Frações Algébricas

ATIVIDADES COMPLEMENTARES – 7ª SÉRIE
FATORAÇÃO
Fatorar um polinômio significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais
fatores.
Um polinômio pode ser fatorado das seguintes maneiras:
Fator comum em evidência
1º: Colocar em evidência o fator comum;
2º: Dividir cada termo do polinômio dado pelo fator comum;
3º: Escrever os quocientes obtidos entre parênteses.
Exemplo:
6x4 – 12x³ + 15x² = 3x²(2x² - 4x + 5)
Fatoração por agrupamento
1º: Separamos em grupos de dois termos, de modo que haja pelo menos um fator comum em cada grupo.
2º: Coloca-se o termo comum de cada gupo em evidência;
3º: Coloca-se em evidência o novo fator comum que apareceu.
Exemplo:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
Diferença de dois quadrados
1º: Achar a raiz quadrada do primeiro termo;
2º: Achar a raiz quadrada do segundo termo;
3º: O resultado será o produto da soma pela diferança dessas raizes.
Exemplo:
x² - 25 = (x – 5).(x + 5)
Trinômio quadrado perfeito
1º: Achar a raiz quadrada do primeiro termo;
2º: Achar a raiz quadrada do último termo;
3º: O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes;
4º: O resultado terá o sinal do termo do meio.
Exemplo:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
1) Fatore as expressões abaixo:
a) 7x² + 14y²
R: 7(x² + y²)
b) 6x³ - 3x
R: 3x(x² - 1)
c) 7y + 4yx + y²
R: y(7 + 4x + y)
d) 12abc – 6ab + 18ab²
R: 6ab(2c – 1 + 3b)
e)
x² - 36
R: (x + 6).(x – 6)
f)
x10 – 100
R: (x5 + 10).(x5 – 10)
1
g) a²b4 – x²
R: (ab² + x).(ab² - x)
h) y² + 2y + 1
R: (y + 1)²
i)
m² - 14am + 49a²
j)
9y² - 24y + 16
R: (m – 7)²
R: (3y – 4)
k) ac + 2bc + ad + 2bd
l)
35c – 7c²
R: (a + 2b).(c + d)
R: 7c(5 – c)
Frações Algébricas
São aquelas que tem variáveis no denominador. O denominador de uma fração nunca pode ser zero, então para
uma fração algébrica é necessário excluir os valores das variáveis que anulam o denominador.
Exemplos:
a)
5a
, sendo x  0
x
x 1
, sendo y  7
y 7
b)
Simplificação de uma fração algébrica:
Simplificar uma fração algébrica, basta dividir numerador e denominador por seus divisores comuns.
2) Simplifique as frações algébricas:
a)
xy  x
3 xy
c)
bc  c
ab  a
e)
x2  4x  4
x2  4
R:
R:
y 1
3y
b)
c
a
d)
R:
x2
x2
f)
2
18 y 2
60 y
5
8a
2a  2 x
a²  1
a²  a
R:
3
10 y ³
R:
R:
4a
ax
a 1
a
Adição e subtração de Frações Algébricas
Para somarmos e subtraírmos frações algébricas, utilizamos as mesmas regras das frações numéricas.
Frações com denominadores iguais:
Somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos os denominadores e, quando possível, simplificamos o
resultado.
Exemplo:
12c 3  5c 12c  3  5c 7c  3



a
a
a
a
Frações com denominadores diferentes
Para efetuarmos a adição ou subtraçaõ de frações algébricas de denominadores diferentes, devemos proceder
da seguinte forma:
1º - Reduzimos as frações ao mesmo denominador (m.m.c dos denominadores);
2º - Conservamos o denominador comum e adicionamos ou subraímos os numeradores;
3º - Quando possível, simplificamos o resultado.
Exemplo:
5 x + 1 10 + 3(x + 1) 10 + 3x + 3 13 + 3x
+
=
=
=
3x 2x
6x
6x
6x
3) Escreva na forma mais simples cada uma das seguintes somas algébricas.
a)
3a
b

10 x 4 y
R:
6ay  5bx
20 xy
b)
6
4

2
a
3a
R:
18  4a
3a²
c)
2
3

x2 x
R:
x  6
x( x  2)
d)
6
7

y  16 y  4
R:
7 y  22
y ²  16
e)
1 3 11
 
x 4 2
f)
4
1
2

 2
3x  3 2 x  2 x  1
2
R:
4  19 x
4x
R:
11x  7
6( x ²  1)
3

Multiplicação de Frações Algébricas
Multiplicamos frações algébricas da seguinte forma:
 determinando o sinal do produto;
fatorando os termos das frações algébricas e cancelando os fatores comuns aos numeradores e
denominadores dessas frações;
 calculando o produto que resulta após o cancelamento.
4) Calcule os seguinte produtos:
a)
c)
 35m4   n6 

.

5 
 n³   14m 
R:
x ²  10 x  25 x ²  3x
.
x²  9
x²  5x
5n³
2m
R:
b)
x5
x3
x ²  y ² 13 y
.
26 xy x  y
d)
R:
2 x ² 3a 5a ³
.
.
3 4 x 5 3a
xy
2x
R:
5a ³
6x³
Divisão de Frações Algébricas
Dividimos uma fração algébrica por outra, multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda.
5) Determine os seguintes quocientes:
a)
b)
  30 x ²    25 x 

: 4 
 b²   b 
25abc 5abc
:
3
4
R:
R: 
6 xb²
5
e)
20
3
f)
4
a ²  b² a  b
:
x  y x²  y ²
5a ²  25a a ²  10a  25
:
3a
2a
R:
ab
xy
R:
10a
3
TRIÂNGULOS
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
Em um triângulo, o maior ângulo está oposto ao maior lado e o menor ângulo está oposto ao menor lado.
Os triângulos podem ser classificados quanto à medida de seus lados e ângulos.
Classificação quanto à medida de seus lados
Triângulo equilátero: três lados de mesma medida
Triângulo isósceles: dois lados de mesma medida.
Triângulo escaleno: três lados de medidas diferentes
Classificação quanto à medida de seus ângulos
Triângulo acutângulo: três ângulos agudos
Triângulo retângulo: um ângulo reto
Triângulo obtusângulo: um ângulo obtuso
6) Sabendo que NA é bissetriz do triângulo ABC, faça o que se pede:
a) Determine o valor de x e y.
A + 65º + 35º = 180º
A = 180º - 100º
A = 80º
y = 40º (Bissetriz do ângulo A)
x + 40º + 35º = 180º
x = 180º - 75º
x = 105º
b) Classifique o triângulo ACN quanto aos lados e quanto
aos ângulos.
Quanto aos lados __escaleno_____________________________
Quanto aos ângulos _acutângulo____________________________
7) Na figura, os triângulos PQO e OSR são isósceles. Determine a medida dos ângulos do triângulo
OSR.
Como os triângulos são isósceles os ângulos da base são congruentes:
2x + 2x – 18º + 2x – 18º = 180º
6x = 180º + 36º
6x = 216º
x = 36º
Substituindo x, temos:


Ô = 72º
s = 54º
R = 54º
5
8) Na figura, Â é um ângulo reto. Quais são as medidas dos ângulos agudos do triângulo ABC?
x
 29º 90º  180º
3
15 x  9º  x  87 º 270º  540º
3
16 x  540  348º
5x – 3º +
16 x  192º
x  12º
Substituindo x, temos:

B = 57º

C = 33º
POLÍGONOS
Polígono é um conjunto de segmentos de reta consecutivos não-colineares no qual os extremos do primeiro e do
último coincidem. A união de um polígono com seu interior é denominada região poligonal.
Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes.
Um polígono é convexo quando um segmento que une dois pontos quaisquer de seu interior está inteiramente
contido nele; caso contrário, ele é côncavo. Exemplos:
A
A
B
B
Diagonal de um polígono
Chama-se diagonal de um polígono todo segmento que une dois vértices não consecutivos. O número de
diagonais de um polígono é dado por: d 
n(n  3)
2
Soma das medidas dos ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por: S i = 180º(n - 2)
Assim, para um polígono regular, a medida de um ângulo interno é:
ai 
180º (n  2)
n
Soma das medidas dos ângulos externos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por: S e = 360º
Assim, para um polígono regular, a medida de um ângulo interno é:
6
ae =
360º
n
9) Qual é o polígono cuja a soma dos ângulos internos é 3240º ?
Si = 180º(n - 2)
3240º = 180n – 360º
3240º + 360º = 180n
180n = 3600º
n = 3600 : 180
n = 20
Icoságono (20 lados)
10) Sabendo que partem 15 diagonais de cada vértice de um polígono regular, determine a soma dos
ângulos internos, o número total de diagonais a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo
externo desse polígono .
De cada vértice de um polígono partem 3 diagonais a menos que o número de lados.
n = 15+ 3
n = 18
Soma dos ângulos Internos
Si = 180º(n - 2)
Si = 180º(18 - 2)
Si = 180º. 16
Si = 2 880º
Medida de cada ângulo interno.
180º (n  2)
n
ai 
a = 2880º : 18
a = 160º
Medida de cada ângulo externo.
ae =
360º
n
a = 360º : 18
a = 20º
Diagonais
d
n(n  3)
2
d = 18 ( 18 – 3)
2
d = 18 . 15
2
d = 135
7
11) Determine o número de diagonais de um polígono regular, sabendo que a medida de cada ângulo
externo é 30º.
n = 360º : 30
n(n  3)
2
12(12  3)
d
2
d
n = 12 (dodecágono)
d = 54 diagonais
12) Qual é o polígono cuja a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos é
3 240º.
Si
+
Se
= 3 240º
180º(n - 2) +
360º = 3 240º
180n – 360º + 360 = 3 240º
180n = 3 240º
n = 18 (Octadecágono)
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é um polígono com quatro lados.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Alguns deles recebem nomes
especiais:
Losango tem os quadro lados congruentes.
Retângulo tem os quatro ângulos retos.
Quadrado tem os quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.
Em todo paralelogramo tem-se as seguintes propriedades:
Lados opostos congruentes
Ângulos opostos congruentes
Ângulos consecutivos suplementares
-
Trapézio é um quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de
bases (maior e menor) e a distância entre as bases chama-se altura.
Os trapézios são classificados como:
Isóceles: os lados não paralelos são congruentes;
Retângulo: tem dois ângulos retos;
Escaleno: os lados não paralelos não são congruentes.
8
13) Dois ângulos opostos de um paralelogramo medem (3x + 25º) e (8x – 10º). Calcule a medida dos
ângulos internos desse paralelogramo.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e neste caso:
3x + 25º = 8x – 10º
3x – 8x = - 10º - 25º
- 5x = - 35º
x = 7º
Substituindo x, temos
3 . 7 + 25º = 21º + 25º = 46º, logo os ângulos internos são:
Dois ângulos medindo 46º e dois ângulos medindo 134º (180º - 46º)
14) No trapézio DEFG, a letra x representa uma medida em graus, determine a medida de cada
ângulo interno desse trapézio.
3x + 22º + 4x – 45º + 5x + x + 6º = 360º
13 x = 360 + 17
13x = 377
x =29º
Substituindo x, temos:



D = 109º E = 71º F = 145º

G = 35º
15) N o losango EFGH, EG e FH são diagonais. Determine:
a) A medida do ângulo que a diagonal EG forma com o lado EF.
Como as diagonais do losango são perpendiculares e
bissetrizes dos ângulos, então:
x
 11º 3x  46º 90  180º
2
x  22º 6 x  92º 180º  360º
2
7 x  294º
x  42º
Substituindo x= 42º,temos que a medida do ângulo que a diagonal forma com o lado EF é 10º.
9
b) A medida do ângulo que a diagonal FH forma com o lado GH.
Substituindo x = 42º temos que a medida do ângulo que a diagonal forma com o lado GH é 80º.
16) O quadrilátero ABCD é um quadrado. Calcule a área da figura hachurada.
Área do
Área do
Área do
Área do
Quadrado: 7 . 7 = 49 cm²
triângulo 1 = (4 . 3) : 2 = 6 cm²
triângulo 2 = (4 . 3) : 2 = 6 cm²
trapézio: (4 + 3) . 7 = 24,5 cm²
2
Área da figura hachurada:
Área do Quadrado – ( Área dos triângulos + Área do trapézio)
49 – ( 6 + 6 + 24,5)
49 – 36,5 = 12,5 cm²
17) O trapézio MNPQ é isósceles.
a) Determine as medidas dos outros três ângulos desse trapézio.
Como o trapézio é isósceles as bases são congruentes então:
(N + P) + 106º + 106º = 360
( N + P ) = 360º - 212º
( N + P ) = 148º
N = 148º: 2 = 74º
P = 74º
y
Q = 106º
y
b) Determine o valor de x.
Encontrar a medida y
Y = 74º - 47°
Y = 27º
x + 27º + 27º = 180º
x = 180º - 54º
x =126º
10