Lei dos Senos e dos Cossenos

Lei dos Senos e dos Cossenos
1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC  4 cm, BC  13 cm e
  60, calcule os possíveis valores para a medida do lado AB.
2. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma
velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo
viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido
horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios,
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.
3. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto à base
mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 1  3.
e) 2  3.
4. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de
ˆ  30. Portanto, o comprimento do segmento
bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo CAB
CE é:
a) a
5
3
b) a
8
3
c) a
7
3
d) a 2
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5. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com
frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de
vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e
retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?
a) 2,29.
b) 2,33.
c) 3,16.
d) 3,50.
e) 4,80.
6. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da
diagonal menor do losango é
a) 2 2  3 .
b)
2  3.
c) 4 2  3 .
d) 2 2  3 .
e) 4 2  3 .
7. (Epcar (Afa) 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem
uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão
geométrica.
Dessa maneira, esse triângulo NÃO é
a) acutângulo.
b) equilátero.
c) obtusângulo.
d) isósceles.
8. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície
da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui
o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos
pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado.
Responda às questões abaixo, considerando que o raio da
Terra também mede 6.400 km.
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ)  3 / 4.
Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.
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9. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de
São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que
representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as
cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos
alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as
cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro
aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de
São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o
mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos
que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80  2  5  3
b) 80  5  2  3
c) 80  6
d) 80  5  3  2
e) 80  7  3
10. (Uepb 2012) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos
em dois outros. Um β e o outro 2β. A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é
a) 2senβ
1
2cosβ
c) 2cosβ
b)
1
2senβ
e) tgβ
d)
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ˆ ao meio.
11. (Uftm 2012) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ABC
Sendo CD  2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede
a)
b)
3 1
.
2
3  1.
c)
6( 3  1)
.
5
d)
4( 3  1)
.
3
e)
3( 3  1)
.
2
12. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que
AB  80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a
medida de R é igual a:
160 3
m
a)
3
b)
80 3
m
3
c)
16 3
m
3
d)
8 3
m
3
e)
3
m
3
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13. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do
triângulo maior e alguns dos ângulos.
O seno do ângulo indicado por α na figura vale:
a)
4 3 3
10
b)
4 3
10
c)
43 3
10
d)
43 3
10
e)
4 3 3
10
14. (Uem 2012) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo  o ângulo reto e
AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC, de modo
que AD = DE = EC, e F sendo o ponto médio do segmento BC, assinale o que for correto.
10
.
10
02) Os triângulos BDC e FEC são congruentes.
2
04) sen(BDC) =
.
2
08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes.
5
16) cos(EFC) =
.
5
01) cos(B) =
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15. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com
intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de
Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos   0,934 , onde  é o ângulo
Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28  32  93,4  215 100 , a velocidade média, em km/h, com
que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:
a) 10.
b) 50.
c) 100.
d) 250.
e) 600.
16. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem
de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas
na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um
teodolito.
Visada
^
A CB
^
BCD
^
A BC
Ângulo
π
6
π
3
π
6
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
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17. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os
décimos. Se quiser, use algum destes dados: 352  1225 ; 362  1296 ; 372  1369 .
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com
as seguintes medidas dos lados: 6 cm , 8 cm , e 16 cm . Ele conseguirá fazer o cartaz? Por
quê?
18. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas
por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C
é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a
a) 8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13.
19. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos
segmentos AC e AB é igual a:
a) 2
3
b)
2
1 5
c)
2
d) 3
e) 2
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20. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região
metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante
parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o
suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°.
Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada
pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
8 6
3
b) 4 6
a)
c) 8 2  3
d) 8( 2  3)
e)
2 6
3
21. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo,
representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de
60° do acampamento A.
Dado: sen 20º  0,342
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em
relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente,
a) 190.
b) 234.
c) 260.
d) 320.
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22. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio
e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de
determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que
se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 .
c) 25,0.
d) 25,0 2 .
e) 35,0.
23. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem
2 cm e
2  3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida
de OB intercepta AB no ponto C (≠ B).
a) Mostre que
mede 15°.
b) Calcule o comprimento de AC
24. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa
circunferência λ de raio R
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre os
quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a

a) 2  2



c) 2  2  2 
b) 2 2  2
d) 2  2
25. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o
ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e MN  14 .Então, DM é igual a
4
a)
2
4
b)
2
2
c)
2
d)
3 2
2
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e)
5 2
2
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26. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30 ° e os lados que formam
cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais
desse paralelogramo.
a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm
27. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas
paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de
transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma
parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem
parada intermediária.
ˆ  50 , é correto afirmar que
Supondo que AB  300 3 m, BC  200 m, BÂP = 20º e CBN
a distância entre os pontos A e C é de:
a) 700 m
b) 702 m
c) 704 m
d) 706 m
e) 708 m
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos:
2
13  42  x 2  2  4  x  cos 60
13  15  x 2  8x 
1
2
x 2  4x  3  0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3.
Resposta: 1 cm ou 3 cm.
Resposta da questão 2:
[B]
Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá
percorrido 6 km.
Temos, então, a seguinte figura:
Sendo d a distância entre os navios, temos:
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d2  162  62  2  16  6  cos 60
 1
d2  256  36  192   
2
d2  196
d  14km
Resposta da questão 3:
[A]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
3 3 
2
 x 2  x 2  2  x  x  cos120
 1
27  2x 2  2x 2    
 2
27  3x 2
x2  9
x  3
Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm.
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Resposta da questão 4:
[C]
No ΔCMB : cos30° 
a
3 a
2a

 x
x
2
x
3
a
3
a
a
No ΔENB : cos30°  2 

y
y
2
2y
3
ˆ  180  30  30  120
CBE
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE2  x 2  y 2  2.x.y.cos120
CE2 
4a2 a2
2a a

 2

3
3
3
3
CE2 
5a2 2a2

3
3
CE2 
7a2
3
CE  a.
 1
 
 2
7
3
Resposta da questão 5:
[D]
Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
2
2
2
BC  AC  AB  2  AC  AB  cosBAC
 (0,8)2  12  2  0,8  1 cos150

3

 0,64  1  2  0,8   
 2 
 1,64  0,8  1,7
 3.
Logo, BC  1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8  1,7  3,5.
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Resposta da questão 6:
[C]
Considere a figura.
Como AB  AD  4 u.c. e BAD  30, pela Lei dos Cossenos, obtemos
2
2
2
BD  AB  AD  2  AB  AD  cosBAD
 42  42  2  4  4 
3
2
 2  16  16 3.
Portanto,
BD  4 2  3 u.c.
Resposta da questão 7:
[C]
Os ângulos internos deste triângulo poderão ser representados por x – r, x, x + r.
Somando x – r + x + x + r = 180°  x = 60°.
Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura:
Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos:
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2
a 1
2 a
a2   a  q     2  a  q 
q 2
 q
Dividindo ambos os membros da equação por a2, temos:
1
1  q2 
2
1
(q2 )
q
q4  2q2  1  0
 q  1
2
2
0
q2  1  0
q1
Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais será
obtusângulo.
Resposta da questão 8:
a) No triângulo assinalado:
R é a medida do raio da terra.
R
1
cos α 
  α  60
RR 2
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:
2  π  R 2  π  6400 12800π


km.
3
3
3
b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
d2  R2  (2R)2  2.R.2R.cos θ
d2  5R2  4.R2 .(3/4)
d  2.R2
dR 2
d  6400. 2 km
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Resposta da questão 9:
[B]
Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São
Paulo, Guaratinguetá e Campinas.
Sabendo que SPC  60 e CPG  90, vem SPG  150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos
no triângulo SPG, encontramos
2
2
2
SG  SP  PG  2  SP  PG  cosSPG
 802  1602  2  80  160  cos150

3

 6400  25600  2  12800   
 2 


 6400  (5  2  3)
Portanto, SG  80  5  2  3 km.
Resposta da questão 10:
[C]
Sejam x e y, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo.
Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se
2β oposto a x e β oposto a y. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos
x
y
x 2sen β cos β

 
sen2β sen β
y
sen β
x
  2cos β.
y
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Resposta da questão 11:
[E]
Seja o lado do quadrado.
ˆ  60. Além
Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC é retângulo. Logo, ABC
ˆ  CBD
ˆ  30. Daí, segue que
ˆ e, portanto, ABD
disso, sabemos que BD é bissetriz de ABC
ˆ  120.
BDC
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos
BC
CD
BC 2 3



 BC  6cm.
ˆ
ˆ
1
senBDC
senCBD
3
2
2
Assim, no triângulo ABC, temos que
ˆ  AB  AB  6  cos60  3cm.
cos ABC
BC
Por conseguinte, do triângulo BGF, vem
3( 3  1)
ˆ  GF  3 
tgABD
 
cm.
3
3

2
BG
Resposta da questão 12:
[B]
Pela Lei dos Senos, segue que:
AB
80
80 3 80 3
 2R  2R 
R


m.
sen60
3
3
3 3
2
Resposta da questão 13:
[A]
Considere a figura, na qual AB  6, AC  10 e BC  8.
Do triângulo retângulo ABD, obtemos
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tgBAD 
BD
AB
 BD  AB  tg30
 BD  6 
3
3
 BD  2 3.
Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que
ADC  DAB  ABD
 30  90
 120.
Portanto, pela Lei dos Senos, vem
CD
AC
82 3
10



sen 
sen120
senDAC sen ADC
 sen  
4 3
 sen60
5
 sen  
4 3 3

5
2
 sen  
4 3 3
.
10
Resposta da questão 14:
01 + 04 = 05.
Dados Iniciais
(01) Verdadeiro.
BC
2
 
 (AC)2  (AB)2  BC
x
Logo, cosB 
10x

2
 
 (3x)2  (x)2  BC  10 x
10
10
(02) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e as
mesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois não
possuem o mesmo tamanho.
(04) Verdadeiro.
BC  (BD)  (DC)  2(BD)(DC)cos(BDC)
 10x   (x 2)  (2x)  2(x 2)(2x)cos(BDC)
2
2
2
2
2
2
10x 2  2x 2  4x 2  4 2x 2 cos(BDC)
cosBDC  
2
2
 senBDC 
2
2
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(08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ângulos
congruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não são
semelhantes,
(16) Falso.
EC
2
 (EF)2  (FC)2  2(EF)(FC)cos(EFC)
2
x
2
2
 x 2   x 10 
 x 2  x 10 


 2
cos(EFC)
 2   2 
 2 
 2 

 




1x 2 
x 2 5x 2

 x 2 5 cos(EFC)
2
2
cosEFC 
2 5
5
Resposta da questão 15:
[E]
Considere a figura.
Sabendo que ET  360km, ST  320km, cos   0,934 e que 28  32  93,4  215100, pela Lei
dos Cossenos, vem
2
2
2
ES  ET  ST  2  ET  ST  cos  
2
ES  3602  3202  2  360  320  0,934 
2
ES  129600  102400  2  22  32  25  93,4 
2
ES  232000  28  32  93,4 
2
ES  232000  215100 
ES  16900  ES  130km.
Portanto, como 13min 
13
h, temos que a velocidade média pedida é dada por
60
130
 600km h.
13
60
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Resposta da questão 16:
a)
No triângulo ABC assinalado, temos:
152  x 2  x 2  2  x  x  cos120
 1
225  2x 2  2x 2   
 2
225  3x 2
x 2  75
x  5 3m
b)
No triângulo BDC, temos:
2
y  152  102  2  15  10  cos 60
y 2  225  100  150
y  175
y  5 7m
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Resposta da questão 17:
a) Calculando a medida x do lado que falta temos:
x2 = 62 + 82 – 2  6  8  cos60°
x=
52
x = 2 13
x 2  3,6 (de acordo com as aproximações dadas)
x 7,2
Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2.
b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos
outros dois).
Resposta da questão 18:
[B]
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos
2
2
2
BC  AB  AC  2  AB  AC  cosBAC 
2
 1
BC  362  242  2  36  24     
 2
2
BC  1296  576  864 
BC  2736  12 19 km.
Resposta da questão 19:
[D]
AC2  a2  a2  2  a  a  cos120  AC  a 3
Logo,
AC a 3

 3.
AB
a
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Resposta da questão 20:
[B]
α= 180o  75o  45o  60o
Aplicando o teorema dos senos, temos:
AC
sen60
o

8
sen45o
2
3
 8.
2
2
AC  4 6
AC.
Resposta da questão 21:
[B]
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:
x
160

o
0,342
sen150
0,342.x  160.sen150o
0,342x  80
x  233,9
Aproximadamente 234m.
Resposta da questão 22:
[B]
No triângulo ABC ABC  45o , aplicando o teorema dos senos, temos:
50
o
sen45

BC
sen30o
 BC. 2  50  BC  25 2
o
No triângulo BDC, temos: sen30 
h
25 2

1
h

 h  12,5 2
2 25 2
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Resposta da questão 23:
a) Utilizando o teorema dos senos, temos:
2 3
2

 sen 
sen
sen135o
2 3
2
2
 6 2
  sen15 o 
Sabendo que sen 15  


4


2
o
2 3

4
2 3
, concluímos então que:
2
= 15o
b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB =
2  3cm .
Resposta da questão 24:
[C]
A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os
quadrados dos raios.
Observe a figura.
Na figura, temos:
No Δ OMB temos: x  R2  r 2
Aplicando agora o teorema dos cossenos no Δ OAB:
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 2x 2  R2  R2  2.R.R.cos 45o
4(R2  r 2 )  2.R2  R2 . 2
R2 (2  2 )  4.r 2
R2
r
2
R
2
r2

4
2 2
 2.(2  2 )
Resposta da questão 25:
[B]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:
2
2
2
 14 
1 1
 1  1

        2. . .cos 
2 2
2 2
 4 
Resolvendo, temos
cos   
3
4
e que cos  
3
(    180o )
4
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:
2
1
2
 1
(AD)2     1  2. .1.cos 
2
2
 
2
1  3
2
 1
(AD)2     1  2. .1.   
2
2
 
 4
AD =
AD =
1
3
 1
4
4
2
2
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Resposta da questão 26:
[D]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
d2 = 52 + ( 3 3 )2 – 2.5. 3 3 .cos30o
d2 = 25 + 27 -30 3.
3
2
d2 = 52 – 45
d=
7
Resposta da questão 27:
[A]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

AC2  300 3

2

3
 2002  2.300 3.200.  
 2 


AC2  270000  40000  180000
AC  490000
AC  700m
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