CENTRO DE ENSINO MÉDIO 03 DO GAMA MATEMÁTICA – PROF. Ronaldo Luiz

CENTRO DE ENSINO MÉDIO 03 DO GAMA
MATEMÁTICA – PROF. Ronaldo Luiz – 3ª série – 2016
ANÁLISE COMBINATÓRIA
APOSTILA I
Análise Combinatória é a parte da matemática que nos permite determinar o número de agrupamentos que podem ser
feitos com os elementos de um ou mais conjuntos, submetidos a certas condições.
Informações curiosas:
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ARQUIMEDES (287 a.C. – 212 a.C.) calculou que o número de grãos de areia necessários para preencher o
Universo imaginado até então era um valor próximo de 1051.
Em 1 (um) litro de ar há 27.000.000.000.000.000.000.000 de moléculas.
Um cubo de alumínio com 3,32 cm de aresta é formado por 602.000.000.000.000.000.000.000 de átomos.
Imaginando-se que esses átomos pudessem ser contados um a um, á razão de 1 (um) átomo por segundo,
seriam necessários 19 quatrilhões de anos para terminar a contagem.
Como se vê contar não é sempre um processo fácil, como parece à primeira vista. Por isso é necessário estabelecer
métodos de contagem que consigam resultados de um modo mais rápido. A obtenção de tais métodos é a preocupação
básica da análise combinatória.
Aplicações:
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A programação de computadores
A concepção de experiências
A biologia molecular
A economia
A cristalografia
A estatística
A geometria combinatória
A lógica
A teoria da programação para o bom funcionamento de uma empresa
etc
Exemplo:
Uma empresa identifica seus funcionários por meio de crachá. Os crachás dos funcionários da administração
apresentam uma letra latina seguida de um algarismo; por exemplo, B6 . Os crachás dos funcionários da fábrica apresentam
uma letra latina seguida de um algarismo e de uma letra grega; por exemplo, C4β . O número de funcionários da administração
é igual ao número de crachás compostos das letras A, B, C e dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5; o número de funcionários da fábrica é
igual ao número de crachás compostos das letras A, B, C, dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e das letras α, β e θ. Quantos funcionários
trabalham na administração dessa empresa ? E na fábrica ?
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Para qualquer número de etapas independentes, o número de possibilidades de ocorrência de um evento é dado pelo
produto do número de possibilidades de cada etapa.
Exemplos:
01) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para
chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de
quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre ?
02) Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7:
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar ?
b) E de 3 algarismos distintos ?
PRINCÍPIO ADITIVO
Seja A um acontecimento independente do acontecimento B. Se A pode ocorrer de p modos distintos e B pode ocorrer
de q modos distintos, então o número de maneiras de ocorrer A ou B é p + q.
Exemplo:
Um restaurante oferece 7 opções de prato principal e 6 de salada. Se uma pessoa deseja comer um prato principal ou
uma salada, de quantas maneiras distintas poderá fazê-lo ?
FATORIAL
Considerando n natural, chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n! tal que:
 Se n = 0 : 0! = 1
 Se n = 1 : 1! = 1
 Se n ≥ 2 : n! = n.(n-1).(n-2). … .2.1 (produto de n fatores, de n até 1)
Exemplos:
a) 5! =
b) 4! =
c) 20! =
18!
n! =
d)
(n  1)!
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MATEMÁTICA – PROF. Ronaldo Luiz – 3ª série – 2016
ANÁLISE COMBINATÓRIA
APOSTILA II

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PERMUTAÇÕES SIMPLES
Tipo de agrupamento em que:
Diferem pela ordem;
Não
há
repetição
de
elementos;
Todos os elementos são
utilizados de uma só vez;
Indica-se por Pn ;
Desenvolve-se Pn = n!




ARRANJOS SIMPLES
Tipo de agrupamento em que:
Diferem pela ordem ou pela
natureza;
Não
há
repetição
de
elementos;
Os
elementos
não
são
utilizados todos de uma só vez;
Indica-se por An , p ;
 Desenvolve-se An , p 
n!
(n  p )!




COMBINAÇÕES SIMPLES
Tipo de agrupamento em que:
Diferem apenas pela natureza;
Não
há
repetição
de
elementos;
Os
elementos
não
são
utilizados todos de uma só vez;
Indica-se por Cn , p ;
 Desenvolve-se
Cn , p 
n!
p!.(n  p)!
Exemplos
01) Quantos números de 3
algarismos
distintos
podemos
formar com os algarismos 1, 2 e 3?
Exemplos
01) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7
e 9, quantos números de 3
algarismos
distintos
podemos
formar ?
Exemplos
01)
De
quantos
maneiras
diferentes um técnico pode
escalar seu time de basquete
tendo 12 atletas à sua disposição ?
02) Quantos e quais são
anagramas da palavra SOL ?
02) Quais e quantos agrupamentos
ordenados diferentes de 2 letras
distintas é possível formar com as
letras a, b, c, d ?
02) Uma pizzaria oferece 15
diferentes sabores de pizza a
seus clientes. De quantas maneiras
uma família pode escolher 3
desses sabores ?
os
EXERCÍCIOS
01) Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção de uma cidade B para
uma cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C, passando por B ? De quantas maneiras pode-se ir de
A a C, passando por B, e voltar até B sem repetir na volta o mesmo caminho utilizado na ida ?
02) De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e
2 pares de sapato ?
03) Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes, quantas e quais são as possibilidades de resultado ?
04) Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a
um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades a um múltiplo de 3 ?
05) Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) quantos números de 2 algarismos podemos formar ?
b) quantos números pares de 2 algarismos podemos formar ?
c) quantos números ímpares de 2 algarismos podemos formar ?
d) quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar ?
e) quantos números de 2 algarismos pares podemos formar ?
06) Simplifique:
a)
7!
4!
b)
3!.5!
4!.6!
c)
12!
10!9!
d)
n!
(n  2)!
e)
(n  3)! (n  1)!
.
(n  2)! (n  2)!
07) Considere os seguintes números naturais pares 4, 6, 8, ... , 100. Efetuando-se a soma 4! + 6! + 8! + ... + 100!, o
algarismo que ocupa a ordem das unidades dessa soma é igual a:
a) 4
b) 2
c) 6
d) 8
08) Se
n!
1

, então:
(n  2)!(n  1)! 48
a) n = 2
b) n = 12
c) n = 5
d) n = 7
e) n = 10
09) Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8 ? E de 4 algarismos
distintos ?
10) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 e 9.
a) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever ?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever ?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos
escrever ?
d) Quantos números de 7 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre
juntos e nessa ordem ?
11) Num sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se 6 pessoas ?
12) Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas ?
13) Quantas equipes diferentes de vôlei podemos escalar com 10 meninas à disposição ?
14) Quantas diagonais tem o decágono ? E o icoságono ?
15) Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e 10000 podemos formar com os algarismos 1,
2, 4 e 6 ?
SAUDAÇÕES BOTAFOGUENSES !!!
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
APOSTILA III
PERMUTAÇÕES COM
REPETIÇÃO
A permutação de n elementos
dos quais  são de um tipo, 
ARRANJOS COM REPETIÇÃO
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
( AR)n, p  n p

 são de outro,
com       n é dada por:
n!
 ,  ,
Pn

 !. !. !
são de outro e

Chama-se permutação circular de
n objetos distintos qualquer
disposição desses objetos em
torno de um círculo.
Indica-se por: ( PC)n  (n  1)! ou
( PC ) n 
Exemplos
01) Quantos são os anagramas da
palavra ARARA ?
Exemplos
01) Quantos números de 3 algarismos
podemos formar com os algarismos 5
e8?
n!
n
Exemplos
01) Para uma foto de recordação da
turma, Ana, Bia, Caio, Déa, Enéas e
Fábio formarão uma “roda”. Quantas
formações diferentes são possíveis ?
OBS:
PROPRIEDADE DAS COMBINAÇÕES: (IGUALDADE DE COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES)
C n , p  Cn , n  p
EXEMPLOS:
1) C3, 2  C3,1 , pois C3, 2  3
e
2) C100,98  C100, 2 , pois C100,98  4950
C3,1  3
C100, 2  4950
EXERCÍCIOS
01) Quantos são os anagramas das palavras:
a) DEZESSETE
(Resp. 7560)
b) CAMARADA
(Resp. 1680)
c) MISSISSIPPI (Resp. 34650)
d) ARARAQUARA (Resp. 5040)
e) ABOBORA
(Resp. 630)
f) BISCOITO
(Resp. 10080)
g) ARARAQUARA que começam e terminam com A (Resp. 1120)
02) Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ? (Resp.
6561)
03) Quantos números de 6 algarismos maiores que 540.000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ?
04) Quantos números naturais de 2 algarismos (distintos ou não) podemos formar com os algarismos 4, 7, 8 e 9?
(Resp. 16)
05) Usando os algarismos 2, 5, 7, 8 e 9:
a) quantos números naturais de 4 algarismos com pelo menos um repetido podemos formar ?
(Resp. 505)
b) quantos números naturais entre 500 e 700 podemos escrever ? (Resp. 25)
e
06) De quantos modos diferentes o disco abaixo pode ser pintado com 8 cores diferentes (amarelo, vermelho,
verde, azul, roxo, marrom, laranja e preto) ? (Resp. 5040)
07) De quantos modos uma família de 6 pessoas pode se sentar em torno de uma mesa redonda de forma que o
pai e a mãe fiquem sempre juntos ? (Resp. 48)
08) Ao planejar uma prova de Matemática contendo 5 questões, um professor dispõe de 5 questões de Álgebra e
6 de Trigonometria. Calcule o número de provas diferentes que é possível elaborar, usando em cada prova 2
questões de Álçebra e 3 de Trigonometria.
(Resp. 200)
09) Para realizar operações bancárias via Internet, certo site exige que se apresente uma senha constituída por
4 algarismos. Depois de realizada a operação, é necessário digitar uma segunda senha, de 3 algarismos. Nos
dois casos podem ser escolhidos quaisquer algarismos de 0 a 9. Suponhamos que alguém que não conheça as
senhas tente descobri-las fazendo tentativas. Qual será o número máximo de tentativas ? (Resp. 11.000)
10) Numa reunião de professores, cada participante cumprimentou todos os seus colegas, registrando-se 210
apertos de mão. Determine o número de professores presentes à reunião. (Resp. 21)
11) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de
modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila
poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês ? (Resp. 34.560)
12) Uma urna contem 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:
a) 3 bolas ?
(Resp. 84)
b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas ?
(Resp. 60)
13) De quantas maneiras podemos extrair 4 cartas de um baralho de 52 cartas ?
(Resp. 270725)
14) De quantas maneiras podemos extrair 5 cartas de um baralho de 52 cartas, de modo que em cada extração
haja pelo menos 1 ás ?
(Resp. 886.656)
15) Um baralho contém 52 cartas. De quantas formas poderão ser sorteadas quatro cartas, sem reposição, de
modo que seja sorteada uma carta de cada naipe ? (Resp.: 28561)
16) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. Qual é o
número de triângulos com vértices em três desses pontos ?
(Resp. 84)
17) Sobre uma circunferência são marcados 6 pontos distintos. Quantos quadriláteros podemos traçar com
vértices nesses pontos ? (Resp. 15)
18) (UCSal-BA) Um código para leitura ótica é constituído por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum código tem
barras de uma só cor. Veja dois exemplos desses códigos:
Quantos desses códigos, distintos entre si, podem ser formados ?
a) 128
b) 64 c) 62 d) 32 e) 16
(Resp.: c)
19) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B, deslocando-se uma unidade de cada
vez, para cima ou para a direita? (Resp.: 126)
20) Quantos números de 4 algarismos distintos maiores que 2000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4,
5 e 6 ? (Resp.: 300)
21) Num grupo de 20 pessoas há 6 mulheres. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas, de modo que
nelas haja pelo menos uma mulher ? (Resp.: 3844)
22) Num plano estão marcados 12 pontos, dos quais 5 estão sobre uma mesma reta e, dos 7 que estão fora dela,
não há 3 colineares. Quantas retas distintas podemos traçar ligando esses pontos 2 a 2 ? (Resp.: 57)
23) Numa competição com 10 países, de quantas maneiras podem ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e
bronze ? (Resp.: 720)
24) O novo sistema de placas de veículos utiliza um grupo de 3 letras (dentre 26 letras) e um grupo de 4
algarismos (por exemplo: ABC – 1023). Uma placa dessas será “palíndroma” se os dois grupos que a
constituem forem “palíndromos”. O grupo ABA é “palíndromo”, pois as leituras da esquerda para a direita e
da direita para a esquerda são iguais; da mesma forma, o grupo 1331 é “palíndromo”. Quantas placas
“palíndromas” distintas poderão ser construídas ? (Resp.: 67600)
25) Um chaveiro foi contratado para fazer cópias das chaves de 10 salas; ele, entretanto, não as etiquetou e se
viu obrigado a repor as chaves por tentativas. Quantas tentativas, no máximo, deverá fazer ?
(Resp.: 45)
26) Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado uma seqüência de 3 algarismos distintos. Além disso,
ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma
possível seqüência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre ? (Resp.: 216 min ou 3h 36 min)
27) Um casal e seus quatro filhos, ao posar para uma fotografia, ficam em pé, um ao lado do outro. O número de
modos que eles poderão se dispor, se os pais devem ficar sempre juntos é: (Resp.: 240)
28) De quantos modos uma família de 6 pessoas pode se sentar em torno de uma mesa redonda de forma que o
pai e a mãe fiquem sempre juntos ? (Resp.: 48)
29) Diante do caixa eletrônico de um banco, Mariana não conseguia lembrar-se da sua senha de seis dígitos.
Lembrava-se, apenas, dos dois primeiros (mês do seu nascimento) e dos dois últimos (sua idade atual).
Supondo que levou cerca de um minuto em cada tentativa de completar a senha e que esgotou todas as
alternativas distintas possíveis, somente acertando na última, Mariana retirou os reais desejados após
quanto tempo ? (Resp.: 1h 40min)
30) (ENEM) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de
várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre
essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1.
Observe abaixo o exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001
Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010
No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar
em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a
esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.
Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda
para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou escuras, é:
a)14
b) 12 c) 8
d) 6
e) 4
(Resp.: d)
SAUDAÇÕES BOTAFOGUENSES !!!