Geometria: Polígonos, Retas e história Objeto de aprendizagem

Geometria: Polígonos, Retas e história
Objeto de aprendizagem:
Geometria - Polígonos e Retas
NOA - UFPB
Sem dúvidas é notória a diversidade de reações quando o tema é matemática. Admiração,
curiosidade, receio ou mesmo de medo. Entretanto é lidando com os números; construindo figuras
geométricas; medindo distâncias; traçando gráficos e realizando cálculos diversos que obedecem a
regras específicas, que vamos passo a passo, contextualizando o real significado dos conhecimentos
que compõe o universo da matemática.
Nossa breve jornada é na concepção dinâmica da trilha específica da evolução histórica da
geometria. Como marco inicial, podemos nos referir ao final do período neolítico (idade da Pedra
Polida – 5000-2500 a.C) onde desenhos representativos já destacavam congruências e simetrias que
poderíamos considerar como elementos de uma geometria elementar. Os babilônios (terceiro milênio antes de Cristo) que dispunham de plaquetas com tabelas de multiplicar, de quadrados e de cubos, elementos facilitadores para o cálculo de áreas e volumes, é indício de uma geometria ligada às
necessidades da vida diária, como a agrimensura, a planificação de cidades e o traçado de mapas.
Na Grécia, uma contribuição valorosa
De maneira mais formal, vamos nos referir a Pitágoras (582-497 a.C) e suas doutrinas onde
propõe o número como unidade eterna e representação de toda realidade, fundamentado no princípio de que tudo no universo é harmônico numérico. Um dos teoremas mais famosos da matemática/geometria é atribuído a Pitágoras: para um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual
a soma dos quadrados dos lados adjacentes. Esta verdade matemática vale também no mundo físico? Ainda com os gregos (Séc V a.C) vamos encontrar Hipócrates da ilha jônica de Quios resolvendo problemas famosos que desafiavam os estudiosos, como a duplicação do alho, a quadratura do
círculo e principalmente a multiplicidade de demonstrações de teoremas referentes a geometria da
época.
Helenismo, Egito, o berço da Geometria
Focada na mira da evolução histórica e agora no Egito (considerado
como o berço da geometria, destacamos alguns expoentes, a exemplo, Euclides
(323-385 a.C.) a lecionar geometria na escola de Alexandria, com seu método
de síntese com axiomas, postulados, teoremas e provas que ainda integram
grande parte da fenomenologia atual (podemos aceitar de forma generalizada as
verdades dos axiomas e teoremas de Euclides).
Arquimedes de Siracusa (289-212 a.C.) considerado o maior geômetra de todos os tempos
antigos realizando inúmeras descobertas, calculou a relação entre o comprimento do arco de circunferência e seu diâmetro (c/d), o tão conhecido π (pi) com uma precisão sem precedentes (entre
3,1408 e 3,1429, na realidade, 3,1416). Dentre os discípulos de Arquimedes são relevantes as contribuições de Apolônio de Perga (246-221 a.C.), autor do tratado sobre as seções cônicas.
Nos referentes a uma geometria plana, desenvolvida a partir das gerações das seções cônicas, obtida pela interseção de um plano secante com um cone circular em situações distintas (aumentando ou diminuindo a inclinação do ponto secante) podendo-se obter curvas distintas, por exemplo, elipse, se o plano corta somente uma parede ao longo de uma curva fechada (ou um círculo, quando o eixo do plano secante é ortogonal ao eixo do cone); parábola, se o plano secante inter-
cepta uma só face do cone ao longo de uma curva não fechada e o plano tem uma inclinação igual a
de uma geratriz do cone. Hipérbole se o plano secante intercepta as duas paredes do cone.
Uma curiosidade marcante é que parte destes entes puramente geométricos em torno de dezessete séculos depois na Europa seriam as trajetórias descritas por Kepler ou Newton pelos corpos
do sistema solar.
Um salto para o alvorecer da Ciência Moderna
Talvez uma das maiores dificuldades encontradas por aprendizes e especialistas é a descrição geométrica de um fenômeno utilizando uma linguagem apropriada para exprimir o pensamento
abstrato. Quando a formulação envolve grandezas que somem direção sentido e intensidade e é válida a geometria euclidiana, é notória a utilidade e a aplicabilidade do sistema de coordenadas cartesianas (Descartes 1596-1659), como sistema referencial (caso seja mais adequado, existem outros)
para a localização de pontos do espaço (ou do plano). O mesmo ocupa lugar de destaque tanto no
mundo científico quanto tecnológico.
Ainda hoje, no nosso dia-a-dia sua utilização consiste em representar um ponto P do espaço
(ou do plano através de suas projeções em sistema composto por segmentos de reta orientados triortogonais que se cruzam em um ponto comum (origem) pertencente a um gráfico representacional.
Dessa maneira associamos ao ponto P um único conjunto de número reais (x, y, z) em coordenadas cartesianas. Esta forma representativa nos permite (desde que usada uma escala adequada)
calcularmos diretamente no gráfico a distância entre dois pontos quaisquer (através de medições
consistentes), assim como a orientação, direção e sentido dos diversos deslocamentos entre pontos.
Outra inovação atribuída a Descartes foi a introdução da álgebra a geometria, ou seja, tratar problemas da geometria através de equações algébricas, um novo método de descoberta que para o
mesmo filósofo francês garantia a superioridade dos modernos sobre os antigos. Com efeito, são
vários os adeptos a trilhar este novo caminho: Fermat, Torricelli e outros no curso da primeira metade do Séc XVII.
Uma das dificuldades oriundas da geometria cartesiana, se reduz ao fato de que embora fosse possível descrever as curvas fechadas através de equações algébricas estas se limitavam a expressões
com número de termos limitados (por exemplo a elipse
1, apenas três termos). Por outro
lado, sabia-se que o cálculo de áreas destas figuras não podia ser expresso utilizando apenas um
número finito de termos. Como solução, os matemáticos do século XVII recorreram a generalizações que conhecemos como uma série de termos infinitos. Um fato surpreendente é que certas séries
de termos infinitos possui uma soma finita. Possíveis posteriormente graças aos conceitos de limites
e convergência desenvolvidos no Séc. XIX, podendo citar o trabalho do francês Augustin-Louis
Cauchy. Outra referência, de grande valia e tão difundida hoje que envolvem as ciências exatas é o
cálculo diferencial e integral, desenvolvido por Isaac Newton, que permitia por métodos matemáticas o cálculo da área de diversas figuras geométricas.
Assim, objetivamos um despertar para a geometria não como um amontoado de figuras, postulados e teoremas, mas como uma necessidade que se incorpora e organiza nessa relação com o
mundo real, melhorando nossa compreensão dos eventos que ocorrem na nossa prática diária.