INTERAÇÃO HIPERFINA E COERÊNCIA DO SPIN ELETRÔNICO

PIBIC-UFU,
UFU, CNPq
CNP & FAPEMIG
Universidade Federal de Uberlândia
Pró-Reitoria
Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação
Pós
DIRETORIA DE PESQUISA
INTERAÇÃO HIPERFINA E COERÊNCIA DO SPIN ELETRÔNICO EM
PONTOS QUÂNTICOS
Rene Felipe Keidel Spada
Divisão de Ensino Fundamental, Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 – Vila das Acácias
CEP – 12.228-900
12.228
– São José dos Campos – SP - Brasil
César Guilherme
Guilhe
de Almeida
Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121
CEP 38400-902,
38400
Uberlândia –MG - Brasil
Qu Fanyao
N úcl eo d e F ís ica Ap lic a d a d o I n st it uto d e Fí s ica , U ni v er sid ad e d e B r as íl ia
Ca mp u s U ni v er si tár io D ar c y Rib eir o
CE P 7 0 9 1 0 -9 0 0 , B r a si li a – D F - B r as il
Resumo: O spin de um elétron confinado em um ponto quântico magnético é um candidato
promissor a dispositivos processadores de informação quântica, com grandes aplicações nas áreas
de spintrônica e computação quântica. Esses dispositivos requerem o spin seja estável por um
tempo suficiente para sua leitura e processamento. Um dos principais problemas é a decoerência
do spin advindo da interação do elétron com
com o campo magnético criado pelos spins nucleares
oscilantes – interação hiperfina. Neste trabalho estão apresentados nossos resultados preliminares
no controle da interação hiperfina, resolvendo as equações de Schrödinger e Poisson acopladas
considerando a interação hiperfina.
Palavras-chave:: Pontos Quânticos, Computação Quântica, Interação Hiperfina
1.INTRODUCÃO
Se um determinado sistema
istema tem seu tamanho reduzido a dimensões de escalas nanométricas
(onde 1 nanômetro equivale a 10-9 metros), novos efeitos físicos como confinamento quântico,
efeitos ondulatórios da matéria, entre outros são observados.
Existe uma diferença drástica entre dispositivos nanométricos e seus precursores, pois suas
propriedades físicas dependem fortemente de seu tamanho, morfologia e composição química.
Um ponto quântico é uma nanoestrutura construída sobre outro material, onde as partículas
(elétrons e/ou buracos) ficam confinadas nas três direções. Devido a esse confinamento, as
partículas só podem existir no ponto quântico com certos valores discretos de energia. Por essa
razão, pontos quânticos são, por vezes, chamados de átomos artificiais.
Os níveis de energia podem ser controlados
controlados através da variação do tamanho, do formato e da
profundidade do poço de potencial, portanto podem ser usados para simular átomos ou moléculas,
com a vantagem da possibilidade de manipular os portadores de carga, e a energia de transição.
Os pontos quânticos
icos apresentam propriedades ópticas fantásticas e têm sido utilizados na
construção de lasers de semicondutores, células fotoelétricas e detectores ópticos. Uma ilustração
dessas propriedades são pontos quânticos de Seleneto de Cádmio que absorvem luz ultravioleta
ult
ea
reemite como luz visível; e a cor do seu brilho varia com seu tamanho, passando do amarelo para o
azul à medida que se tornam
m menores (Veja Fig. 1)
1
Fig 1: Pontos quânticos de Seleneto de Cádmio emitindo diferentes freqüências de
luz visível, que variam com seus tamanhos, estudados por Klimov, V. I., et al.
Para maior controle sobre o tamanho do ponto quântico e o número de elétrons confinados,
uma técnica bastante usada para a fabricação está representada na figura abaixo Fig. 2 (Otsuka, T.,
et al), onde o ponto (dot) é montado entre gates de potenciais, podendo assim controlar o
confinamento das partículas no ponto à medida que se varia a tensão nesses gates. Na Fig. 2
também está representado um fio quântico (wire), estrutura onde a partícula pode se mover em
apenas uma dimensão.
Fig 2: Ponto quântico e fio quântico montados através de gates de potencial.
O estudo teórico quantitativo dessas estruturas através de cálculos analíticos se torna
altamente complexo, em muitos casos, se torna impossível. Desta forma, serão usadas metodologias
numéricas para o desenvolvimento de tal estudo. Nas últimas décadas houve um grande
desenvolvimento de metodologias numéricas para a solução de problemas nas áreas de eletrostática
e estrutura eletrônica. Esse rápido avanço aconteceu devido a alguns fatores, tais como: grande
avanço teórico para explicar propriedades em estruturas eletrônicas; grande variedade de métodos
computacionais que podem ser usados para estudar determinado problema onde o esforço
computacional cresce rapidamente com o tamanho do sistema; possibilidade de criação de
algoritmos genéricos para resolução de sistemas de equações e de autovalores. Além disso, a
criação de processadores mais eficientes aliados a métodos numéricos precisos, tem tornado
possível o estudo de sistemas cada vez mais complexos.
Este trabalho consiste na elaboração de um código computacional em linguagem de
programação Fortran, usando o Método de Diferenças Finitas, para resolução das equações de
Poisson e Schrödinger de forma auto-consistente.
2. METODOLOGIA
O método das diferenças finitas está baseado na fórmula de Taylor para aproximar as
derivadas de uma função real, f (Arfken, G. B., Weber, H. J.). Nos problemas estudados neste
2
trabalho iremos considerar funções de uma variável.
variáve . Estas funções irão aparecer em equações
diferencias cujos domínios serão um intervalo fechado I = [a, b].
]. Estes domínios serão
discretizados e as soluções das equações diferenciais serão obtidas em pontos da forma xi ∈ I,
representado na Fig. 3.. Neste caso, as aproximações de f(xi) serão denotadas por fi.
As soluções das equações diferenciais nos domínios discretos serão obtidas através da solução
de sistemas lineares. Mais detalhes serão apresentados nas próximas seções.
Fig 3:
3 Domínio em 1 dimensão discretizado
2.1 Malha Uniforme
Considerando as distâncias entre os pontos da malha (domínio discretizado) igual a h, com h
constante, e aproximando a função f através da fórmula de Taylor em torno do ponto x e admitindose que f possua derivada até ordem 4, tem-se
tem que:
2!
3!
4!
1
2!
3!
4!
2
onde c1 está entre x e x+h e c2 está entre x-h e x.
Ignorando os termos maiores que a primeira ordem temos:
3
4
Assim, de (3) temos a diferença retrógrada:
1 5
e da equação (4) temos a diferença avançada:
avançada
1 6
ainda subtraindo a equação (3) da equação (4) podemos
podemos obter a diferença central:
central
3
12ℎ − ) + ℎ )
7)
Para se obter uma aproximação da derivada de segunda ordem basta truncar a série mais
adiante, na segunda ordem:
+ ℎ) = ) + )ℎ + )
− ℎ) = ) − )ℎ
+
)
ℎ
ℎ
+ ′
) + ℎ )
2!
3!
ℎ
ℎ
)
− ′
+ ℎ )
2
3!
8)
9)
Somando as equações (8) e (9) é possível obter a expressão desejada:
= 1ℎ − 2 + + ℎ )
10)
Explicações mais detalhadas podem ser encontradas em Franco, N. B., 2007, Cálculo
numérico.
3. RESULTADOS
Foram desenvolvidos códigos computacionais para resolver numericamente tanto a equação
de Poisson (em uma dimensão), quanto a equação de Schrödinger (em uma dimensão); além do
desenvolvimento de um código que resolve de modo auto-consistente as equações acopladas.
A equação de Poisson é uma equação muito importante no eletromagnetismo, pois sua
solução é o potencial elétrico devido a certa densidade de carga, já a equação de Schrödinger é de
fundamental importância para a mecânica quântica, pois sua solução descreve a função de onda em
determinado sistema, que quando multiplicada pelo seu conjugado complexo, descreve a densidade
de probabilidade de encontrar a partícula em cada região do espaço, e ainda é possível determinar a
energia de cada função de onda associada à partícula.
3.1 Equação de Poisson em uma dimensão
A equação de Poisson em uma dimensão é dada por:
% &)
')
=−
%
()
onde &) é o potencial elétrico e ') é a densidade de carga.
Usando a equação (10) para aproximar a derivada temos:
*
1
'
+ & − 2& + & = −
ℎ
()
11)
12)
Discretizando o domínio, é possível transformar a equação (11) em uma equação matricial da
forma:
,& =
()
13)
4
O número de linhas e o número de colunas da matriz A são determinados pelo número de
pontos do domínio discretizado, menos o número de pontos que tem seu valor pré-definido pelas
condições de contorno, no caso duas, já que cada termo da diagonal principal em cada linha da
matriz representa um ponto da malha e os termos fora da diagonal principal representam a
influência dos outros pontos sobre aquele, formando assim uma matriz quadrada de ordem n.
A matriz pode ser escrita na seguinte forma compacta:
−2
1 ,, =
ℎ
/,
1
, = ℎ
,=
0,
= 1ℎ
/ ,
.
0
,
,
,
,
1≤4≤5
1≤ 4 ≤ 5−1;
1≤4 ≤5−1
67896:
O vetor V é dado pelos valores do potencial em cada ponto i, e o vetor B é dado pelos valores
da densidade de carga no ponto, lembrando que no caso de uma dimensão, as condições de contorno
afetam apenas a primeira e a última componente do vetor, representado a seguir:
' − &)
'
>
C
'
=
B
⋮
= '
B
=
B
'
-= =
B
= ' B
⋮
=
B
'
=
B
@
'@
<'@ − &@ A
onde &) e &@ são as condições de contorno.
3.2 Equação de Schrödinger em uma dimensão
A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão, segundo Bastard G., é
dada por:
ℏE HE IJ)
FG
HKE
+ &) )L) = ML)
14)
Discretizando o operador laplaciano utilizando a equação (10), é possível escrever a equação
(14) através de uma equação de autovalores e autovetores, onde os valores da função nos pontos do
domínio discretizado são encontrados através da resolução de um sistema linear:
NL = ML
Onde a matriz hamiltoniana N, descrita por Hjorth-Jensen, terá os índices iguais a:
15)
5
D
1
N &
/ , PQ /
2
/
D
N = N, 2P Q
0
2
/
D
/N, /
2PQ .
0
2
,
,
13435
,
1 3 4 3 5 1;
,
134 351
67896:
3.3 Método auto-consistente
Agora será considerado um poço quântico dopado com certa concentração de doadores de
elétrons nas regiões de maior potencial, que serão ionizados,, assim liberando o elétron para ocupar
os níveis de energia dentro do poço (figura 4). Segundo a Teoria do Funcional
uncional de Densidade (DFT)
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Fig 4:: Sistema considerado para resolução através do método autoconsistente
DE HE RS
G
F
HKE
&TOT MOT
16
Onde O, quando elevada ao quadrado, deixa de ser a densidade de probabilidade e passa a
ser a densidade de carga normalizada, e o potencial & passa a ser o potencial de confinamento
somado ao potencial coulombiano, que segundo
s
a aproximação de Hartree tem a seguinte forma:
&T &) T Q&U T
17
onde e é o módulo da carga do elétron. O potencial coulombiano pode ser calculado através da
equação de Poisson (11), sendo:
' QVW T VX |OT| 18
onde Nd é a concentração de doadores e Ne é a concentração de elétrons (Bastard).
(Bastard) Utilizando a
técnica do delta-doping,, espaço muito pequeno de doadores, pode-se
pode
considerar que todos os
doadores se ionizam, assim tendo:
[
VX Z VW %
[
19
6
]
]
VW )) = VW \ *|T| − ^+ \ * ^ % |T|++
2
2
20
onde \ é a função degrau.
Dessa forma
orma podemos iniciar o método auto-consistente
auto consistente escolhendo um valor para o potencial
de Hartree e o considerando para calcular a equação de Schrödinger,
Schrödinger dando origem à primeira
função de onda. Através
ravés dessa, será calculado um novo potencial de Hartree por meio da resolução
da equação de Poisson, e esse novo potencial será comparado
comparado com o potencial de entrada. Caso a
diferença seja menor que certa tolerância, consideramos que o cálculo convergiu e o programa
considera essa função de onda a solução do problema,
problema, caso contrário, através de uma combinação
linear, o programa recalcula um novo potencial de entrada e o processo é repetido até que a
tolerância seja satisfeita.
3.4 Interação Hiperfina
O spin de um elétron confinado perderá informações dessa orientação depois de certo tempo.
Mecanismos físicos que lidam com esse tipo de problema consideram tanto a interação do spin do
elétron com o seu orbital quanto a interação do spin do elétron com os spins nucleares ao seu redor.
Para a computação quântica, esses estados de spin que guardam informações devem ser
estáveis durante o processamento e leitura dos mesmos. Assim se torna interessante o estudo da
relaxação do spin de elétrons em pontos quânticos,
quânticos, pela sua proposta de uso como qubits de estado
sólido,, e também seu tempo de coerência em pontos quânticos semicondutores. Durante os anos
muitos progressos tem sido feitos para os pontos de GaAs, mas ainda é um desafio controlar a
decoerência advinda
da da interação hiperfina com os núcleos ao redor do elétron.
Para tratar tal interação foi estudado o efeito Overhauser produzido pelos spins nucleares em
um poço quântico simetricamente dopado semelhante à Fig. 4, noo entanto com um campo
magnético aplicado
do na direção de crescimento da estrutura, representada na Fig. 5.
Fig 5 – Desenho esquemático de um campo magnético sendo aplicado
em um poço quântico semicondutor
Usando a teoria do funcional de densidade, a equação de Schrödinger pode
pod ser descrita como
a equação (16),, no entanto o potencial terá mais um termo, o termo de interação hiperfina.
&T &) T Q&U T &_`
21
Considerando o fato de o campo magnético externo polarizar os spins
spins da estrutura eletrônica
paralelamente ou antiparalelamente ao mesmo, pode-se
pode se usar a teoria do campo médio para
descrever o termo de interação hiperfina da seguinte forma:
&_` ab cX de -XJf V) ghib j
22
7
onde ab e ib são os spins do elétron e do núcleo, respectivamente, cX é o fator g do elétron, de é o
valor do magnéton de Bohr, V) tem valor de uma constante de interação hiperfina, denominada A,
e g é o valor da integral do quadrado da função de onda dentro do poço quântico. O primeiro termo
diz respeito à energia de Zeeman, já o segundo termo descreve a interação entre os elétrons e o
campo efetivo criado pelo campo externo e os spins nucleares. O termo de spin-flip não foi
considerado.
Assim o termo de interação hiperfina é dado por:
k
&_` = ab cX de -XJf − ,hib j Z|O| )
k
23)
O valor médio do spin nuclear é expresso através de:
cn de i-XJf
hib j = ilm *
+
oe p
24)
onde cn é o fator g do núcleo, oe é a constante de Boltzmann, p é a temperatura e l) é a função
de Brillouin, que é dada por:
lm ) =
2i + 1
2i + 1
1
68ℎ *
+ − 68ℎ 2i
2i
2i
2i
25)
Como ocorre a separação dos níveis, por causa do campo magnético externo, existe a
necessidade de se calcular a concentração de elétrons tanto dos níveis de spin up e spin down, que
são dados por:
5q =
FG
ℏE r
sMt − Mq u\sMt − Mq u
26)
onde 5 é a concentração de elétrons, 4 e v são o número do nível de energia e a orientação do spin,
respectivamente, e Mt a energia do nível de Fermi, que por aproximação, tem seu valor dado por:
ℏ w
Mt =
5 + M↑ + M↓
2PX
27)
Assim podemos dar início ao cálculo auto-consistente, tomando cuidado para resolver a
equação de Schrödinger duas vezes em cada passo, uma para os níveis com elétrons de spin paralelo
ao campo magnético externo, e outro para elétrons de spin antiparalelo. O potencial Coulombiano
levará em consideração a concentração total de elétrons.
Utilizando um sistema caracterizado pelo potencial de confinamento do GaAs, 179 meV, um
poço quântico de largura 40 nanômetros, o espaço dopado com íons doadores de elétrons de 2,5
nanômetros de cada lado do poço, a uma distância de 12,5 nanômetros da alteração do potencial. A
concentração dos doadores é de 1018/cm3.
Como parâmetros foram utilizados fator g do elétron com valor de −0,44, o fator g do GaAs
com valor de 2,002, com spin nuclear 32. Para esse material, a constante de interação hiperfina A
teve seu valor calculado por Voss, J. e Pfannkuche, D.:
, = −2.5 × 10 P Q& : e a temperatura utilizada foi 1K,
8
Como as funções de onda não mudam drasticamente elas serão omitidas, e o que se torna
interessante observar são a separação do nível fundamental de energia, que está ilustrado na figura
6, e as concentrações de elétrons em cada nível, que está representado na figura 7. Ambos
resultados variando o campo magnético externo de 1 mT até 10 mT e os estados S- e S+ significam
os níveis de elétrons com spin down e spin up, respectivamente.
0,100
41,0
0,095
40,5
0,090
0,085
S
3
39,5
concentration (/nm )
Ground state energies (meV)
40,0
39,0
38,5
38,0
37,5
37,0
S
+
S
0,080
+
0,075
0,070
0,065
-
S
0,060
0,055
0,050
36,5
0,045
36,0
0,040
0
35,5
0
2
4
6
8
2
4
6
8
10
magnetic field (mT)
10
magnetic field (mT)
Fig 7 – Concentração de elétrons dos
subníveis de spin up e spin down indicados
por S+ e S- em função do campo magnético
externo.
Fig 6 – Energias do estado fundamental de
spin up e spin down indicados por S+ e S- em
função do campo magnético externo.
.
Ainda podemos observar a deformação do potencial que se deve principalmente à interação
Coulombiana entre os elétrons dentro do poço quântico e ao campo elétrico entre o gás
bidimensional de elétrons formado dentro do poço e os íons com cargas positivas formados na
região de doadores.
Fig 8 – Potencial após o cálculo ter convergido
4. CONCLUSÕES
O método numérico mostrou-se bastante eficiente, atingindo a acurácia desejada, tanto para a
equação de Poisson como para a equação de Schrödinger. Para trabalhos futuros é possível
melhorar a precisão dos cálculos considerando mais termos da fórmula de Taylor.
A aproximação de Hartree apresentou resultados bastante satisfatórios, e ainda quando foi
considerada a interação hiperfina, os resultados foram consistentes com o esperado. Ainda é
possível complementar o programa para cálculos mais apurados, considerando outros tipos de
potencial.
Como conclusão geral, é possível utilizar o método para o estudo de pontos quânticos e
nanoestruturas em que a interação hiperfina apresenta uma contribuição relevante.
9
5. AGRADECIMENTOS
Os autores do trabalho agradecem às agências de fomento FAPEMIG e CNPQ pelo auxílio
financeiro que possibilitou a realização desse trabalho.
6. REFERÊNCIAS
Arfken, G. B., Weber, H. J., 2005, Mathematical methods for physicists, sixth edition, Cap 5,
p 321 - 401
Bastard, G., Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures, Cap 1, p 1 – 11, Cap 5,
p 155 - 186
Franco, N. B., 2007, Cálculo numérico, Cap 13, p 429 - 485
Hjorth-Jensen, M. , 2003, Computational physics, Cap 13, p 241 – 247
Klimov, V. I., et al, 2007, Single-exciton optical gain in semiconductor nanocrystals, Nature
Volume 447, Number 7143 pp 353-506, DOI: 10.1038/nature05839
Otsuka, T., et al, Fano effect in a few-electron quantum dot, arXiv:cond-mat/0701023v2, to be
published
Voss, J., Pfannkuche, D., Electron spin relaxation in GaAs quantum dot systems – The role of the
hyperfine interaction, arXiv:0712.2376v1, to be published;
HYPERFINE INTERACTION AND ELECTRON-SPIN COHERENCE IN
QUANTUM DOTS
Rene Felipe Keidel Spada
Divisão de Ensino Fundamental, Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 – Vila das Acácias
CEP – 12.228-900 – São José dos Campos – SP - Brasil
César Guilherme de Almeida
Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121
CEP 38400-902, Uberlândia –MG - Brasil
Qu Fanyao
N úcl eo d e F ís ica Ap lic a d a d o I n st it uto d e Fí s ica , U ni v er sid ad e d e B r as íl ia
Ca mp u s U ni v er si tár io D ar c y Rib eir o
CE P 7 0 9 1 0 -9 0 0 , B r a si li a – D F - B r as il
Abstract: The spin of an electron confined to a semiconductor quantum dot is a prime candidate for
quantum information processing devices, with potential applications in spintronics and quantum
computation. Schemes for quantum computation rely on a sufficiently long lifetime of initialized
spin states. One major problem is spin decoherence, resulting from the electron’s interaction with a
fluctuating magnetic field created by the randomly precessing nuclear spins-hyperfine interaction.
In this work, we present our preliminary results on the electric control of hyperfine interaction,
obtained through solving the coupled Schrödinger and Poisson equations, including hyperfine
interaction.
Keywords: Quantum Dots, Quantum computation, Hyperfine Interaction
10