição
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Probabilidade e Estatística
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EXEMPLO 4
¨ 
A Tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um
processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma
pastilha seja selecionada, ao acaso.
Localização na Ferramenta de Recobrimento
Contaminação
Centro
Borda
Total
Baixa
514
68
582
Alta
112
246
358
Total
626
314
940
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Probabilidade e Estatística
33/79
EXEMPLO 4
¨ 
Seja A o evento em que a pastilha contém altos níveis de
contaminação.
¨ 
Qual é a probabilidade do evento A ?
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Probabilidade e Estatística
34/79
EXEMPLO 4
¨ 
A Tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um
processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma
pastilha seja selecionada, ao acaso.
Localização na Ferramenta de Recobrimento
Contaminação
Centro
Borda
Total
Baixa
514
68
582
Alta
112
246
Total
626
314
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
A
358
940
35/79
EXEMPLO 4
¨ 
Seja C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma
ferramenta de recobrimento.
¨ 
Qual é a probabilidade do evento C ?
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
36/79
EXEMPLO 4
¨ 
A Tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um
processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma
pastilha seja selecionada, ao acaso.
Localização na Ferramenta de Recobrimento
Contaminação
Centro C
Borda
Total
582
Baixa
514
68
Alta
112
246
Total
626
314
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
A
358
940
37/79
EXEMPLO 4
¨ 
Qual a probabilidade de uma pastilha ser proveniente do
centro da ferramenta de recobrimento e conter altos níveis de
contaminação?
¨ 
Qual a probabilidade de uma pastilha ser proveniente do
centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos níveis
de contaminação (ou ambos)?
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Probabilidade e Estatística
38/79
Regra Geral de Adição
P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)
¨ 
P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B)
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Probabilidade e Estatística
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P ( A ∪ B ∪C ) =
P ( A ) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B )
−P ( A ∩C ) − P ( B ∩C ) + P ( A ∩ B ∩C )
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Probabilidade e Estatística
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Uma coleção de eventos, E1, E2, ..., Ek, é dita mutuamente
excludente se para todos os pares:
Ei ∩ E j = ∅
Para uma coleção de eventos mutuamente excludentes:
P ( E1 ∪ E2 ∪!∪ Ek ) = P ( E1 ) + P ( E2 ) +!+ P ( Ek )
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Probabilidade e Estatística
41/79
Probabilidade
Condicional
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
42/79
Probabilidade Condicional
¨ 
Algumas vezes, probabilidades necessitam ser reavaliadas à
medida que informações adicionais se tornam disponíveis.
¨ 
A probabilidade de um evento B, sabendo qual será o
resultado do evento A, é dada por:
P ( B A)
¨ 
É chamada de
.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
43/79
EXEMPLO 5
¨ 
A tabela abaixo fornece um exemplo de 400 itens
classificados por falha na superfície e como defeituosos
(funcionalmente).
Falhas na superfície
Defeituosos
Sim
Não
Total
Sim
10
18
28
Não
30
342
372
Total
40
360
400
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
44/79
EXEMPLO 5
¨ 
Qual a probabilidade de um item COM falhas na superfície
ser defeituoso?
¨ 
Qual a probabilidade de um item SEM falhas na superfície
ser defeituoso?
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
45/79
EXEMPLO 5
¨ 
A tabela abaixo fornece um exemplo de 400 itens
classificados por falha na superfície e como defeituosos
(funcionalmente).
Falhas na superfície
Defeituosos
Sim
Não
Sim
10
18
Não
30
Total
40
F
342
360
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
Total
D
F’
28
372
400
46/79
EXEMPLO 5
¨ 
Qual a probabilidade de um item COM falhas na superfície
ser defeituoso?
P(D F ) = 0,25
¨ 
Qual a probabilidade de um item SEM falhas na superfície
ser defeituoso?
P(D F ') = 0,05
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
47/79
EXEMPLO 5
¨ 
Podemos concluir que a probabilidade de itens defeituosos é
cinco vezes maior para itens com falhas na superfície.
¨ 
O resultado sugere também que pode haver uma ligação
entre falhas na superfície e itens funcionalmente defeituosos
que deveria ser investigada.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
48/79
Probabilidade Condicional
¨ 
A
de um evento B,
dado um evento A, denotada como P ( B A ) é:
P ( B A) =
P ( A ∩ B)
P ( A)
para P ( A ) > 0 .
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Probabilidade e Estatística
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Probabilidade Condicional
¨ 
Essa definição pode ser entendida em um caso especial em
que todos os resultados de um experimento aleatório são
. Se houver n resultados totais:
P ( A) = ( número de resultados em A) n
P ( A ∩ B) = ( número de resultados em A ∩ B) n
¨ 
Logo:
número de resultados em A ∩ B)
(
P ( A ∩ B) P ( A) =
(número de resultados em A)
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
50/79
Amostras Aleatórias
¨ 
Quando uma amostra é selecionada aleatoriamente a partir
de uma batelada grande, é geralmente mais fácil evitar a
numeração do espaço amostral e calcular probabilidades a
partir de probabilidades condicionais.
¨ 
Selecionar aleatoriamente implica que, em cada etapa da
amostragem, os itens que permanecem na batelada são
igualmente prováveis de serem selecionados.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
51/79
Amostras Aleatórias
Considere uma batelada que contenha 10
itens da ferramenta 1 e 40 itens da ferramenta 2. Se dois
itens forem selecionados aleatoriamente, sem reposição, qual
será a probabilidade condicional de que um item da
ferramenta 2 seja selecionado na segunda retirada, dado que
um item da ferramenta 1 tenha sido selecionado primeiro?
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
52/79
Regra
da
Multiplicação
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
53/79
Regra da Multiplicação
¨ 
Do
agora considere E o evento consistindo
nos resultados contendo o primeiro item selecionado
proveniente da ferramenta 1 e o segundo item proveniente da
ferramenta 2. Qual a probabilidade de E?
8
P ( E ) = P ( E2 E1 ) × P ( E1 ) =
49
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
54/79
Regra da Multiplicação
¨ 
Frequentemente, necessita-se calcular a probabilidade da
interseção de dois eventos. A definição de probabilidade
condicional pode ser reescrita e teremos, a conhecida
para probabilidades.
P ( A ∩ B) = P ( B A) P ( A) = P ( A B) P ( B)
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
55/79
EXEMPLO 7
¨ 
A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação,
numericamente controlada, de usinagem para pistões com
alta rpm atenda às especificações é igual a 0,90.
¨ 
Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a
probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda
às especificações é de 0,95. Qual a probabilidade de ambos
os estágios atenderem às especificações?
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
56/79
EXEMPLO 7
¨ 
Sejam A e B os eventos em que o primeiro e o segundo
estágios atendem às especificações, respectivamente. A
probabilidade requerida é:
P ( A ∩ B) = P ( B A) P ( A) = 0, 95 ( 0, 90 ) = 0,855
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
57/79
Regra da
Probabilidade
Total
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
58/79
EXEMPLO 8
¨ 
Algumas vezes, a probabilidade de um evento é dada sujeita
a cada uma das várias condições.
¨ 
Suponha que na fabricação de semicondutores, a
probabilidade de um chip, que está sujeito a altos níveis de
contaminação durante a fabricação, causar uma falha no
produto seja de 0,10. A probabilidade de um chip, que não
está sujeito a altos níveis de contaminação durante a
fabricação, causar uma falha no produto seja de 0,005.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
59/79
EXEMPLO 8
¨ 
Em uma batelada particular de produção, 20% dos chips
estão sujeitos a altos níveis de contaminação.
¨ 
Qual é a probabilidade de um produto usando um desses
chips vir a falhar?
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
60/79
Regra da Probabilidade Total
¨ 
Claramente, a probabilidade requerida depende se o chip foi
ou não exposto a altos níveis de contaminação.
¨ 
Para qualquer evento B, podemos escrever B como uma
união da parte de B em A e da parte de B em A’.
B = ( A ∩ B ) ∪ ( A'∩ B )
¨ 
Pelo fato de A e A’ serem mutuamente excludentes, ( A ∩ B )
e ( A'∩ B ) serão mutuamente excludentes.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
61/79
Regra da Probabilidade Total
¨ 
Por meio do da Regra da Adição e da Regra da
Multiplicação, temos:
de dois eventos
Para quaisquer eventos A e B,
P(B ) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A')
= P(B A)P( A) + P(B A')P( A')
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
62/79
EXEMPLO 8
¨ 
Voltando ao exemplo 8, temos:
Probabilidade
de Falha
0,10
0,005
¨ 
¨ 
Nível de
Contaminação
Alto
Não Alto
Probabilidade
do Nível
0,20
0,80
Seja F o evento em que o produto falha e seja A o evento em
que o chip é exposto a altos níveis de contaminação.
A probabilidade solicitada é P (F), então:
P(F ) = P(F A)P( A) + P(F A')P( A') = 0,024
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
63/79
Regra da Probabilidade Total
¨ 
Em geral, uma coleção de conjuntos E1, E2, ..., Ek, tal que:
E1 ∪ E2 ∪ ! ∪ Ek = S , é dita ser exaustiva.
Suponha que E1, E2, ..., Ek, sejam k conjuntos mutuamente
.
A
de múltiplos
eventos será então:
P(B ) = P(B ∩ E1 ) + P(B ∩ E2 ) + ! + P(B ∩ Ek )
= P(B E1 )P(E1 ) + P(B E2 )P(E2 ) + ! + P(B Ek )P(Ek )
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
64/79
EXEMPLO 9
¨ 
Continuando com a fabricação de semicondutores, suponha
as seguintes probabilidades para falha no produto sujeito a
níveis de contaminação na fabricação:
¨ 
Probabilidade de Falha
0,10
0,01
0,001
Nível de Contaminação
Alto
Médio
Baixo
Em uma batelada particular da produção, 20% dos chips
estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis
médios de contaminação e 50% a níveis baixos de
contaminação.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
65/79
EXEMPLO 9
¨ 
Qual é a probabilidade de um produto falhar ao usar um
desses chips?
¨ 
Seja A o evento em que um chip esteja exposto a níveis altos
de contaminação.
¨ 
Seja M o evento em que um chip esteja exposto a níveis
médios de contaminação.
¨ 
Seja B o evento em que um chip esteja exposto a níveis
baixos de contaminação.
¨ 
Seja F o evento em que o produto falhou.
Aulas 6 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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INDEPENDÊNCIA
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Independência
¨ 
Em alguns casos, a probabilidade condicional P (B A)
pode ser igual a P(B).
¨ 
Nesse caso especial, o conhecimento de que o resultado do
experimento esteja no evento A não afeta a probabilidade de
que o resultado esteja no evento B.
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Exemplo 10
¨ 
Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas
contenha 50 peças que não satisfaçam as exigências dos
consumidores. Suponha que duas peças sejam selecionadas
da batelada, porém a primeira peça seja reposta antes de a
segunda peça ser selecionada.
¨ 
Qual é a probabilidade de que a segunda peça seja defeituosa
(evento B), dado que a primeira peça é defeituosa
(evento A)?
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Exemplo 10
¨ 
Pelo fato de a primeira peça ser reposta antes da seleção da
segunda, a batelada ainda contém 850 peças, 50 das quais
são defeituosas.
¨ 
Assim, a probabilidade de B não depende de a primeira peça
ser defeituosa.
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Exemplo 11
¨ 
Do Exemplo 5, temos uma tabela com informações que
relacionam falhas na superfície a itens funcionalmente
defeituosos. Naquele caso, determinamos que
P (D|F) = 10/40 = 0, 25
e P (D) = 28/400 = 0,07.
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Exemplo 11
¨ 
Suponha que a situação seja diferente e dada pela tabela:
Falhas na superfície
Defeituosos
¨ 
¨ 
Sim (Evento F)
Não
Total
Sim (Evento D)
2
18
20
Não
38
342
380
Total
40
360
400
Agora, P (D|F) = 2/40 = 0,05 e P (D) = 20/400 = 0,05.
Isto indica que, a probabilidade de que o item seja defeituoso
não depende de ele ter falhas na superfície.
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Exemplo 11
¨ 
Também, P (F|D) = 2/20 = 0,10 e P (F) = 40/400 = 0,10.
¨ 
Assim, a probabilidade de uma falha na superfície não
depende de o item ser defeituoso.
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Exemplo 11
¨ 
Além disso, a Regra da Multiplicação diz que:
P(F ∩ D ) = P(D F )P(F )
¨ 
Porém, no caso especial desse problema:
P(F ∩ D ) = P(D )P(F )
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Exemplo 11
Falhas na superfície
Sim (Evento F)
Defeituosos
F
Não
18
Total
D
Sim (Evento D)
2
20
Não
38
342
380
Total
40
360
400
2
1
P (F ∩ D ) =
=
400 200
40
20
P (F ) =
P (D ) =
400
400
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Exemplo 11
¨ 
Porém, no caso especial desse problema:
P(F ∩ D ) = P(D )P(F )
20 40
1
=
×
=
400 400 200
¨ 
Essas conclusões levam a uma importante definição.
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Independência (dois eventos)
¨ 
Dois eventos A e B são
se qualquer
uma das seguintes afirmações for verdadeira:
(1)
(2)
(3)
P ( A B ) = P ( A)
P(B A) = P(B )
P( A ∩ B ) = P( A)P(B )
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Independência (múltiplos eventos)
¨ 
Os eventos E1, E2, ..., En são independentes se, e somente se:
P ( E1 ∩ E2 ∩!∩ Ek )
= P ( E1 ) × P ( E2 ) ×!× P ( Ek )
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EXEMPLO 12
¨ 
Considere que a probabilidade de uma pastilha conter uma
grande partícula de contaminação seja 0,01 e que as pastilhas
sejam independentes; isto é, a probabilidade de uma pastilha
conter uma grande partícula não é dependente das
características de qualquer uma das outras pastilhas.
¨ 
Se 15 pastilhas forem analisadas, qual será a probabilidade
de nenhuma partícula grande ser encontrada?
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EXEMPLO 12
¨ 
Seja Ei o evento em que a i-ésima pastilha não contém
partículas grandes, i = 1, 2, ..., 15. Então, P(Ei) = 0,99. A
probabilidade pode ser representada como:
P(E1 ∩ E2 ∩ ! ∩ E15 )
¨ 
Da suposição de independência:
P(E1 ∩ E2 ∩ ! ∩ E15 ) =
= P(E1 ) × P(E2 ) × ! × P(E15 )
= 0,9915 = 0,86
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