Formulário de Geometria Analítica

Formulário de Geometria Analítica
2
Equação do 2º grau: ax  bx  c  0
x
com
Prof. Júlio César Tomio
b 
2
  b  4ac
sendo
2a
Distância entre dois pontos A e B no plano: d AB 
( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
Ponto médio M ( xM , y M ) de um segmento AB : x M 
Baricentro G ( xG , yG ) de um triângulo ABC : xG 
|D|
S
2
Área de um triângulo ABC qualquer:
Área de um polígono qualquer:
S
||
2
m  tg
x A  x B  xC
m
3
xA
D  xB
Equação reduzida da reta:
y  mx  n
Equação segmentária da reta:
sendo
x y
  1 sendo
p q
Retas r e s paralelas [ r // s ]: mr  ms
Ângulo agudo entre duas retas r e s : tg 
3
yC
1
 xA
xA
xB
xC
xD
yA
yB
yC
yD  y A
xA
yA 1
xB
xC
yB 1  0
yC 1
y
x
m
com
y A  y B  yC
yA 1
yB 1
yB  y A
ou
m
x
xA
y 1
yA 1  0
xB
yB 1
xB  x A
[Cálculo da] Equação da reta, tendo um ponto ( x0 , y0 ) e coef. angular m :
ax  by  c  0
2

[Cálculo da] Equação da reta, tendo 2 pontos A e B :
Equação geral da reta:
y A  yB
e yG 
xC
sendo
ou
e yM 
2
sendo
Condição de alinhamento de 3 pontos A , B e C :
Coeficiente angular da reta:
x A  xB
a
b
e
n
y  y0  m( x  x0 ) [Equação Fundamental da Reta]
c
b
m  coef. angular
n  coef. linear
p  intercepto x
q  intercepto y
Retas r e s perpendiculares [ r  s ]: mr  
mr  m s
1  mr .ms
Distância entre um ponto P( x P , y P ) e uma reta r : d P, r 
1
ms
ou mr  ms  1
Quando uma das retas [ s ] é vertical: tg 
1
mr
| ax P  by P  c |
a2  b2
Ponto de intersecção de duas ou mais retas: resolver o sistema contendo as respectivas equações das retas que se interceptam.
Estudante: ___________________________________________________________________________ Turma: ___________________
Formulário de Geometria Analí tica
Prof. Júlio César Tomio
Formulário de Geometria Analítica
2
2
Prof. Júlio César Tomio
Equação Reduzida da Circunferência: (x  a)  ( y  b)  R
2
com centro: C(a , b)
  
, 
 2 2
Equação Geral da Circunferência: x  y  x  y    0 com centro: C 
2
2
Da equação geral, temos:   2a ,   2b ,   a  b  R
2
Posição relativa entre um
ponto P e uma circunferência
2
2
a b 
2
então: R 
2
Posição relativa entre uma
reta s e uma circunferência
:
:
dC, P  R
 P é Interno
dC, s  R
 s é secante à circunferência 
dC, P  R
 P
dC, s  R
 s é tangente à circunferência 
dC, P  R
 P é Externo
dC, s  R
 s é exterior à circunferência λ
Pontos de intersecção entre uma reta e uma circunferência:
Resolver o sistema contendo as respectivas equações da reta e da circunferência.
 Se a resolução do sistema gerar 2 pontos ( > 0), a reta é secante à circunferência.
 Se a resolução do sistema gerar 1 ponto ( = 0), a reta é tangente à circunferência.
 Se a resolução do sistema não gerar ponto algum ( < 0), a reta é exterior à circunferência.
Pontos de intersecção entre duas circunferências:
Resolver o sistema contendo as respectivas equações das duas circunferências.
 Se a resolução do sistema gerar 2 pontos ( > 0), as circunferências são secantes.
 Se a resolução do sistema gerar 1 ponto ( = 0), as circunferências são tangentes.
 Se a resolução do sistema não gerar ponto algum ( < 0), as circunferências não se interceptam.
 Não se interceptar externamente, então: d[C1 , C2] > r1 + r2
 Não se interceptar internamente, então: d[C1 , C2] < | r1 – r2 |
 Não se interceptar e serem concêntricas, então: d[C1 , C2] = 0
Temos ainda que duas circunferências podem:
 Ser tangentes externamente, então: d[C1 , C2] = r1 + r2
 Ser tangentes internamente, então: d[C1 , C2] = | r1 – r2 |
Triângulo Retângulo – Informações Básicas:
Relações Trigonométricas: sen  
cat adj
, tg  
cat op
cat adj
hip
Ângulos Complementares:     90º

●
, cos  
hip
hip

cat
cat op
cat
2
2
2
Teorema de Pitágoras: (hip)  (cat)  (cat)
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.
Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto.
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio.
Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo.
Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo.
Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo.
Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.
Conversão graus  radianos: 180 
VALORES TRIGONOMÉTRICOS
0º
30º
45º
60º
sen
0
1
2
2
2
cos
1
3
2
2
2
3
2
1
2
tg
0
3
3
1
3
90º
1
0
∄
Formulário de Geometria Analí tica

rad
120º
135º
150º
180º
270º
360º
3
2
1

2
2
2
1
2
0
1
0
sen
 3

2
2
1

3
2
1
0
1
cos

3
3
0
∄
0
tg
Prof. Júlio César Tomio