introdução à probabilidade

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Análise e Elaboração de Projetos
Apresentação – Prof Dr Isnard Martins
Conteúdo:
Profº Dr Carlos Alberto (Caio) Dantas
Profº Dr Luiz Renato G. Fontes
Prof Dr Victor Hugo Lachos Davila
Prof Fernando Brito Soares
Prof. Claudio Jordão et al.
Prof David Lavine et al.
Prof Isnard Martins
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Experimento
Designaremos por Experimento todo
processo que fornece dados:
•Pode ser a observação de um
fenômeno natural:
1. observação astronômica
2. meteorológica
2
Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório
Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem
ser previstos com certeza.
Exemplos:
• Condições climáticas do próximo domingo;
• Taxa de inflação do próximo mês;
• Resultado ao lançar um dado ou moeda;
• Tempo de duração de uma lâmpada.
Espaço Amostral (O)
Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento
aleatório ou fenômeno aleatório.
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• observação de um experimento controlado para
testar a fadiga de materiais
• verificar o resultado de um exame de sangue etc.
• pesquisa de opinião para saber quantos estudantes
fumam na Universidade
• quantos eleitores tem intenção de votar num
candidato A em uma eleição
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Exemplos:
1. Lançamento de um dado. ? O={1,2,3,4,5,6}
2. Tipo sanguíneo de um individuo. ? O={A, B, AB,0}
3. Opinião de um eleitor sobre um projeto. ?
O={Favorável,Contrário}
4. Tempo de duração de uma lâmpada ? O={t; t>0)
Evento subconjunto do espaço amostral O
Notação: A, B, C,...
Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:
A: sair face par: ? A={2,4,6} ? O
B: Sair face maior que 3 ? B={4,5,6} ? O
C: sair face 1 ? C={1} ? O
D: sair face 7 ? D={ } (evento impossível)= Ø (conjunto
vazio) ? O
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Definição Clássica ou a priori
Se um experimento aleatório tiver n(O) resultados
mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se um
evento A tiver n(A) desses resultados. A probabilidade do
evento A representado por P(A), é dado por:
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados.
Calcular a probabilidade de:
a) Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado
do segundo.
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Definição frequentista ou a posteriori
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes
(n grande) e destas o evento A ocorre exatamente r<n
vezes, então a frequência relativa de vezes que ocorreu
o evento A, “r/n”, é a estimação da probabilidade que
ocorra o evento A, ou seja,
Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de
um evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do
evento A, quando n tende ao infinito.
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular
a probabilidade de A={ resultado obtido é cara}.
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Experimento aleatório
Os resultados são imprevisíveis mas podemos
descrever quais são os possíveis resultados.
É possível associar uma “chance” a cada
possível resultado.
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Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço
amostral
•A? B: União dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos
A ou B
•An B: Intersecção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando
não têm elementos em comum, isto é, An B= Ø
• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e
sua união o espaço amostral, isto é. An B= Ø e A? B= O.
• O complementar de um evento A é representado por AC
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ou A
Exemplo 1
Qual a probabilidade do
Funcionário 10 ser escolhido?
{Funcionário 1, Funcionário 2, … , Funcionário 100 }
Se há 40 mulheres dentre os 100 funcionários,
qual é a probabilidade de uma delas ser
escolhida ?
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Exemplo 2
Lançamento de um dado “honesto”
Conjunto de possibilidades = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Qual é a probabilidade de vitória ?
Supondo que o dado é equilibrado, temos:
(3/6) (nº de possibilidades favoráveis / nº
total de possibilidades )
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Modelos matemáticos para experimentos
aleatórios
Modelo de Probabilidade
1) ? = Conjunto de resultados possíveis do
experimento, denominado Espaço Amostral.
2) Atribuição de Probabilidades a cada Evento =
Subconjunto do Espaço Amostral.
Eventos particulares do experimento
Em geral, temos interesse em eventos particulares
do experimento.
•Evento A: é escolhida uma mulher
A = {ser escolhida uma mulher} ? 1
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Exemplo 2
? 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•Evento B: sair face par
B = {2, 4, 6} ? ? 2
•Evento C: sair uma face ímpar
C = {1, 3, 5} ? ? 2
•Evento D: sair uma face maior que 3
D = {4, 5, 6} ? ? 2
•Evento E: sair face 1
E = {1} ? ? 2
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A um experimento aleatório está associado
um espaço amostral ? .
•Um evento A ocorre se o resultado do
experimento pertence a A.
•Os conjuntos ? e Ø também são eventos:
? é o evento certo
Ø é o evento impossível
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Sejam A e B dois eventos de um mesmo
espaço amostral:
•O evento interseção de A e B, denotado
An B, é o evento em que A e B ocorrem
Simultaneamente
•O evento reunião de A e B, denotado AUB,
é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou
ambos)
•O evento complementar de A, denotado Ac,
é o evento em que A não ocorre
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Exemplos: interseção e reunião de eventos
?
2
= {1,2,3,4,5,6}
Eventos A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 3, 5}
A n C = {2, 4, 6} n {1, 3, 5} = Ø
sair uma face par e ímpar
A n B = {2, 4, 6} n {4, 5, 6} = {4, 6}
sair uma face par e maior que 3
A U B = {2, 4, 6} U {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
sair uma face par ou maior que 3
A U C = {2, 4, 6} U {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
sair uma face par ou ímpar
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Probabilidade
É uma função que atribui aos eventos de ? um
número P(A) (se A é um evento de ? , P(A) é a
probabilidade de A) satisfazendo as condições:
1) 0 <= P(A) <= 1
2) P(Ø) = 0, P(? ) = 1
3) Regra da soma para dois eventos, A e B,
mutuamente exclusivos: P(A U B) = P(A) + P(B)
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Propriedades
Probabilidade da união de eventos:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A n B)
Probabilidade do evento complementar:
P(AC) = 1 - P(A) para todo evento A
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Relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etária
entre 20 a 24 anos com relação às variáveis Sexo e
Leitura
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Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao
acaso em Sergipe.
? = conjunto de 101.850 jovens de Sergipe,
com idade entre 20 e 24 anos.
Exemplo
Eventos de interesse:
M = jovem sorteado é do sexo masculino
F = jovem sorteado é do sexo feminino
L = jovem sorteado sabe ler
M n L = jovem sorteado é do sexo masculino e sabe ler
M U L = jovem sorteado é do sexo masculino ou sabe ler
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Definição de probabilidade condicional
Se A e B são eventos de um experimento aleatório, a
prob. condicional de A dado B é:
Exemplo: Prob. de um jovem sorteado ser do
sexo masculino dado que sabe ler:
P(M | L) = P(M n L) = 0,388 =
P(L)
0,843
0,460
Regra do Produto:
P(A n B) = P(B).P(A | B)
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Exercícios
Ex. 1 – No lançamento de um dado perfeito de 6
faces qual é a probabilidade de saída de:
a) um número par;
b) um número superior a 4;
c) um número igual ou inferior a 4
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Exercícios
a) um número par;
b) um número superior a 4;
c) um número igual ou inferior a 4
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Probabilidades – Aplicações na Administração de Projetos
A incerteza é uma característica inerente a todos os fatos
da vida – particularmente àqueles relacionados com o
futuro.
A probabilidade é uma medida de certeza ou incerteza.
Quando afirmamos ser possível realizar um projeto em 15
semanas, afirmamos que em determinadas condições de
trabalho e da equipe envolvida, a realização plena do
projeto pode ser obtida no prazo dimensionado.
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Probabilidades – Aplicações na Administração de Projetos
Quando afirmamos que a probabilidade de
desenvolvimento de uma atividade é de 60%, estamos
na verdade associando uma medida de certeza à sua
realização, bem como uma medida de incerteza de 40%
à não realização da atividade.
Quanto mais improvável apresentar-se a realização do
evento mais próximo de zero estará a probabilidade de
sua realização e quanto mais provável, mais próximo de
1 estará a sua probabilidade de materialização.
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Probabilidades – Aplicações na Administração de Projetos
O conceito de probabilidade é muito útil na área de
administração, já que permite expressar opiniões
quantificadas com base na experiência pessoal de
gestores.
Com base no aprendizado profissional podemos tomar
decisões com maior segurança através das
informações acumuladas e armazenadas em nossa
mente ao longo do tempo.
Desta forma quando afirmamos assumir um risco
calculado, queremos afirmar que dispomos de um grau
de certeza satisfatório para determinada situação sobre
o sucesso de certa ação.
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EXERCÍCIO
Se escolhermos aleatoriamente uma carta do
baralho, qual a probabilidade:
1. A carta escolhida ser preta?
2. A carta escolhida ser um ás?
3. A carta escolhida ser um às preto?
4. A carta escolhida ser um ás ou carta
preta?
5. Sabendo à priori que
a carta escolhida
é preta, ser a carta
um ás?
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EXERCÍCIO
Se escolhermos aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade:
A carta escolhida ser preta?
A carta escolhida ser um ás?
A carta escolhida ser um às preto?
A carta escolhida ser um ás ou carta preta?
Sabendo à priori que a carta escolhida é preta, ser a carta um ás?
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