1 - FGV/EPGE

Gabarito Lista 5
Profa. Joisa Dutra
Monitor: Rafaela Nogueira
1)
a) Jogo: escolha individual em um problema com interdependência.
b) Jogo estático de informação completa: jogo em que os jogadores são chamados
a jogar uma única vez cada um, sem informação sobre a ação escolhida por
outros jogadores, em que os payoffs de cada jogador para cada combinação
possível de estratégias são conhecidos por todos os jogadores.
c) Representação na forma normal ou estratégica: representação que indica
claramente quem são os jogadores, o espaço de estratégias de cada um, e os
payoffs associados a cada possível combinação de estratégias.
d) Estratégia estritamente dominante:
ai  Ai t.q. u i (ai , a i )  u i (ai ' , a i ), ai '  ai , ai ' Ai , a i  Ai , ou seja, uma
estratégia ai pertencente ao espaço de estratégias Ai do agente i com payoff
estritamente maior do que qualquer outra estratégia ai’ no seu espaço de
estratégias, qualquer que seja a ação a-i escolhida pelos outros agentes.
e) Estratégia estritamente dominada:
ai  Ai t.q. ai ' Ai , ui (ai ' , ai )  ui (ai , ai ), ai  Ai , ou seja, uma estratégia
do agente i tal que podemos encontrar uma outra estratégia estritamente melhor
do que a primeira, independente da escolha dos outros agentes.
f) Eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas: procedimento que
elimina sucessivamente estratégias estritamente dominadas do espaço de
estratégias dos jogadores, utilizando a cada passo um grau a mais de
conhecimento de racionalidade (eu sei que ele sabe que eu sei que ele sabe ...
que eu sou racional). N graus de conhecimento de racionalidade permitem (N+1)
eliminações.
g) Estratégias fracamente dominadas:
ai  Ai t.q. ai ' Ai , ui (ai ' , ai )  ui (ai , ai ), ai  Ai , com desigualdade
estrita para algum a-i. Ou seja, é uma estratégia do agente i tal que podemos
encontrar uma outra estratégia dele pelo menos tão boa quanto a primeira,
independente da escolha dos outros agentes, e estritamente melhor para pelo
menos uma combinação de estratégias dos outros jogadores.
h) Estratégia que é a melhor resposta: estratégia que maximiza o payoff de um
jogador para uma combinação específica de estratégias dos outros jogadores.
i) (item extra) Estratégia não-racionalizável: estratégia que, para qualquer
combinação de estratégias dos demais jogadores, não maximiza o payoff do
jogador (logo, é preterida para qualquer expectativa que o jogador tenha em
relação ao que os outros jogadores farão).
j) Eliminação iterada de estratégias não racionalizáveis. Procedimento que
elimina sucessivamente estratégias não racionalizáveis do espaço de estratégias
dos jogadores, utilizando a cada passo um grau a mais de conhecimento de
racionalidade (exatamente como na eliminação iterada de estratégias
estritamente dominadas; para dois jogadores, os procedimentos são
equivalentes em estratégias mistas).
k) Equilibro de Nash: (ai *, ai *) t.q. ui (ai *, ai *)  ui (ai , ai *), i, ai  Ai , ou
seja, um perfil de estratégias que é a melhor resposta de cada jogador às ações de
equilíbrio dos demais jogadores.
2)
a) Verdadeiro. Uma estratégia dominante para o jogador i, em um jogo Γ, é uma
estratégia si  Si tal que para quaisquer que sejam as combinações de estratégias
escolhidas pelos outros jogadores, s−i  S−i, vale que: ui(si, s−i) ≥ ui(s′i, s−i), para
toda s′i  Si, com desigualdade estrita para pelo menos uma combinação de
estratégias s−i  S−i escolhida pelos outros jogadores, i.e., ui(si, s−i) > ui(s′i, s−i).
De outro modo, uma estratégia dominante para o jogador i, em um jogo Γ, é uma
estratégia si  Si que é fracamente dominante sobre todas as outras estratégias si,
onde si  Si. Podemos dizer que uma estratégia dominante é uma estratégia tal
que se o jogador i  I a escolher estará maximizando a sua utilidade,
independente da escolha dos outros jogadores. Assim, se cada um dos jogadores
estiver escolhendo uma estratégia dominante, segue-se que a combinação de
estratégias escolhidas será um equilíbrio de Nash do jogo.
b) Falso. Contra-exemplo: Batalha dos Sexos
Jogador 1
Balé Boxe
Jogador 2 Balé 2,1
0,0
Boxe 0,0
1,2
c) Verdadeiro. Vimos que, se do processo de eliminação iterada de estratégias
estritamente dominadas, a combinação de estratégias (s′, s′−i)  Si ×S−i for a
única remanescente então ela será a solução do jogo. Logo será o equilíbrio de
Nash do jogo.
d) Falso. Contra-exemplo:
e)
f)
A
B
C
2,2
1,1
D
1,2
2,0
(A,C) é o único equilíbrio de Nash do jogo (em estratégias puras), mas nem B
nem D são estratégias estritamente dominadas.
e) Falso. Contra-exemplo: par ou ímpar. O teorema de Nash garante existência de
equilíbrio para estratégias mistas, não para estratégias puras.
3)
(i)
(ii)
No primeiro e no segundo jogo não se pode eliminar nenhuma estratégia; no
terceiro jogo a terceira linha é estritamente dominante sobre as demais, que
podem ser eliminadas.
No primeiro jogo a terceira linha representa uma estratégia que é estritamente
dominada por uma combinação das outras linhas, logo ela é eliminada; no
segundo jogo a terceira linha é estritamente dominada pela segunda linha, logo
ela é eliminada; no terceiro jogo não se pode eliminar nenhuma estratégia
(linha).
4)
(a) SI = {A,B,C,D} e SII = {E, F,G,H}
(b) Na primeira iteração o jogador I elimina as estratégias B e D, que nunca são
melhor resposta; numa segunda iteração o jogador II elimina as estratégias F e
H. Após 2 iterações não é mais possível eliminar qualquer estratégia: é o
equilíbrio racionalizado do jogo.
(c) (A,E) e (C,G).
5)
(a) x  2 e y > 0
(b) Se x ≤ 0  C não é estritamente dominada à B.
Se x ≤ 2  A não é estritamente dominada à B. Então x ≤ 0  A e C não
são estritamente dominados por B.
Se y ≤ 0  D não é estritamente dominada à E.
Com isso percebemos nesse caso que é incompatível que (B,E) seja
equilíbrio de Nash.
6)
a)
b)
c)
d)
e)
Dois E.N.: (alto, direita) e (baixo, esquerda)
Um E.N.: (baixo, direita)
Dois E.N.: (alto, esquerda) e (meio, direita)
Um E.N.: (meio, centro)
Não há E.N. em estratégias puras.
7) Quero que (alto, esquerda) e (baixo, direita) sejam E.N., e mais nenhuma
combinação. Para (alto, esquerda) ser E.N., preciso que x  20, mesma condição para
que (baixo, direita) seja E.N.
8)
a) Apenas se x for estritamente negativo (o jogador 2 poderia eliminar C). Como
não temos essa informação, não é possível resolver o jogo por E.I.E.E.D.
b) Sim. Como podemos eliminar estratégias fracamente dominadas, sabemos que o
jogador 1 não joga B, que lhe dá um payoff menor ou igual a A, qualquer que
seja a ação de 2. Sabendo disso, o jogador 2 joga D (não importa mais o valor de
x). Logo, (A,D) é equilíbrio por E.I.E.F.D.
c) veja resposta (a)
(9)
(a) O jogador 1 elimina Z pois esta é ED à X. Dado que o jogador 1 eliminou Z, o
jogador 2 elimina D que é ED à B. Dado que 2 eliminou D o jogador 1 elimina
Y que é ED à W. O novo jogo é então o jogo inicial menos as estratégias Z, D e
Y.
(b) EN={(W, A), (W, B), (X, B), (X, C)}
(c) Esse resultado não é casual, pois o conjunto dos EIEED contém o conjunto dos
EN, isto é, o conceito de EN é um conceito mais forte que EIEED no sentido de
que as estratégias jogadas num EN sempre sobrevivem à EIEED. Note a
definição de equilíbrio por EIEED: é a melhor jogada independente do que o
adversário faça, logo engloba o EN que é a melhor jogada dada a jogada do
adversário.
10) É possível. A eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas é um
procedimento mais frágil para selecionar equilíbrios, isto é, elimina menos estratégias
dos jogadores. O conjunto de E.N. é mais restrito do que o conjunto de estratégias que
sobrevive à E.I.E.E.D.
11) Absurdo. Pela argumentação dada na questão anterior, não é possível eliminar um
E.N. por E.I.E.E.D.
12)
(a) EN={(A,B), (B,A)}
(b) Se fosse possível cooperação teríamos (B,A)=(900,600). A empresa I teria o
maior payoff possível. Esta empresa estaria disposta a oferecer entre [200, 800),
o que dependeria do poder de barganha de cada uma das empresas. Se a empresa
I tem maior poder de barganha, ela daria aproximadamente 200 para a firma II,
se a firma II tivesse um grande poder de barganha receberia aproximadamente
800.