MATEMÁTICA

CURSO TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO
01
MATEMÁTICA
Razão, proporção e
grandezas proporcionais
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal
Ministério da Educação
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
EQUIPE SEDIS
| UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional
Janio Gustavo Barbosa
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
rá
e
v
ê
c
Vo
i...
u
q
a
r
po
Olá! Estamos iniciando os nossos estudos em Matemática. Em nosso material impresso, você
verá alguns tópicos que lhe darão uma visão panorâmica de várias partes da Matemática,
como a Geometria, a Álgebra e a Matemática Financeira, envolvidas em situações comuns
da Segurança do Trabalho. Esse conteúdo será apresentado em 12 aulas.
Em nossa primeira aula, vamos abordar os conceitos de razão, proporção e de grandezas
proporcionais­que aqui se apresentam traduzidos na linguagem matemática para que
possamos ampliá-los (inclusive estudando suas propriedades) e utilizá-los na resolução
de algumas situações escritas nessa linguagem.
Os conceitos de razão e proporção são utilizados em vários aspectos de nosso cotidiano.
Os exemplos aqui desenvolvidos abordarão alguns desses aspectos, porém você poderá
enriquecer o seu estudo, pesquisando sobre outras situações, quer sejam na Matemática,
quer sejam em outras áreas nas quais esses conhecimentos podem ser aplicados, a
exemplo de áreas profissionais como a de Construção Civil.
O estudo das grandezas proporcionais é utilizado quando observamos duas grandezas
relacionadas entre si, de modo que, quando uma sofre alguma alteração a outra
também varia. De acordo com a lei que define a relação entre essas duas grandezas
é que podemos descrevê-las como grandezas diretamente proporcionais ou
grandezas inversamente proporcionais.
Na aula 2, você estudará sobre regra de três simples e regra de três composta. Nas aulas 3 e
4, as diversas unidades de medidas. Já na aula 5, você terá a oportunidade de estudar sobre
o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas e, na aula 6, sobre cálculo de volume
de alguns sólidos geométricos. Nas aulas 6 e 7, você verá alguns tópicos de Matemática
Financeira, como fazer conversões monetárias, o cálculo de porcentagens, lucro ou prejuízo,
acréscimos e descontos sucessivos, como também o cálculo de juros simples e juros
compostos. E nas aulas 11 e 12, estudará um pouco sobre funções.
Para exercitar o seu raciocínio, disponibilizamos algumas atividades, ao longo do conteúdo,
que servem para você aplicar imediatamente o conhecimento adquirido em cada bloco do
assunto estudado. Também disponibilizamos para você uma série de exercícios ao final
de todo o conteúdo, envolvendo questões de todo o estudo realizado até aqui, em um só
bloco. Se, após resolver todas essas questões, você perceber que há necessidade de rever
alguns dos itens estudados, refaça os exercícios nos quais sentiu mais dificuldade e, se for
o caso, entre em contato com o tutor em seu pólo de apoio presencial. Ele lhe encaminhará
para o atendimento pelo tutor a distância ou pelo professor da disciplina.
Matemática A01
Objetivo
 Entender o que é razão e proporção, aprendendo a identificar
seus elementos.
 Saber estimar um valor desconhecido de uma proporção, utilizandose adequadamente de uma ou mais propriedades das proporções.
 Entender de que maneira são conceituadas grandezas em
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
 Aplicar as propriedades das grandezas proporcionais (sejam direta
ou inversamente proporcionais) para a resolução de problemas.
Fonte: <http://www.capivari.sp.gov.br/images/cultura/obras_tarsila/abaporu.jpg>.
Acesso em: 20 jun. 2008.
É uma questão
de proporção?
Q
uando observamos uma imagem
e dizemos que uma de suas
partes é muito pequena em
relação às outras, estamos dizendo que
suas medidas não são proporcionais.
Observe a desproporcionalidade entre as
partes do corpo no quadro Abaporu, de
Tarsila do Amaral, apresentada na Figura 1.
Essa desproporcionalidade (intencional ou
não) é percebida quando, instintivamente,
comparamos as medidas dessa imagem
com as de outra que tomamos como
padrão ou, ainda, quando comparamos as
medidas de uma das partes com as de
outras partes dessa mesma imagem.
Figura 1 – Abaporu, de Tarsila do Amaral
Na maioria dos desenhos de corpo humano, quando proporcionais, pode ser observado
que a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça. Já
em desenhos de corpos de crianças, a relação entre essas medidas pode variar. A altura
total pode ser a de cinco cabeças ou menos, como vemos em alguns desenhos como o
“Dexter” e “As Meninas Superpoderosas”, em que observamos que a altura total do corpo
corresponde, aproximadamente, à altura de duas cabeças, em cada personagem.
Matemática A01
Conhecendo
razão e proporção
Com as informações apresentadas no texto anterior, observarmos que, no desenho
proporcional de um corpo humano, podemos estabelecer uma comparação entre as
alturas da cabeça e do corpo.
Razão
Razão entre dois números
Nesse caso, para um corpo humano adulto, temos que a razão entre a altura da cabeça
e a altura total do corpo é de 1 para 7, que será escrita como
1
ou 1 : 7
7
De uma forma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente
de a por b.
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é
a
ou a : b, onde b = 0.
b
A leitura dessa razão entre a e b é: ‘a para b’ ou ‘a está para b’.
Os números a e b são os termos da razão, na qual a é o antecedente, e b o
conseqüente (sendo b ≠ 0).
Na razão 1 : 7, o antecedente é 1 e o conseqüente é 7.
1 → antecedente
7 → conseqüente
Matemática A01
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
A razão de 2 para 5 é
2
ou 2 : 5.
5
Legal! Uma razão também
pode ser simplificada.
Olhe os exemplos 2 e 3.
Exemplo 2
A razão de 4 para 20 é
4
4÷4
1
=
=
ou 1 : 5.
20
20 ÷ 4
5
Exemplo 3
A razão de 12 para 4 é
12
12 ÷ 4
3
=
= =3.
4
4÷4
1
Exemplo 4
1
1
1 1
1
e 9 é 2 = · =
ou 1 : 18.
A razão entre
2
9
2 9
18
Exemplo 5
A razão entre 5 e 2
1
5
5
3
5 3
15
é
= =5· = · =
ou 15 : 7.
1
7
3
7
1 7
7
2
3
3
Matemática A01
Razão entre duas grandezas
A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira
grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero).
Se as grandezas que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos
apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não
apresenta unidade de medida.
Observe os exemplos:
Exemplo 6
A razão entre 12 m e 15 m é
12 m
12 ÷ 3
4
=
= , ou seja, é 4 para 5.
15 m
15 ÷ 3
5
Exemplo 7
A razão entre 20 cm e 3 m é
20 cm
20 cm
20 ÷ 10
2÷2
1 , ou seja, é 1 para 15.
=
=
=
=
3m
300 cm
300 ÷ 10
30 ÷ 2
15
Exemplo 8
A razão entre 15 minutos e 1 hora é
15 min
15 min
15
15 ÷ 3
5÷5
1 , ou seja, é 1 para 4.
=
=
=
=
=
1h
60 min
60
60 ÷ 3
20 ÷ 5
4
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa
razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do conseqüente.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 9
Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3 000 rotações. A razão entre
o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é
3 000 rotacoes
= 600 rotacoes/min.
5 min
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.
Matemática A01
Exemplo 10
O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde
trabalha, é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é .
140 km
140
=
km/h = 70 km/h.
2h
2
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse
deslocamento é de 70 km/h.
Praticando...
1. Calcule a razão entre os números:
a) 12 e 21
b) 15 e 105
c) 1,2 e 3
d) 3 e 18
5
1
Escala é uma das razões
entre grandezas de mesma
natureza. Velocidade média
é uma das razões entre
grandezas de naturezas
diferentes.
Responda aqui
2. Calcule a razão entre as seguintes
grandezas:
a) 30 km e 3 l de álcool
LEGENDA
b) 120 mm e 4 dm
c) 12 g e 4 cm3
25 d = 25 dias
1 m = 1 mês
d) 4 200 g e 60 kg
e) 25 d e 1 me 10 d
10 d = 10 dias
Matemática A01
Proporção
Em duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi diagnosticada
a seguinte situação:
Filial
Têm curso de informática completo
Total de funcionários
A
6
8
B
9
12
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o
número total de funcionários do escritório de cada filial é:
Filial A:
6
6÷2
3
=
=
8
8÷2
4
Filial B: 9 = 9 ÷ 3 = 3
12
12 ÷ 3
4
Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número,
6
9
logo podemos afirmar que =
(ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas
8
12
expressões é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”.
Matemática A01
Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre
os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.
A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma
ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.
De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, c e d), em certa
∈ℜ*
∈ pertence
ℜ* conjunto
dos números reais
diferentes de zero
Assim: a, b, c e d
são números reais
diferentes de zero.
ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja,
a
c
se = , dizemos que os números a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção.
b
d
Termos de uma proporção
Se a, b, c e d ∈ ℜ * e
a
c
= , dizemos que:
b
d
 a, b, c e d são os termos da proporção;
 a e c são os antecedentes;
 b e d são os conseqüentes;
 a e d são os extremos da proporção;
 b e c são os meios da proporção.
2
Praticando...
1. Indique o antecedente e o conseqüente em cada uma das razões
a seguir:
a) 12 para 7
b) 3:20
1 12
c) 5 :
3 5
d)
2. Destaque os extremos com
a seguir:
a)
10
30
=
27
81
c)
3
15
=
11
55
18
25
e os meios com
b)
em cada proporção
1
15
=
8
120
Matemática A01
Propriedade fundamental das proporções
Para verificar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. Na proporção
a
c
= , podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos conseqüentes
b
d
a
c
das razões que a formam (b · d ou bd). Assim: · bd = · bd.
b
d
Simplificando, temos: a · d = c · b ou a · d = b · c.
Diante desse resultado, podemos afirmar o seguinte:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos verificar se duas razões formam uma
proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 11
A expressão
2
18
=
é uma proporção?
7
63
O produto dos extremos é: 2 . 63 = 126 .
O produto dos meios é: 7 . 18 = 126.
Podemos observar que 2 . 63 = 7 . 18
Resposta:
A expressão
2
18
=
7
63
é uma proporção.
Matemática A01
Exemplo 12
A expressão
2
18
=
3
24
é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 24 = 48.
O produto dos meios é: 3 . 18 = 54.
Observe que 2 . 24 ≠ 3 . 18, logo dizemos que
2
18
= .
3
24
Resposta:
A expressão
2
18
=
não é uma proporção.
3
24
Exemplo 13
Verifique se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem,
formam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos:
11 . 30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 . 22 = 330
Assim: 11 . 30 = 15 . 22.
Comparando a igualdade anterior (11 . 30 = 15 . 22) e o que nos diz a
propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios), podemos considerar 11 e 30 como sendo os extremos
e os outros dois números como os meios dessa proporção.
11
15
=
é uma das proporções que podem ser
15
30
formadas por esses números.
Dessa forma, a proporção
Resposta: Uma das proporções que podemos formar com esses quatro
11
15
números, nessa ordem, é
.
=
15
30
Para descobrir se quatro números, em uma dada ordem, formam uma proporção, observe
o que vem a seguir:
10
Matemática A01
Recíproca da propriedade fundamental das proporções
Sejam a, b, c e d números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles
seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a · d = b · c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto b · d, temos que:
ad
bc
=
bd
bd
Após a simplificação, temos:
a
c
=
b
d
Assim transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você
também verá no exemplo a seguir.
Exemplo 14
Escreva a igualdade 3 . 35 = 7 . 15 em forma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 . 35 = 7 . 15 pelo produto 3 . 35 . 15,
3 · 35
7 · 15
temos:
.
=
35 · 15
35 · 15
3
7
Ao simplificarmos essa expressão, obtemos a proporção
.
=
15
35
Cálculo de um termo desconhecido
Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos,
sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das
proporções. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 15
Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção
3x = 4 . 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 3 ⇒ x = 80.
3
60
, temos:
=
4
x
11
Matemática A01
Exemplo 16
2
15
, quando aplicamos a propriedade fundamental das
=
x
120
proporções, temos: 15x = 120 . 2 ⇒ 15x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 15 ⇒ x = 16.
Na proporção
Transformações
Transformar uma proporção é escrevê-la com os mesmos termos em outra ordem,
ou seja, é encontrar proporções equivalentes à proporção dada, mudando apenas a
ordem dos termos.
3
12
Considere a proporção =
. Observe que a igualdade entre as razões se
5
20
mantém quando:
 alternamos os extremos:
 alternamos os meios:
20
12
=
⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60;
5
3
3
5
=
⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;
12
20
 invertemos os termos:
5
20
=
⇒ 5 · 12 = 3 · 20;
3
12
 transpomos as razões:
12
3
= ⇒ 12 · 5 = 20 · 3;
20
5
Proporções Múltiplas
6
15
e
. Vemos, após a simplificação, que todas são iguais a 3 .
14
35
7
6
15
3
=
= , que é uma proporção múltipla.
Logo, podemos escrever
14
35
7
Observe as razões
12
Matemática A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade
entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de
série de razões iguais.
De forma geral:
a
c
m
= = ... =
b
d
n
(onde a, b, c,..., n ∈ ℜ*) é uma proporção múltipla.
Propriedade fundamental das proporções múltiplas
Seja a proporção
a
c
m
= = . . . = . Considerando que cada uma dessas razões é igual
b
d
n
a um mesmo número k. Esse valor k é chamado de coeficiente de proporcionalidade
dessa proporção.
Assim, temos:
a
c
m
= k, = k, . . .
=k
b
d
n
Quando isolamos o valor de cada antecedente, encontramos:
a = bk,
c = dk,
...,
m = nk
Somando essas igualdades, membro a membro, temos:
a + c + . . . + m = bk + dk + . . . + nk
a + c + . . . + m = k · (b + d + . . . + n)
Dividindo ambos os membros por (b +d + ... + n), temos:
a + c + ... + m
= k, ou seja,
b + d + ... + n
a + c + ... + m
a
c
m
= = = ... =
=k
b + d + ... + n
b
d
n
13
Matemática A01
Assim, em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a
soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu
respectivo conseqüente.
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 17
1
3
5
6
=
=
=
⇒
5
15
25
30
⇒
1+3+5+6
1
3
5
6
=
ou
ou
ou
.
5 + 15 + 25 + 30
5
15
25
30
1
é o coeficiente de proporcionalidade dessa proporção, pois
5
1
todas as razões são iguais a .
5
Observe que
Mais algumas propriedades das proporções
Considerando a proporção
a
c
= , podemos observar as seguintes propriedades:
b
d
I)Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma
proporção.
A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes,
assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente.
a+c
a
a+c
c
=
ou
=
b+d
c
b+d
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de
uma proporção.
A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus conseqüentes, assim
como cada antecedente está para seu respectivo conseqüente.
a−c
a
a−c
c
=
ou
=
b−d
b
b−d
d
14
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo
antecedente.
A soma dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma
dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a+b
c+d
=
a
c
A diferença dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a
diferença dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a−b
c−d
=
a
c
IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo
conseqüente.
A soma entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a
soma entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a+b
c+d
=
a
c
A diferença entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como
a diferença entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a−b
c−d
=
b
d
Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:
Exemplo 18
Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre
eles é 1:2.
Número menor: x
Número maior: y
x
1
=
y
2
x
1
Aplicando a Propriedade III na proporção = , temos:
y
2
Dados do problema: x + y = 54 e
x+y
1+2
=
x
1
15
Matemática A01
Como x + y = 54 , temos:
54
3
=
x
1
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a
equação resultante, temos:
3 · x = 54 · 1 ⇒ 3x = 54 ⇒ x = 54 ÷ 3 ⇒ x = 18
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das
equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:
18 + y = 54 ⇒ y = 54 − 18 ⇒ y = 36
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Exemplo 19
Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e
que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.
Número maior: m
Número menor: n
m
6
=
n
5
m
6
Aplicando a propriedade IV na proporção n = 5 , temos:
Dados do problema: m – n = 12 e
m−n
6−5
=
m
6
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos:
12
1
=
m
6
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
m . 1 = 12 . 6
16
Matemática A01
Ou seja, m = 72 .
Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação
m – n = 12.
Assim: 72 − n = 12 ⇒ −n = 12 − 72 ⇒ −n = −60
Multiplicando por (-1) toda a equação, encontramos: n = 60
Resposta: os números procurados são 72 e 60.
Praticando...
3
2
10
=
.
13
65
x
x−3
2. Calcule o valor de x na proporção =
.
5
2
1. Verifique se é uma proporção a expressão
3. Aplicando as transformações, reescreva de 4 maneiras diferentes a
proporção
2
8
.
=
15
60
4. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e
x
y
z
= = .
2
4
14
5. Se x – y = 18 e x = 25 .
y
19
Responda aqui
17
Matemática A01
Grandezas proporcionais
Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos
que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um
automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo
gasto para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a
variação na outra.
De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas em
grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais
Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as
condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve
providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas
instalações sanitárias.
18
Matemática A01
Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela:
Tabela 1 – Representação da NR 24 implementada em uma empresa
Filial
Filial A
Filial B
Filial C
Filial D
Matriz
Número de funcionários
12
18
20
30
50
Quantidade mínima
necessária de água (em litros)
720
1 080
1 200
1 800
3 000
Note que:
 enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta;
 cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o
número de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual a 60, pois
720
1 080
1 200
1 800
3 000
=
=
=
=
= 60.
12
18
20
30
50
Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1 080, 1 200, 1 800, 3 000) e
(12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de
proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza a’ e a”, e os valores
correspondentes na segunda grandeza de b’ e b” , podemos apresentar a
seguinte proporção:
a
a
=
b
b
Alternando os extremos, obtemos:
b
a
=
b
a
Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores
de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas
são ditas diretamente proporcionais.
19
Matemática A01
Exemplo 20
As seqüências (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais?
Para responder a essa pergunta, temos que formar as razões entre os
números correspondentes e compará-las.
As razões são:
5 6
7
1
,
e
. Todas iguais a .
25 30
35
5
Como todas as razões entre os termos correspondentes das
seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são
diretamente proporcionais.
Exemplo 21
Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse
número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
5
8
12
1
=
=
= , temos que o coeficiente de proporcionalidade
Como
40
64
96
8
1
é .
8
Grandezas inversamente proporcionais
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para
percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h)
40
80
aumenta
Tempo de percurso (h)
6
3
diminui
20
Matemática A01
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo
percurso diminui, é reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas
variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas
inversamente proporcionais.
As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira
seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes
1 1
na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e ( , ) são diretamente
6 3
proporcionais.
Assim:
40
80
=
1
1
6
3
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
40 ·
1
1
= 80 · .
3
6
A proporção formada (já simplificada) é
40
80
=
.
3
6
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 22
Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números
inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1
2
5
=
= = 20 .
1
2
1
20
10
4
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20.
21
Matemática A01
Exemplo 23
Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente
proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos:
m
−4
1
=
= .
1
1
1
2
n
4
A última razão dessa proporção múltipla é
1
4
=1· =4 ,
1
1
4
que é também o coeficiente de proporcionalidade.
Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:
m
2
= 4 ⇒ m · = 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2
1
1
2
−4
n
= 4 ⇒ −4 · = 4 ⇒ −4n = 4
1
1
n
Multiplicando por (-1), temos:
4n = – 4 ⇒ n = –1
Assim, temos:
m = 2 e n = –1.
22
Matemática A01
Praticando...
4
Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais
as seqüências de números:
a) ( 3, 5, 9) e (
1 1 1
, , )
15 9 5
b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos
na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões
envolvendo todo o conteúdo da presente aula.
Responda aqui
23
Matemática A01
Exercícios
1.Determine a razão entre os números
a) 12 e 36
b) 60 e 15
c) 3 e 2,25
d) 1,05 e 3,5
1
e2
2
1
f) 4 e 3
5
e) 5
. Verifique se a razão
10
2
é igual à razão .
25
10
. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1 g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3
. Calcule o valor de x na proporção
x
2−x
=
.
5
3
Matemática A01
5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.
6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos
conseqüentes sejam 3 e 16.
7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e
x
9
= .
y
11
8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são
diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade entre os
1
seus elementos é .
4
A
B
4
6
12
5
Matemática A01
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em:
20 jun. 2008.
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Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas
proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns
exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando
esses conhecimentos.
Auto-avaliação
Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou
exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não
tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:
1. Escreva o conceito de razão.
. Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente.
. C o n s t r u a u m a p r o p o r ç ã o q u e t e n h a c o e f i c i e n t e d e
proporcionalidade 0,5.
. Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o
número de operários empregados para a construção de uma casa:
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
5. Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo
de grandezas inversamente proporcionais.
26
Matemática A01
Para Consulta
Razão:
a
a:b ou (lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*.
b
Termos da Razão:
Considerando a razão
a
, a é o antecedente e b é o conseqüente.
b
Proporção:
É a igualdade entre duas razões. Por exemplo:
são números reais diferentes de zero.
a
c
= , onde a, b, c e d
b
d
Propriedade fundamental das proporções:
a
c
Considerando a proporção = , temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em
b
d
uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.
Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções
Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c,
ad
bc
a
c
= , ou seja, que = .
temos que
bd
bd
b
d
Proporção múltipla:
a
c
m
= = ... =
=k⇒
b
d
n
a
c
m
a + c + ... + m
= = = ... =
=k
⇒
b + d + ... + n
b
d
n
Outras propriedades das proporções:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes
de uma proporção
a+c
a
a+c
c
=
ou
=
b+d
c
b+d
d
II) R azão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos
conseqüentes de uma proporção
a−c
a
a−c
c
=
ou
=
b−d
b
b−d
d
27
Matemática A01
III) R azão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o
respectivo antecedente
a+c
a
a+c
c
=
ou
=
b+d
c
b+d
d
V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e
seu respectivo conseqüente
a+b
c+d
a−b
c−d
=
ou
=
b
d
b
d
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática.
São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).
28
Matemática A01