Luiz Rijo Algebra Linear com Matemática

Luiz Rijo
Álbebra Linear
com
Mathematica
E
A
F
BA
B
G
CAPÍTULO 1
Espaços Vetoriais
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
A noção de espaço vetorial é a base do estudo que faremos; é o terreno onde se desenvolve toda a Álgebra
Linear: Esta seção apresenta os axiomas de espaço vetorial, deduz suas conseqüências mais imediatas e exibe os
exemplos mais importantes dessa noção.
Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidos duas operaçõses: a adição, que a cada par de vetores u, v œ E faz corresponder un novo u + v
œ E, chamado a soma de u e
v, e a multiplicação por um número real, que a cada número a œ  e a cada vetor v œ E faz corresponder um
vetor av , chamado o produto de a por v . Essas operações devem satisfazer, para quaisquer a, b œ  e u, v, w œ
E, as condições abaixo, chamadas os axiomas de espaço vetorial:
comutatividade: u + v = v + u;
associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w) e (ab)v = a(bv);
vetor nulo: existe um vetor 0 œ E, chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v œ E;
inverso aditivo: para cada vetor v œ E existe um vetor -v œ E, chamado o inverso aditivo, ou o simétrico de v, tal
que -v + v = v + ( -v) = 0;
distributividade: (a + b )v = a v + b v e a (u + v) = a u + a v;
multiplicação por 1: 1 .v = v.
EXEMPLO 1.1 Para todo número natural n, o símbolo n representa o espaço vetorial euclidiano n-dimensional. Os
elementos de n são as listas ordenadas u = Ha1 , . . . , an L, v = Hb1 , . . . , bn L de números reais.
Por definição, a igualdade vetorial u = v significa as n igualdades numéricas a1 = b1 , ..., an = bn .
Os números a1 , ..., an são chamados as coordenadas do vetor u. As operações do espaço vetorial n são definida
pondo
u + v = Ha1 + b1 , . . ., an + bn L,
g u = (g a1 ,...,g an ).
O vetor zero é, por definição, aquele cujas coordenadas são todas iguais a zero: 0 = (0, 0, ... ,0).
O inverso aditivo de u = (a1 ,...,an ). é -u = (- a1 ,...,- an ). Verifica-se, sem dificuldade, que estas definições fazem do
2
Rijo AL Capítulo 1.nb
n espaço vetorial. Para n = 1 , tem-se 1 =  = reta numérica, 2 é o plano euclidiano e 3 é o espaço euclidiano
tri-dimensional da nossa experiência cotidiana.
Para ajudar a compreensão, os vetores de 2 e 3 podem ser representados por flechas com origem no mesmo ponto
zero 0. A soma u + v é a flecha que liga a origem 0 ao vértice que lhe é oposto np paralelogramo que tem u e v como
lados. (Veja Figura 1.1a)
In[4]:=
<< Graphics`Arrow`
Graphics`Arrow` pacote Add - On para traçar setas.
In[330]:=
H∗ Figura 1.1, Soma de vetores ∗L
p1 = [email protected], 1.2<, 82.7, 2.2<, 8.5, 1<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,
Epilog → 8Text@"O", 80.15, 0.0<D, Text@"v", 8.15, .5<D,
Text@"u", 81.1, .5<D, Text@"u + v", 81.94, 1.3<D<,
DisplayFunction → IdentityD; p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D,
Arrow@80, 0<, 82.2, 1.2<D, Arrow@80, 0<, 82.7, 2.2<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
u + v
v
u
O
Um vetor do n é representado por uma lista { a1 , . . . an }.
A soma dos vetores u = 8α1 , α2 , α3 , α4 , α5 < e v = 8β1 , β2 , β3 , β4 , β5 < é feita assim :
In[9]:=
Out[11]=
Out[12]=
H∗ Os vetores u, v e a soma u + v ∗L
u = 8α1 , α2 , α3 , α4 , α5 <;
v = 8β1 , β2 , β3 , β4 , β5 <;
u+v
8α1 + β1 , α2 + β2 , α3 + β3 , α4 + β4 , α5 + β5 <
8γ α1 , γ α2 , γ α3 , γ α4 , γ α5 <
O produto do vetor u = 8α1 , α2 , α3 , α4 , α5 < pelo escalar γ.
In[21]:=
Out[22]=
H∗ O vetor u, o escalar γ e o produto γu ∗L
u = 8α1 , α2 , α3 , α4 , α5 <;
γu
8γ α1 , γ α2 , γ α3 , γ α4 , γ α5 <
EXEMPLO 1.2 .Os elementos do espaço vetorial ¶ são as sequências são infinitas u = Ha1 , . . . , an . . .L e v = u =
Hb1 , . . . , bn . . .L de números reais.O elemento zero de ¶ é a sequência 0 = (0,...,0,...) formada por infinitos zeros e o
Rijo AL Capítulo 1.nb
3
inverso aditivo da sequência u = Ha1 , . . . , an . . .L é -u = H-a1 , . . . , -an . . .L.As operações de adição e multiplicação
por um número real são definidas por
u + v = Ha1 + b1 , . . . , an + bn . . .L
g u = Hga1 , . . . , g an . . .L.
EXEMPLO 1.3 Uma matriz (real) m × n a = @aij D é uma lista de números reais aij com índices duplos, onde 1§ i § m
e 1§ j § n. Costuma-se representar a matriz a como um quadro numérico com m linhas e n colunas, no qual o elemento
aij situa-se no cruzamento da i-ésima rn linha com a j-ésima coluna:
O vetor Hai1 , ai2 , . . . , ai n Lœ n é o i-ésimo vetor-linha da matriz a e o vetor Ha1 j , a2 j , . . . , an j Lœ m é o j-ésimo
vetor-coluna de a. Quando m = n, diz-se que a é uma matriz quadrada. O conjunto M(m × n) de todas as matrizes m ×
n torna-se um espaço vetorial quando nele se define a soma das matrizes a = @aij D e b = @bij D como a + b = [aij + bij ] e
o produto da matriz a pelo número real a como ga = @gaij D. A matriz nula 0 œ M(m × n) é aquela formada por zeros e
o inverso aditivo da matriz a = @aij D e -a = @- aij D.
Uma matriz real m µ n a = @aij D é representada por uma lista de lista {{ a11 , . . . a1 n },{ a21 , . . . a2 n }, . . ., { am1 , .
. . amn }}
MatrixForm[lista] mostra os elementos da matriz num forma retangular.
A soma das matrizes
α
α
α
α
i
j 11 12 13 14
j
u=j
α
α
α
α24
21
22
23
j
j
k α31 α32 α33 α34
In[17]:=
β11 β12 β13 β14
i
y
j
z
j
z
j
z
β21 β22 β23 β24
z
j
z e v =j
j
{
k β31 β32 β33 β34
H∗ As matrizes u, v e a soma u + v ∗L
u = 88α11 , α12 , α13 , α14 <, 8α21 , α22 , α23 , α24 <, 8α31 , α32 , α33 , α34 <<;
v = 88β11 , β12 , β13 , β14 <, 8β21 , β22 , β23 , β24 <, 8β31 , β32 , β33 , β34 <<;
MatrixForm@u + vD
α11 + β11 α12 + β12 α13 + β13 α14 + β14
i
j
j
j
α + β21 α22 + β22 α23 + β23 α24 + β24
j
j
j 21
k α31 + β31 α32 + β32 α33 + β33 α34 + β34
Out[19]//MatrixForm=
α
α
α
α
i
j 11 12 13 14
j
α21 α22 α23 α24
O produto da matriz u = j
j
j
k α31 α32 α33 α34
In[26]:=
y
z
z
z
z
z
z
{
y
z
z
z
z
z
z
{
y
z
z
z
z
z pelo escalar γ.
{
H∗ A matriz u, o escalar γ e o produto γu ∗L
u = 88α11 , α12 , α13 , α14 <, 8α21 , α22 , α23 , α24 <, 8α31 , α32 , α33 , α34 <<;
MatrixForm@γ uD
γ α11 γ α12 γ α13 γ α14
i
j
j
j
j
j γ α21 γ α22 γ α23 γ α24
k γ α31 γ α32 γ α33 γ α34
Out[27]//MatrixForm=
y
z
z
z
z
z
{
EXEMPLO 1.4. .Seja X um conjunto não-vazio qualquer. O símbolo F(X; ) representa o conjunto de todas as
funções reais f, g: X Ø.. Ele se torna um espaço vetorial quando se define a soma f + g de duas funções e o produto
g.f do número g pela função f da maneira natural:
(f + g)(x) = f(x) +g(x), (gf)(x) = gf(x)
Valem num espaço vetorial E, como conseqiiências dos axiomas, as regras operacionais habitualmente usadas nas
manipulações numéricas. Vejamos algumas delas
4
Rijo AL Capítulo 1.nb
I. Se w + u = w + v então u = v. Em particula1, w + u = w implica u = 0 e w + u = 0 implica u = - w. Se w + u = w
implica w + u = w + 0, logo u = 0. E se w + u = 0 então w + u = w + (-w) logo u = -w.
2. Dados 0 œ  e v œ E tem-se 0. v = 0 œ E. Analogamente, dados g œ  e v œ E, vale g.0 = 0.
3. Se g ∫ 0 e v ∫ 0 então gv ∫ 0.
4. (-1) v = - v. Escreveremos u - v pera significar u + (-v). Evidentemente, u - v = w ó u = v + w.
EXEMPLO 1.5. Sejam u = (a, b) e v = (c, d) vetores em 2 com u ∫ 0, isto é.a ∫ 0 e b ∫ 0. A fim de que v seja
múltiplo de u, isto é, v = g u para algum g œ é necessário e suficiente que se tenha ad - bc ∫ 0. A necessidede é
imediata pois v = gu signiftca c = ga e a = gb. Multiplicando a primeirn destas igoaldedee por b e a segunda por g
obtemos bc = gab e ad = gab, logo ad = bc, ou seja, ad - bc = 0. Reciprocamente, se ad = bc então, supondo g ∫ 0
obtemos d= (c/a)b. Além disso, é claro que c = (c/a)a. Logo, pondo g = c/a, vem d = gb e c = ga, isto é v = gu. Se for b
∫ 0, tomeremos a =d/b pera ter v = gu.
Exercícios
(ELL pág. 5)
1.1 Dadas as matrizes
a=J
1 −1 2
2
3 0
N, b = J
N e
3 2 1
−2 −3 1
c=J
−4 −5 4
N
12 13 1
(a) Calcule a matriz 3 a - 2 b + c
In[8]:=
H∗ Os vetores a, b, c e a soma 3 a −2 b +c ∗L
a = 881, −1, 2<, 83, 2, −1<<;
b = 882, 3, 0<, 8−2, −3, 1<<;
c = 88−4, −8, 4<, 812, 13, 1<<;
MatrixForm@3 a − 2 b + cD
J
−5 −17 10
N
25 25 −4
Out[11]//MatrixForm=
(b) Ache os números a e b, ambos diferentes de zero, tais que a a + b b + c tenha a primeira coluna nula.
In[12]:=
H∗ A matriz αa + βb + c ∗L
MatrixForm@α a + β b + cD
J
−4 + α + 2 β
−8 − α + 3 β
4+2α
N
12 + 3 α − 2 β 13 + 2 α − 3 β 1 − α + β
Out[12]//MatrixForm=
In[13]:=
Out[13]=
H∗ Solução do sistema −4 + α + 2 β = 0, 12 + 3 α − 2 β = 0 ∗L
Solve@8−4 + α + 2 β 0, 12 + 3 α − 2 β 0<, 8α, β<D
88α → −2, β → 3<<
Resposta: a = -2 e b = 3.
Solve[eqns, vars] tenta resolver uma equação ou um sistema de equações com várias variáveis.
Rijo AL Capítulo 1.nb
In[14]:=
5
H∗ Verificação do resultado ∗L
MatrixForm@α a + β b + cD ê. 8α → −2, β → 3<
J
0 3 0
N
0 0 6
Out[14]//MatrixForm=
In[188]:=
Out[191]=
In[192]:=
Out[192]=
m = 882, 1<, 8−3, 4<<;
b = 8−1, 2<;
a = 8x, y<;
m.a
82 x + y, −3 x + 4 y<
[email protected]
99x → −
b, 8x, y<D
6
1
,y→
==
11
11
1.3 Ache o valor de t que torne a matriz abaixo igual à matriz nula:
t2 - t
ij t2 - 1
j
k t3 - 1 t2 - 3 t + 2
In[213]:=
In[218]:=
Out[218]=
yz
z
{
H∗ Solução das equações t2 − 1 = 0,
t2 − t = 0, t3 − 1 = 0, t2 + 3 t + 2 = 0, ∗L
m = 88t ^ 2 − 1 , t ^ 2 − t<, 8t ^ 3 − 1 , t ^ 2 − 3 t + 2<<;
eq1 = Solve@m@@1, 1DD
0, 8t<D;
eq2 = Solve@m@@1, 2DD
0, 8t<D;
eq3 = Solve@m@@2, 1DD
0, 8t<D;
eq4 = Solve@m@@2, 2DD
0, 8t<D;
88t → 1<<
Intersection@eq1, eq2, eq3, eq4D
Resposta: t = 1.
In[219]:=
H∗ Verificação da resposta ∗L
MatrixForm@mD ê. t → 1
J
0 0
N
0 0
Out[219]//MatrixForm=
1.4 Determine os vetores u, v œ 4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenadas de v é
igual a 3 e u + v = (1, 2 ,3, 4).
In[220]:=
Out[220]=
H∗ Solução do sistema
u1 + v1 = 1,
u1 + v2 = 2, u1 + v3 = 3, v4 = 3 , u1 + v4 = 4 ∗L
Solve@8u1 + v1 1, u1 + v2 2, u1 + v3 == 3, v4
3, u1 + v4
8u1, v1, v2, v3, v4<D
4<,
88u1 → 1, v1 → 0, v2 → 1, v3 → 2, v4 → 3<<
Resposta: u = (1, 1, 1, 1} e v = (0, 1, 2, 3).
1.5 Dados u = (1, 2 ,3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0), ache números a, b, g tais que a u + b v + g w = (1, 1, 1).
6
Rijo AL Capítulo 1.nb
In[234]:=
Out[234]=
H∗ Solução do sistema α + 3 β + 2 γ = 1, 2 α + 2 β = 1, 3 α = 1 ∗L
u = 81, 2, 3<; v = 83, 2, 0<; w = 82, 0, 0<;
Solve@8α + 3 β + 2 γ 1, 2 α + 2 β
1, 3 α
1<, 8α, β, γ<D
99α →
Resposta: α =
In[235]:=
Out[235]=
1
3
1
1
1
,β→
,γ→
==
3
6
12
,β=
1
6
,γ=
1
12
H∗ Verificação da resposta ∗L
Flatten@α u + β v + γ w ê. %D
81, 1, 1<
1.16 Dados os vetores u = (1, 2 ,3), v = (3, 2, 1), w = (-3, 2, 7) em 3 , obtenha números a, b tais que w = a u + b
v. Quantas soluções admite este problema?
In[240]:=
Out[241]=
H∗ Achar os vetores u, v e w ∗L
u = 81, 2, 3<; v = 83, 2, 1<; w = 8−3, −2, 7<;
Solve@8α + 3 β
−3, 2 α + 2 β
2, 3 α + β 7<, 8α, β<D
88α → 3, β → −2<<
Resposta: a = 3 e b = -2. Admite uma única solução.
In[242]:=
Out[242]=
H∗ Verificação da resposta ∗L
Flatten@α u + β v ê. %D
8−3, 2, 7<
1.17 Sejam os vetores u = (1, 1), v = (1, 2), w = (2, 1). Ache números a, b, c, a, b, g, todos não-nulos, tais que au +
b v + c w = a u + b v + g w, com a ∫ a, b ∫ b, g ∫ c.
In[246]:=
Out[248]=
In[269]:=
Out[270]=
H∗ Supondo α = 1, β = 2, γ = 3, determinar αu + βv + γw ∗L
u = 81, 1<; v = 81, 2<; w = 82, 1<;
8α, β, γ< = 81, 2, 3<;
αu +βv + γw
89, 8<
H∗ Supondo a = −4, determinar b e c tal −4 u + bv + cw = u + 2 v + 3 w ∗L
Clear@a, b, cD;
Solve@8a −4, a + b + 2 c
9, a + 2 b + c
8<, 8a, b, c<D
99a → −4, b →
11
14
,c→
==
3
3
Resposta: a = - 4, b = 11/3, c = 14/3, a = 1, b = 2, g = 3
In[271]:=
Out[273]=
H∗ Verificação da resposta ∗L
8a, b, c< = 8−4, 11 ê 3, 14 ê 3<;
8α, β, γ< = 81, 2, 3<;
au + bv + cw
αu + βv + γw
True
CAPÍTULO 2
Subespaços
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Um subespaço vetorial do espaço vetorial E é um subconjunto F Õ E que, relativamente às operações de E, é
ainda um espaço vetorial. Os subespaços vetoriais constituem uma rica fonte de exemplos de espaços vetoriais,
como se verá nas seções seguintes.
Seja E um espaço vetorial. Um subespaço vetorial (ou simplesmente um subespaço) de E é um subconjunto F Õ E
com as seguintes propriedades:
1. 0
œ F;
2. Se u e v œ F então u + v œ F;
3. Se v œ F então, para todo a œ , av œ F .
Segue-se que se u e v pertencem ao subespaço F e a, b são números reais quaisquer então a.au + bv
geralmente, dados v1 , ..., vm
œ F e a1 , ..., am œ
 tem-se v = a1 v1 + . . . + am vm
œ F. Mais
œ F.
O conjunto {0}, com o único elemento 0, e o espaço inteiro E são exemplos triviais de subespaços de E. Todo
subespaço é, em si mesmo, um espaço vetorial.
EXEMPLO 2.1 Seja v œ E um vetor não-nulo. O conjunto F = {av; a
subespaço vetorial de E, chamado a reta que passa pela origem e contém v.
œ
} de todos os múltiplos de v é um
2
Rijo AL Capítulo 2.nb
In[22]:=
H∗ Subespaços do plano HretasL gerados pelos vetores H1, −2L e H1, 4L ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
ImplicitPlot@82 x + y
0, 4 x − y
0<, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → 8−4, 4<D;
4
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
-4
EXEMPLO 2.2 Seja E = F(; ) o espaço vetorial das funções reais de uma variável real f:  Ø . Para cada k œ
N, o conjunto Ck () das funções k vezes continuamente deriváveis é um subespaço vetorial de E. Também são
subespaços de E o conjunto C0 () das funções contínuas, o conjunto C¶ () das funções infinitamente deriváveis, o
conjunto P = P() dos polinômios p(x) = a0 + a1 x + ...+ an xn e o conjunto Pn dos polinômios de grau § n. Para n, k
œ N quaisquer, "' tem-se:
C0 () Ck () Ck + 1 () C¶ () P Pn .
Observe que o conjunto dos polinômios de grau n não é um subespaço vetorial de E pois a soma de dois polinômios de
grau n pode ter grau < n.
In[194]:=
Out[196]=
H∗ Soma dos ploninômios p1 e p2 de P4 ∗L
p1 = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4 ;
p2 = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + b4 t4 ;
p1 + p2
a0 + t a1 + t2 a2 + t3 a3 + t4 a4 + b0 + t b1 + t2 b2 + t3 b3 + t4 b4
Organizando os temos obten − se a0 +
Ha1 + b1 L t + Ha2 + b2 L t2 + Ha3 + b3 L t3 + Ha4 + b4 L t4
In[201]:=
Out[202]=
H∗ Soma do ploninômio p1 de P4 pelo escalar α ∗L
p1 = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4 ;
α p1 êê Expand
α a0 + t α a1 + t2 α a2 + t3 α a3 + t4 α a4
EXEMPLO 2.3 Sejam a1 , ..., an números reais. O conjunto H de todos
Hx1, . . . , xn L
œ
os vetores espaços os vetores v =
n tais que
a1 x1 + . . . + an xn = 0
é um subespaço vetorial de n . No caso desinteressante em que a1 = . . . = an = 0, o subespaço H é todo n . Se, ao
contrário, pelo menos um dos ai é ∫ de 0, H chama-se um hiperplano de n que passa pela origem.
Rijo AL Capítulo 2.nb
3
Subespaços S1 e S2 de 2 gerados pelos vetores {u1 = (1, 1, 1), u2 = (3, 4, -7)} e {v1 = (1, 0, -3), v2 = (3, 2, -1)},
respectivamente.
In[2]:=
H∗ Subespaços do 3 HplanosL gerados pelos vetores: u1 = H1, 1, −1L,
u2 = H3, 4, −7L e v1 = H1, 0, −3L, v2= H3, 2, −1L ∗L
p1 = Plot3D@x + y , 8x, −5, 5<, 8y, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot3D@3 x − 4 y , 8x, −5, 5<, 8y, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
10
10
0
5
-10
0
-5
-2.5
-5
0
2.5
5
-10
Seja X um subconjunto do espaço vetorial E. O subespaço vetorial de E gerado por X é, por definição, o conjunto
de todas as combinações lineares
a1 v1 + a2 v2 + . . . + am vm
de vetores v1 , . . . , vm œ X.
É fácil ver que o conjunto de todas as combinações lineares que se podem formar com vetores retirados do conjunto X é, de fato, um subespaço vetorial, que indicaremos pelo símbolo S(X).
œ E, contém o conjunto .X e, além disso, é o menor subespaço de
E que contém X. Noutras palavras, se F é um subespaço vetorial de E e X œ F então S(X) œ F. Evidentemente,
O subespaço S(X), gerado pelo subconjunto X
se X já é um subespaço vetorial, então S(X) = X. Quando o subespaço S(X) coincide com E, diz-se que X é um
conjunto de geradores de E.
Explicitamente: um conjunto X é um conjunto de geradores do espaço vetorial E quando todo vetor w
exprimir-se como combinação linear
œ E pode
w = a1 v1 + a2 v2 + . . . + am vm
de vetores v1 , . . . , vm pertencentes a X.
EXEMPLO 2.5. Se v œ E é um vetor não-nulo, o subespaço gerado por v é a reta que passa pela origem e contém v.
EXEMPLO 2.6. Sejam u = (a,b) e v = (c, d) vetores de 2 tais que nenhum deles é múltiplo do outro. Então u ∫ 0, v
∫ 0 e, pelo Exem0lo 1.5, ad - bc ∫ 0. Afirmamos que X = {u, v} é um conjunto de geradores de 2 , ou seja, que
qualquer vetor w = ( r, s )
œ 2 pode exprimir-se como uma combinação linear w = xu + yv. De fato esta igualdade
4
Rijo AL Capítulo 2.nb
vetorial em 2 equivale às duas igualdades numéricas
ax + cy = r
bx + dy = s.
Como ad - bc ∫ 0, o sistema de equações acima possui uma solução (x, y), logo existem x,y œ  tais que xu + yv =
w. Esta mesma conclusão pode também ser obtida geometricamente conforme mostra a Figura 2.1:
In[325]:=
H∗ Figura 1.1, Soma de vetores ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@880, 0<, 8.8, 1.6<, 83, 2.333<, 82.2, .733<, 80, 0<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,
Epilog → 8Text@"O", 80, 0<D, Text@"u", 81, .2<D,
Text@"xu", 82, .5<D, Text@"v", 8.15, .5<D, Text@"yv", 8.45, 1.3<D,
Text@"w = xu + yv", 81.5, 1.3<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 81.5, .5<D,
Arrow@80, 0<, 83, 2.333<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
yv
w = xu + yv
v
xu
u
O
EXEMPLO 2.7. Os chamados vetores canônicos
e1 = H1, 0, 0, . . . , 0L,
e1 = H0, 1, 0, . . . , 0L,
ª
e1 = H1, 0, 0, . . . , 1L
constituem um conjunto de geradores do espaço n . Com efeito, dado or v = Ha1 , a2 , . . . , an L œ n , tem-se v =
a1 e1 + a2 e2 + . . . + an en . Analogamente os monômios 1, x, x2 , . . ., xn , . . . (um número infinito) f ormam um
conjunto de geradores do espaço P dos polinômios reais. Por sua vez, , os n + 1 primeiros deles, a saber, 1 , x, ..., xn
constituem um conjunto de geradores de Pn , espaço vetorial dos polinômios de grau § n.
Resulta do Exemplo 2.6 que os únicos subespaços vetoriais de 2 são {0}, as retas que passam pela origem e o próprio
2 .
EXEMPLO 2.8. O sistema linear de m equações a n incógnitas
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a1 n xn = b2
ª
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Rijo AL Capítulo 2.nb
5
possui uma solução Hx1 , ..., xn ) se, e somente se, o vetor b = Hb1 , . . . bm L é combinação linear dos vetores-coluna
da matriz a = @aij D.
v1 = Ha11 , a21 , . . . , am1 L,
ª
vn = Ha1 n , a2 n , . . . , amn L,
Sejam F1 e F1 subespaços vetoriais de E. O subespaço vetorial de E gerado pela reunião F1 ‹ F2 é; como se vê
facilmente, o conjunto de todas as somas v1 + v2 , onde v1
F2 .
œ F1 e v2 œ F2 . Ele é representado pelo símbolo F1 +
Mais geralmente, dados os subconjuntos X, Y Õ E, indica-se com X + Y o conjunto cujos elementos são as somas
u + v, onde u œ X e v œ Y. Quando X = {u} reduz-se a um único elemento u, escreve-se u + Y em vez de {u} +
Y. Diz-se então que u + Y resulta de Y pela translação de u.
Quando os subespaços F1 , F2 œ E têm em comum apenas o elemento {0}, escreve-se F1 ∆ F2 em vez de F1 +
F2 e diz-se que F = F1 ∆ F2 é a soma direta de F1 e F2 .
Teorema 2.1. Sejam F, F1 , F2 subespaços vetoriais de E, com F1
equivalentes:
Õ F e F2 Õ F. As seguintes afirmações são
(1) F = F1 ∆ F2
(2) Todo elemento w œ F se escreve, de modo único, como soma w = v1 + v2 , onde v1
œ F1 e v2 œ F2 .
EXEMPLO 2.9. Em 4 , sejam F1 o subespaço gerado pelos vetores e1 = (1, 0, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) e F2 o subespaço gerado pelos vetores e2 = (0, 1 0, 0), e = (0, 0, 0, 1). Então F1 é o conjunto dos vetores da forma Ha1 , 0, a3 , 0)
enquanto os vetores de F2 têm a forma (0, a2 , 0, a4 ). É claro que 4 = F1 ∆ F2 .
A noção de subespaço vetorial abrange as retas, planos e seus análogos multidimensionais apenas nos casos em
que esses conjuntos contêm a origem. Para incluir retas, planos, etc. que não passam pela origem, tem-se a noção
de variedade afim, que discutiremos agora.
œ E e x ∫ y, a reta que une os pontos x, y é, por definição o conjunto
r = {(l - t)x + ty; t œ  }.
Pondo v = y - x, podemos ver que r = {x + tv; t œ  }.
Um subconjunto V Õ E chama-se uma variedade afim quando a reta que une dois pontos quaisquer de V está
contida em V. Assim,V Õ E é uma variedade afim se, e somente se, cumpre a seguinte condição:
x, y œ V, t œ  ï (1 - t)x + ty œ V.
Seja E um espaço vetorial. Se x, y
6
Rijo AL Capítulo 2.nb
In[439]:=
H∗ Representação esquemática de variedade afim ∗L
p1 = ListPlot@80, 0<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 80, −.15<D, Text@"x", 8.4, .8<D, Text@"F", 81.5, .55<D,
Text@"x + F", 81.7, 1.6<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−1, −.5<, 82, 1<<, PlotJoined → True,
Axes → False, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@88−1, .5<, 82, 2<<, PlotJoined → True,
Axes → False, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = ListPlot@880, 0<, 81, 1.5<<, PlotJoined → True,
Axes → False, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
x + F
x
F
O
EXEMPLO 2.10. . Um exemplo óbvio de variedade afim é um subespaço vetorial. Ao contrário dos subespaços
vetoriais, que nunca são vazios pois devem conter o zero, a definição acima é formulada de tal modo que o conjunto
vazio a cumpre, logo « é uma variedade afim. Se v1 , ..., vm
œ E são variedades afins então a interseção V = V1 › ...
› Vm é ainda uma variedade afim. Todo ponto p œ E é uma variedade afim.
Teorema 2.2. Seja V uma variedade afim não-vazia no espaço vetorial E. Existe um único subespaço vetorial F
Õ
E tal que, para todo x œ V tem-se
V = x + F = {x + v; v œ F}.
EXEMPLO 2.12. Vimos no exemplo 2.8 que o conjunto V das soluções de um sistema linear de m equações com n
incógnitas é uma variedade afim. Supondo V ∫ «, tomemos x0 œ V e chamemos de F o subespaço vetorial de n
formado pelas soluções do sistema homogêneo correspondente. Tem-se V = x0 + F. Diz-se então que "todas as
soluções do sistema se obtêm somando uma solução particular com a solução geral do sistema homogêneo associado".
Rijo AL Capítulo 2.nb
Exercícios
7
(ELL pág. 18)
2.7 Sejam F1 = SHu1 , v1 L e F2 = SHu2 , v2 L os subespaços de 3 gerados pelos vetores u1 = H0, 1, -2L,
u2 = H1, 1, 1L, v1 = H-1, 0, 3L e v2 = H2, -1, 0L. Ache números a1 , b1 , c1 e a2 , b2 , c2 tais que se tenha
F1 = 8Hx, y, zL
F2 = 8Hx, y,
œ
zL œ
3 ; a1 x + b1 y + c1 z = 0<
3 ; a2 x + b2 y + c2 z = 0<
Resposta:
Para achar os números a1 , b1 e c1 basta resolver o sistema de equações b1 - 2 c1 = 0 e a1 + b1 + c1 = 0. Portanto,
In[10]:=
Out[10]=
H∗ Achar os números a1 , a2 e a3 ∗L
Solve@8 b1 − 2 c1
0, a1 + b1 + c1
88a1 → −3 c1, b1 → 2 c1<<
0<, 8a1, b1<D
Logo, a equação do plano gerado pelos vetores u1 e u2 é dada por - 3 c1 x + 2 c1 y + c1 z = 0. Supondo c1 ∫ 0,
então - 3 x + 2 y + z = 0.
Para achar os números a2 , b2 e c2 procede-se da mesma maneira. Então,
In[11]:=
Out[11]=
H∗ Achar os números a1 , a2 e a3 ∗L
Solve@8 −a1 + 3 c1
0, 2 a1 − b1
0<, 8a1, b1<D
88a1 → 3 c1, b1 → 6 c1<<
Portanto, a equação do plano gerado pelos vetores uv1 e v2 é dada por 3 c1 x + 6 c1 y + c1 z = 0. Supondo c1 ∫ 0,
então 3 x + 6 y + z = 0.
2.10. Exiba três vetores u, v, w œ 3 com as seguintes propriedades: nenhum é múltiplo do outro, nenhuma das
coordenadas é igual a zero e 3 não é gerado por eles.
Resposta:
Consideremos dois vetores quaisquer de 3 em que um deles não seja múltiplo do outro. Por exemplo, os vetores u =
( 1, 2, 3) e v = (4, 5, 6). Muliplicando o vetor v por 2 e subtraindo o vetor u, obtemos o terceiro vetor w = 2 v - u = (7,
8 ,9). Nenhuma coordenada do vetor w é zero, nenhum dos vetores é multiplo do outro e eles não geram 3 , pois w
esta no mesmo plano gerado por u e v.
2.11. Seja F o subespaço de 3 gerados pelos vetores u = (1, 1, 1) e v = (1, -1, -1). Ache números a, b, c com as
seguintes propriedades: um vetor w = (x, y, z) pertence a F se, e somente se, ax + by + cz = 0.
2.12. Exprima o vetor (1, -3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w = (2,-3,5).
Resposta:
Devemos achar números a, b e c tais que a u + b v + c w = (1, -3, 10).
8
Rijo AL Capítulo 2.nb
In[452]:=
Out[452]=
H∗ Achar números a, b, c da combinação linear au + bv + cw ∗L
Solve@8a + b + 2 c 1, b − 3 c −3, 5 c 10<, 8a, b, c<D
88a → −6, b → 3, c → 2<<
Portanto, a combinação linear deseja é - 6 u + 3 v + 5 w
In[453]:=
Out[453]=
H∗ Verificação da resposta ∗L
u = 81, 0, 0<; v = 81, 1, 0<; w = 82, −3, 5<;
−6 u + 3 v + 2 w
81, −3, 10<
2.13. Mostre que a matriz d = J
In[473]:=
4 −4
Npode ser escrita como combinação linear das matrizes
−6 16
1 2
−1 2
1 −2
a=J
N, b = J
N e c=J
N.
3 4
3 −4
−3 4
H∗ Achar os númeors α, β, γ da combinação linear αa + βb + γc ∗L
Solve@8α − β + γ 4, 2 α + 2 β − 2 γ −4,
3α + 3β − 3γ
−6, 4 α − 4 β + 4 γ
16<, 8α, β, γ<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[473]=
88α → 1, β → −3 + γ<<
Resposta:
O sistema de equações tem uma infinidade de soluções. Portanto, a = 1, b = - 3 + g sendo g qualquer número real.
In[470]:=
H∗ Verificação da resposta para γ = 1 ∗L
a = 881, 2<, 83, 4<<; b = 88−1, 2<, 83, −4<<; c = 881, −2<, 8−3, 4<<;
MatrixForm@a − 2 b + cD
J
4 −4
N
−6 16
Out[471]//MatrixForm=
In[476]:=
H∗ Verificação da resposta para γ = −5 ∗L
a = 881, 2<, 83, 4<<; b = 88−1, 2<, 83, −4<<; c = 881, −2<, 8−3, 4<<;
MatrixForm@a − 8 b − 5 cD
J
4 −4
N
−6 16
Out[477]//MatrixForm=
2.15. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(a) O conjunto X Õ 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que z = 3x e x = 2y.
(b) O conjunto Y Õ 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que xy = 0.
(c) O conjunto Z das matrixes 2x3 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
(d) O conjunto F = Õ F(: ) formado pelas funções f:  Ø  tais que f(x + 1) = f(x) para todo x
(e) O conjunto L Õ n dos vetores v = (x, 2 x, . . ., n x), onde x
œ
 é arbitrário.
œ
.
Rijo AL Capítulo 2.nb
9
(f) O conjunto dos vetores v œ 5 que tenham duas ou mais coordenadas nulas.
(g) O conjunto dos vetores de 3 que têm pelo menos uma coordenada ¥ 0.
Resposta:
(a) Sim, é uma reta gerada pelo vetor (2, 1, 6),
(b) Não, a soma dos vetores (1, 0, 3) e (0, 5, -2) é (1, 5, 1) que não pertence a Y.
2 0
3
1 −3 3
3 −3 6
(c) Não, a soma das matrizes J
Ne J
N éJ
Nque não pertence a Z.
2 −5 −6
4 −3 6
6 −8 0
(d) Sim, é uma reta gerada pelo vetor (2, 1, 6),
(e) Sim, é uma reta gerada pelo vetor (1, 2, . . ., n),
(f) Não, a soma dos vetores (2, 0, 0, 5, 6) e (0, 3, 4, 0, 0, 0) é (2, 3, 4, 5, 6) que não tem nenhuma coordenada
nula,
(g) Não, a soma dos vetores (2, -3, 0) e (-3, 2, -1) é (-1, -1,-1) que não pertence a 3 .
2.17. Obtenha números a, b, c, d tais que a variedade afim (plano) de 3 definida pela equação ax + by + cz = d
contenha os pontos e1 = H1, 0, 0L, e2 = H0, 1, 0L e e3 = H0, 0, 1L.
Resposta:
a = b = c = 1. Com efeito, x + y + z = 1 contém os pontos e1 , e2 e e3 .
2.20. Sejam v1 , v2 , v3 os vetores-linha e w1 , w2 , w3 os vetores-coluna da matriz
1 2 3y
i
j
z
j
j
z
4 5 6z
j
z
j
z
j
z
7
8
9
k
{
Verifique as relações v3 = 2 v2 - v1 , w3 = 2 w2 - w1 . Exprima w1 e w2 como cobinação linear de v1 e v2 e vice-versa.
Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço de 3 .
In[481]:=
v1 = 81, 2, 3<; v2 = 84, 5, 6<; v3 = 87, 8, 9<;
w1 = 81, 4, 7<; w2 = 82, 5, 8<; w3 = 83, 6, 9<;
v3
2 v2 − v1
w3 2 w2 − w1
Out[483]=
True
Out[484]=
True
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
Solve@8a + 4 b
1, 2 a + 5 b
4, 3 a + 6 b
7<, 8a, b<D
Solve@8a + 4 b
2, 2 a + 5 b
5, 3 a + 6 b
8<, 8a, b<D
Solve@8a + 2 b
1, 4 a + 5 b
2, 7 a + 8 b
3<, 8a, b<D
Solve@8a + 4 b
4, 2 a + 5 b
5, 3 a + 6 b
6<, 8a, b<D
99a →
99a →
11
2
, b → − ==
3
3
10
1
, b → − ==
3
3
99a → −
1
2
,b→
==
3
3
88a → 0, b → 1<<
10
Rijo AL Capítulo 2.nb
2.21. Dê um exemplo de uma matriz 3 × 3 cujos vetores-linha geram um subespaço de 3 diferente daquele gerado
pelos vetores coluna.
Resposta:
Os vetores-linha da matriz
1
3 −2 y
i
j
z
j
j
z
0
a
0 z
j
z
j
z
j
z
k −3 −9 6 {
geram o 2 (a teceira linha é múltipla da primeira) e os vetores-coluna geram o próprio 3 , para qualquer a ∫ 0.
2.35. Sejam E, F espaços vetoriais. Uma função f: E Ø F chama-se par (respectivamente ímpar) quando f(-v) = f(v)
(respectivamente f(-v) = - f(v)) para todo v œ E. Prove:
O conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares são subespaços vetoriais de F(E; F) e vale F(E; F)
= A ∆ B.
Resposta:
A soma de duas fun;õs pares e par. Com efeito, [f+g](-v) = f(-v) + g(-v) = f(v) + g(v) = [f + g](v), além disso,
[lf](-v) = lf(-v) = lf(v) = [lf](v). A função identicamente zero é par. Portanto, o conjunto A das funções pares é um
subespaço vetorial de F(E; F).
Analogamente, a soma de duas funções impar é impar. De fato, [f+g](-v) = f(-v) + g(-v) = -f(v) - g(v) = -[f + g](v) e
também [lf](-v) = lf(-v) = -lf(v) = -[lf](v). A função identicamente zero é ímpar. Portanto, o conjunto B das funções
impares é um subespaço vetorial de F(E; F).
Qualquer função f: E Ø F pode ser escrita como a soma de um função par e um ímpar. Com efeito, basta observar que
as componentes par e impar de f são dadas por
f HxL + f H-xL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
fpar HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
e
f HxL - f H-xL
fimpar HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
2
Finalmente, a função identicamente nula é a única função f: E Ø F que é simultaneamente par e ímpar. Portanto, F(E;
F) = A ∆ B.
CAPÍTULO 3
Bases
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Os espaços vetoriais de dimensão finita, objetos centrais do nosso estudo, possuem uma estrutura algébrica
extremamente simples, evidenciada pelas idéias de base e dimensão, que apresentaremos agora. Uma vez fixada
uma base num espaço vetorial de dimensão n, seus elementos são meramente combinações lineares dos n vetores
básicos, com coeficientes univocamente determinados. Nesta seção, esses fatos serão estabelecidos e analisados
em detalhe.
Seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto X
Õ E é linearmente independente (abreviadamente, L.I.)
quando nenhum vetor v œ X é combinação linear de outros elementos de X. Para evitar ambigiiidade, no caso em
que X = {v} consta de um único elemento v, diz-se que X é L.I., por definição, quando v ∫ 0. Quando X é L.I.,
diz-se também que os elementos de X são vetores linearmente independentes.
Quando o conjunto X é L.I. seus elementos são todos ∫ 0, pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer
outros: 0 = 0. v1 + . . . + 0. vn (Se não há "outros", X = {v}, v ∫ 0.)
Teorema 3.1. Seja X um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se a1 v1 + . . . + am vm = 0 com
a1 = . . . = am = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de X é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, então X é um conjunto L.I..
Corolário. Se v = a1 v1 . . . + am vm
a1 = b1 , . . . am = bm .
=
b1 v1 . . . + bm vm
e os vetores v1 , . . . vm são L.I. então
EXEMPLO 3.1 Os vetores canônicos e1 = (1,0,... ,0),... , en = , (0,... ,0,1) em
a1 e1 + . . . + an en = 0 significa Ha1 , . . . , an ) = 0, logo a1 = ... = an = 0.
n são L.I.. Com efeito,
Analogamente, os monomIos 1, x, ..., xn em Pn sâo L.L. pois a0 + a1 x + . . . + an xn = pHxL é o vetor nulo em Pn
somente quando p(x) é a função identicamente nula, isto é, p(x) = 0 para todo x œ . Isto obriga a ser a0 = ... = an =
0 pois um polinômio não nulo de grau k tem no máximo k raízes reais. Esta observação nos permite ainda concluir que
X = {1 , x, ..., xm , ...} Õ P é um conjunto infinito L.I.
Teorema 3.2. Sejam v1 , ..., vm vetores não-nulos do espaço vetorial E. Se nenhum deles é combinação linear dos
anteriores então o conjunto X = 8v1 , . . . vm < é L.I..
2
Rijo AL Capítulo 3.nb
EXEMPLO 3.2 Os vetore u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), w = (7, 8, 9) em 3 são L.D. pois w = 2v - u.
EXEMPLO 3.3 Quando os vetores v1 , ... , vm . são L.D., isto não significa que qualquer um deles seja combinação
linear dos demais. Por exemplo se u = (1, 2), v = (3, 4) e w = (4, 8) então {u,v,w}
4u + 0 .v porém v não é combinação linear de u e w.
Uma base de um espaço vetorial E é um conjunto B
Õ 2 é um conjunto L.D. pois w =
Õ E linearmente independente que gera E. Isto significa que
todo vetor v œ E se exprime, de modo único, como combinação linear v = a1 v1 . . . + am vm de elementos v1 , ...,
vm da base B. Se B é uma base de E e v = a1 v1 . . . + am vm , entao os numeros a1 , . . . am chamam-se as coordenadas do vetor v na base B.
EXEMPLO 3.4 Os vetores e1 = (1, 0, ... ,0), ... , en = (0, ... , 0, 1) constituem uma base 8e1 , . . . en < de n , chamada
a base canônica.
Analogamente, os monômios 1 , x, ..., xn formam uma base para o espaço vetorial Pn dos polinômios de grau § n. O
conjunto {1, x,... , xn ,...} dos monômios de graus arbitrários constitui uma base (infinita) para o espaço vetorial P de
todos os polinômios rais.
Um sistema linear é chamado homogêneo quando o segundo membro de cada equação é igual a zero. Todo sistema
homogêneo admite pelo menos a solução trivial (0, 0, ..., 0).
Lema 3.1. Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do que o número de equações
admite uma solução não-trivial.
Teorema 3.3. Se os vetores v1 , ..., vm geram o espaço vetorial E então qualquer conjunto com mais de m vetores
em E é L.D.
Diz-se que o espaço vetorial E tem dimensão finita quando admite uma base B = {v1 , ..., vn } com um número
finito n de elementos. Este número, que é o mesmo para todas as bases de E, chama-se a dimensão do espaço
vetorial E: n = dim E. Por extensão, diz-se que o espaço vetorial E = {0} tem dimensão zero.
Corolário 3. Se a dimensão de E é n, um conjunto com n vetores gera E se, e somente se, é L.I.
Diz-se que a variedade afim V
dimensão r.
Õ E tem
dimensão r quando V = x + F, onde o subespaço vetorial F
Õ E tem
EXEMPLO 3.5 Os monômios 1, x, ..., xn constituem uma base do espaço vetorial Pn , dos polinômios de grau n,
logo Pn tem dimensão finita e dim Pn = n + 1. Por outro lado, o conjunto infinito {1, x, ..., xn , ...} é uma base do
espaço vetorial P de todos os polinômios, o qual tem dimensão infinita.
EXEMPLO 3.6 O espaço vetorial M ( m x n) , das matrizes m x n, tem dimensão finita, igual a m.n. Uma base para
M(m x n) é formada pelas matrizes eij , cujo ij-ésimo elemento (na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna) é
igual a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
EXEMPLO 3.7 Se os coeficientes a1 , ..., an não são todos iguais a zero, o hiperplano
H = 8Hx1, . . . ,xn L
é um subespaço vetorial de dimensão n - 1 em n .
œ n ; a1 x1 + . . . + an xn = 0<
Rijo AL Capítulo 3.nb
Exercícios
3
(ELL págs. 33 - 38)
3.1 [3.1]. Dados os vetores u = Ha1 , a2 , a3 L, v = Hb1 , b2 , b3 L e w = Hc1 , c2 , c3 L, escrever u' = Ha1 , a2 L, v' = Hb1 , b2 L e
w' = Hc1 , c2 L . Supondo que u' e v' L.I. existem a e b œ  tais que w' = a u' + b v'. Prove que (u, v, w) é L.D. se,
somente se, w = a u + b v (com os mesmos a e b) Use esse critério para determinar se os vetores u, v e w abaixo são
L.I. ou L.D.:
(a)
u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 2), w = (-1, 2, 3)
(b)
u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 2), w = (1, 4, 1)
Resposta:
Determinação dos a e b dos vetores em (a)
In[50]:=
Out[50]=
In[55]:=
Out[55]=
Solve@8α + β == −1, 2 α + 3 β == 2<, 8α, β<D
88α → −5, β → 4<<
8−1, 2, 3< == −5 81, 2, 3< + 4 81, 3, 2<
False
Os vetores em (a) são L.I.
Determinação dos a e b dos vetores de (b)
In[56]:=
Out[56]=
In[57]:=
Out[57]=
Solve@8α + β == 1, 2 α + 3 β
88α → −1, β → 2<<
4<, 8α, β<D
81, 4, 1< == −81, 2, 3< + 2 81, 3, 2<
True
Os vetores em (b) são L.D.
Uma outra maneira de resolver o problema é verificar se o sistema de equações a u + b v + g w = 0 tem solução trivial
(L.I) ou não (L.D).
In[61]:=
Out[61]=
Solve@8α + β − γ == 0, 2 α + 3 β + 2 γ == 0, 3 α + 2 β + 3 γ == 0<, 8α, β, γ<D
88α → 0, β → 0, γ → 0<<
Os vetores em (a) são L.I.
In[60]:=
Solve@8α + β + γ == 0, 2 α + 3 β + 4 γ == 0, 3 α + 2 β + γ == 0<, 8α, β, γ<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[60]=
88α → γ, β → −2 γ<<
Os vetores em (b) são L.D.
4
Rijo AL Capítulo 3.nb
3.2 [3.2]. Mostre que as matrizes a, b, c abaixo são L.I.
1 1
1 0
1 1
N, c = J
N
a = J
N, b = J
1 1
0 0
0 1
Resposta:
As matrizes a e b são L.I por que uma não é múltipla da outra. A matriz c não é combinação linear de a e b por que a
a21 + b b21 ∫ c21 = 1 para qualquer a e b. Entào pelo Teorema 3.2, a, b, c são L.I.
3.3 [3.3]. Prove que os polinômios seguintes são linearmente independentes
p(x) = x3 - 5 x2 + 1,
q(x) = 2 x4 + 5 x - 6,
r(x) = x2 - 5 x + 2 .
Resposta:
Devemos mostra que a (0 x4 + x3 - 5 x2 + 0 x + 1) + b ( 2 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 5 x - 6) + g ( 0
x4 + 0 x3 + x2 - 5 x + 2) = 0 implica em a = b = g = 0. Assim,
In[2]:=
Out[2]=
Solve@82 β
0, α
0, −5 α + γ
88α → 0, β → 0, γ → 0<<
0, 5 β − 5 γ
0, α − 6 β + 2 γ
0<, 8α, β, γ<D
Como a, b e g são todos nulos segue que os polinomios p(x), q(x) e r(x) são L.I..
3.4 [3.5]. No espaço P3 dos polinômios de grau § 3, verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
p(x) = x3 - 3 x2 + 5 x + 1,
q(x) = x3 - x2 + 6 x + 2,
r(x) = x3 - 7 x2 + 4 x .
Resposta:
Devemos encontrar a (x3 - 3 x2 + 5 x + 1) + b ( x3 - x2 + 6 x + 2) + g ( x3 - 7 x2 + 4 x + 0) = 0 para saber se
os polinômios dados são L.I. ou L.D.. Assim,
In[4]:=
Out[4]=
Solve@
8α + β + γ
0, −3 α − β − 7 γ
88α → 0, β → 0, γ → 0<<
0, 5 α + 6 β + 4 γ
0, α + 2 β
0<, 8α, β, γ<D
Como a, b e g são todos nulos segue que os polinomios p(x), q(x) e r(x) são L.I..
3.5 [3.8]. Exiba uma base para cada um dos subespaços de 4 listados a seguir
F = 8Hx1 , x2 , x3 , x4 L; x1 = x2 = x3 = x4 <,
G = 8Hx1 , x2 , x3 , x4 L; x1 = x2 e x3 = x4 <,
H = 8Hx1 , x2 , x3 , x4 L; x1 = x2 = x3 <,
K = 8Hx1 , x2 , x3 , x4 L; x1 + x2 + x3 + x4 = 0<,
Resposta:
Base de F {(1, 1, 1, 1)}, base de G { (1, 1, 0, 0), {0, 0, 1, 1)}, base de H { (1, 1, 1, 0), {0, 0, 0, 1)}, base de K { (1, 0,
0, -1), {0, 1, 0, -1)},{0, 0, 1, -1)}
3.6 [3.10]. Seja F o subespaço vetorial (plano) de 2 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x - 2 y + 4z = 0.
Obtenha uma base 8u1 , u2 , u3 < Õ 3 tal que u1 e u2 pertençam a F.
Rijo AL Capítulo 3.nb
5
Resposta:
Base de F {(1, 1, 1, 1)}, base de G { (1, 1, 0, 0), {0, 0, 1, 1)}, base de H { (1, 1, 1, 0), {0, 0, 0, 1)}, base de K { (1,
0, 0, 0), {0, 1, 0, 0)},{0, 0, 1, 0)}
3.7 [3.11]. Mostre que polinômios 1, x - 1 e x2 - 3 x + 1 formam uma base de P2 . Exprima o polinômio 2
x2 - 5 x + 6 como cobinação linear dos elementos dessa base.
Resposta:
Primeiro devemos mostrar que os três polinômios dados são linearmente independentes. Então,
In[5]:=
Out[5]=
0, −3 α + β
88α → 0, β → 0, γ → 0<<
Solve@8α
0, α − β + γ
0<, 8α, β, γ<D
É fácil ver que eles geram P2 . Logo, eles formam uma base de P2. Agora vamos achar a, b e c da combinação linear a
(x2 - 3 x + 1) + b ( x - 1) + c =
2 x2 - 5 x + 6
In[9]:=
Out[9]=
2, −3 a + b
88a → 2, b → 1, c → 5<<
Solve@8a
−5, a − b + c
6<, 8a, b, c<D
Verificação do resultado:
In[8]:=
Out[8]=
2 Hx2 − 3 x + 1L + Hx − 1L + 5 êê Simplify
6 − 5 x + 2 x2
3.8 [3.12]. Mostre que os vetores u = (1, 1) e v = (-1, 1) formam uma base de 2 . Exprima cada um dos vetores
e1 = H1, 0L e e2 = H0, 1L como cobinação linear dos elementos dessa base.
Resposta:
Primeiro devemos mostrar que os vetores u = (1, 1) e v = (-1, 1) são linearmente independentes. Então,
In[10]:=
Out[10]=
Solve@8α − β
0, α + β
88α → 0, β → 0<<
0<, 8α, β<D
É fácil ver que eles geram 2 . Logo, eles formam uma base de 2 . Agora vamos achar a e b da combinação linear a
(1, 1) + b ( -1, 1) =
(1, 0)
In[12]:=
Out[12]=
Solve@8a − b
99a →
1, a + b
1
1
, b → − ==
2
2
0<, 8a, b<D
Agora vamos achar a e b da combinação linear a H1, 1L + b H -1, 1L = H0, 1L
In[13]:=
Out[13]=
Solve@8a − b
99a →
0, a + b
1
1
,b→
==
2
2
1<, 8a, b<D
Portanto,
e1 = H1, 0L = 1 ê 2 H1, 1L − 1 ê 2 H−1, 1L e e2 = H0, 1L = 1 ê 2 H1, 1L + 1 ê 2 H−1, 1L
3.9 [3.13]. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) são L.D..
6
Rijo AL Capítulo 3.nb
Resposta:
Devemos mostrar que existem a, b e g diferentes de zero tal que a u + b v + g w = 0. Com rfeito,
In[18]:=
Solve@8α + β + 2 γ == 0, α + 2 β + γ
0, α + β + 2 γ
0<, 8α, β, γ<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[18]=
88α → −3 γ, β → γ<<
Por exemplo, tomando g = 1, obtemos a = -3 e b = 1. Asim, w = 3 u - v.
Verificação:
In[16]:=
Out[16]=
3 81, 1, 1< − 81, 2, 1<
82, 1, 2<
3.10 [3.20]. Ache uma solução não-trivial para o sistema homogêneo:
x1 + 2 x2 + x3 + 4 x4 = 0
2 x1 + x2 + x3 - x4 = 0
3 x1 - 2 x2 + x3 - 2 x4 = 0
e a partir daí , obtenha uma cobinação linear nula dos vetores v1 = H1, 2, 3L, v2 = H2, 1, -2L, v3 = H3, 1, 1L,
v4 = H4. - 1, -2L, na qual os coeficientesnão são todos iguais a zero.
Resposta:
Devemos mostrar que existem x1 , x2 , x3 e x4 diferentes de zero tal que x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 + x4 v4 = 0. Com
rfeito,
In[19]:=
Solve@8x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 == 0, 2 x1 + x2 + x3 − 4 x4 == 0,
3 x1 − 2 x2 + x3 − 2 x4 == 0<, 8x1 , x2 , x3 , x4 <D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[19]=
99x1 →
23 x4
13 x4
27 x4
, x2 →
, x3 → −
==
8
8
8
Por exemplo, tomando g = 1, obtemos a = -3 e b = 1. Asim, w = 3 u - v.
Verificação:
In[16]:=
Out[16]=
3 81, 1, 1< − 81, 2, 1<
82, 1, 2<
3.11 [3.22]. Prove que 81, ex , e2 x , e3 x , e4 x < é um conjunto L.I. no espaço C¶ HL.
Resposta:
Iniciando com a combinação linear α + β x + γ 2 x + δ
três vezes consecutivamente, obtemos o sistema de equações
3x
+ ζ
4x
= 0 e derivando-a e dividindo por ‰x ,
α + β x + γ 2x + δ 3x + ζ 4x = 0
β + 2 γ x + 3 δ 2x + 4 ζ 3x = 0
2 α + 6 δ x + 12 ζ 2 x = 0
6 δ x + 24 ζ x = 0
Rijo AL Capítulo 3.nb
In[31]:=
7
Solve@8α + β x + γ 2 x + δ 3 x + ζ 4 x == 0, β + 2 γ x + 3 δ 2 x + 4 ζ
γ + 3 δ x + 4 ζ 2 x == 0, δ x + 4 ζ x == 0<, 8α, β, γ, δ, ζ<D
3x
== 0,
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[31]=
88α → −
3x
H−4 +
x
L ζ, β → 4
2x
H−3 +
x
L ζ, γ → −4
x
H−3 +
x
L ζ, δ → −4 ζ<<
Se ζ ≠ 0, α, β, γ, δ serão também diferentes de zero. Portanto,
o conjunto 81, x , 2 x , 3 x , 4 x < e L.I.
Verificação:
In[32]:=
Out[32]=
α + β
80<
x
+ γ
2x
+ δ
3x
+ ζ
4x
ê. % êê Simplify
3.12 [3.28]. Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão.
(a) polinômios pares de grau § n.
(b) polinômios ímpares de grau § n.
(c) polinômios de grau § n que se anulam para x = 2 e x = 3.
(d) vetores de n (n ¥ 6) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais
Resposta:
(a) 81 , x2 , . . .x2 j , . . . , x2 m < em que m = n/2. A dimwnsão é igual a (n + 1)/2.
(b) 81 , x1 , . . .x2 j +1 , . . . , x2 m +1 < em que m = n/2. A dimwnsão é igual a (n + 1)/2.
(c) 81 , x, x2 < A dimwnsão é igual 3.
(d) 8H1, 0, 0, 0, 0, 0, . . .L, H0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .L, H0, 0, 1, 0, 0, 0 . . .L,
A dimwnsão é igual n - 2 com n ¥ 6.
H0, 0, 0, 0, 1, 0, . . . L , H0, 0, 0, 0, 0, 1 ....<, H0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ....< ...<.
3.13 [3.30]. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de 3 . Exprima cada um
dos vetores e1 , e2 , e3 da base canônica de 3 como combinação linear de u, v e w.
Resposta:
Devemos mostrar que os vetores u, v, w são L.I. e que geram 3 .
In[33]:=
Out[33]=
Solve@8α + β + γ == 0, α + 2 β + 4 γ
88α → 0, β → 0, γ → 0<<
0, α + 3 β + 9 γ
0<, 8α, β, γ<D
Os vetores u, v, w são L.I.. É fácil ver que eles geram 3 . Agora vamos exprimir os vetores e1 , e2 , e3 da base
canônica de 3 como combinação linear de u, v, w.
In[42]:=
Out[42]=
Solve@8α + β + γ
99α → 3, β → −
1, α + 2 β + 4 γ
5
1
,γ→
==
2
2
O vetor e1 = 3 u − 5 ê 2 v + 1 ê 2 w
In[43]:=
Out[43]=
== 0, α + 3 β + 9 γ
3 81, 1, 1< − 5 ê 2 81, 2, 3< + 1 ê 2 81, 4, 9< êê Simplify
81, 0, 0<
== 0<, 8α, β, γ<D
8
Rijo AL Capítulo 3.nb
In[38]:=
Out[38]=
Solve@8α + β + γ
0, α + 2 β + 4 γ
88α → −3, β → 4, γ → −1<<
1, α + 3 β + 9 γ
== 0<, 8α, β, γ<D
O vetor e2 = −3 u + 4 v − w
In[45]:=
Out[45]=
In[39]:=
Out[39]=
−3 81, 1, 1< + 4 81, 2, 3< − 81, 4, 9< êê Simplify
80, 1, 0<
Solve@8α + β + γ
99α → 1, β → −
0, α + 2 β + 4 γ
3
1
,γ→
==
2
2
O vetor e3 = u − 3 ê 2 v + 1 ê 2 w
In[46]:=
Out[46]=
== 0, α + 3 β + 9 γ
81, 1, 1< − 3 ê 2 81, 2, 3< + 1 ê 2 81, 4, 9< êê Simplify
80, 0, 1<
1<, 8α, β, γ<D
CAPÍTULO 4
Transformações Lineares
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Álgebra Linear pode ser apresentada sob três pontos de vista equivalentes: transformações lineares, matrizes ou
formas quadráticas. A ênfase (ou até mesmo a exclusividade} que se dá a uma dessas abordagens é muitas vezes
uma questão de hábito, gosto pessoal ou convicção. Neste livro, os três aspectos serão devidamente tratados
porém a primazia será concedida às transformações lineares, pelos três motivos apontados, principalmente o
último.
Uma transformação linear A: E Ø F é um tipo particular de função que tem o espaço vetorial E como domínio e o
espaço F como contra-domínio.
Definição de Transformação linear
Sejam E, F espaços vetoriais. Uma transformação linear A: E Ø F é uma correspondência que associa a cada vetor
v œ E um vetor A(v) = A. v = Av œ F de modo que valham, para quaisquer u, v œ E e a œ , as relações:
A(u + v) = Au + Av,
A(a.v) = aAv.
O vetor A.v chama-se a imagem (ou o transformado) de v pela transformação A.
Se A: E Ø F é uma transformação linear então A. 0 = 0.
Soma e Produto de transformação linear
A soma de duas transformações lineares A, B: E Ø F e o produto de uma transformação linear A: E Ø F por um
œ  são as transformações lineares A + B: E Ø F e aA: E Ø F , definidas respectivamente por (A +
B)v = Av + Bv e (aA)v = a.Av, para todo v œ E. O símbolo 0 indica a transformação linear nula 0: E Ø F,
número a
definida por 0. v = 0 e, definindo -A: E Ø F por ( -A) .v = -Av, vê-se que ( -A) + A = A + ( -A) = 0.
Operadores e funcionais lineares e espaço dual
Seja L(E; F) o conjunto das transformações lineares de E em F. As definições acima tomam L(E; F) um espaço
vetorial. Quando E = F , usaremos a notação L(E) em vez de L(E; E). As transformações lineares A: E Ø E do
espaço vetorial E em si mesmo são chamadas operadores lineares em E. Por sua vez, as transformações lineares j:
2
Rijo AL Capítulo 4.nb
E Ø , com valores numéricos, são chamadas funcionais lineares. Escreve-se E* em vez de L(E; ) e o conjunto
E* dos funcionais lineares j: E Ø  chama-se o espaço vetorial dual de E.
Operador identidade
Um operador linear especial é o operador identidade I: E Ø E, definido por I. v = v para todo v
necessário especificar, escreveremos IE em vez de I.
œ E. Quando for
O que toma as transformações lineares tão manejáveis é que, para se conhecer A œ L(E; F), basta que se saibam os
œ B, onde B é uma base de E. Isto é particularmente útil quando E tem
dimensão finita. Neste caso, um número finito de valores A.v1 , ..., A. vn (onde {v1 , ..., vn } œ E é uma base)
valores A.v que A assume nos vetores v
atribuídos arbitrariamente, definem inteiramente uma transformação linear A: E Ø F. Mais precisamente, vale o
Teorema 4.1. Sejam E, F espaços vetoriais e B uma base de E. A cada vetor U
maneira arbitrária) um vetor u'
œ B, façamos corresponder (de
œ F. Então existe uma única transformação linear A: E Ø F tal
que A. U = u'
para cada U œ B.
Matriz da transformação linear
Em virtude do Teorema 4.1, se quisermos definir uma transformação linear A: n Ø m basta escolher, para cada
j = 1, ..., n, um vetor v j = (a1 j , a2 j , ..., amj ) œ m e dizer que v j = A. e j é a imagem do j-ésimo vetor da base
canônica, e j = (0, ...,1, ...,0), pela transformação linear A. A partir daí, fica determinada a imagem A.v de qualquer
vetor v = ( x1 , ..., xn ) œ n .
Isto significa que uma transformação linear A: n Ø m fica inteiramente determinada por uma matriz a = [aij ] œ
M(m x n). Os vetores-coluna dessa matriz são as imagens A.e j dos vetores da base canônica de n . A imagem de
A.v de um vetor arbitrário v = ( x1 , ..., xn ) œ n é o vetor w = ( y1 , ..., ym ) œ m cujas coordenadas são dadas
pelas equações
y1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 n xn
y2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 n xn
ª
ym = am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn
nas quais ocorrem os vetores-linha da matriz a. Diz-se que a é a matriz da transformação A relativa às bases
canônicas de n e m . Tem-se
A.e j = ⁄m
i = 1 aij ei
(j = 1, . . . , n),
onde os e j estão em n e os ei em m . Em particular, a matriz de um funcional linear j: E Ø  é do tipo 1 × n,
logo pode ser escrita simplesmente como @a1 , a2 , . . . , an D, onde a j = j(e j ). Para todo vetor v = ( x1 , ..., xn )
n tem-se j(x) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn .
EXEMPLO 4.1 Se dim E = 1, todo operador A: E Ø E é do tipo A = a I, isto é, existe uma constante a
Av = a v para todo v
œ
œ  tal que
œ E. Com efeito, seja u œ E um vetor não-nulo. Então {u}Õ E é uma base: todo vetor em E é
Rijo AL Capítulo 4.nb
3
múltiplo de u. Portanto existe a œ  tal que Au = a u. Para qualquer outro vetor v œ E, temos v = l u portanto Av =
A(l u) = l Au = l a u = a (l u) = a v.
EXEMPLO 4.2 (Rotação de ângulo q em torno da origem em 2 ) Trata-se do operador R: 2 Ø 2 , que leva
cada vetor v no vetor Rv que dele resulta pela rotação de ângulo q em torno da origem. A Fig. 4.1 deixa claro que R(u
+ v) = R.u + R.v. É bem mais claro ainda que R (av) = a .Rv para œ 2 e a œ , logo R é uma transformação linear.
In[2]:=
H∗ Figura 4.1, Rotação de vetores ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = [email protected], 1.6<, 83, 2.333<, 82.2, .733<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,
Epilog → 8Text@"O", 8−.2, 0<D, Text@"u", 81.4, .26<D, Text@"v", 8.3, 1<D,
Text@"u + v", 81.3, 1.3<D, Text@"Ru", 8−.3, 2<D, Text@"Rv", 8−1.5, .5<D,
Text@"RHu + vL", 8−1.1, 1.5<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8.8, 1.6<D, Arrow@80, 0<, 82.2, .733<D,
Arrow@80, 0<, 83, 2.333<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@88−1.6, .8<, 8−2.333, 3<, 8−.733, 2.2<<,
Axes → False, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8−1.6, .8<D,
Arrow@80, 0<, 8−.733, 2.2<D, Arrow@80, 0<, 8−2.333, 3<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
Ru
RHu + vL
u + v
v
Rv
u
O
Para um vetor v = (x, y)
determinar a matriz
œ 2 arbitrário, seja R.v = (x', y'). Sabemos que x' = a x
J
+ b y e y' = c x + d e queremos
a b
N
c d
onde Re1 = (a, c) e Re2 = (b, d), com e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1).
Ora, pelas definições de seno e cosseno, o vetor unitário Re1 , que forma com e1 um ângulo q, tem coordenadas cos q e
sen q, o seja, Re1 = (cos q, sen q). Além disso, como e2 forma com e1 um ângulo reto, Re2 também forma com
Re1 um ângulo reto. Logo Re2 ( -sen q, cos q). (Veja Fig. 4.2.)
4
Rijo AL Capítulo 4.nb
In[6]:=
H∗ Figura 4.2, Rotação de um ângulo θ ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlotA882.5, 0<, 82.5, 1.5<, 80, 1.5<<,
PlotRange → 8−.2, 3<, PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,
Epilog → 9Text@"O", 8−.2, 0<D, Text@"cos θ", 82, .2<D,
Text@"sen θ", 8.5, 1.7<D, Text@"cos θ", 8.5, 2.5<D,
Text@"−sen θ", 8−1, .2<D, Text@"e1 ", 82.8, .2<D,
Text@"e2 ", 8.3, 2.8<D, TextA"Re1 ", 82.5, 1.7<E,
TextA"Re2 ", 8−1.2, 2.7<E=, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, 0<, 83, 0<D,
Arrow@80, 0<, 82.5, 1.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@
88−1.5, 0<, 8−1.5, 2.5<, 80, 2.5<<, Axes → False, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8−1.5, 2.5<D,
Arrow@80, 0<, 80, 2.5<D, Arrow@80, 0<, 80, 3<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
Re2
e2
2.5 cos θ
2
1.5
Re1
sen θ
1
0.5
−sen θ
cos θ
O
-1
1
2
e1
3
Portanto, a rotação R: 2 Ø 2 leva um vetor v = (x, y) no Rv = (x', y'), onde
x' = x cos q - y sen q;
y' = x sen q + y cos q.
A matriz de R relativa à base canônica de 2 é
J
cos θ −sen θ
N.
sen θ cos θ
EXEMPLO 4.3 (Projeção ortogonal sobre uma reta) A reta y = a x é o conjunto dos pontos (x, ax) œ 2 , onde x
varia em . Ela é o subespaço vetorial de 2 gerado pelo vetor (1, q). Consideremos o operador P: 2 Ø 2 que faz
corresponder a cada v = (x, y)
reta y = a x. (Veja Fig. 4.3.)
œ 2 o vetor Pv = ( x' , ax' ) , cuja extremidade é o pé da perpendicular de v sobre a
Rijo AL Capítulo 4.nb
In[7]:=
5
H∗ Figura 4.3, Projeção ortogonal sobre uma reta ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−1, −.5<, 82.5, 1.25<<,
PlotRange → 88−1, 3<, 8−1, 3<<, PlotJoined → True,
Epilog → 8Text@"O", 8−.1, −.15<D, Text@"y = αx", 82.6, 1.4<D, Text@"v",
81.7, 2.4<D, Text@"Pv", 82.2, .8<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = [email protected], 1.05<, 81.5, 2.5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 82.1, 1.05<D, Arrow@80, 0<, 81.5, 2.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2.5
v
2
1.5
y = αx
1
Pv
0.5
-1 -0.5 O
-0.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
Pelo teorema de Pitágoras, temos
distHv, 0L2 = distHPv, 0L2 + distHv, PvL2 ,
ou seja,
x2 + y2 = Hx'L2 + a2 Hx'L + Hx - x'L2 + Hy - y'L2
2
Suponhamos x'∫ 0 e simplificando esse expressão, obtemos
1
a
ÅÅÅÅÅÅ x + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
x' = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
1 + a2
1 + a2
Esta expressão também é válida se x' = 0.
Vemos, em particular, que a projeção P: 2 Ø 2 é um operador linear cuja matriz na base canônica de 2 é
1
α
i
1 + α2
1 + α2 y
z
j
z
j
z
j
z.
j α
α2
k 1 + α2
1 + α2 {
EXEMPLO 4.4 (Reflexão em torno de uma reta) Seja S: 2 Ø 2 a reflexão em torno da reta y = ax. Para todo v
= (x, y) œ 2 , a reta y = ax é a bissetriz do ângulo entre v e Sv e é perpendicular à reta que liga v a Sv. Seja P: 2 Ø
2 a projeção ortogonal sobre a reta y = ax. A Fig. 4.4 mostra que, para todo v œ 2 , tem-se v + Sv = 2Pv, ou seja,
que I + S = 2P, onde I: 2 Ø 2 é o operador identidade. Daí vem S = 2P - I. Usando o exemplo anterior, concluímos
que, para todo v = (x, y), tem-se Sv = (x',y'), onde a matrix na base canônica de 2 é
1 − α2
2α
y
i
z
j
1 + α2
z.
j 1 + α2
z
j
j 2α
2
1− α z
k 1 + α2 − 1 + α2 {
6
Rijo AL Capítulo 4.nb
In[10]:=
H∗ Figura 4.4, Reflexão em torno de uma reta ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−1, −.8<, 82.5, 2<<, PlotRange → 88−1, 4<, 8−1, 3<<,
PlotJoined → True, Epilog → 8Text@"O", 8−.1, −.15<D,
Text@"Sv", 82.2, .4<D, Text@"Pv", 81.5, 1.4<D, Text@"v", 8.8, 2<D,
Text@"2P = v + Sv", 82.6, 2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = [email protected], .4<, 82.5, 2<, 80.8, 1.8<, 81.9, .4<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 81.9, .4<D,
Arrow@80, 0<, 80.8, 1.8<D, Arrow@80, 0<, 82.5, 2<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
3
2.5
2
2P = v + Sv
v
1.5
Pv
1
0.5
O
-1
-0.5
Sv
1
2
3
4
-1
EXEMPLO 4.5 Como vimos acima, o único tipo de funcional linear j: n Ø  é o da forma j(v) = a1 x1 + . . .+
an xn , para v = (x1 , . . ., xn ). Por outro lado, se E = C0 ([a, b]) é o espaço vetorial das funções contínuas f: [a, b] Ø ,
podemos definir o funcional linear j: E Ø  pondo
jH f L = Ÿa f HxL „ x .
b
Outro exemplo de funcional linear em E consiste em fixar um ponto c œ [a, b] e definir, para cada f œ E, (f) = f(c).
Ainda no contexto do espaço de funções E = C0 ([a, b]), podemos definir um operador linear K: E Ø E do seguinte
modo: fixamos uma função contínua k: [a, b] × [a, b] Ø , de duas variáveis, e fazemos corresponder a cada f
função g = Kf œ E dada por
œEa
gHxL = Ÿa KHx, yL f HyL „ y .
b
Finalmente, temos o importante operador de derivação D: C¶ ( ) Ø C¶ ( ), definido por Df = f' = derivada de f.
Exercícios
4.1 [4.2]. Sejam R, P, S: 2 Ø 2 respectivamente a rotação de 30° em torno da origem, a projeção ortogonal sobre a
reta y = x/3 e a reflexão em torno da mesma reta. Dado o vetor v = ( 2, 5 ) , determine os vetores Rv, Pv e Sv.
Rijo AL Capítulo 4.nb
Resposta:
In[1]:=
In[7]:=
Out[7]=
H∗ Os operadores de rotação R, projeção P e reflexão S ∗L
Clear@opR, opP, opSD
θ = π ê 6;
opR@8x_, y_<D := 8Cos@θD x − Sin@θD y, Sin@θD x + Cos@θD y<
α = 1 ê 3;
opP@8x_, y_<D := 8x ê H1 + α2 L + α y ê H1 + α2 L, α x ê H1 + α2 L + α2 y ê H1 + α2 L<
opS@8x_, y_<D :=
8x H1 − α2 L ê H1 + α2 L + 2 α y ê H1 + α2 L, 2 α x ê H1 + α2 L − H1 − α2 L y ê H1 + α2 L<
H∗ Determonação de Rv ∗L
opR@82, 5<D
è!!!
5 è!!!
5 3
9−
+ 3, 1+
=
2
2
Rv = (-5/2 +
In[8]:=
Out[8]=
è!!!
è!!!
3 , 1 + 5 3 /2)
H∗ Determonação de Rv ∗L
opP@82, 5<D
9
33
11
,
=
10
10
Pv = (33/10, 11/10)
In[9]:=
Out[9]=
H∗ Determonação de Sv ∗L
opS@82, 5<D
9
23
14
,−
=
5
5
Sv = (23/5, -14/5).
4.2 [4.5]. Dados os vetores u1 = (2, -1), u2 = (1,1), u3 = (-1, -4), v1 = (1, 3), v2 = (2, 3) e v3 = ( -5, -6), decida se
existe ou não um operador linear A: 2 Ø 2 tal que Au1 = v1 , Au2 = v2 e Au3 = v3 . Mesma pergunta com v3 = (5,
-6) e com v3 = (5, 6).
Resposta:
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Resolve o sistema de equações lineares para v3 = H−5, −6L ∗L
Solve@82 a − b 1, 2 c − d 3, a + b 2,
c + d 3, −a − 4 b −5, −c − 4 d −6<, 8a, b, c, d<D
88a → 1, b → 1, c → 2, d → 1<<
Existe e o operador A é definido por A(x,y) = {x + y, 2 x + y}, De fato,
In[2]:=
H∗ Definição do operador A ∗L
opA@8x_, y_<D := 8x + y, 2 x + y<
7
8
Rijo AL Capítulo 4.nb
In[3]:=
In[9]:=
H∗ Os vetores u1, u2, u3, v1, v2, v3 ∗L
u1 = 82, −1<;
u2 = 81, 1<;
u3 = 8−1, −4<;
v1 = 81, 3<;
v2 = 82, 3<;
v3 = 8−5, −6<;
H∗ Verifica se Au1 = v1, Au2 = v2 e Au3 = v3 ∗L
opA@u1D v1
opA@u2D v2
opA@u3D v3
Out[9]=
True
Out[10]=
True
Out[11]=
True
In[12]:=
Out[12]=
H∗ Resolve o sistema de equações lineares para v3 = H5, −6L ∗L
Solve@82 a − b 1, 2 c − d 3, a + b 2,
c + d 3, −a − 4 b 5, −c − 4 d −6<, 8a, b, c, d<D
8<
O sistema não tem solução, portanto para v3 = H5, −6L não existe tal operador.
In[13]:=
Out[13]=
H∗ Resolve o sistema de equações lineares para v3 = H5, 6L ∗L
Solve@82 a − b 1, 2 c − d 3, a + b 2,
c + d 3, −a − 4 b 5, −c − 4 d 6<, 8a, b, c, d<D
8<
O sistema não tem solução, portanto para v3 = H5, 6L não existe tal operador.
4.3 [4.6]. A expressão geral de um operador linear A: 2 Ø 2 é A(x, y) = (ax + by, cx + dy). Determine as constantes a, b, c e d de modo que A transforme os vetores u = (1,2) e v = (3, 4) nos vetores Au = (1,1) e Av = (2,2).
Resposta:
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Resolve o sistema de equações lineares ∗L
Solve@8a + 2 b 1, c + 2 d 1, 3 a + 4 b 2, 3 c + 4 d
99a → 0, b →
1
1
, c → 0, d →
==
2
2
Verificação
In[2]:=
In[3]:=
Out[3]=
H∗ Definição do operador A ∗L
opA@8x_, y_<D := 8y ê 2, y ê 2<;
H∗ Verifica o valor de Au ∗L
opA@81, 2<D
81, 1<
2<, 8a, b, c, d<D
Rijo AL Capítulo 4.nb
In[4]:=
Out[4]=
9
H∗ Verifica o valor de Av ∗L
opA@83, 4<D
82, 2<
4.4 [4.7]. A expressão geral de um funcional linear A: 3 Ø  é f(x, y, z) = ax + by + cz. Dados os vetores u = (1, 2,
3), v = (-1,2,3) e w = (1, -2, 3) determine a, b e c de modo que se tenha f(u) = 1, f(v) = 0 e f(w) = 0.
Resposta:
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
In[4]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[7]=
In[8]:=
Out[9]=
H∗ Solução do sistema de equações lineares ∗L
Solve@8a + 2 b + 3 c 1, −a + 2 b + 3 c 0, a − 2 b + 3 c
99a →
0<, 8a, b, c<D
1
1
,b→
, c → 0==
2
4
H∗ Definição do funcional linear f ∗L
Clear@flFD
flF@8x_, y_, z_<D := x ê 2 + y ê 4;
H∗ Mostra que f HuL = 1 ∗L
u = 81, 2, 3<;
flF@uD
1
H∗ Mostra que f HvL = 0 ∗L
v = 8−1, 2, 3<;
flF@vD
0
H∗ Mostra que f HwL = 0 ∗L
w = 81, −2, 3<;
flF@wD
0
4.5 [4.8]. Seja A: 2 Ø 2 o operador linear definido por A(x, y) = (5x + 4y, -3x - 2y). Ache vetores não-nulos u =
(x, y) e v = (s, t) tais que Au = u e Av = 2v. São únicas as soluções? Será possível achar w ∫ 0 em 2 com Aw = a w,
onde a ∫ 1 e a ∫ 2?
Resposta:
In[1]:=
H∗ Solução do sistema de equações lineares no caso de Au = u ∗L
Solve@85 x + 4 y x, −3 x − 2 y y<, 8x, y<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[1]=
In[2]:=
88x → −y<<
H∗ Definição do operador linear A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_<D := 8−y, y<
Uma infinidade de vetores do tipo (x, -x) com x∫ 0.
10
Rijo AL Capítulo 4.nb
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
H∗ Mostra que A Hx,−xL = Hx,−xL ∗L
opA@8x, −x<D
8x, −x<
H∗ Solução do sistema de equações lineares no caso de Av = v ∗L
Solve@85 x + 4 y 2 x, −3 x − 2 y 2 y<, 8x, y<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[5]=
In[6]:=
99x → −
4y
==
3
H∗ Definição do operador linear A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_<D := 8−4 y ê 3, y<
Uma infinidade de vetores do tipo (x, -3x/4) com x∫ 0.
In[8]:=
Out[8]=
H∗ Mostra que A Hx,−3 xê4L = Hx,−3 xê4L ∗L
opA@8x, −3 x ê 4<D
9x, −
3x
=
4
4.6 [4.10]. . Tem-se uma transformação linear A: 2 Ø 3 . Sabe-se que A( -1, 1) = (1, 2, 3) e A(2, 3) = (1, 1, 1).
Pede-se a matriz a œ M(3, 2) de A relativamente às bases canônicas de 2 e 3 .
Resposta:
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
In[3]:=
H∗ Solução do sistema de equações lineares ∗L
Solve@8−a + b
1, −c + d
2, −e + f
3,
2a+3b
1, 2 c + 3 d
1, 2 e + 3 f
1<, 8a, b, c, d, e, f<D
99a → −
2
3
8
7
,b→
, c → −1, d → 1, e → − , f →
==
5
5
5
5
H∗ A matriz da transformação linear A ∗L
matA = 88−2 ê 5, 3 ê 5<, 8−1, 1<, 8−8 ê 5, 7 ê 5<<;
H∗ Fprma explicita da matriz A ∗L
MatrixForm@matAD
Out[3]//MatrixForm=
3
−2
i
5
j
j 5
j
j
−1
j
j
j
j 8
k− 5
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
y
z
z
z
1 z
z
z
z
7 z
5 {
H∗ Verifica que A H−1,1L = H1, 2, 3L ∗L
matA.8−1, 1<
81, 2, 3<
H∗ Verifica que A H2,3L = H1, 1, 1L ∗L
matA.82, 3<
81, 1, 1<
Rijo AL Capítulo 4.nb
4.7 [4.21]. Seja f: 2 Ø  um funcional linear. Sabendo que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1 calcule f(1, 0) e f(0, 1).
Resposta:
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ REsolver o sistema de equações lineares ∗L
Solve@8a + b
3, 2 a + 3 b
1<, 8a, b<D
88a → 8, b → −5<<
H∗ Definição do operador linear A ∗L
Clear@flFD
flF@8x_, y_<D := 8 x − 5 y
H∗ Determina f H1,0L ∗L
flF@81, 0<D
8
H∗ Determina f H0,1L ∗L
flF@80, 1<D
−5
11
CAPÍTULO 5
Produtos de Transformações Lineares
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
O produto de transformações lineares, que introduziremos nesta seção, é um exemplo concreto de estrutura
algébrica que apresenta variados e intessantes fenômenos, não encontrados nas operações entre números ou
entre vetares.
Definição de produto de transformações lineares
Dadas as transformações lineares A: E Ø F, B: F Ø G, onde o domínio de B coincide com o contra-domínio de A,
define-se o praduto BA: E Ø G pondo para cada v œ E, (BA)v = B(Av),
A
B
E Ø FØ G
Ø
BA
Vê-se imediatamente que BA é uma transformação linear, Observe-se também que BA nada mais é do que a
composta BoA das funções B e A. Segue-se então dos princípios gerais que se C: G Ø H é outra transformação
linear, vale a
Associatividade: (CB)A = C(BA),
Diltributividade à esquerda: (B + C)A = BA + CA,
Diltributividadeà direita: C(A + B) = CA + CB,
Homogeneidade: B(aA) = a(BA).
EXEMPLO 5.1 Sejam f, g, h:  Ø  definidas por f(x) = x, g(x) - x + 1 e h(x) = x2 . Então [h o (f + g)](x) = 4 x2 +
4x + 1, enquanto [(h o f) + (h o g)](x) = 2 x2 + 2x + 1, logo h o (f + g) ∫ h o f + h o g. Isto se dá porque h não é linear.
Evidentemente, dada A: E Ø F, tem-se AIE = A = IF A, de modo que as aplicações identidade IE : E Ø E, IF : F Ø
F são elementos neutros para a multiplicação, cada uma delas do lado apropriado.
Diferenças entre produto de transformações lineares e produto de números reais
Diferenças notáveis entre o produto de transformações lineares e o produto de números reais são as ausências da
comutatividade, da lei do corte e da inversa multiplicativa para uma transformação ∫ 0, além da presença de
2
Rijo AL Capítulo 5.nb
transformações nilpotentes, para as quais tem-se An = 0 com A ∫ 0. Deve-se ainda mencionar a restrição de que o
produto BA só está definido quando A toma valores no domínio de B. Esta restrição desaparece, naturalmente,
quando se trata de operadores lineares no mesmo espaço E: então o produto BA está definido quaisquer que sejam
A, B œ L(E).
EXEMPLO 5.2 Sejam P, R: 2 Ø 2 respectivamente a projeção ortogonal sobre a reta y = x e a rotação de um
ângulo de 90° em torno da origem. Então, para todo v = (x, y)
Segue-se que
œ 2 , tem-se Pv = 1/2(x + y, x + y), Rv = (-y, x).
RPv = 1/2 (-x - y, x + y)
e
PRv = 1/2 (x - y, x - y)
Portanto RPv ∫ PRv, para todo v, exceto para v = (0, 0). Observe que bastaria que RPv ∫ PRv para um único v a fim
de termos RPv ∫ PRv.
EXEMPLO 5.3 Seja P: 2 Ø 2 a projeção ortogonal sobre uma certa reta r. Para todo v sobre a reta r, tem-se Pv =
v. Assim, para qualquer v œ 2 , tem-se PPv = Pv, pois Pv está sobre r. Noutras palavras, valePP = P, ou seja PP = PI,
embora P ∫ I. Assim, não é permitido cortar o fator P à esquerda em ambos os membros da igualdade PP = PI. Segue-se que não existe Q œ L(2 ) tal que QP = I. Com efeito, se um tal operador Q existisse, de PP = P concluiríamos
QPP = QP , isto é, IP = I, donde P = I.
EXEMPLO 5.4 . Sejam P, Q: 2 Ø 2 projeções ortogonais sobre duas retas do plano, uma das quais é perpendicular à outra. Todo vetor v œ 2 é a diagonal de um retângulo que tem Pv e Qv como lados. (Veja Fig. 5.1.).
In[2]:=
H∗ Figura 5.1 Projeções ortogonais sobre duas retas do plano∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−.4, 1.35<, 81.7, 2<, 82.1, .733<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,
Epilog → 8Text@"Pv", 82.2, .5<D, Text@"v", 81.9, 2<D,
Text@"Qv", 8−.2, 1.6<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−.5, −.18<, 82.5, .88<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = [email protected], −.5<, 8−.55, 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD; p4 = Graphics@8Arrow@8−.03, 0<, 8−.4, 1.35<D,
Arrow@80, 0<, 82.1, .733<D, Arrow@80, 0<, 81.7, 2<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
v
Qv
Pv
Rijo AL Capítulo 5.nb
3
Segue-se então que v = Pv + Qv para todo v œ 2 , ou seja, P + Q = I e Q = I - P. Portanto PQ = P{I - P) = P - P2 = P
- P = 0. Obtemos assim dois operadores não-nulos P, Q com PQ = 0. É possível mesmo que um operador não-nulo A
œ L(2 )
cumpra A2 = 0. Basta pôr A(x, y) = (x - y, x - y).
Operador nilpotente
Um operador A chama-se nilpotente quando, para algum n œ N, tem-se An = 0. Um exemplo significativo de
operador nilpotente é a derivação D : Pn Ø Pn . Para todo polinômio p de grau § n tem-se Dn + 1 p = 0, logo Dn + 1 =
0.
EXEMPLO 5.5 Se Ra , R b : 2 Ø 2 são rotações em torno da origem com ângulos a e b respectivamente, então
Ra .R b = Ra + b . (Isto pode ser visto geometricamente na Fig. 5.2 ou usando as fórmulas de cos(a + b) e sen(a + b)).
Se S: 2 Ø 2 é a reflexão em torno de uma reta então S.S = I. Isto se segue da expressão S = lP - I, levando em
conta que P.P = P, mas também pode ser visto geometricamente.
Exercícios
5.1 [5.2]. Considere os operadores lineares R, P, S: 2 Ø 2 , onde R a rotação de 30° em torno da origem, S é a
reflexão em torno da reta y = 2x e P é a projeção ortogonal sobre a mesma reta.
(i) Mostre que se tem PS = SP = P.
(ii) Verifique a igualdade RSR = S.
(iii) Mostre que R não comuta com S nem com P.
(iv) Determine todos os vetores v tais que PRv = 0 e RPv ∫ 0.
Resposta:
In[1]:=
H∗ Os operadores de rotação R, de projeção P e de reflexão S ∗L
Clear@opR, opP, opSD
θ = π ê 6;
opR@8x_, y_<D := 8Cos@θD x − Sin@θD y, Sin@θD x + Cos@θD y<
α = 2;
opP@8x_, y_<D := 9
opS@8x_, y_<D := 9
1
1 + α2
1 − α2
1 + α2
x +
x +
α
1 + α2
2α
1 + α2
y,
y,
(i) Mostre que se tem PS = SP = P.
In[6]:=
Out[6]=
opP@opS@8x, y<DD
True
(ii) Verifique a igualdade RSR = S.
opS@opP@8x, y<DD
α
1 + α2
2α
1 + α2
x+
x−
α2
1 + α2
1 − α2
1 + α2
y=
y=
opP@8x, y<D êê Simplify
4
Rijo AL Capítulo 5.nb
In[7]:=
Out[7]=
opS@8x, y<D êê Simplify
opR@opS@opR@8x, y<DDD
True
(iii) Mostre que R não comuta com S nem com P.
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
H∗ R não comuta com S ∗L
opR@opS@8x, y<DD
opS@opR@8x, y<DD ê. 8x → 1, y → 2< êê Simplify
False
H∗ R não comuta com S ∗L
opR@opP@8x, y<DD
opP@opR@8x, y<DD ê. 8x → 1, y → 2< êê Simplify
False
(iv) Determine todos os vetores v tais que PRv = 0 e RPv ∫ 0.
In[10]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[11]=
0, 8x, y<D
Solve@opP@opR@8x, y<DD
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
è!!!
I−1 + 2 3 M y
99x → −
==
è!!!
2+ 3
è!!!!
I−1 + 2 3 M y
opP@opR@8x, y<DD ê. 9x −> −
, y → y= êê Simplify
è!!!!
2+ 3
80, 0<
è!!!!
-1 + 2 3
ÅÅÅÅ!ÅÅÅÅÅ y, yM com y real.
Os vetores v tais que PRv = 0 são I- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!
2+
In[12]:=
Solve@opR@opP@8x, y<DD
3
0, 8x, y<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[12]=
In[13]:=
Out[13]=
88x → −2 y<<
opR@opP@8x, y<DD ê. 8x −> −2 y, y → y< êê Simplify
80, 0<
Os vetores v tais que RPv ∫ 0 devem ser diferentes de H- ÅÅÅÅ2y , yL com y real.
5.2 [5.6]. Dados os operadores A, B: 2 Ø 2 dados por A(x, y) = (x + y, 0) e B(x, y) = (-y, x), obtenha as
expressões dos operadores A + B, AB, BA, A2 e B2 . Descreva geometricamente esses cinco operadores. (Exemplo: A
é a projeção sobre o eixo x paralelamente a uma certa reta. (Qual?)).
Resposta:
In[1]:=
H∗ Os operadores A e B ∗L
Clear@opA, opBD
opA@8x_, y_<D := 8x + y, 0<
opB@8x_, y_<D := 8 −y, x<
Rijo AL Capítulo 5.nb
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[7]=
H∗ O operador A + B ∗L
opA@8x, y<D + opB@8x, y<D
8x, x<
H∗ O operador AB ∗L
opA@opB@8x, y<DD
8x − y, 0<
H∗ O operador AB ∗L
opB@opA@8x, y<DD
80, x + y<
H∗ O operador AB ∗L
opA@opA@8x, y<DD
8x + y, 0<
H∗ O operador AB ∗L
opB@opB@8x, y<DD
8−x, −y<
5.3 [5.7]. Seja A: 3 Ø 3 dado por A(x, y, z) = (ay + bz, cz, 0). Mostre que A3 = 0.
Resposta:
In[1]:=
In[2]:=
Out[2]=
H∗ O operador A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_, z_<D := 8a y + b z, c z, 0<
H∗ O operador A3 ∗L
Nest@opA, 8x, y, z<, 4D
80, 0, 0<
Nest[f, arg, n] aplica recursivamente uma função f[arg] n vezes.
5.4 [5.8]. Sejam A, B, C, D: 2 Ø 2 os operadores dados por A(x, y) = (x, 0), B(x, y) = (-y, x), C(x, y) = (0, y) e
D(x, y) = (y, -x). Determine o operador ABCD.
Resposta:
In[1]:=
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Os operadores A, B, C, D ∗L
Clear@opA, opB, opC, opDD
opA@8x_, y_<D := 8x, 0<
opB@8x_, y_<D := 8−y, x<
opC@8x_, y_<D := 80, y<
opD@8x_, y_<D := 8y, −x<
H∗ O operador ABCD ∗L
opA@opB@opC@opD@8x, y<DDDD
8x, 0<
5
6
Rijo AL Capítulo 5.nb
Em resumo, ABCD = A
5.5 [5.9]. Considere as transformações lineares A: 2 Ø 3 e B: 3 Ø 2 , definidas por: A(x, y) = (x, y, x + y) e
B(x, y, z) = (ax + (a - l) y + (1- a) z, - b x + (1- b ) y + b z). Determme o operador BA: 2 Ø 2 .
Resposta:
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
H∗ As transformadas lineares A e B ∗L
tlA@8x_, y_<D := 8x, y, x + y<
tlB@8x_, y_, z_<D := 8a x + Ha − 1L y + H1 − aL z, −b x + H1 − bL y + b z<
H∗ O operador BA ∗L
tlB@tlA@8x, y<DD êê Simplify
8x, y<
Em resumo, BA = I
5.6 [5.10]. Dado o operador A: 2 Ø 2 , com A(x, y) = (3x - 2y, 2x + 7y), ache um vetor não-nulo v = (x, y) tal que
Av = 5v.
Resposta:
In[1]:=
In[2]:=
H∗ O operadores A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_<D := 83 x − 2 y, 2 x + 7 y<
Solve@83 x − 2 y
5 x, 2 x + 7 y
5 y<, 8x, y<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[2]=
88x → −y<<
Vetores do tipo (x, -x) com x ∫ 0. De fato,
In[3]:=
Out[3]=
opA@8x, −x<D
85 x, −5 x<
5.7 [5.12]. Sejam A, B: 3 Ø 3 , definidos por A(x, y, z) = (x, y, 0) e B(x, y, z) = (x + z, y, 0). Obtenha vetores u, v
œ 3 tais que Au e Av sejam L.D. porém ABu e ABv sejam L.I.
Resposta:
In[1]:=
In[4]:=
Out[5]=
Out[6]=
H∗ O operador A ∗L
Clear@opA, opBD
opA@8x_, y_, z_<D := 8x, y, 0<
opB@8x_, y_, z_<D := 8x + z, y, 0<
Clear@αD
opA@8x, y, z<D
opA@8α x, α y, z<D
8x, y, 0<
8x α, y α, 0<
Os vetores u = (x, y, z) e v = (a x, a y, z) satisfazem a questão.
Rijo AL Capítulo 5.nb
In[7]:=
Out[7]=
In[8]:=
Out[8]=
8x + z, y, 0<
opA@opB@8x, y, z<DD
opA@opB@8 α x, α y, z<DD
8z + x α, y α, 0<
Os vetores ABu e ABv são L.I.
5.8 [5.13]. .No espaço vetorial P dos polinômios, considere os operadores lineares D, A: P Ø P de derivação (Dp(x) =
p'(x)) e multiplicação por x (Ap(x) = x p(x)) respectivamente. Determine DA - AD.
Resposta:
DA[p(x)] = D[x p(x)] = p(x) + x D[p(x)] = p(x) + x p'(x)
AD[p(x)] = Ap'(x) = x p'(x)
DA - AD = p(x) + x p'(x) - x p'(x) = p(x)
Portanto DA - AD = I, isto é, o operador identidade.
7
CAPÍTULO 6
Núcleo e Imagem
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Nesta seção, será examinada com cuidado a possibilidade de uma transformação linear admitir ou não uma
inversa. Veremos que isto está associado à existência e à unicidade da solução de um sistema de equações
lineares. Serd introduzido o conceito de isomorfismo, que dará um sentido preciso à afirmação de que dois
espaços vetoriais de mesma dimensão são algebricamente indistinguíveis. Tudo começa com o núcleo e a imagem
de uma transformqção.
A toda transformação linear A: E Ø F estão associados dois subespaços vetoriais indispensáveis para estudar o
comportamento de A: o núcleo de A, que é um subespaço de E, e a imagem de A, que é um subespaço de F
Imagem de uma transformação linear
A imagem de A é o subconjunto Im(A)
elementos de E pela transformação A.
Õ F, formado por todos os vetores w = Av œ F que são imagens de
A noção de imagem tem sentido seja qual for a função A: E Ø F, seja linear ou não. Quando A é linear, então
Im(A) é um subespaço vetorial de F, como se yê facilmente.
Transformação sobrejetiva
Se Im(A) = F, diz-se que a transformação A é sobrejetiva. Isto significa que, para qualquer w
œ F dado, pode-se
achar v œ E tal que A.v = w.
EXEMPLO 6.1 Dado um sistema linear de m equações a n incógnitas
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 n xn = b2
ª
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
seja A: n Ø m a transformação linear cuja matriz nas bases canô- nicas de n e m é a = @aij D. Isto significa,
como sabemos, que, para j = 1, 2, ..., n, os vetores
2
Rijo AL Capítulo 6.nb
v j = A.e j = ⁄m
i = 1 aij ei = a1 j + a2 j + . . . + amj
œ m
problema de achar um vetor x = Hx1 , . . . , xn L œ m tal que Ax = b, onde b = Hb1 , . . . bm L. Portanto o sistema admite
solução se, e somente set o vetor b pertence à imagem da transformação linear A, o que equivale a dizer que os conjuntos 8v1 , ..., vn } e 8v1 , ..., vn , b} geram ambos o mesmo subespaço Im(A).
são os vetores-coluna da matriz a. Em termos da transformação linear A, o sistema acima pode ser interpretado como o
EXEMPLO 6.2 . Um funcional linear f: E Ø  é sobrejetivo ou é igual a zero, pois {0} e  são os únicos subespaços vetoriais de . A derivação D: Ck H L Ø Ck - 1 H L é sobrejetiva, e o mesmo se dá com o operador D: C¶ H L
Ø C¶ H L e com a transformação linear D: Pn Ø Pn-1 . Se P: 2 Ø 2 é a projeção ortogonal sobre uma reta r, a
imagem de P é essa reta r
Evidentemente, dada A: E Ø F, tem-se AIE = A = IF A, de modo que as aplicações identidade IE : E Ø E, IF : F Ø
F são elementos neutros para a multiplicação, cada uma delas do lado apropriado.
Inversa à direita
Uma transformação linear B: F Ø E chama-se uma inversa à direita da transformação linear A: E Ø F quando se
tem AB = IF , ou seja, quando A(Bw) = w para todo w œ F.
Teorema 6.1. A fim de que uma transformação linear A: E Ø F, entre espaços vetoriais de dimensão finita,
possua uma inversa à direita B œ L(F; E) é necessário e suficiente que A seja sobrejetiva.
EXEMPLO 6.3 Uma transformação linear sobrejetiva A: E Ø F pode admitir mais de uma inversa à direita B: F Ø
E. Um exemplo simples é dado pela transformação linear A: 3 Ø 2 , definida por A(x, y, z) = (x, y). Fixados
arbitrariamente a, b œ , a transformação linear , B: 2 Ø 3 , definida por B(x, y) = (x, y, ax + by), é uma inversa
à direita para A. Variando os numeros a e b, obtemos infinitastas possibilidades para B
EXEMPLO 6.4 Uma inversa à direita para a derivação D: Pn + 1 Ø Pn é a transformação linear J: Pn Ø Pn-1 , que a
cada polinômio p(x) = a0 + a1 x + ...+ an xn de grau § n faz corresponder o polinômio
a1 2
an
ÅÅ x + . + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ xn + 1 .
Jp(x) = a0 x + ÅÅÅÅ
2
n+1
Núcleo de uma transformação linear
O núcleo da transformação linear A: E Ø F é o conjunto dos vetores v œ E tais que Av = 0. Usaremos a notação
N(A) para representar o núcleo de A. É fácil ver que N(A) é um subespaço de E.
Transformação injetiva
.Uma transformação linear A: E Ø F chama-se injetiva quando v ∫ v' em E fl Av ∫, Av' em F. Equivalentemente:
Av = Av' fl v = v'. Esta noção tem sentido para qualquer função A: E Ø F , seja ela linear ou não. No caso linear,
porém, o teorema abaixo simplifica a verificação da injetividade.
Teorema 6.2. A fim de que uma transformação linear A: E Ø F seja injetiva é necessário e suficiente que seu
núcleo N(A) contenha apenas o vetor nulo.
Teorema 6.3. Uma transformação linear é injetiva se, e somente se, leva vetores L.I. em vetores L.I.
Rijo AL Capítulo 6.nb
3
Segue-se deste teorema que se E tem dimensão finita n e A: E Ø F é uma transformação linear injetiva então dimF ¥ n.
.Assim,por exemplo, não existe uma transformação linear injetiva de 3 em 2 .
Teorema 6.4. Seja A: E Ø F uma transformação lineal: Para todo b œ Im(A), o conjunto V = {x œ E; Ax = b},
formado pelas soluções do sistema linear Ax = b, é uma variedade afim em E, paralela ao núcleo N(A).
EXEMPLO 6.5 O núcleo de uma rotação ou de uma reflexão no plano 2 reduz-se a {0}. O núcleo da projeção
ortogonal P: 2 Ø 2 sobre a reta r é a reta que contém 0 e é perpendicular a r. O núcleo da derivação D: Ck H L Ø
Ck - 1 H L é o subespaço uni-dimensional de Ck H L formado pelas funções constantes. O núcleo de um funcional
linear não-nulo j: E Ø  é um hiperplano H Õ E.
Inversa à esquerda
Sejam A: E Ø F e B: F Ø E transformações lineares. Diz-se que B é uma inversa à esquerda de A quando BA =
lE , isto é, quando B(Av) = v para todo v œ E.
EXEMPLO 6.6 Seja A: 2 Ø 3 definida por A(x, y) = (x + 2y, 2x + 3y, 3x + 4y ). A transformação linear B: 3 Ø
2 , dada por B(x, y, z) = (-3x + 2y, 2x - y) cumpre a relação
B(A(x, y)) = B(x + 2y, 2x + 3y, 3x + 4y)
= (-3(x + 2) +2(2x + 3y), 2(x + 2y) - (2x + 3y))
= (x, y)
para qualquer ( x, y ) œ 2 . Logo B é uma inversa à esquerda para A.
EXEMPLO 6.7 Uma transformação linear pode admitir uma infinidade de inversas à esquerda. Por exemplo, seja A:
2 Ø 3 dada por A(x, y) = (x, y, 0). Para quaisquer a, b
œ  , a transformação linear B: 3 Ø
2 , dada por B(x, y,
z) = (x + az, y + bz) é uma inversa à esquerda de A, pois BA(x, y) = B(x, y, 0) = (x, y) para todo (x, y) œ 2 .
Teorema 6.5. Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita. A transformação linear A: E Ø F possui inversa à
esquerda se, e somente se, é injetiva.
Transformação invertível
Uma transformação linear A: E Ø F chama-se invertível quando existe B: F Ø E linear tal que BA = IE e AB = IF ,
ou seja, quando B é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e à direita de A. Neste caso, diz-se que B é a inversa de
A e escreve-se B = A-1 .
Isomorfismo
A fim de que a transformação linear A seja invertível, é necessário e suficiente que ela seja injetiva e sobrejetiva.
Diz-se, então, que A é uma bijeção linear entre E e F ou, mais apropriadamente, que A: E Ø F é um isomorfismo e
que os espaços vetoriais E e F são isomorfos.
Se A: E Ø F e B: F Ø G são isomorfismos,então A-1 : E Ø F e BA: E Ø G também são isomorfismos.Tem-se HBAL-1
= A-1 B-1 e, para a ∫ 0, HaAL-1 = ÅÅÅÅa1Å A-1 .
Um isomorfismo A: E Ø F entre espaços vetoriais transforma toda base de E numa base de F. Reciprocamente, se uma
transformação linear A: E Ø F leva alguma base de E numa base de F então A é um isomorfismo.
4
Rijo AL Capítulo 6.nb
Do que foi dito acima resulta, em particular, que dois espaços vetoriais de dimensão finita isomorfos têm a mesma
dimensão.
Todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo n
Como o inverso A-1 : E Ø n e o produto BA-1 : E Ø F de A por outro isomorfismo B: n Ø F são isomorfismos,
segue-se que dois espaços vetoriais E, F, ambos de dimensão n, são isomorfos.
EXEMPLO 6.8 . O espaço Pn , dos polinômios de grau § n, tem dimensão n + 1, logo é isomorfo a n - 1 . Por sua
vez, o espaço M(m x p), das matrizes m x p, é isomorfo a mp , portanto Pn é isomorfo a M(m x p) se, e somente se, n
+ 1 = mp.
Teorema 6.6. (Teorema do Núcleo e da Imagem) Sejam E, F espaços vetoriais de dimesão finita. Para toda
transformação linear A: E Ø F tem-se dim E = dlm N(A) + dim Im(A).
Corolário. Sejam E, F espaços vetoriais de mesma dimensão finita n. Uma transformação linear A: E Ø F é
injetiva se, e somente se, é sobrejetiva e portanto é um isomorfismo.
EXEMPLO 6.9 Um caso particular do corolário acima diz que, num espaço vetorial de dimensão finita, um operador
linear é injetivo se, e somente se, é sobrejetivo, Isto seria falso num espaço de dimensão infinita, como se vê no
seguinte exemplo: sejam A, E: ¶ Ø ¶ definidos por
AHx1 , x2 , x3 , . . . L = H0, x1 , x2 , x3 , . . . L
e
BHx1 , x2 , x3 , . . . L = Hx2 , x3 , x4 , . . . L
A e B são operadores lineares. O primeiro é injetivo mas não é sobrejetivo e o segundo é sobrejetivo mas não é
injetivo.
EXEMPLO 6.10 O Teorema do Núcleo e da Imagem dá outra explicação para o fato de um hiperplano H Õ n ter
dimensão n - 1. Por esse teorema, se dim E = n e é f: E Ø  um funcional linear ∫ 0 então o núcleo de f é um subespaço vetorial de dimensão n -1 em E, pois f não-nulo implica Im(f) =  logo dim Im(f) = 1 e dim N(f) - dim E - dim
Im( f) = n - 1. Ora, o hiperplano
H = 8Hx1 , x2 , . . . , xn L
œ
n ; a1 x1 + . . . an xn = 0<
é o núcleo do funcional linear não nulo f: n Ø , definido por
f Hx1 , x2 , . . . , xn L = a1 x1 + . . . an xn ,
Teorema 6.7. Se uma transformação linear A: E Ø F tem uma inversa à esquerda B: F Ø E e uma inversa à
direita C: F Ø E então B = C e A é um isomorfismo, com A-1
= B = C.
Corolário. Seja dim E = dim F. Se as transformações lineares A: E Ø F, B: F Ø E são tais que BA = IE então
AB = IF e B = A-1 .
Rijo AL Capítulo 6.nb
5
Exercícios
6.1 [6.3]. Encontre números a, b, c, d de modo que o operador A: 2 Ø 2 , dado por A (x, y) = (ax + by, cx + dy)
tenha como núcleo a reta y =3x.
Resposta:
Sendo o núcleo do operador a reta y = 3x , segue que A(x, y) = (3 x - y, 3 x - y). Portanto, a = 3, b = -1, c = 3 e d = - 1.
6.2 [6.4]. Ache a, b, c, d tais que o operador A: 2 Ø 2 com A(x, y) = ( ax + by, cx + dy), tenha a reta y = 2x como
imagem.
Resposta:
Sendo a imagem do operador a reta y = 2 x , segue que A(x, y) = (x + y, 2 x + 2 y). Portanto, a = 1, b = 1, c = 2 e d =
2.
6.3 [6.5] Escreva a expressão de um operador A: 2 Ø 2 cujo núcleo seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y =
2x.
Resposta:
Sendo o núcleo do operador a reta y = x , segue que A(x, y) = (a x - a y , b x - b y ) com b, d ∫ 0. Por outro lado, a
imagem do operador é a reta y = 2 x , logo a =1 e b = 2. Portanto, A(x, y) = (x - y, 2 x - 2 y).
In[53]:=
p1 = ListPlot@88−1, −1<, 81, 1<<,
PlotJoined → True, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−1, −2<, 81, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1
1
2
0.5
1
-0.5
0.5
1
-1 -0.5
-0.5
-1
-1
-2
0.5 1
6.4 [6.6] Defina um operador A: A: 2 Ø 2 que tenha como núcleo e como imagem o eixo x.
6
Rijo AL Capítulo 6.nb
Resposta:
Sendo o núcleo do operador a reta y = 0 , segue que A(x, y) = (b y , d y ) com b, d ∫ 0. Por outro lado, a imagem do
operador é a reta y = 0 , logo c = 1 e d = 0, logo A(x, y) = (y, 0).
In[69]:=
p1 = ListPlot@88−1, 0<, 81, 0<<,
PlotJoined → True, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0D,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−1, 0<, 81, 0<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → RGBColor@0, 0, 1D,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1
1
1
0.5
0.5
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
1
6.5 [6.7] Resolva um exercício análogo ao anterior, com a reta y = 5 x em lugar do eixo x.
Resposta:
Sendo o núcleo do operador a reta y = 5 x , segue que A(x, y) = (5 a x - a y, 5 b x - 5 b y ) com a, b ∫ 0. Por outro
lado, a imagem do operador é a reta y = 5 x , logo a = 1 e b = 5, logo A(x, y) = (5 x - y, 25 x - 5 y).
In[75]:=
p1 = ListPlot@88−1, −5<, 81, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0D, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−1, −5<, 81, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → RGBColor@0, 0, 1D, DisplayFunction → IdentityD;
Show@GraphicsArray@8p1, p2<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1
4
4
2
2
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
0.5
-2
-2
-4
-4
6.6 [6.8] Considere a transformação linear A: 4 Ø 3 , dada por
A(x, y, z, t) = (x + y + z + 2 t, x - y + 2 z, 4 x + 2 y + 5 z + 6 t),
1
Rijo AL Capítulo 6.nb
7
encontre um vetor b œ 3 que não pertença à imagem de A e com isso exiba um sistema linear de três equações com
quatro incógnitas sem solução.
Solve@8x + y + z + 2 t
In[78]:=
0, x − y + 2 z
0, 4 x + 2 y + 5 z + 6 t
0< , 8x, y, z, t<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
99x → −t −
Out[78]=
3z
z
, y → −t + ==
2
2
Fazendo z = 2 e t = 1, o vetor (-4, 0, 2, 1) pertence ao núcleo de . Com efeito,
In[79]:=
tlA@x_, y_, z_, t_D := 8x + y + z + 2 t, x − y + 2 z, 4 x + 2 y + 5 z + 6 t<
In[82]:=
tlA@−4, 0, 2, 1D
80, 0, 0<
Out[82]=
O vetor (-4, 0, 2, 2) não pertence ao núcleo. De fato,
82, 0, 6<
tlA@−4, 0, 2, 2D
In[83]:=
Out[83]=
Resposta:
6.5 [6.7 Seja E = C0 () o espaço das funções contínuas f:  Ø . Defina o operador linear A: E Ø E pondo, para
cada f œ E, Af = j, onde j(x] = Ÿ0 f HtL dt , x œ . Determine o núcleo e a imagem do operador A.
x
Resposta:
6.6 [6.13] .Prove que cada uma das transformações lineares abaixo é injetiva e obtenha uma inversa à esquerda linear
para cada uma delas.
(a)
A:
 Ø n ; A(x) = (x, 2 x, . . . , n x).
(b) B: 2
Ø 3 ;
B(x, y) = (x + 2 y, x + y, x - y).
(c) D: 3 Ø 4 ; D(x, y, z) = (2 x, 3 y, 5 z ,x + y + z).
(d) C: Pn Ø Pn + 2 ; C . p(x) = Hx2 + 1L p(x).
Resposta:
(a) Devemos mostrar que A(x) = A(y) ï x = y. Com efeito, (x, 2x , . . . , n x) = (y, 2y, . . ,n y) ï x = y.
O funcional B : n Ø  definido por B(x, y, .. z) = x é um inverso à esquerda de A. De fato, BA.x = B(A(x)) =
B(x, 2x, . . . n x) = x
(b) Devemos mostrar que B(x, y) = B(x', y') ï (x, y) = (x', y'). Com efeito, (x + 2y , x + y, x - y) = (x' + 2 y", x' + y',
x' - y') ï (x, y) = (x', y').
Seja C : 3 Ø 2 dada por C(x, y, z) = (a1 x + a2 y + a3 z, b1 x + b2 y + b2 z ) . Para determinar
a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 devemos resolver o sistema abaixo
In[2]:=
Solve@8a1 + a2 + a3 1, 2 a1 + a2 − a3
8a1, a2, a3, b1, b2, b3<D
0, b1 + b2 + b3
0, 2 b1 + b2 − b3
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[2]=
88a1 → −1 + 2 a3, a2 → 2 − 3 a3, b1 → 1 + 2 b3, b2 → −1 − 3 b3<<
1<,
8
Rijo AL Capítulo 6.nb
A transformação C : 3 Ø 2 definido por C(x, y, z) = (x - y + z, 3 x - 5 y + z) é uma inversa à esquerda de B. Com
efeito,
tlB@8x_, y_<D := 8x + 2 y, x + y, x − y<
tlC@8x_, y_, z_<D := 8x − y + z, 3 x − 4 y + z<
In[3]:=
tlC@tlB@8x, y<DD êê Simplify
8x, y<
In[6]:=
Out[6]=
(c) Devemos mostrar que D(x, y, z) = D(x', y', z) ï (x, y', z) = (x', y', z'). Com efeito, (2 x, 3 y , 5 z, x + y + z) = (2
x', 3 y", 5 z ', x' + y' + z') ï (x, y', z) = (x', y', z')).
Seja E : 4 Ø 3 dada por C(x, y, z, w) = (a1 x + a2 y + a3 z + a4 w, b1 x + b2 y + b2 z+ b4 w, c1 x + c2 y + c2 z +
c4 w) . Para determinar a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 devemos resolver o sistema abaixo
Solve@82 a1 + a4 1, 3 a2 + a4 0, 5 a3 + a4 0, 2 b1 + b4 0,
3 b2 + b4 1, 5 b3 + b4 0, 2 c1 + c4 0, 3 c2 + c4 0, 5 c3 + c4
8a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4, c1, c2, c3, c4<D
In[15]:=
1<,
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
99a1 →
1
a4
−
, a2 → −
2
2
1
b4
b2 →
−
, b3 → −
3
3
Out[15]=
a4
, a3 → −
3
b4
, c1 → −
5
a4
, b1 → −
5
c4
, c2 → −
2
b4
,
2
c4
1
c4
, c3 →
−
==
3
5
5
A transformação E : 4 Ø 3 definido por C(x, y, z, w) = (- ÅÅÅÅ13 y - ÅÅÅÅ15 z + w, - ÅÅÅÅ12 x - ÅÅÅÅ15 z + w, - ÅÅÅÅ12 x - ÅÅÅÅ13 y + w) é
uma inversa à esquerda de D. Com efeito,
tlD@8x_, y_, z_<D := 82 x , 3 y, 5 z, x + y + z<
tlE@8x_, y_, z_, w_<D :=
8−1 ê 3 y − 1 ê 5 z + w, −1 ê 2 x − 1 ê 5 z + w, −1 ê 2 x − 1 ê 3 y + w<
In[19]:=
tlE@tlD@8x, y, z<DD êê Simplify
8x, y, z<
In[21]:=
Out[21]=
(d) Devemos mostrar que C. p(x) = C.q(x) ï p(x) = q(x). Com efeito, devidindo por Hx2 + 1L , Hx2 + 1Lp(x) =
Hx2 + 1L q(x) ï p(x) = q(x) .
A transformação linear D: Pn + 2 Ø Pn definido por D.p(x) = pHxL ê Hx2 + 1L é um inverso à esquerda de C. De fato,
DC.p(x) = D.(C.p(x)) = DHHx2 + 1L pHxLL= Hx2 + 1L pHxL ê Hx2 + 1L= p(x).
6.7 [6.18] .Seja A: Pn Ø Pn o operador linear definido por A . p(x) = x. p"'(x). Descreva o núcleo e a imagem de A.
Obtenha bases para N(A) e para Im(A).
Resposta:
6.8 [6.21] .Prove que cada uma das transformações lineares a seguir são sobrejetivas e obtenha uma inversa à direita
linear para cada uma delas.
(a)
A:
3 Ø 2 ; A(x. y, z) = (2 x + y, z)
(b) B: Pn
Ø ;
B. p(x) = p(1).
(c) C: 2 Ø 2 ; C(x, y) = (x + y, x - y).
(d) P: n Ø n - 1 ; PHx1 , . . . xn L
= Hx1 ,
. . . xn - 1 L .
Rijo AL Capítulo 6.nb
9
Resposta:
(a) Primeiro, vamos achar a inversa à direita da A. Seja B : 2 Ø 3 dada por B(x, y) = (a1 x + a2 y, b1 x + b2 y ,
c1 x + c2 y) . Para determinar a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 devemos resolver o sistema abaixo
In[38]:=
Solve@82 a1 + b1
1, 2 a2 + b2
0, c1
0, c2
1< , 8a1, a2, b1, b2, c1, c2<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[38]=
99a1 →
1
b1
b2
−
, a2 → −
, c1 → 0, c2 → 1==
2
2
2
A transformação B : 2 Ø 3 definido por B(x, y) = ( - ÅÅÅÅ12 y, x + y, y) é uma inversa à direita de A. Com efeito,
In[25]:=
In[27]:=
Out[27]=
tlA@8x_, y_, z_<D := 82 x + y, z<
tlB@8x_, y_<D := 8−1 ê 2 y, x + y, y<
tlA@tlB@8x, y<DD êê Simplify
8x, y<
Pelo Teorema 6.1 a transformação linear A dada é sobrejetiva.
(b) Primeiro, vamos achar a inversa à direita da B. Seja transformação linear C(x):  Ø Pn definido por CHxL = x
p(x)/p(1). Ela é uma inversa à direita de B. Com efeito, BCx = B(C(x)) = BHx pHxL ê pH1LL = ( 1/p(1)) B(x p(x)) = (
1/p(1)) x B(p(x)) = x
(c) Primeiro, vamos achar a inversa à direita da C. Seja D : 2 Ø 2 dada por D(x, y) = (a1 x + a2 y , b1 x + b2 y) .
Para determinar a1 , a2 , b1 , b2 devemos resolver o sistema abaixo
In[28]:=
Out[28]=
Solve@8a1 + b1
99a1 →
1, a2 + b2
0, a1 − b1
1
1
1
1
, a2 →
, b1 →
, b2 → − ==
2
2
2
2
0, a2 − b2
1< , 8a1, a2, b1, b2<D
A transformação D : 2 Ø 3 definido por D(x, y) = ( ÅÅÅÅ12 x + ÅÅÅÅ12 y, ÅÅÅÅ12 x - ÅÅÅÅ12 y) é uma inversa à direita de A. Com
efeito,
In[35]:=
In[37]:=
Out[37]=
tlC@8x_, y_<D := 8x + y, x − y<
tlD@8x_, y_<D := 81 ê 2 x + 1 ê 2 y, 1 ê 2 x − 1 ê 2 y<
tlC@tlD@8x, y<DD êê Simplify
8x, y<
6.9 [6.22] Seja T: Pn Ø Pn o operador linear definido por T. p (x) =
5 p (x) - 4 p'(x) + p"(x). Mostre que seu núcleo é
{0} e conclua que, para todo polinômio b(x) existe um polinômio p(x) tal que 5p(x) - 4p'(x) + p"(x) = b(x).
Resposta:
O operador T é injetivo. Com efeito, T.p(x) = T.q(x) ï 5 (p(x) - q(x)) +4(p'(x) -q'(x)) +(p'' (x) - q''(x) )= 0 ï p(x) =
q(x). Do Teorema 6.2 resulta que o núcleo de T é {0}. Como o domínio e o contra domínio T têm a mesma dimensão
finita, segue do Corolário do Teorema 6.6 que T é um isomorfismo e portanto existe um polinômio p(x) tal que 5p(x) 4p'(x) + p'' (x) = b(x) para todo polinômio b(x).
6.10 [6.28] Dadas as transformações lineares A: E Ø F, B: F Ø G, assinale V(erdadeiro) ou F(also) nas seguintes
implicações:
(F) BA sobrejetiva ï B sobrejetiva.
Contra exemplo: Sejam A(x, y) = (x + y, x - y) e B(x, y) = (x. x/2). É claro que B é não sobrejetiva, entretanto BA(x,
10
Rijo AL Capítulo 6.nb
y) = B(A(x, y)) = B(x + y, x - y) = (x+y, x/2 + y/2) é sobrejetiva.
(F) BA sobrejetiva ï A sobrejetiva.
(F) BA injetiva ï B injetiva.
(F) BA injetiva ï A injetiva.
Prove ainda que se E = F = G então as quatro implicações são verdadeiras. Com efeito, E, F e G são isomórficas e
portanto as quatro implica;ões são verdadeiras.
CAPÍTULO 7
Soma Direta e Projeção
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Esta seção trata da decomposição de um espaço vetorial como soma de subespaços independentes, mostra que
essa decomposição equivale a definir um operador idempotente no espaço e estabelece a conexão entre projeções
e involuções, ou simetrias.
Soma direta
reunião F1 ‹ F2 é o conjunto F1 + F2 de todas as somas u + v, onde u œ F1 e v œ F2 . No caso particular em que
F1 › F2 = {O}, escreve-se F1 ∆ F2 em vez de F1 + F2 , diz-se que F1 ∆ F2 é a soma direta de F1 com F2 e
No Capítulo 2, vimos que se F1 e F2 são subespaços do espaço vetorial E, o subespaço vetorial de E gerado pela
que a condição
implica u = u' e v = v'.
prova-se
F1 › F2 = {O} equivale a dizer que u + v = u' + v', com u, u'
œ F1 e v, v' œ F2 ,
Produto cartesiano E1 × E2
Existe uma noção análoga à de soma direta, que é o produto cartesiano E1 × E2 de dois espaços vetoriais E1 e E1 .
Aqui E1 e E2 não precisam ser subespaços vetoriais do mesmo espaço E. Os elementos do conjunto E1 × E2 são
os pares ordenados (u, v), onde u
definidas por
œ E1
ev
œ E2 . As operações que tornam
(u, v) + (u', v') = (u + u', v + v'),
E1 × E2 um espaço vetorial são
a(u, v) = (au,
av),
para quaisquer u, u'
œ E1 e v, v œ E2 e a a œ . O vetor nulo de E1 × E2 é o par (0, 0) e o inverso aditivo
de (u, v) é (-u, -v). Portanto, E1 × E2 é um espaço vetorial cuja dimensão satisfaz a relação dim (E1 × E2 )
= dim E1 + dim E2 .
Isomorfismo entre F1 × F2 e F1 ≈ F2
2
Rijo AL Capítulo 7.nb
Se F1 e F2 são subespaços vetoriais de E, com F1 › F2 = {O}, então a transformação linear
A: F1 × F2 Ø F1 ∆ F2
definida por A (u, v) =
u œ F1 e v œ F2 é um isomorfismo, como se verifica facilmente.
u + v,
Teorema 7.1. Sejam F1 e F2 subespaços de dimensão finita de um espaçovetorial E. Tem-se dim F1 + dim F2 =
dim (F1 › F2 ) + dim (F1 + F2 ).
Projeção de E sobre F1 parelamente a F2
A noção de soma direta está intimamente ligada à noção de projeção. Se E = F1 ∆ F2 é a decomposição do espaço
vetorial E como soma direta dos subespaços F1 e F2 , define-se o operador linear P: E Ø E, projeção de E sobre F1 ,
paralelamente a F2 , do seguinte modo: todo vetar w œ E se escreve, de modo único, como soma w = u + v de um
vetar u œ F1 com um vetor v œ F2 . Põe-se então Pw = u. (Veja Fig. 7.1.)
In[273]:=
H∗ Figura 7.1, Projeção de E sobre F1 ∗L
p1 = ListPlot@88−.3, 0<, 81.6, 0<<, Axes → False, PlotJoined → True,
Epilog → 8Text@"O", 8−.15, −.1<D, Text@"u", 8.6, −.1<D,
Text@"v", 8.4, 1<D, Text@"w", 81.3, 1<D, Text@"F1 ", 81.5, −.1<D,
Text@"F2 ", 8.7, 1.5<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−.18, −.3<, 8.8, 1.5<<, Axes → False,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = [email protected], 0<, 81.2, 1<, 8.6, 1<<, Axes → False, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = [email protected], 0<, 81.2, 1<, 8.53, 1<<, Axes → False,
PlotStyle → [email protected], DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
F2
v
O
Operador idempotente
w
u
F1
Rijo AL Capítulo 7.nb
3
O operador linear P: E Ø E assim definido tem imagem F1 e núcleo F2 . Além disso, como se vê facilmente, P é
2
idempotente, isto é, P = P. O teorema seguinte mostra que, reciprocamente, todo operador linear idempotente é
uma projeção.
2
Teorema 7.2. Seja P: E Ø E um operador linear. Se P = P então
imagem de P. Além disso, P é a projeção sobre Im{P) paralelamente a N{P).
E é a soma direta do núcleo com a
Involução
Uma involução é um operador linear S: E Ø E tal que S2 = I, ou seja, S(Sv) = v para
todo v œ E. Noutras palavras, uma involução é um operador invertível, igual ao seu próprio inverso. Um
.
exemplo de involução é a reflexão (ortogona!) no plano em torno de uma reta que passa pela origem.
Veremos agora que toda involução é a reflexão em torno de um subespaço, paralelamente a outro.
= {u œ E; Su = u} e F2 = {v œ E; Sv = -v} são
subespaços vetoriais e E = F1 ∆ F2 . Para todo w = u + v, com u œ F1 e v œ F2 tem-se Sw = u - v. Além
Teorema 7.3. Seja S:
E Ø E uma involução. Os conjuntos F1
disso, P = ÅÅÅÅ12 (S + I) é a projeção sobre
F1 paralelamente a F1 . (Veja Fig. 7.2.)
4
Rijo AL Capítulo 7.nb
In[626]:=
H∗ Figura 7.2, Projeção de E sobre F1 ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−.3, −.05<, 81.6, .2<<, Axes → False,
PlotJoined → True, Epilog → 8Text@"O", 8−.15, −.1<D,
Text@"u", 8.7, −.1<D, Text@"v", 8.4, 1<D, Text@"−v", 8−.7, −1<D,
Text@" W ", 81.3, 1<D, Text@"SW ", 8.3, −1<D, Text@"F1 ", 81.5, −.1<D,
Text@"F2 ", 8.7, 1.5<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−.8, −1.5<, 8.8, 1.5<<, Axes → False,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@88−.53, −1<, 8.1, −1<, 81.2, 1<, 8.5, .95<<,
Axes → False, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = Graphics@8Arrow@80, −.02<, 8.7, 0.09<D, Arrow@80, 0<, 8.51, .95<D,
Arrow@80, 0<, 81.2, 1<D, Arrow@80, 0<, 8−.53, −1<D,
Arrow@80, 0<, 8.1, −1<D<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
F2
W
v
O
−v
u
F1
SW
Exercícios
7.1 [7.1]. No plano 2 , considere as retas F1 e F2 , definidas respectivamente pelas equações y = a x e y = b x, com a ∫
b. Em seguida:
(1) Exprima cada vetor v =
(x, y) œ 2 como soma de um vetor em F1 e um vetor em F2 .
(2) Obtenha a matriz (em relação à base canônica) da projeção P: 2 ö 2 , que tem F1 como núcleo e F2 como
imagem.
(3) Ache a matriz da reflexão S: 2 ö 2 , em torno da reta F2 , paralelamente a F1 .
Rijo AL Capítulo 7.nb
5
Resposta:
(1)
In[72]:=
Out[72]=
H∗ Determina as componentes do vetor v =
Hx, yL ∈ 2 na base HH1, aL, H1,bLL ∗L
Solve@8α + β
x, a α + b β y<, 8α, β<D
99α → −
O vetor v =
bx−y
−a x + y
,β→−
==
a−b
a−b
Hx, yL ∈
2 na base HH1, aL, H1, bLL é J
bx−y
ax−y
,
N
b−a
b−a
(2)
(3) Da identidade S = 2 P - I do Teorema 7.3, resulta
7.2 [7.3]. Exprima um vetor arbitrário v = (x, y, z) œ 3 como soma de um vetor do plano F1 , cuja equação é x + y
- z = 0 com um vetor da reta F2 , gerada pelo vetor (1, 2, 1). Conclua que 3 = F1 ∆ F2 . Determine a matriz (relativa
à base canônica) da projeção P: 3 ö 3 , que tem imagem F1 e núcleo F2 .
Resposta:
7.3 [7.6]. Mostre que
1
i
j
j
j
j
j0
j
j
j
0
j
j
j
k0
0
1
0
0
a
c
0
0
by
z
z
dz
z
z
z
z
0z
z
z
z
0{
é a matriz (na base canônica) de uma projeção P: 4 ö 4 . Escreva as equações que definem o núcleo e a imagem
dessa projeção.
Resposta:
In[3]:=
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[7]=
In[8]:=
Out[8]=
H∗ O operador P ∗L
Clear@a, b, c, dD;
p = 881, 0, a, b<, 80, 1, c, d<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<<;
H∗ Testa se o operador P é uma projeção ∗L
p.p p
True
H∗ Acha a imagem do operador P ∗L
RowReduce@pD
881, 0, a, b<, 80, 1, c, d<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<<
H∗ Elimina os vetores nulos ∗L
Take@%, 2D
881, 0, a, b<, 80, 1, c, d<<
H∗ Acha o núcleo do operador P ∗L
NullSpace@pD
88−b, −d, 0, 1<, 8−a, −c, 1, 0<<
6
Rijo AL Capítulo 7.nb
In[17]:=
H∗ Acha os coeficientes da equação da imagem do operador P ∗L
Solve@8a1 + a a3 + b a4 0, a2 + c a3 + d a4 0<, 8a1, a2, a3, a4<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[17]=
88a1 → −a a3 − a4 b, a2 → −a3 c − a4 d<<
A equação da imagem é - (a + b) x - (c +d ) y + z + w = 0
In[18]:=
H∗ Acha os coeficientes da equação do núcleo do operador P ∗L
Solve@8−b a1 − d a3 + a4 0, −a a1 − c a2 + a3
0<, 8a1, a2, a3, a4<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[18]=
99a2 → −
a a4
a3 H−b − a dL
a4
a3 d
−
, a1 →
−
==
bc
bc
b
b
A equação do núcleo é (c - c d) x - (a - b - a d ) y + b c z + b c w = 0
7.4 [7.7]. Prove que o operador P: 2 ö 2 , dado por P(x, y) = (-2 x - 4 y, ÅÅÅÅ32 x + 3y) é a projeção sobre uma reta.
Determine o núcleo e a imagem de P.
Resposta:
In[9]:=
In[101]:=
Out[101]=
In[10]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[11]=
In[12]:=
Out[12]=
H∗ O operador P ∗L
p = 88−2, −4<, 83 ê 2, 3<<;
H∗ Testa se o operador P é uma projeção ∗L
p.p p
True
H∗ Acha a imagem do operador P ∗L
RowReduce@pD
881, 2<, 80, 0<<
H∗ Elimina os vetores nulos ∗L
Take@%, 1D
881, 2<<
H∗ Acha o núcleo do operador P ∗L
NullSpace@pD
88−2, 1<<
O nucleo é a reta y = -1/2 x e a imagem é reta y = 2 x
7.5 [7.8]. Considere o operador linear A: 3 Ø 3 , dado por
A(x, y, z) = (40 x + 18 y - 6 z, 18 x + 13 y + 12 z, -6 x + 12 y + 45 z).
1
ÅÅ A é uma projeção, que Im(P) é um plano e determine a equação desse plano.
Mostre que P = ÅÅÅÅ
49
Resposta:
In[13]:=
H∗ O operador P ∗L
p = 1 ê 49 8840, 18, −6<, 818, 13, 12<, 8−6, 12, 45<<;
Rijo AL Capítulo 7.nb
In[106]:=
Out[106]=
In[14]:=
Out[14]=
In[15]:=
Out[15]=
7
H∗ Testa se o operador P é uma projeção ∗L
p.p p
True
H∗ Acha a imagem do operador P ∗L
RowReduce@pD
991, 0, −
3
=, 80, 1, 3<, 80, 0, 0<=
2
H∗ Elimina os vetores nulos ∗L
Take@%, 2D
991, 0, −
3
=, 80, 1, 3<=
2
Estes dois vetores formam a base do plano que corresponde à imagem de P
In[16]:=
Out[16]=
In[19]:=
H∗ Acha o núcleo do operador P ∗L
NullSpace@pD
99
3
, −3, 1==
2
H∗ Acha os coeficientes da equação
do plno que forma a imagem do operador P ∗L
Solve@8a − 3 ê 2 c 0, b + 3 c
0<, 8a, b, c<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[19]=
99a →
3c
, b → −3 c==
2
A equação do plano que corresponde à imagem de P é 3 x - 6 y + 2 z = 0
CAPÍTULO 8
A Matriz de uma Transformação Linear
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
A matriz de uma transformação linear é um objeto concreto, associado a essa transformação na presença de
bases em seu domínio e seu contra-domínio. A matriz permite obter uma variedade ilimitada de exemplos de
transformações lineares, bem como calcular especificamente a imagem de um dado vetor por uma transformação.
Nesta seção será estudada a relação entre uma transformação linear e sua matriz. Em particular, o produto de
transformações conduzirá a uma profícua noção de produto de matrizes. Veremos como se relacionam as
matrizes da mesma transformação tomadas em bases diferentes e daremos uma demonstração direta da igualdade
entre o posto-linha e o posto-coluna de uma matriz.
Definição de produto de transformações lineares
Vimos no Capítulo 4 que uma transformação linear A: n Ø m fica inteiramente determinada pela matriz a =
@aij D
œ M(m × n), cujo ij-ésimo termo uij é a i-ésima coordenada do vetor A . e j œ m .
Matriz retangular da transformação linear A: E Æ F
Sejam E, F espaços vetoriais de dimensão finita e A: E Ø F uma transformação linear. Fixadas bases V
8v1 , . . . vn < Õ E e W = 8w1 , . . . wn <
dos vetores da base W:
Õ F, para cada j = 1,... , n o vetor AV j
=
se exprime como combinação linear
Av j = a1 j w1 + a2 j w2 + . . . , amj wm = ⁄m
i = 1 aij w j .
Assim, a transformação linear A: E Ø F juntamente com as bases V
@aij D
Õ E e W Õ F determinam uma matriz
œ M(m × n), chamada a matriz de A relativamente a essas bases (ou nas bases V, W).
Por definição, a j-ésima coluna da matriz a é formada pelas coordenadas de Av j em relação à base W.
a = {{a11, a12, . . ., a1n}, {a21, a22, . . . a2n}, . . . , {am1, am2, . . , amn}} define a matriz a m x n.
In[7]:=
a = 88a11, a12, a13, a14<, 8a21, a22, a23, a24<, 8a31, a32, a33, a24<<;
MatrixForm[ a ] imprime a matriz a na forma retangular
a=
2
Rijo AL Capítulo 8.nb
In[8]:=
MatrixForm@aD
a11 a12 a13 a14 y
i
j
z
j
j
z
a21 a22 a23 a24 z
j
z
j
z
j
z
k a31 a32 a33 a24 {
Out[8]//MatrixForm=
Matriz quadrada do operador linear A: E Æ E
No caso em que A: E Ø E é um operador linear, a menos que seja feita menção explícita em contrário, consid-
era-se apenas uma base V = 8v1 , . . . vn <
base V) é definida pelas n igualdades
Neste caso, a = @aij D
vetor
Õ E e a matriz a = @aijD
Av j = ⁄ni = 1 aij v j ,
do operador A relativamente à base V (ou na
(j = 1, 2, . . . , n).
œ M(n × n) é a matriz quadrada n × n cuja j-ésima coluna é formada pelas coordenadas do
Av j = a1 j v1 + a2 j v2 + . . . , anj vn
na base V.
In[9]:=
In[10]:=
a = 88a11, a12, a13<, 8a21, a22, a23<, 8a31, a32, a33<<;
MatrixForm@aD
a11 a12 a13 y
i
j
z
j
z
j
z
j
j a21 a22 a23 z
z
j
z
k a31 a32 a33 {
Out[10]//MatrixForm=
Quando considerarmos uma transformação linear A: n ö m e dissermos apenas a matriz de A, estaremos
significando a matriz de A relativamente às bases canônicas de n e m . Caso utilizemos outras bases, isto será
dito explicitamente.
EXEMPLO 8.1 Consideremos um espaço vetorial E, de dimensão finita. Dado a œ , seja A: E Ø E o operador
linear definido por Av = a v
todo v œ E. Relativamente a qualquer base V
números a na diagonal e zeros fora dela:
= 8v1,
. . . vn <
Õ E a matriz a do operador A é sempre a mesma, com
α
i
j
j
j
j
j0
a=j
j
j
j
ª
j
j
j
k0
0 ∫ 0y
z
z
α ∫ 0z
z
z
z
z
z
ª ª ªz
z
z
z
0 ∫ 0{
O operador A = a I é o que se chama uma homotetia de razão a. Estes são os únicos operadores cujas matrizes independem da base dada.
EXEMPLO 8.2 Seja P: E Ø E a projeção sobre o subespaço F1 , paralelamente ao subespaço F2 . Sejam ainda V1
Õ
F1 e V2 Õ F2 bases quaisquer desses subespaços. Então V = V1 ‹ V2 é uma base de E, relativamente à qual a
matriz p de P tem os k primeiros termos da diagonal iguais a 1 (k = dim F1 ) e todos os demais termos (sobre a diagonal ou fora dela) iguais a zero. Analogamente, se S: E Ø E é a reflexão em torno de F1 paralelamente a F2 , sua matriz
s na base V tem os primeiros k termos da diagonal iguais a 1, os restantes iguais a - 1 e todos os termos fora da
diagonal iguais a zero.
Rijo AL Capítulo 8.nb
A fixação das bases V
3
Õ
Ee W
Õ
F determina portanto uma transformação linear
j: L(E; F) Ø M(n × n)
que faz corresponder a cada A œ L(E; F) sua matriz a nas bases V, W.
Em particular, a cada fluncional linear f: n ö  corresponde, de modo natural, uma matriz @a1 , . . . , an D
1 x n) ou, o que é o mesmo, um vetor Ha1 , . . . , an L.
œ M(
Entre transformações lineares, além das operações A + B e a A, existe também a multiplicação BA. O isomorfismo j faz corresponder ao produto BA o produto ba das matrizes de B e de A, segundo definiremos a seguir.
Produto Interno
Sejam u = Ha1 , . . . an L e v = Hb1 , . . . , bn L vetores em n . O produto interno de u por v é definido como o
número
X u, v \ = a1 b1 + . . . + an bn.
Produto de matrizes
Sejam b = @bij D œ M(m
e a = @aij D œ M(m
× p) matrizes tais que o número de colunas de b é igual ao
número de linhas de a. O produto da matriz b pela matriz a (nesta ordem) é a matriz ba = c œ M(m × p), cujo
ij-ésimo elemento
× n)
cij = bi1 a1 j + bi2 a2 j +. . . + bin anj = ⁄m
i = 1 bik akj .
é o produto interno do i-ésimo vetor-linha de b pelo j-ésimo vetor coluna de a.
a.b o produto da a e b
In[21]:=
a = 88a11, a12, a13<, 8a21, a22, a23<<;
b = 88b11, b12<, 8b21, b22<, 8b31, b32<<;
c = a.b;
MatrixForm@cD
J
a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32
N
a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32
Out[24]//MatrixForm=
In[25]:=
a = 88a11, a12<, 8a21, a22<, 8a31, a32<, 8a41, a42<<;
b = 88b11, b12, b13, b14<, 8b21, b22, b23, b24<<;
c = a.b;
MatrixForm@cD
a11 b11 + a12 b21
i
j
j
j
a21
b11 + a22 b21
j
j
j
j
j
a31
b11
+ a32 b21
j
j
j
k a41 b11 + a42 b21
Out[28]//MatrixForm=
a11 b12 + a12 b22
a21 b12 + a22 b22
a31 b12 + a32 b22
a41 b12 + a42 b22
a11 b13 + a12 b23
a21 b13 + a22 b23
a31 b13 + a32 b23
a41 b13 + a42 b23
a11 b14 + a12 b24 y
z
z
a21 b14 + a22 b24 z
z
z
z
z
a31 b14 + a32 b24 z
z
z
z
a41 b14 + a42 b24 {
4
Rijo AL Capítulo 8.nb
EXEMPLO 8.3 Uma transformação linear A: n Ø m pode ser interpretada como uma multiplicação de matrizes:
em vez de A
œ L( n ; m considera-se sua matriz
a = @aij D œ M(m × n). Em particilar os funcionais lineares f:
n Ø  são substituídos por matrizes 1 x n, ou seja, por vetores-linha. Além disso, os vetores x = Hx1 , . . . xn L
e b = Hb1, . . . , bm L passam a ser considerados
como matrizes n x 1 e m x 1 respectivamente, ou seja,
como vetores-coluna. Então a igualdade Ax =
In[45]:=
Out[47]=
In[32]:=
Out[34]=
œ n
b passa a ser escrita sob a forma a x = b, isto é
i a11 ∫ a1 n z
y j
y j
y
i x1 z
i b1 z
j
j
z
z
j
j
j
z
z
z
j
j
a
∫
a
x
b2 z
21
2
n
2
j
z
z
z
j
j
j
z
z
z
j
j
j
z j
z= j
z
j
j
j
z
z
z
j
z
z
z
j
j
ª
ª
ª
ª
ª
j
z
z
z
j
z j
z j
z
j
j
k am1 ∫ amn { k xn { k bm {
a = 881, 2, 3<, 83, 4, 5<, 87, 8, 9<<;
b = 81, 2, 1 ê 2<;
c = a.b
9
13
27
55
,
,
=
2
2
2
a = 881, 2, 3, 4<, 85, 8, 7, 9<<;
b = 82, 1, 1, 2<;
a.b
815, 43<
Teorema 8.1. A matriz de BA: E Ø G nas bases U, W é o produto ba œ M(m × p) das matrizes b e a.
Símbolo de Kronecker dij
Resulta imediatamente do teorema acima e do isomorfismo j: L(E; F) Ø M(m x n) que as regras operacionais do
produto de transformações lineares se transferem diretamente para o produto de matrizes. No que se segue,
indicaremos com o símbolo In a matriz identidade n x n. Tem-se In = @dij D, onde dij é o símbolo de Kronecker: dij
= 0 se i ∫ j e dii = 1. Quando não houver ambigüidade, escreveremos simplesmente I em vez de In .
As propriedades abaixo listadas se provam considerando, para cada a E œ M(m × n) , a transformação linear A:
n Ø m cuja matriz é a e aplicando a propriedade correspondente para transformações lineares, já provada
anteriormente.
1) (c b) a = c (b a);
2) c (a + b) = c a + c b; (b + c) a = b a + c a;
3) a. In = a, Im a = a se a œ M(m × n)
4) b (a a) = a(b a).
Inversa à esquerda e inversa à direita
Dada a œ M(m × n) , diz-se que x œ M(n × m) é uma matriz inversa à esquerda de a quando x a = In e que y œ
M(n × m) é uma matriz inversa à direita de a quando a y = Im .
5) Uma matriz m x n possui inversa à esquerda se, e somente se, seus vetares-coluna são L.I. e uma inversa à
direita se, e somente se, esses vetares-coluna geram m .
Rijo AL Capítulo 8.nb
5
Matriz invertível
Uma matriz a chama-se invertível quando é quadrada e existe uma matriz a-1 , chamada a inversa de a, tal que a-1
a = a a-1 = I.
6) Se uma matriz a possui uma inversa à esquerda x e uma inversa à direita y então a é quadrada, é invertível e x
= y = a-1 .
7) Uma matriz quadrada a admite uma inversa à esquerda se, e somente se, admite uma inversa à direita. Neste
caso, a matriz a é vertível e cada uma dessas inversas laterais é igual a a-1 .
A seguir, determinaremos como varia a matriz de uma transformação linear A: E Ø F quando se mudam as bases
em E e F.
Sejam V = 8v1 , . . . vn <
ÕE
e W = 8w1 , . . . wn <
ÕF
A: E Ø F é a = @aij D œ M(m × n). Isto significa que
bases, em relação às quais a matriz da transformação linear
Av j = ⁄ni = 1 aij w j ,
Tomando novas bases
V
=
8v'1 , . . . v'n <
nova matriz a' = @a'ij D œ M(m × n), definida
ÕE
(j = 1, 2, . . . , n).
e W = 8w'1 , . . . w'n <
Õ F, a transformação linear A tem
por:
Av' j = ⁄ni = 1 a'ij w' j ,
(j = 1, 2, . . . , n).
Matrizes de passagem p e q.
Para obter a relação entre as matrizes a e a', consideramos as matrizes de passagem p = @ pij D œ M(m
q = @qij D œ M(m × n), definidas pelas igualdades
v' j = ⁄nk = 1 pkj vk
× n) e
e w'r = ⁄m
i = 1 qir wi
Por definição, p é a matriz de passagem da base V para a base V' e q é a matriz de passagem da base W para a
base W'.
A fórmula que nos dá a matriz a' de A nas bases V', W' em função da matriz a de A nas bases V, W é
a' = q-1 a p
No caso particular de um operador A: E Ø E e de suas matrizes a, a' relativas às bases V, V', temos uma única
matriz de passagem p, que nos dá
a' = p-1 a p.
As duas matrizes quadradas a e p-1 a p dizem-se semelhantes.
EXEMPLO 8.4 Seja P: 2 Ø 2 o operador linear que consiste na reflexão em torno da reta y = a x. Como se viu
no Exemplo 4.4, a matriz de A relativamente à base canônica de 2 é
1 − α2
2α
i
y
j 1 + α2
z
1 + α2
j
z
a= j
z
j 2α
1 − α2 z
−
k 1 + α2
1 + α2 {
Seja V = 8v1 , v2 <
temos
Õ 2
a base formada pelos vetores v1 = 81, a< e v1 = 8- a, 1<. Para todo vetor v = (x, y) œ 2 ,
6
Rijo AL Capítulo 8.nb
A(x, y) = I
1 − α2
1 + α2
x +
2α
1 + α2
logo Av1 = v1 e Av2 = - v2 . Portanto a matriz de A na base V é
y,
a= J
A matriz de passagem da base canônica de 2 para a base V é
Segue-se que a' = p-1 a p em que p-1 =
1
1 + α2
J
x −
1 − α2
1 + α2
yM
1 0
N
0 −1
p= J
1 −α
N.
α −1
2α
1 + α2
1 −α
N
α −1
Posto de uma transformação linear A
Seja A: E Ø F uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita. O posto de A é a dimensão da
sua imagem. Evidentemente, dim Im(A) A) § dim F. Além disso, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dim
Im(A) § dim E. Segue-se que o posto de A não excede dim E nem dim F. O posto de A é igual à dimensão de E
se, e somente se, A é injetiva. E é igual à dimensão de F se, e somente se, A é sobrejetiva.
Posto segundo coluna de uma matriz a
O posto segundo colunas de uma matriz a œ M(m × n) é o número máximo de colunas linearmente independentes em a. Este número é igual à dimensão do subespaço vetorial de m gerado pelos vetores-coluna de a.
(Espaço-coluna de a.)
Posto segundo linha de uma matriz a
O posto segundo colunas de uma matriz a œ M(m × n) é o número máximo de linhas linearmente independentes
em a. Este número é igual à dimensão do subespaço vetorial de n gerado pelos vetores-linha de a. (Espaço-linha
de a.)
Teorema 8.2. Para toda matriz a
œ M(m × n), o posto segundo linhas e o posto segundo colunas são
iguais.
Posto de uma matriz a
O posto de uma matriz a é o número máximo de linhas, ou de colunas, L.I. dessa matriz.
NullSpace[ a ] dá a lista dos vetores que formam a base do espaço nulo (núcleo) da matriz a.
EXEMPLO 8.6 O espaço-linha e o espaço-coluna da matriz
são duas retas distintas em 2
In[1]:=
Out[1]=
NullSpace@881, 1<, 82, 2<<D
88−1, 1<<
J
1 1
N
2 2
Rijo AL Capítulo 8.nb
In[2]:=
Out[2]=
In[5]:=
7
NullSpace@881, 2<, 81, 2<<D
88−2, 1<<
H∗ Subespaços do plano HretasL gerados pelos vetores H1, −2L e H1, 4L ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
ImplicitPlot@8−x + y
0, −2 x + y
0<, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → 8−4, 4<D;
4
3
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
-4
Exercícios
8.1 [8.1]. Determine a matriz do operador linear A: 2 Ø 2 , relativamente à base canônica, sabendo que A(l, 1) = (2,
3) e A( -1, 1) = (4, 5).
Resposta:
In[2]:=
Out[2]=
In[6]:=
H∗ Determinação da matriz a ∗L
Solve@8a + b
2, c + d
3, −a + b
99a → −1, b → 3, c → −
a = 88−1, 3<, 8−3 ê 2, 9 ê 2<<;
MatrixForm@aD
i −1
j
j 3
k− 2
3 y
z
9 z
2 {
Out[7]//MatrixForm=
Verificação:
In[8]:=
Out[8]=
3
9
,d→
==
2
2
82, 3<
a.81, 1<
4, −c + d
6<, 8a, b, c, d<D
8
Rijo AL Capítulo 8.nb
In[9]:=
Out[9]=
84, 6<
a.8−1, 1<
8.2 [8.2]. O produto vetorial de dois vetores v = (x, y, z) e W = (x', y', z') em 3 é, por definição, o vetor v×
w = (yz' - zy', zx' - xz', xy' - yx'). Fixado o vetor u = (a, b, c), determine a matriz, relativamente à base canônica, do
operador A: 3 Ø 3 , definido por A. v = v × u. Descreva geometricamente o núcleo desse operador e obtenha a
equação da sua imagem.
Resposta:
8.3 [8.3]. Determine a matriz do operador de derivação D: Pn Ø Pn relativamente à base {1, t , t2 ,... , tn }.
0
i
j
j
j
0
j
j
j
j
j
0
j
j
j
j
j
j
ª
j
j
j
k0
0 0 ∫
0
1 0 ∫
0
0 2t ∫
0
ª ª ª
ª
0 0 0 ntn −1
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
Resposta:
8.4 [8.4]. Considere os subespaços vetoriais F e G do espaço C¶ (), cujas bases são, respectivamente, os conjuntos
{cos x, sen x} e
{ex cos x, ex sen x, e2 x cos x, e2 x sen x, e3 x cos x, e3 x sen x}.
Determine a matriz do operador de derivação em cada um desses subespaços.
Resposta:
J
−sen x
0
N
0
cosx
0
0
0
ex Hcos x − senxL
i
j
j
x Hsen x + cos x L
j
0
0
0
e
j
j
j
j
j
2
x
j
0
0
0
e H2 cos x − senxL
j
j
j
j
2 x H2 sen x + cos x L
j
0
0
0
e
j
j
j
j
j
j
0
0
0
0
e3 x
j
j
j
0
0
0
0
k
8.5 [8.6]. Ache o valor de x para o qual operador P: 3 Ø 3 , cuja matriz na base canônica é
1
i
2
j
j
j
j
−1
j
j
j
j
j 1
k−2
− 12
0
−
1
2
y
z
z
z
1 z
z
z
z
z
z
x {
1
2
seja uma projeção.
Resposta:
8.6 [8.7]. Qual é a matriz, na base canônica, do operador A: 2 Ø 2 , tal que A(2, 3) = (2, 3) e A(-3, 2) = (0, 0)?
Resposta:
Rijo AL Capítulo 8.nb
In[13]:=
Out[14]=
In[21]:=
9
H∗ Determinação da matriz a ∗L
Clear@a, b, c, dD;
Solve@
82 a + 3 b
2, 2 c + 3 d
3, −3 a + 2 b
99a →
4
6
6
9
,b→
,c→
,d→
==
13
13
13
13
0, −3 c + 2 d
0<, 8a, b, c, d<D
a = 884 ê 13, 6 ê 13<, 86 ê 13, 9 ê 13<<;
MatrixForm@aD
Out[22]//MatrixForm=
6
4
i
13
13
j
j
j
j 6
9
k 13 13
y
z
z
z
z
{
Verificação:
In[23]:=
Out[23]=
In[24]:=
Out[24]=
In[26]:=
82, 3<
a.82, 3<
80, 0<
a.8−3, 2<
MatrixForm@881, α<, 80, 1<<D
J
1 α
N
0 1
Out[26]//MatrixForm=
8.7 [8.8]. Calcule a n-ésima potência da matriz J
Resposta:
In[47]:=
Out[48]=
In[50]:=
1 α
N.
0 1
a = 881, α<, 80, 1<<;
a.a.a.a.a.a.a.a.a.a
881, 10 α<, 80, 1<<
MatrixForm@881, n α<, 80, 1<<D
J
1 nα
N
0 1
Out[50]//MatrixForm=
8.8 [8.11]. Seja a uma matriz 5 x 5 cujos elementos sobre a diagonal e abaixo dela são iguais a zero. Sem fazer nenhum cálculo, conclua que a5 = 0.
Resposta:
In[71]:=
a = 880, 1, 1, 1, 1<, 80, 0, 2, 2, 2<,
80, 0, 0, 3, 3<, 80, 0, 0, 0, 4<, 80, 0, 0, 0, 0<<;
In[79]:=
a.a.a.a.a
Out[79]=
880, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0<,
80, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0<<
10
Rijo AL Capítulo 8.nb
8.9 [8.20]. Determine a matriz da projeção P: 2 Ø 2 , P(x, y) = (x, 0) relativamente à base {u, v} Õ 2 , onde u =
(1, 1) e v = (1, 2).
Resposta:
A matriz da projeção sobre a reta y = a x é
Como a é zero temos
In[87]:=
Out[87]=
In[83]:=
In[91]:=
In[95]:=
Out[95]=
In[96]:=
i
j
j
j
j
k
1
1 + α2
α
1 + α2
a= J
α
1 + α2
α2
1 + α2
y
z
z
z
z.
{
1 0
N
0 0
H∗ A matriz da projeção relativa a base canônica ∗L
a = 881, 0<, 80, 0<<;
881, 0<, 80, 0<<
H∗ Matriz de passagem p ∗L
p = 881, 2<, 81, 1<<;
H∗ Inversa da matriz de passagem p ∗L
inVp = Inverse@pD;
H∗ A matriz da projeção relativa a base HH1,1L, H1, 2LL∗L
b = inVp.a.p
88−1, −2<, 81, 2<<
MatrixForm@bD
J
−1 −2
N
1
2
Out[96]//MatrixForm=
8.10 [8.21]. Sabendo que a matriz do operador A: 3 Ø 3 relativamente à base {u, v, w} Õ 3 , onde u = (1, 1, 1),
v = (1,2,1), w = (1, l, 3), é
3
1
3 y
i
j
z
j 0
z
2
0 z
ÅÅÅÅ12 j
j
z
j
z
j
z
−1
−1
−1
k
{
determine a matriz de A relativamente à base canônica de 3 .
Resposta:
8.11 [8.33]. Calcule o posto da matriz
y
i1 2 3 z
j
j
z
j
4 5 6z
z
j
z
j
z
j
2
1
0
{
k
e mostre que o subespaço gerado por suas linhas é diferente daquele gerado por suas colunas.
Resposta:
In[51]:=
H∗ Matriz a ∗L
a = 881, 2, 3<, 84, 5, 6<, 82, 1, 0<<;
Rijo AL Capítulo 8.nb
In[86]:=
Out[86]=
In[87]:=
Out[87]=
In[91]:=
Out[91]=
In[92]:=
Out[92]=
11
H∗ Espaço nulo da matriz a segundo as linhas ∗L
NullSpace@aD
881, −2, 1<<
H∗ Posto da matriz a ∗L
Length@NullSpace@aDD
1
H∗ Espaço nulo da matriz a segundo as colunas ∗L
NullSpace@Transpose@aDD
882, −1, 1<<
Length@NullSpace@aDD
1
8.12 [8.34]. Obtenha números a, b, c tais que ax + by + cz = 0 seja a equação do plano gerado pelas colunas da matriz
i1 1 1 z
y
j
j
j
z
1 2 3z
j
z
j
z
j
z
k2 3 4 {
Resposta:
In[79]:=
Clear@a, b, cD;
Solve@8a + b + 2 c
0, a + 3 b + 4 c
0<, 8a, b, c<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[80]=
88a → −c, b → −c<<
Fazendo c = 1, obtemos a = -1, b = -1.
Verificação
In[81]:=
f@x_, y_, z_D := −x − y + z
In[82]:=
f@1, 1, 2D
Out[82]=
In[83]:=
Out[83]=
In[84]:=
Out[84]=
0
f@1, 2, 3D
0
f@1, 3, 4D
0
CAPÍTULO 9
Eliminação
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Este capítulo rata de aspectos computacionais dos assuntos tratados até aqui. Seu valor educativo é inestimável
pois exibe um processo simples e bem sucedido para responder a perguntas naturais sobre subespaços, transformações lineares, sistemas de equações e matrizes.matriz de uma transformação linear é um objeto concreto,
associado a essa transformação na presença de bases em seu domínio e seu contra-domínio.
Dimensão do subespaço gerado por m vetores
Resulta do Teorema 3.2 que se cada um dos vetores não-nulos w1 , . . . wr tem uma coordenada diferente de zero e a
mesma coordenada é zero em todos os vetores seguintesa ele nesta lista então {w1 , . . . wr } é L.I.
EXEMPLO 9.1 Sejam v1 = H0, 1, 2, 3, 4<, v2 = H0, 0, 0, 1, 2, 3L e v3 = H0, 0, 0, 0, , 1L . Neste caso, a
segunda coordenada de v1 é 1mas a segunda coordenada de v2 e v3 são nulas. A terceira coordenada de v2 é 1 mas a
terceira coordenad de v3 é zero. Logo 8v1 , v2 , v3 <
Õ
5 é um conjunto L. I..
O critério acima enunciado, que garante a independência linear dos vetores w1 , . . . wr œ n , pode ser refraseado
assim: a primeira coordenada não-nula de cada wi tem índice menor do que a primeira coordenada não-nula dos
vetores subseqüentes wi + 1 , . . . wr .
Se, para cada i = 1,... , r, escrevermos wi = Hai1 , . . . ain L, teremos uma matriz a = @aij D œ M(r x n), cujos r vetoreslinha são w1 , . . . wr . Diremos que essa matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada uma de
suas linhas está à esquerda do primeiro elemento não-nulo de cada uma das linhas subseqüentes e, além disso, as
linhas nulas (se houver) estão abaixo das demais.
Com esta definição, podemos dizer que as linhas não-nulas de uma matriz escalonada são vetores linearmente
independentes, ou seja, uma matriz escalonada r x n tem posto r se suas linhas forem todas diferentes de zero.
i0
j
1 3 7 2y
j
i
j
j
z
0
j
j
z
j
j
z
j
0
2
5
1
e
j
z
j
j
z
j
j
z
0
j
j
j
k0 0 0 3{
k0
EXEMPLO 9.2 As matrizes abaixo são escalonadas:
Ambas têm posto 3.
1
0
0
0
2
4
0
0
3
5
6
0
1
2
3
0
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
2
Rijo AL Capítulo 9.nb
As seguintes modificações, chamadas operações elementares, leram os vetores v1 ,. .. , vm
, v' m
œ n em vetores v' 1 ,. ..
œ n que grram o mesmo subespaço: S (v'1 ,. .. , v'm ) = S (v1 ,. .. , vm ).
(1) Trocar a posição de dois vetores vi , v j (i < j) na lista dada. Esta operaeração é esquematizada como
Hv1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vm L Ø Hv1 , . . . , v j , . . . , vi , . . . , vm L
(2) Somar a um dos vetores um múltiplo de outro vetor da lista, ou seja, substituir v j por v' j = v j + a vi , i ∫ j.
Em termos da matriz cujas linhas são os vetores dados, estas ~rações elementares se exprimem assim:
(1) Trocar a posição de duas linhas;
( 2) Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Portanto, o subespaço gerado pelas linhas (ou seja,. o espaçolha) de uma matriz não se altera quando essas duaE
operações eleentares são aplicadas a essa matriz.
Processo de eliminação
Descreveremos a seguir o processo de eliminação (ou escalonamto), o qual, mediante aplicações sucessivas das
duas operações elementares às linhas de uma matriz, produz uma matriz escalonada. O procedimento é o seguinte:
(a) Se a11 ∫ 0, o processo começa deixando a primeira linha intacta e somando a cada linha Li , com i ¥ 2, a
pitimeira linha: multiplicada -ai1 ê a11 . Com isto se obtém uma maí,rlz cuja primeira coluna é Ha11 , 0, . . . , 0L.
(b) Se a11 ∫ 0, uma troca de linhas fornece uma matriz com a a11 ∫ 0, desde que a primeira coluna não seja
nula. Se, porém, todos os elementos da primeira coluna são iguais a zero, passa-se para a segunda coluna ou, mais
geralmente, para a coluna mais próxima, à direita da meira, onde haja algum elemento não-nulo e opera-se como
antes, de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna não-nula começa com elemento ∫ 0 mas todos osdemais
são iguais a zero. A partir dai não se mexe mais na primeira linha.Recomeça-se o processo. trabalhando com as
linhas a partir da segunda, até obter uma matriz escalonada.
EXEMPLO 9.3 Sejam os vetores v1 = H1, 2 , 3, 4L, v2 = H5, 6, 7, 8L e v3 = H9, 10, 11, 12L em 4 Indicamos
abaixo a seqüência de operações elementares efetuadas sobre a matriz cujas linhas são estes vetores, conduzindo a uma
matriz escalonada
1 2 3 4 y
i
j
z
j
j
z
5 6 7 8 z
L - 5 L1 e L3 - 9L1
j
z
j
z
j
z 2
k 9 10 11 12 {
1 2
3
4 y
i
j
z
j
z
j
z
0
−4
−8
−12
j
z L3 Ø 2 L2
j
z
j
z
k 0 −8 −16 −24 {
1 2
3
4 y
i
j
z
j
z
j
z
0
−4
−8
−12
j
z
j
z
j
z
0
0 {
k0 0
Como a matriz escalonada final tem duas linhas diferentes de zero, os três vetores dados geram um subespaço vetorial
de dimensão 2 em 4 e w1 = (1, 2, 3, 4), w2 = (0, -4, -8, -12) formam uma base desse subespaço.
RowReduce[m] escalona a matrix m com os elementos ∫ 0 da diagonal principal igual a 1.
In[19]:=
H∗ A matrix formada pelos vetores v1 , v2 e v3 dados ∗L
matA = 881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<< ;
Rijo AL Capítulo 9.nb
In[20]:=
3
H∗ A matrix A ∗L
MatrixForm@matAD
i1 2 3 4 z
y
j
j
j
z
5 6 7 8 z
j
z
j
z
j
z
9
10
11
12
k
{
Out[20]//MatrixForm=
In[21]:=
H∗ Escalona a matriz A ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
1 0 −1 −2 y
i
j
z
j
j
z
0 1 2
3 z
j
z
j
z
j
z
0
0
0
0
k
{
Out[21]//MatrixForm=
Os vetores (1, 0, -1, -2) e (0, 1, 2, 3) são linearmente idependentes e formam uma bse de um subespaço de dimensão 2
em 4 .
EXEMPLO
9.4
Consideremos os vetore w1 = H1, 2, 3, 4L, w2 = H2, 1, 3, 0L e w3 = H3, 4, 2, 0L e
w4 = H4, 2, 0, 1L em 4 Indicamos abaixo a seqüência de operações elementares efetuadas sobre a matriz cujas
linhas são estes vetores, conduzindo a uma matriz escalonada
0
i
j
j
j
2
j
j
j
j
j
3
j
j
j
k4
5/2 L2
i2
j
j
j
0
j
j
j
j
j
0
j
j
j
k0
1
1
4
2
2
3
2
0
3y
z
z
0z
z
z
z L2 Ø L1
z
6z
z
z
z
1{
1
3
0
1
2
3
0 −15 ê 2 −15 ê 2
0
−6
1
2
i
j
j
j
0
j
j
j
j
j
3
j
j
j
k4
1
1
4
2
3
2
2
0
y
z
z
z
z
z
z
L4 - 4/5 L3
z
z
z
z
z
{
0y
z
z
3z
z
z
z L3 - 3/2 L2 , L4 - 2 L1
z
6z
z
z
z
1{
i2
j
j
j
0
j
j
j
j
j
0
j
j
j
k0
1
3
0
1
2
3
0 −15 ê 2 −15 ê 2
0
0
7
2
1
3
i
j
j
j
0
1
2
j
j
j
j
j
0
5
ê
2
−5
ê2
j
j
j
0
0
−6
k
0y
z
z
3z
z
z
z L3 z
0z
z
z
z
1{
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
Concluímos que os quatro vetores dados são L.I., portanto constituem uma base de 4 . Além disso, vemos que os
vetores w1 = (2, 1 ,3, 0), w2 = (0, 1, 2, 3), w3 = (0, 0, - 15/2, - 15/2]) e w4 = (0 ,0, 0, 7) também formam uma base de
4 .
In[78]:=
In[79]:=
H∗ A matrix formada pelos vetores w1 , w2 , w3 e w4 dados ∗L
matA = 880, 1, 2, 3<, 82, 1, 3, 0<, 83, 4, 2, 0<, 84, 2, 0, 1<<;
H∗ A matrix A ∗L
MatrixForm@matAD
0
i
j
j
j
j
j2
j
j
j
3
j
j
j
k4
Out[79]//MatrixForm=
1
1
4
2
2
3
2
0
3y
z
z
0z
z
z
z
z
0z
z
z
z
1{
4
Rijo AL Capítulo 9.nb
In[80]:=
H∗ Escalona a matriz A ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
i1
j
j
j
0
j
j
j
j
j
0
j
j
j
k0
Out[80]//MatrixForm=
0
1
0
0
0
0
1
0
0y
z
z
0z
z
z
z
z
0z
z
z
z
1{
Os vetores w1 , w1 , w1 e w1 dados são linearmente idependentes e formam uma base de 4 .
Cálculo do posto de uma transformação linear
Dada a transformação linear A: n Ø m a base de Im(A) é formada pelas colunas da matriz escalonada obtida da
matriz A ou sobre as linhas da matrz transposta de A. O núcleo de A é a dimensão da base de Im(A).
EXEMPLO 9.5 Obter uma base para a imagem da transformação linear A: 3 Ø 4 , definida por
A(x, y, z) = (x + 5 y + 9 z, 2x + 6 y + 10 z, 3x + 7 y + 11z, 4x + 8y + 12z).
In[42]:=
In[43]:=
H∗ A matrix formada pelos vetores w1 , w2 , w3 e w4 dados ∗L
matA = 881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<<;
H∗ A matrix A ∗L
MatrixForm@matAD
1 2 3 4 y
i
j
z
j
j
z
5 6 7 8 z
j
z
j
z
j
z
k 9 10 11 12 {
Out[43]//MatrixForm=
In[44]:=
H∗ Escalona a matriz A ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
1 0 −1 −2 y
i
j
z
j
j
z
0 1 2
3 z
j
z
j
z
j
z
0 {
k0 0 0
Out[44]//MatrixForm=
A transformação A tem posto 2.
NullSpace[m] dá a lista dos vetores que formam o núcleoescalona a matrix m com os elementos ∫ 0 da diagonal principal igual a 1.
In[39]:=
Out[39]=
In[46]:=
Out[46]=
H∗ Uma base do núcleo da matriz A ∗L
NullSpace@matAD
882, −3, 0, 1<, 81, −2, 1, 0<<
H∗ Posto da matriz A ∗L
Length@NullSpace@matADD
2
Resolução de sistemas lineares
Rijo AL Capítulo 9.nb
5
œ m (correspondente à matriz b) pertence ao subespaço gerado pelas colunas de a. Isto equivale a dizer que a matriz aumentada [a; b] œ M( m x (n + 1)) tem o
O sistema ax = b possui solução se, e somente se, o vetor b
mesmo posto que a matriz a do sistema.
O sistema ax = b, com a œ M(m x n), x œ M(n x l) e b œ M( m x l), admite as seguintes alternativas:
(1) Não possui solução quando o posto da matriz aumentada [a; b] é maior do que o posto de a;
(2) Possui uma única solução quando a matriz a e a matriz aumentada [a; b] têm o mesmo posto, igual ao número
n de incógnitas;
(3) Possui infinitas soluções quando se tem posto [ œ; b] = posto a = r < n. Neste caso, o conjunto das soluções é
uma variedade afim de dimensão n - r.
O processo de eliminação se baseia na observação de que ao efetuar uma operação elementar sobre as linhas da
matriz aumentada [a;b] obtém-se uma matriz [a'; b'] que é a matriz aumentada de um sistema a'x = b', equivalente
ao sistema original ax = b. (Dois sistemas se dizem equivalentes quando possuem o mesmo conjunto de soluções.)
No final do processo, obtém-se um sistema a'x = b', equivalente ao sistema proposto ax = b, no qual a matriz [a';
b'] é escalonada. (Isto é o mesmo que dizer que a' é escalonada.) O sistema a'x = b' é facilmente resolvido de baixo
para cima: acha-se primeiro o valor da última incógnita, substituindo-a por esse valor na equação anterior e assim
por diante.
Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 9.6 Consideremos o sistema
y + 2z + 3t = 1
2x + y + 3z
=1
3x + 4y + 2z
=1
4x + 2y
In[47]:=
In[48]:=
+ t=1
H∗ A matrix aumentada do sistema dado ∗L
matA = 880, 1, 2, 3, 1<, 82, 1, 3, 0, 1<, 83, 4, 2, 0, 1<, 84, 2, 0, 1, 1<<;
H∗ A matrix matA ∗L
MatrixForm@matAD
0
i
j
j
j
j
j2
j
j
j
3
j
j
j
k4
Out[48]//MatrixForm=
1
1
4
2
2
3
2
0
3
0
0
1
1
1
1
1
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
6
Rijo AL Capítulo 9.nb
In[49]:=
H∗ Escalonamento da matriz aumentada ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
i1
j
j
j
j
j
j0
j
j
j
j
0
j
j
j
j
j
k0
Out[49]//MatrixForm=
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
y
z
z
z
0 z
z
z
z
z
1 z
z
z
5 z
z
z
1 z
5 {
1
5
A solução do sistema é x = 1/5, y = 0, z = 1/5, t = 1/5
O Mathematica resolve diretamente o sistema com o comando LinearSolve[m, b].
LinearSolve[m, b] acha um vetor x que resolve a equação matricial m.x == b.
In[54]:=
In[56]:=
Out[56]=
H∗ A matrix do sistema e o vetor b ∗L
matA = 880, 1, 2, 3<, 82, 1, 3, 0<, 83, 4, 2, 0<, 84, 2, 0, 1<<;
b = 81, 1, 1, 1<;
H∗ Resolve o sistema de equações lineares ∗L
LinearSolve@matA, bD
9
1
1
1
, 0,
,
=
5
5
5
EXEMPLO 9.7 Determinar a solução do sistema caso exista
x + 2 y - 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y - 2z = 12
In[57]:=
In[59]:=
H∗ A matrix do sistema e o vetor b ∗L
matA = 881, 2, −3<, 82, 3, 4<, 84, 7, −2<<;
b = 84, 5, 12<;
H∗ Resolve o sistema de equações lineares ∗L
LinearSolve@matA, bD
LinearSolve::nosol :
Linear equation encountered which has no solution. More…
Out[59]=
LinearSolve@881, 2, −3<, 82, 3, 4<, 84, 7, −2<<, 84, 5, 12<D
O Sistema dado não tem solução.
In[60]:=
In[61]:=
H∗ A matrix aumentada do sistema dado ∗L
matA = 881, 2, −3, 4<, 82, 3, 4, 5<, 84, 7, −2, 12<<;
H∗ A matrix matA ∗L
MatrixForm@matAD
1 2 −3 4 y
i
j
z
j
j
z
2
3 4
5 z
j
z
j
z
j
z
4
7
−2
12
k
{
Out[61]//MatrixForm=
Rijo AL Capítulo 9.nb
In[62]:=
7
H∗ Escalonamento da matriz aumentada ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
i 1 0 17 0 z
y
j
j
j
z
0 1 −10 0 z
j
z
j
z
j
z
0
0
0
1
k
{
Out[62]//MatrixForm=
O sistema dado é equivalente ao sistema
x
+ 0 y + 17 z = 0
0x +
y - 10 z = 0
0x + 0y + 0z = 1
que obviamente não tem solução.
EXEMPLO 9.8 Determinar a solução do sistema caso exista
x + 2 y + 3z + 4 t = 1
5x + 6y + 7z + 8t = 2
9x + 10y + 11z + 12t = 3
In[63]:=
In[65]:=
Out[65]=
In[66]:=
In[67]:=
H∗ A matrix do sistema e o vetor b ∗L
matA = 881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<<;
b = 81, 2, 3<;
H∗ Resolve o sistema de equações lineares ∗L
LinearSolve@matA, bD
9−
1
3
,
, 0, 0=
2
4
H∗ A matrix aumentada do sistema dado ∗L
matA = 881, 2, 3, 4, 1<, 85, 6, 7, 8, 2<, 89, 10, 11, 12, 3<<;
H∗ A matrix aumentada ∗L
MatrixForm@matAD
1 2 3 4 1y
i
j
z
j
j
z
5 6 7 8 2z
j
z
j
z
j
z
k 9 10 11 12 3 {
Out[67]//MatrixForm=
In[68]:=
H∗ Escalonamento da matriz aumentada ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
1 0 −1 −2 − 12
i
j
j
j
j
3
j
0 1 2
3
j
4
j
j
j
0
0
k0 0 0
Out[68]//MatrixForm=
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
8
Rijo AL Capítulo 9.nb
EXEMPLO 9.9 Achar a base para o nucleo da transformada linear cuja matriz (nas bases canônicas) é
1 2 3 1 2y
i
j
z
j
j
z
3 4 5 3 4z
a= j
z
j
z
j
z
k 1 0 −1 1 0 {
In[73]:=
In[74]:=
Out[74]=
matA = 881, 2, 3, 1, 2<, 83, 4, 5, 3, 4<, 81, 0, −1, 1, 0<<;
H∗ Acha a base do núcleo de matrix A ∗L
NullSpace@matAD
880, −1, 0, 0, 1<, 8−1, 0, 0, 1, 0<, 81, −2, 1, 0, 0<<
A base do nécleo da transformação dada é formada pelos vetores w1 = H0, −1, 0, 0, 1L,
w1 = H−1, 0, 0, 1, 0L, w1 = H1, −2, 1, 0, 0L.
O método de Gauss-Jordan
O método de eliminação que vimos utilizando é também chamado "método de Gauss". Existe ainda o "método de
Gauss-Jordan".
Ele continua a eliminação iniciada pelo método de Gauss, chegando no final a uma matriz escalonada, com a
propriedade adicional de que, acima e abaixo do primeiro elemento não-nulo de cada linha, todos os elementos são
iguais a zero. Se a matriz for (quadrada e) invertível, o primeiro elemento não-nulo de cada linha da matriz escalonada está sobre a diagonal. Portanto, neste caso, o método de Gauss-Jordan produz uma matriz cujos elementos
não-nulos constituem a diagonal.
O método de Gauss-Jordan tem apenas interesse acadêmico. Ele não é usado na prática.
EXEMPLO 9.10 Achar a base para o nucleo da transformada linear cuja matriz (nas bases canônicas) é
0
i
j
j
j
j
j2
a= j
j
j
3
j
j
j
k4
In[81]:=
In[82]:=
2
3
2
0
3y
z
z
0z
z
z
z
z
0z
z
z
z
1{
H∗ A matrix formada pelos vetores w1 , w2 , w3 e w4 dados ∗L
matA = 880, 1, 2, 3<, 82, 1, 3, 0<, 83, 4, 2, 0<, 84, 2, 0, 1<<;
H∗ A matrix A ∗L
MatrixForm@matAD
0
i
j
j
j
2
j
j
j
j
j
3
j
j
j
k4
1
1
4
2
1
i
j
j
j
j
j0
j
j
j
0
j
j
j
k0
0
1
0
0
Out[82]//MatrixForm=
In[83]:=
1
1
4
2
2
3
2
0
3y
z
z
0z
z
z
z
z
0z
z
z
z
1{
H∗ Faz o sscalonamento da matriz A ∗L
RowReduce@matAD êê MatrixForm
Out[83]//MatrixForm=
0
0
1
0
0y
z
z
0z
z
z
z
z
0z
z
z
z
1{
Rijo AL Capítulo 9.nb
9
Método prático para calcular a inversa a-1
Acrescenta-se a matriz identidade In à direita de a, de modo a ter uma matriz aumentada n x 2n:
a11 a12 . . . a1 n
i
j
j
j
j
j a21 a22 . . . a2 n
j
j
j
.
.
.
.
j
j
j
j
j
.
.
.
.
j
j
j
j
j
.
.
.
.
j
j
a
.
.
.
a
a
nn
k n1 n2
1
0
.
.
.
0
0 ...
1 ...
.
.
.
.
.
.
0 ...
0y
z
z
0z
z
z
z
z
.z
z
z
z
z
.z
z
z
z
z
.z
z
z
1{
Em seguida aplicam-se operações elementares às linhas dessa matriz aumentada de modo a reduzir a matriz a à
identidade In , chegando-se a
:
A matriz @xij D à direita é a inversa de a.
1
i
j
j
j
j
j0
j
j
j
.
j
j
j
j
j
.
j
j
j
j
j
j
j.
k0
0 ...
1 ...
.
.
.
.
.
.
0 ...
0 x11 x12 . . . x1 n y
z
z
0 x21 x22 . . . x2 n z
z
z
z
z
. .
.
.
. z
z
z
z
z
. .
.
.
. z
z
z
z
z
. .
.
.
. z
z
z
1 xn1 xn2 . . . xnn {
O Mathematica calcula a inversa de uma matriz invertível com o comando Inverse[m].
Inverse[m] acha a inversa de uma matriz quadrada m.
EXEMPLO 9.11 Achar a inversa da matriz
2 4 3 y
i
j
z
j
j
z
0 1 −1 z
j
z
j
z
j
z
k3 5 7 {
In[97]:=
In[96]:=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 882, 4, 3<, 80, 1, −1<, 83, 5, 7<<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
Inverse@matAD êê MatrixForm
Out[96]//MatrixForm=
4 − 13
i
3
j
j
j
j
5
j −1
j
3
j
j
j
j
2
−1
k
3
−
7
3
2
3
2
3
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
10
Rijo AL Capítulo 9.nb
Exercícios
9.1 [8.1]. Determine o posto da a matriz
Resposta:
In[98]:=
In[100]:=
Out[100]=
1 2 3 4 y
i
j
z
j
j
z
5 6 7 8 z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
9
10
11
12
j
z
j
z
j
z
k 13 14 15 16 {
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<, 813, 14, 15, 16<<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
Length@NullSpace@matADD
2
O posto é 2.
9.1 [8.1]. Decida se as matrizes abaixo são invertíveis ou não. No caso afirmativo, determine a(s) inversa(s). Caso uma
delas (digamos a) não seja invertível, ache uma matriz x œ M(3 x l) tal que ax = 0:
1 2 3y
2 4 3 y
i
i
j
z
j
z
j
j
j4 5 9 z
z
j
z
0 1 −1 z
a= j
e
b
=
z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
1
3
4
3
5
7
k
{
k
{
Resposta:
In[101]:=
In[102]:=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 881, 2, 3<, 84, 5, 9<, 81, 3, 4<<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
Inverse@matAD êê MatrixForm
Inverse::sing : Matrix 881, 2, 3<, 84, 5, 9<, 81, 3, 4<< is singular. More…
Inverse@881, 2, 3<, 84, 5, 9<, 81, 3, 4<<D
Out[102]//MatrixForm=
In[104]:=
In[105]:=
H∗ Define a matriz B ∗L
matB = 882, 4, 3<, 80, 1, −1<, 83, 5, 7<<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
Inverse@matBD êê MatrixForm
Out[105]//MatrixForm=
4 − 13
i
3
j
j
j
j
5
j
−1
j
3
j
j
j
j
2
−1
k
3
−
7
3
2
3
2
3
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
Rijo AL Capítulo 9.nb
11
A matriz a não é invertivel enquanto que a matriz b é invertivel
9.5 Calcule a dimensão do subespaço vetorial de 5 gerado pelos vetores v1 = (2, 4, 8, -4, 7), v2 = (4, -2, -1, 3, 1), v3
= (3, 5, 2, -2, 4) e v4 = (-5, 1, 7, -6, 2). Decida se o vetor b = (6, 18, 1, -9, 8) pertence ou não a esse subespaço.
In[121]:=
In[112]:=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA =
882, 4, 8, −4, 7<, 84, −2, −1, 3, 1<, 83, 5, 2, −2, 4<, 85, 1, 7, −6, 2<<;
MatrixForm@matAD
2 4
8 −4 7
i
j
j
j
4
−2
−1
3 1
j
j
j
j
j
3
5
2
−2
4
j
j
j
7 −6 2
k5 1
Out[112]//MatrixForm=
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
In[124]:=
H∗ Faz o escalonamento da matriz A ∗L
matB = RowReduce@matAD;
In[125]:=
MatrixForm@matBD
1
i
j
j
j
j
j
j0
j
j
j
j
j
0
j
j
j
j
j
k0
Out[125]//MatrixForm=
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
29
282
71
94
139
141
145
141
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
A dimensão do subespaço gerado pelos vetores dados é 4
O posto é 2.
9.11.Resolva os seguintes sistemas lineares:
x + 3y + z =1
2x + 6y + 9 z = 7
2x + 8y + 8z = 6
x + y + 0z+t =0
x + 2y + z + t = 1
3x + 3y + z + 2t = -1
0x + y + 3z - t = 3
x + y - z + 2t = 0
0x + 3y - z + 3t = 0
2x Resposta:
y - z + t = 0
12
Rijo AL Capítulo 9.nb
In[126]:=
In[128]:=
Out[128]=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 881, 3, 1<, 82, 6, 9<, 82, 8, 8<<;
b = 81, 7, 6<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
LinearSolve@matA, bD
9
5
1
5
,− ,
=
7
7
7
A solução do primeiro sistema é (5/7, -1/7, 5/7)
In[129]:=
In[131]:=
Out[131]=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 881, 1, 0, 1<, 81, 2, 1, 1<, 83, 3, 1, 2<, 80, 1, 3, −1<<;
b = 80, 1, −1, 3<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
LinearSolve@matA, bD
8−2, −2, 3, 4<
A solução do segundo sistema é (-2, -2, 3, 4)
In[132]:=
In[134]:=
Out[134]=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 881, 1, −1, 2<, 80, 3, −1, 3<, 82, −1, −1, 1<<;
b = 80, 0, 0<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
LinearSolve@matA, bD
80, 0, 0, 0<
A solução do terceiro sistema é (0, 0, 0, 0)
9.14. Decida quais das matrizes abaixo possuem inversa e calcule a inversa quando existir.
1 2
A= J
N,
3 4
4 2 3y
i
j
j4 5 6 z
z
z
B= j
j
z
j
z,
j
z
7
8
8
k
{
i1 2 3 4 z
y
j
j
j
z
5 6 7 8 z
j
z
j
z
j
z,
C = j
j
z
9 10 11 12 z
j
z
j
z
j
z
k4 3 2 1 {
Resposta:
Inversa da matriz A
In[140]:=
In[141]:=
H∗ Define a matriz A ∗L
matA = 881, 2<, 83, 4<<;
H∗ Acha a inversa da matriz A ∗L
Inverse@matAD êê MatrixForm
−2 1
i
j
j 3
1
k 2 −2
Out[141]//MatrixForm=
Inversa da matriz B
y
z
z
{
i1
j
j
j
j2
j
D = j
j
j
3
j
j
j
k1
1
3
1
2
1
2
1
1
1y
z
z
1z
z
z
z
z
2z
z
z
z
3{
Rijo AL Capítulo 9.nb
In[145]:=
In[146]:=
13
H∗ Define a matriz B ∗L
matB = 884, 2, 3<, 84, 5, 6<, 87, 8, 8<<;
H∗ Acha a inversa da matriz B ∗L
Inverse@matBD êê MatrixForm
Out[146]//MatrixForm=
8
8
− 21
i
j
j 21
j
j
j − 10 − 11
j
21
21
j
j
j
j 1
6
k 7
7
1
7
4
7
− 47
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
Inversa da matriz C
In[153]:=
In[154]:=
H∗ Define a matriz C ∗L
matC = 881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<, 84, 3, 2, 1<<;
matC êê MatrixForm
i1 2 3 4 z
y
j
j
j
z
5 6 7 8 z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
9
10
11
12
j
z
j
z
j
z
k4 3 2 1 {
Out[154]//MatrixForm=
In[155]:=
H∗ Acha a inversa da matriz C ∗L
Inverse@matCD êê MatrixForm
Inverse::sing :
Matrix 881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<, 84, 3, 2, 1<<
is singular. More…
Inverse@881, 2, 3, 4<, 85, 6, 7, 8<, 89, 10, 11, 12<, 84, 3, 2, 1<<D
Out[155]//MatrixForm=
A matriz C não possui inversa.
Inversa da matriz D
In[157]:=
In[158]:=
H∗ Define a matriz D ∗L
matD = 881, 1, 1, 1<, 82, 3, 2, 1<, 83, 1, 1, 2<, 81, 2, 1, 3<<;
matD êê MatrixForm
1
i
j
j
j
j
j2
j
j
j
3
j
j
j
k1
Out[158]//MatrixForm=
In[159]:=
1
3
1
2
1
2
1
1
1y
z
z
1z
z
z
z
z
2z
z
z
z
3{
H∗ Acha a inversa da matriz D ∗L
Inverse@matDD êê MatrixForm
Out[159]//MatrixForm=
1
−2
i
6
j
j 3
j
j
2
j− 5
j
3
j
j 3
j
j
j 3 −1
j
j
2
j
j
j 1
1
−
k 3
3
1
2
0
−
1
2
0
−
1
6
1
3
− 12
1
3
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
CAPÍTULO 10
Produto Interno
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
O produto interno, que já foi mencionado brevemente antes, na definição do produto de duas matrizes, será
apresentado formalmente nesta seção e adotado sistematicamente a partir daqui. Trata-se de uma noção que
completa e enriquece a estrutura de um espaço vetorial, permitindo a utilização de uma linguagem geométrica
altamente sugestiva e o destaque de tipos especiais de operadores, os quais admitem uma análise mais profunda
de suas propriedades, como se verá a seguir.
Difinição de produto interno
um produto interno é uma função E x E Ø , que associa a cada par de vetores u, v œ E um número real X u, v \,
chamado o produto interno de u por v, de modo que sejam válidas as seguintes propriedades, para quaisquer u, u' ,
Um produto interno num espaço vetorial E é um funcional bilinear simétrico e positivo em E. Mais precisamente,
v, v' œ E e a œ l:X
Bilinearidade: X u + u', v \ =
X u, v \ + X u', v \, X au, v \ = a X u, v \,
X u, v + v' \ = X u, v \ + X u, v' \,
Comutatividade (simetria): X u, v \ = X v, u \;
X u, av \ = a X u, v \;
Positividade: X u, u \ > 0 se u ∫ 0.
Como X 0, v \ = X 0 + 0, v\ = X 0, v \ + X 0, v \, segue-se que X 0, v \ = X v, 0 \ = 0 para todo v œ E.
A operação u.v calcula o produto interno dos vetores euclidianos u e v.
Resulta da positividade que se X u, v \ =
0 para todo v œ E então u = 0.
Segue-se desta observação que se u, u' œ E são vetores tais que X u, v \ = X u', v \ para todo v œ E então u =
Difinição da norma de um vetor
u'.
è!!!!!!!!!!!!!!!
O número não-negativo | u | = X u, u \ chama-se a norma ou o comprimento do vetor u. Com esta notação,
tem-se | u »2 = X u, u \ e a igualdade
2
Rijo AL Capítulo 10.nb
X u + v, u + v \ =
u, v \.
A operação
X u, u \ + X u, v\ + X v, u \ + X v, v \ lê-se: | u + v
»2
= | u »2 + | v »2 + 2 X
è!!!!!!!
u.u calcula a norma do vetor u.
Quando | u | = 1 diz-se que u œ E é um vetor unitário.
Todo vetor u ∫ 0 se escreve como u = | u |. u', onde u' é um vetor unitário. Basta pôr u' = | u »-1
. u.
EXEMPLO 10.1 No espaço euclidiano n , o produto interno canônico dos vetores u = (a1 , . . ., an ) e v = ( b1 , . . .
, bn ) é definido por (u, v) = a1 b1 + . . + an bn . Este é o produto interno que consideraremos em n , salvo aviso em
contrário.
EXEMPLO 10.2 Consideremos 2 como o modelo aritmético do plano euclidiano, no qual se introduziu um sistema
de coordenadas cartesianas. Dados u = ( a1 , a2 ) e v = ( b1 , b2 ), os números
a22#
a21 +########
| u | = "########
e
| v | = "########
b22#
b21 +########
medem realmente os comprimentos das flechas que representam esses vetares
Ângulo entre dois vetores
Suponhamos u ∫ 0, v ∫ 0 e chamemos de q o ângulo formado por essas flechas. Afirmamos que o produto
interno X u, v \ = | u | | v | cosq.
EXEMPLO 10.3 Seja E = C0 ([a, b]) o espaço vetorial cujos elementos são as funções contínuas g, f: [a, b]
Um produto interno em E pode ser definido pondo
œ E.
X v, u \ = Ÿa f HxL gHxL „ x
b
Neste caso, a norma da função f é
2
„x
| f | = $%%%%%%%%%%%%%%%%
Ÿa f HxL %%%%%%%
b
Todo espaço vetorial de dimensão finita pode ser munido de um produto interno.
In[55]:=
<< LinearAlgebra`Orthogonalization`
Conjuntos ortogonal e ortonormal
Seja E um espaço vetorial com produto interno. Dois vetores u, v
lares) quando X u, v \
œ E chamam-se ortogonais (ou perpendicu-
= 0. Escreve-se, então, u t v. Em particular, 0 é ortogonal a qualquer vetor de E. Um
Õ E diz-se ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer em X são ortogonais. Se, além disso,
todos os vetores de X são unitários então X chama-se um conjunto ortonormal. Portanto, o conjunto X Õ E é
conjunto X
ortonormal se, e somente se, dados u, v
œ X tem-se X u, v \ = 0 se u ∫ v e X u, v \ = 1 se v = u. Uma
base ortonormal é uma base de E que é um conjunto ortonormal.
Rijo AL Capítulo 10.nb
3
Teorema 10.1. Num espaço vetorial E com produto interno, todo conjunto ortogonal X de vetores não-nulos é
L.I. .
EXEMPLO 10.4 A base canônica (e1 , . .. , en ) Õ n é ortonormal: tem-se X ei , e j \ = dij , onde dij = 0 se i ∫ j e
dij = 1 se i = j. No plano 2 os vetores u = (1, 1) e v = (- 1, 1) são ortogonais. Pondo
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
u ' = ( 2 ë 2, 2 ë 2) e v ' = ( - 2 ë 2, 2 ë 2)
o conjunto {u', v' } Õ 2 é uma base ortonormal.
Teorema de Pitágoras
Quando u e v são ortogonais, a igualdade | u + v »2 = | u »2 + | v »2 + 2 X u, v \ se torna | u + v »2 = | u »2 + | v »2
Esta é a versão do Teorema de Pitágoras para um espaço vetorial com produto interno.
Projeção ortogonal
unitário. Dado qualquer V œ E, o vetor X
u, v \ . u chama-se a projeção ortogonal de v sobre o eixo que contém u. A justificativa para esta denominação está no fato de que, escrevendo w = v - X u, v \ u, temse v = X u, v \ u + w, onde w é
perpendicular a u. Com efeito, tomando o produto interno de u por ambos os membros da igualdade w = v - X u,
v \u tem-se
Num espaço vetorial E com produto interno, seja u um vetor
X u, w \ = X u, v \ - X u, v \ X u, v \ = X u, v \ -X u, v \ = 0,
pois X u, u \ = 1.
Quando se tem apenas u ∫ 0, o eixo que contém u é o mesmo que contém o vetor unitário u' = u/| u | ( = | u »-1 .
u ). A projeção ortogonal de v sobre este eixo é, portanto, igual a X u', v \ u', ou seja, (X u, v \ / X u, u \) . u. Usaremos a notação
X u, v \
pru HvL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ . u
X u, u \
para indicar a projeção ortogonal do vetor v sobre o eixo que contém o vetor não-nulo u.
Desigualdade de Schwartz
Se z = pru HvL tem-se v = z + w, com w z. Pelo Teorema de Pitágoras, | v »2 = | z »2 + | w »2 . Em particular vemos
que | z | § | v |, isto é, o comprimento da projeção pru HvL é menor do que ou igual ao comprimento de v.
Ora, a norma do vetor pru HvL é igual a | X
u, v \ |/| u | § | v | ou seja
u, v \ |/| u |.
Segue-se então que, para quaisquer u, v œ E, tem-se , | X
|X
u, v \ | § | u |. | v |
Distância entre dois vetores
Num espaço vetorial E munido de produto interno, a distância entre os vetores u, v é por definição d(u, v) = | u - v
|. Tem-se d(u, u) = 0, d(u, v) > 0 se u ∫ v, d(u, v) = d(v, u) e d(u, w) § d(u, v) + d(v, w).
4
Rijo AL Capítulo 10.nb
Processo de ortogonalização de Gram - Schmidt
O processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, um algoritmo que ensina a passar de uma base qualquer
8v1 , . . ., vn <
Õ E para uma base ortonormal
propriedade de que, para m = 1, . .. ,n,
v1 , . . ., vm .
Dada a base 8v1 , . . ., vn <
8u1 , . . . , un < ...
, un}
Õ E, com a importante
os vetores u1 , . . . , um pertencem ao subespaço Fm , gerado por
Õ E, obteremos primeiro uma base ortogonal 8w1 , . . .,
= w1 ê » w1 », . . . , un = wn ê » wn » para chegar à base ortonormalizada 8u1 , . . ., un <
wn <
Õ E e depois poremos u1
ÕE.
Começamos o processo tomando w1 = v1 e prosseguimos por indução. Suponhamos já obtidos os vetores não-nulos w1 , . . ., wm , dois a dois ortogonais, gerando o subespaço Fm , o mesmo que é gerado por v1 , . . ., vm . Definimos wm + 1 pondo
wm + 1 = vm + 1 - ‚
i=1
m
<wi , wm + 1 >
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
<wi , wi >
wi
Um cálculo simples mostra que wm + 1 é ortogonal a w1 , . . ., wm . Além disso, wm + 1 ∫ 0 porque wm + 1 não
pertence ao subespaço Fm gerado por w1 , . . ., wm (ou por v1 , . . ., vm ). E, finalmente, wm + 1 pertence ao subespaço gerado por {w1 , . . ., wm , wm + 1 }, o qual é igual a Fm + 1 . Isto completa o processo.
<<LinearAlgebra`Orthogonalization`
GramSchmidt[vectors] realiza o processo de ortogonalização de GramSchidt de um lista de vetores.
Exercícios
10.1 [10.6]. Sem fazer cálculo algum, diga quais são as bases obtidas de V = Hv1 , v2 , v3 Lpelo processo de GramSchmidt nos seguintes casos
(a) v1 = (3, 0, 0), v2 = (-1, 3, 0), v3 = (2, -5, 1);
(b) v1 = (-1, 1, 0), v2 = (5, 0, 0), v3 = (2, -2, 3);
Resposta:
(a)
In[78]:=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 83, 0, 0<;
v = 8−1, 3, 0<;
w = 82, −5, 1<;
Rijo AL Capítulo 10.nb
In[81]:=
Out[82]=
5
H∗ Processo de ortogonalização de GramSchimdt ∗L
<< LinearAlgebra`Orthogonalization`
s = GramSchmidt@8u, v, w<D
881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 1<<
A base ortonormal de 3 procurada é {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
(b)
In[83]:=
In[86]:=
Out[87]=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 8−1, 1, 0<;
v = 85, 0, 0<;
w = 82, −2, 3<;
H∗ Processo de ortogonalização de GramSchimdt ∗L
<< LinearAlgebra`Orthogonalization`
s = GramSchmidt@8u, v, w<D
1
1
1
1
99− è!!! , è!!! , 0=, 9 è!!! , è!!! , 0=, 80, 0, 1<=
2
2
2
2
A base ortonormal de 3 procurada é {(-1 ë
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
2 , 1 ë 2 , 0), (1 ë 2 , 1 ë 2 , 0), (0, 0, 1)}.
Verificação que este resultado esta correto
In[88]:=
Out[88]=
In[89]:=
Out[89]=
In[90]:=
Out[90]=
In[91]:=
Out[91]=
In[92]:=
Out[92]=
In[93]:=
Out[93]=
s@@1DD.s@@1DD
1
s@@2DD.s@@2DD
1
s@@3DD.s@@3DD
1
s@@1DD.s@@2DD
0
s@@1DD.s@@3DD
0
s@@2DD.s@@3DD
0
10.1 [10.17]. Calcule três produtos internos entre os vetores u = (1, 0, -1), v = (4, 1, 4), w = (-3, 24, -3) e conclua que
eles são linearmente independentes.
Resposta:
In[1]:=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 81, 0, −1<;
v = 84, 1, 4<;
w = 8−3, 24, −3<;
6
Rijo AL Capítulo 10.nb
In[5]:=
H∗ Produto interno entre os vetores u, v, w∗L
u.v
u.w
v.w
Out[5]=
0
Out[6]=
0
Out[7]=
0
Segue dai que os vetores u, v, w são multualmente perpendiculares, portanto eles são linearmente independentes.
10.2 [10.18]. Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto {u,v,w} Õ 3 é ortnormal, apenas ortogonal ou
nenhum dos dois.
(a) u = (1, 2, 1), v = (1, -1, 1), w = (-1, 1, 2)
(b) u = (a, b, c), v = (-b, a, 0), w = (-ac, -bc, a2 + b2 )
(c) u = ÅÅÅÅ17 (2, 6, 3), v = ÅÅÅÅ17 (3, 2, -6), w = ÅÅÅÅ17 (6, -3, 2)
Resposta:
(a)
In[30]:=
In[33]:=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 81, 2, 1<;
v = 81, −1, 1<;
w = 8−1, 1, 2<;
H∗ Produto interno entre os vetores u, v, w∗L
u.v
u.w
v.w
Out[33]=
0
Out[34]=
3
Out[35]=
0
Os vetores u, v, w não são ortogonais.
(b)
In[48]:=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 8a, b, c<;
v = 8−b, a, 0<;
w = 8−a c, − b c, a2 + b2 <;
Rijo AL Capítulo 10.nb
In[45]:=
H∗ Produto interno entre os vetores u, v, w∗L
u.v êê Simplify
u.w êê Simplify
v.w êê Simplify
Out[45]=
0
Out[46]=
0
Out[47]=
0
In[51]:=
Out[51]=
Out[52]=
Out[53]=
H∗ Normas dos vetores u, v, w∗L
è!!!!!!!!!
u.u êê Simplify
è!!!!!!!!!
v.v êê Simplify
è!!!!!!!!!
w.w êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!
a2 + b2 + c2
è!!!!!!!!
!!!!!!!
a2 + b2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ha2 + b2 L Ha2 + b2 + c2 L
Os vetores u, v, w são apenas ortogonais.
(c)
In[20]:=
In[23]:=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
1
u=
82, 6, 3<;
7
1
v =
83, 2, −6<;
7
1
w=
86, − 3, 2<;
7
H∗ Produto interno entre os vetores u, v, w ∗L
u.v
u.w
v.w
Out[23]=
0
Out[24]=
0
Out[25]=
0
In[27]:=
H∗ Normas dos vetores u, v, w∗L
è!!!!!!!!!
u.u
è!!!!!!!!!
v.v
è!!!!!!!!!
w.w
Out[27]=
1
Out[28]=
1
Out[29]=
1
Os vetores u, v, w são ortonormais.
7
8
Rijo AL Capítulo 10.nb
10.3 [10.21]. Qual é a base ortonormal de 3 obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base {u, v, w}, onde u
= (2, 6, 3), v = (-5, 6, 24), w = (9, -1, -4)?
Resposta:
(a)
In[56]:=
In[60]:=
Out[60]=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 82, 6, 3<;
v = 8−5, 6, 24<;
w = 89, −1, −4<;
H∗ Processo de ortogonalização de GramSchimdt ∗L
<< LinearAlgebra`Orthogonalization`
s = GramSchmidt@8u, v, w<D
99
2
6
3
3
2
6
6
3
2
,
,
=, 9− , − ,
=, 9 , − ,
==
7
7
7
7
7
7
7
7
7
A base ortonormal de 3 procurada é {(2/7, 6/7, 3/7), (-3/7, -2/7, 6/7), (6/7, -3/7, 2/7)}.
Verificação que este resultado esta correto
In[61]:=
Out[61]=
In[62]:=
Out[62]=
In[63]:=
Out[63]=
In[64]:=
Out[64]=
In[65]:=
Out[65]=
In[66]:=
Out[66]=
s@@1DD.s@@1DD
1
s@@2DD.s@@2DD
1
s@@3DD.s@@3DD
1
s@@1DD.s@@2DD
0
s@@1DD.s@@3DD
0
s@@2DD.s@@3DD
0
10.3 [10.21]. Mesma pergunta do exercício anterior para u = (3, 4, 12), v = (7, -8, 15), w =( -15, 6, 44)?
Resposta:
(a)
In[67]:=
H∗ Os vetores u, v, w ∗L
u = 83, 4, 12<;
v = 87, −8, 15<;
w = 8−15, 6, 44<;
Rijo AL Capítulo 10.nb
In[70]:=
Out[71]=
H∗ Processo de ortogonalização de GramSchimdt ∗L
<< LinearAlgebra`Orthogonalization`
s = GramSchmidt@8u, v, w<D
99
3
4
12
4
12
3
12
3
4
,
,
=, 9
,−
,
=, 9−
,−
,
==
13
13
13
13
13
13
13
13
13
A base ortonormal de 3 procurada é {(3/13, 4/13, 12/13), (4/13, -12/13, 3/13), (-12/13, -3/13, 4/13)}.
Verificação que este resultado esta correto
In[72]:=
Out[72]=
In[73]:=
Out[73]=
In[74]:=
Out[74]=
In[75]:=
Out[75]=
In[76]:=
Out[76]=
In[77]:=
Out[77]=
s@@1DD.s@@1DD
1
s@@2DD.s@@2DD
1
s@@3DD.s@@3DD
1
s@@1DD.s@@2DD
0
s@@1DD.s@@3DD
0
s@@2DD.s@@3DD
0
9
CAPÍTULO 11
A Adjunta
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Mostraremos, nesta seção, como o produto interno nos permite associar a cada transformação linear A: E Ø F
uma nova transformação A *: F Ø E, chamada a adjunta de A. A adjunta nos dá, por assim dizer, uma visão da
transformação A sob um novo ângulo. Essa mudança de ponto de vista é reveladora, especialmente quando se
deseja determinar uma inversa de A .
Espaço dual E*
Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, dotado de um produto interno. Definimos uma transformação linear
E: E Ø E * fazendo corresponder a cada vetor v œ E o funcional linear E : v = v* , tal que v*(w) = Xw, v\ para
todo w œ E
Teorema 11.1. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. A correspondência E: E Ø E *
que associa a cada v
œ E o funcional linear E(v) = v*, tal que v*(w) = Xw, v\
para todo w
œ E, é um
isomorfismo.
Difinição de adjunta de A
A adjunta de A é uma transformação linear A *: F Ø E tal que, para v œ E e w œ F quaisquer se tenha:
XAv, w\ =
Xv, A*w\.
Transposta de uma matriz a
A transposta de uma matriz a = @aij D œ M(m x n) é a matriz aT
colunas de a e como colunas as linhas de a, na mesma ordem.
=
@a ji D
œ M(n x m) que tem como linhas as
2
Rijo AL Capítulo 11.nb
Transpose[m] acha a transposta da matriz m
Exemplo
In[2]:=
H∗ Matriz M ∗L
matM = 881, 2, 3<, 84, 5, 6<<;
MatrixForm@matMD
J
1 2 3
N
4 5 6
Out[3]//MatrixForm=
In[4]:=
H∗ Transposta da matriz M ∗L
Transpose@matMD êê MatrixForm
1 4y
i
j
z
j
z
j
z
j
j2 5z
z
j
z
k3 6{
Out[4]//MatrixForm=
Teorema 11.2. Sejam U = 8u1 , . . . , un < œ E e V = 8v1 , . . . , vn < œ F bases ortonormais. Se a = @aij D œ M(m x n)
é a matriz da transformação linear A: E Ø F nas bases U, V então a matriz da adjunta A*: F Ø E nas bases V, U
é a transposta aT = @a ji D
œ M(n x m) de a.
Corolário. Uma transformação linear A e sua adjunta A* têm o mesmo posto.
Propriedades operacionais da adjunta
É apresentada a seguir uma lista de propriedades operacionais da adjunta de uma transformação linear, as quais se
traduzem em propriedades da transposta de uma matriz, via Teorema 11.2.
I* = I
(A + B)* = A* + B*
(aA)* = aA*
(BA)* = A*B*
A** = A
HIn LT = In
(a + b LT = aT + bT
(a a LT = a aT
(ba LT = aT bT
(aT LT = a
A adjunta de um isomorfismo A: E Ø F é um isomorfismo A*: F Ø E. Além disso, de A-1 A = IE resulta A*
(A-1 ) * = IE logo (A* L-1 = (A-1 )*.
Analogamente, uma matriz quadrada a é invertível se, e somente se, sua transposta aT é invertível e, no caso
-1
afirmativo, HaT L = Ha-1 L T .
Complemento ortogonal
Rijo AL Capítulo 11.nb
3
As noções de retas e planos perpendiculares da Geometria Elementar se estendem em Álgebra Linear ao conceito
de complemento ortogonal, o qual ajuda a entender as relações entre uma transformação linear e sua adjunta.
Seja E um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio X
ÕEéo
conjunto XÆ formado pelos vetores v œ E que são ortogonais a todos os vetores x œ X. Portanto
v œ XÆ ó X v, x\ = 0 para todo x œ X.
·
·
·
Dado X
Õ E, temos X 0, x\ = 0 para todo x œ X, logo 0 œ XÆ .
Se v œ XÆ e a
œ  então X av, x \ = a X v, x \ = 0 para todo x œ X, portanto av œ XÆ .
Se u œ XÆ e v œ XÆ então, para todo x œ X, tem-se X u + v, x \ = X u, x \ + X v, x \ = 0, logo u + v
œ
XÆ .
Segue-se das três observações acima que o complemento ortogonal de qualquer conjunto não-vazio X
um subespaço vetoria! de E.
ÕEé
EXEMPLO 11.1 . Tem-se 80<Æ = E e EÆ = {0} Se F Õ n é o subespaço vetorial gerado pelo vetor não nulo v =
8a1 , . . . an < (reta que passa pela origem), o complemento ortogonal FÆ é o hiperplano definido pela equação
a1 x1 + . . . + an xn = 0.
Teorema 11.3. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno. Para todo subespaço
vetorial F Õ E tem-se a decomposição em soma direta E = F ∆ FÆ .
Corolário 1. dim F + dim FÆ
= dim E.
Corolário 2. Para todo subespaço vetorial F Õ E, tem-se HFÆ L = F.
Æ
Projeção ortogonal sobre F
Indicaremos com a notação Pf : E Ø E, ou simplesmente P: E Ø E, quando não houver perigo de confusão, a
projeção associada à decomposição E = F ∆ FÆ , a qual chamaremos a projeção ortogonal sobre F.
Teorema 11.4. Dada a transformação linear A: E Ø F, entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de
produto interno, tem-se
N(A*) = ImHALÆ .
Im(A*) = NHALÆ
N(A) = ImHA* LÆ
ImHAL = N HA* LÆ
4
Rijo AL Capítulo 11.nb
Seja A: E Ø F uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, munidos de produto interno.
(a) Se A é sobrejetiva então AA *: F Ø F é invertível e A * (AA* L-1 : F Ø E é uma inversa à direita de A.
(b) Se A é injetiva então A * A: E Ø E é invertível e (AA* L-1 A* é uma inversa à esquerda de A.
In[17]:=
? Inverse
Inverse@mD gives the inverse of a square matrix m. More…
Inverse[m] acha a inversa da matriz m.
Exercícios
11.2 Achar uma inversa à direita para a transformação linear A: 3 Ø 2 , dada por A (x, y , z) = (x + 2y + 3z, 2x - y z) e uma inversa à esquerda para a transformação linear B: 2 Ø 4 , onde A(x, y) = (x + 2y, 2x - y, x + 3y, 4x + y).
Resposta:
A inversa à direita da transformação A é dada por A * (AA* L-1
In[1]:=
In[2]:=
In[3]:=
H∗ Matriz da transformação A ∗L
matA = 881, 2, 3<, 82, −1, −1<<;
H∗ Transposta da matriz da transformação A ∗L
matAT = Transpose@matAD;
H∗ Calculo da inversa à direita da transformação A ∗L
invDA = [email protected] ;
MatrixForm@invDAD
Out[4]//MatrixForm=
4
31
i
25
75
j
j
j
j
8
3
j
−
j
25
75
j
j
j
j 1
1
k 5 − 15
In[5]:=
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
H∗ Verificação do resultado ∗L
matA.invDA êê MatrixForm
J
1 0
N
0 1
Out[5]//MatrixForm=
4
31
3
8
11
A inversa à direita da transformação A é A * (AA* L-1 = 8 ÅÅÅÅ
ÅÅ x + ÅÅÅÅ
ÅÅ y, ÅÅÅÅ
ÅÅ x - ÅÅÅÅ
ÅÅ y, ÅÅÅÅ15 x - ÅÅÅÅ
ÅÅ y<
25
75
25
75
15
A inversa à esquerda da transformação B é dada por (B*B L-1 B*
In[6]:=
H∗ Matriz da transformação B ∗L
matB = 881, 2<, 82, −1<, 81, 3<, 84, 1<<;
Rijo AL Capítulo 11.nb
In[7]:=
In[8]:=
5
H∗ Transposta da matriz da transformação B ∗L
matBT = Transpose@matBD;
H∗ Calculo da inversa à esquerda da transformação B ∗L
invIB = [email protected] ;
MatrixForm@invIBD
Out[9]//MatrixForm=
37
1
i
281
281
j
j
j
j 37
36
k 281 − 281
In[10]:=
−
6
281
59
281
53
281
6
− 281
y
z
z
z
z
{
H∗ Verificação do resultado ∗L
invIB.matB êê MatrixForm
J
1 0
N
0 1
Out[10]//MatrixForm=
A inversa à direita da transformação A é A * (AA* L-1 =
1
37
6
53
37
36
59
6
8 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ x + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ y - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ z + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ w , ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ y + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ z - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ w<
281
281
281
281
281
281
281
281
11.3 Dada a matriz a =J
1 1 1
N calcule aaT e, a partir daí, encontre uma matriz b œ M(3 x 2) tal que ab = I2 .
1 1 2
Resposta:
A inversa à direita da transformação A é dada por A * (AA* L-1
In[1]:=
In[2]:=
In[3]:=
H∗ Matriz a ∗L
matA = 881, 1, 1<, 81, 1, 2<<;
H∗ Transposta da matriz a ∗L
matAT = Transpose@matAD;
H∗ Calculo de aaT ∗L
matAAT = matA.matAT;
MatrixForm@matAATD
J
3 4
N
4 6
Out[4]//MatrixForm=
A matriz b = uma inversa à direita da matriz a e é dada por aT (aaT L-1
In[5]:=
H∗ Calculo da inversa à direita da a ∗L
matB = matAT.Inverse@matAATD ;
MatrixForm@matBD
1 − 12
i
j
j
j
j
j
1 − 12
j
j
j
k −1 1
Out[6]//MatrixForm=
y
z
z
z
z
z
z
z
z
{
6
Rijo AL Capítulo 11.nb
In[7]:=
H∗ Verificação do resultado ∗L
matA.matB êê MatrixForm
J
1 0
N
0 1
Out[7]//MatrixForm=
1 − 12
i
j
j
j
j
A matriz b = j
1 − 12
j
j
j
k −1 1
y
z
z
z
z
z
z
z
z
{
11.7. No espaço vetorial E das funções contínuas f: [-1, 1] Ø , sejam F, G Õ E os subespaços vetoriais formados
pelas funções pares e pelas funções ímpares, respectivamente. Relativamente ao produto interno X f, g\ =
1
Ÿ-1 f HxL gHxL „ x , em E, mostre que G é o complemento ortogonal de F.
Resposta:
Devemos mostrar que g œ F ó X g, f\ = 0 para todo f œ E.
Para isso basta observar que o produto de uma função par por uma função ímpar é uma funçãio ímpar e que a integral
de um função impar no intervalo [-1, 1] é identicamente zero.
11.20. Ache uma base para o complemento ortogonal do subespaço (plano) de 3 gerado pelos vetores u = (3, -1, 2) e
v = (-1, 2, 3).
Resposta:
Devemos achar um vetor perpendicular ao plano gerado pelos vetores u = (3, -1, 2) e v = (-1, 2, 3).
In[1]:=
Out[1]=
H∗ Plano gerado pelos vetore u e v ∗L
Solve@83 α − β + 2 γ == 0, −α + 2 β + 3 γ 0, α
99α → 1, β →
11
5
, γ → − ==
7
7
Assim, a equação do plano é x +
11
7
y−
5
7
1<D
z = 0 ou 7 x +11y -5 z = 0.
Portanto, o vetor de 3 perpendicular ao plano 7 x +11y -5 z = 0 é {7, 11, -5}. Consequentemente, este vetor é a base
do complemento ortogonal (reta) do plano gerado por u e v.
11.21. Dado o operador A : 3 Ø 3 , definido por A(x, y, z) = (x + y
+ z, 3x - 2y - z, -2x + 3y + 2z), obtenha
bases para os seguintes subespaços de 3 : Im( A), N(A), Im( A*) e N(A* ).
Resposta:
In[1]:=
H∗ Matriz da transformação A ∗L
matA = 881, 1, 1<, 83, −2, −1<, 8−2, 3, 2<<;
H∗ Base de N HAL ∗L
NullSpace@matAD
Primeiro vamos achar uma base de N(A).
In[2]:=
Out[2]=
88−1, −4, 5<<
O equação do plano perpendicular a N(A) é -x - 4y + 5z = 0. Dai, os vetores (1, 1, 1) e (0, 1/4, 1/5) formam um base
de NHALÆ . Como Im( A*) = NHALÆ , esses vetores também formam um base de Im( A*).
Agora vamos achar uma base de N(A* ).
Rijo AL Capítulo 11.nb
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
7
H∗ Transposta da matriz da transformação A ∗L
matAT = Transpose@matAD
881, 3, −2<, 81, −2, 3<, 81, −1, 2<<
H∗ Base de N HA∗
NullSpace@matATD
L
∗L
88−1, 1, 1<<
Im( A) = N HA * LÆ , esses vetores também formam um base de Im( A).
O equação do plano perpendicular a N(A* ) é -x + y + z = 0. Dai, os vetores (0, -1, 1) e (1, 1, 0) formam um base
de N(A* LÆ . Como
CAPÍTULO 12
Subespaços Invariantes
Inicia o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
Quanto menor é a dimensão do espaço E, mais fácil é estudar os operadores lineares A: E Ø E. (Isto é especialmente verdadeiro quando dim E = 1 ou dim E = 2.) Por isso, quando se tem um operador A: E Ø E, é natural que
se tente, de alguma maneira, "decompô-lo" em operadores definidos em subespaços de dimensões menores. O
passo inicial nessa busca é a noção de subespaço invariante por um operador, que estudaremos nesta seção.
Definição de subespaços invariantes
Diz-se que um subespaço vetorial F Õ E é invariante pelo operador linear A: E Ø E quando A(F) Õ F, isto é,
quando a imagem Av de qualquer vetor v œ F é ainda um vetor em F.
Autovetor e autovalor de um operador
Um vetor v ∫ 0 em E chama-se um autovetor do operador A: E Ø E quando existe l œ  tal que
Av = lv.
O número l œ  , por sua vez, chama-se um autovalor do operador A quando existe um vetor não-nulo vœ E tal
que Av = lv. Diz-se então que o autovalor l corresponde, ou pertence, ao autovetor v e, vice-versa, que o
autovetor v também corresponde, ou pertence, ao autovalor l. Então, para todo w = a v, tem-se Aw = lw.
Achar um autovetor (ou, o que é equivalente, um autovalor) do operador A é, portanto, o mesmo que achar um
subespaço de dimensão 1 invariante por A.
Autovetor e autovalor de uma matriz
Analogamente, diz-se que o número real l é um autovalor da matriz a œ M( n x n) quando l é um autovalor do
operador A: n Ø n , cuja matriz na base canônica é a. Isto significa que existe um vetor x ∫ 0 em n tal que Ax
= lx ou, o que é, o mesmo, uma matriz não-nula x œ M(n xl) tal que ax = lx.
2
Rijo AL Capítulo 12.nb
Exemplo 12.1 Os subespaços {0} e E são invariantes por qualquer operador A: E Ø E. O núcleo N(A) e a
imagem Im(A) são também exemplos óbvios de subespaços invariantes. Um subespaço F de dimensão 1 (reta passando pela origem) é invariante por A se, e somente se, existe um número l tal que Av = lv para todo v œ F.
Exemplo 12.2
Uma rotação R: 2 Ø 2 em torno da origem, de ângulo diferente de 0° e 180°, não admite
outros subespaços invariantes além de {0} e 2 . Por outro lado, para todo a œ ., a rotação A: 3 Ø 3 de ângulo a
em torno do eixo z, definida por
A(x, y, z) = (x cos a - y sen a, x sen a + y cos a, z),
tem o eixo z e o plano z = 0 como subespaços invariantes. Para todo z ∫ 0, o vetor v = (0, 0, z) é um autovetor de A,
cujo autovalor correspondente é 1, pois Av = v. Já no caso de uma reflexão S: E Ø E em torno do subespaço F1,
paralelamente a F2, todo vetor não-nulo em Fl é um autovetor de S, com autovalor 1, enquanto que os vetores não-nulos em F2 são autovetores correspondentes ao autovalor -1. Finalmente, se o operador A tem núcleo não-trivial então
todo vetor não-nulo v œ N(A) é um autovetor pois Av = 0. v.
Exemplo 12.3
O operador A: 2 Ø 2 , definido por A(x, y) = (x + ay, y), chama -se cisalhamento. Se a ∫
0, os únicos subespaços invariantes por A são {0}, 2 e o eixo das abcissas.
Teorema 12.1. Todo operador linear num espaço vetorial de dimensão finita possui um subespaço invariante de
dimensão 1 ou 2.
Teorema 12.2. A autovalores diferentes do mesmo operador correspondem autovetores linearmente
independentes.
Corolário. Seja dim E = n. Se um operador linear A: E Ø E possui n autovalores diferentes então existe uma base
8v1 , . . . vn <
œ E em relação à qual a matriz de A é diagonal (isto é, tem a forma @aijD com aij = 0 se i ∫ j).
Com efeito, se Av1 = l1 v1 , . . . , Avn = ln vn com os vi não-nulos e os li dois a dois distintos então 8v1 , . . . vn <
é, em virtude do Teorema 12.2, uma base de E. A matriz de A nesta base é
λ1
i
j
j
j
λ2
j
j
j
j
j
∏
j
j
j
λn
k
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
na qual os termos que não aparecem são iguais a zero.
A igualdade Av = lv equivale a (A - l)v = 0, logo v é um autovetor do operador A: E Ø E se, e somente se, é um
elemento nãonulo do núcleo N(A - lI). Noutras palavras, a fim de que À seja um
Polinômio característico
A igualdade Av = lv equivale a (A - l)v = 0, logo v é um autovetor do operador A: E Ø E se, e somente se, é um
elemento não nulo do núcleo N(A - l). Noutras palavras, a fim de que l seja um autovalor de A é necessário e
suficiente que o operador A - lI: E Ø E não possua inverso. Isto significa que, det(a - li) = 0 onde a é a matriz de
A em relação a qualquer base e i é a matriz identidade nesta mesma base. A equação det(a - li) = 0 é denominada de equação característica e o polinômio det(a - li) é chamado polinômio característico.
Rijo AL Capítulo 12.nb
Exemplo 12.4
3
Os autovalores e os autovetores do operador A: 2 Ø 2 , A(x, y, z) = (4x + y -z, 2x + 5y 2z, x + y + 2z) são obtidos assim: Primeiro, devemos escrever a matriz do operador A na base canônica. Em seguida
resolver a equação característica para achar os autovalores e por fim determinar os autovetores.
In[7]:=
H∗ Matriz do operador A ∗L
matA = 884, 1, −1<, 82, 5, −2<, 81, 1, 2<<;
MatrixForm@matAD
4 1 −1 y
i
j
z
j
j
z
2 5 −2 z
j
z
j
z
j
z
k1 1 2 {
Out[8]//MatrixForm=
In[11]:=
Out[12]=
H∗ Resolve a equação característica para determinar os autovalores ∗L
lenA = Length@matAD;
Solve@Det@matA − λ IdentityMatrix@lenADD 0, λD
88λ → 3<, 8λ → 3<, 8λ → 5<<
Os autovalores são λ1 = 3, λ2 = 3 e λ2 = 5.
In[13]:=
Out[13]=
Out[14]=
H∗ Resolve a equação característica para determinar os autovalores ∗L
NullSpace@matA − 3 IdentityMatrix@lenADD
NullSpace@matA − 5 IdentityMatrix@lenADD
881, 0, 1<, 8−1, 1, 0<<
881, 2, 1<<
Os autovetores correspondentes a λ1 = 3, λ2 = 3 e λ2 = 5 são,
respectivamente, 81, 0, 1<, 8−1, 1, 0<, 81, 2, 1<.
Como é de se esperar, o Mathematica calcula os autovalores e autovetores automaticamente coim os seguintes
comandos:
CharacteristicPolynomial[matM, var] retorna retorna o polinômio característico da matriz matM
expresso em termo da variável var.
Eigenvalues[matM] retorna a lista dos autovalores da matriz matM.
Eigenvectors[matM] retorna a lista dos autovetores da matriz matM.
Eigensystem[matM] retorna a lista na forma {autovalores, autovetores} da matriz matM.
Refazer o Exemplo 12.4 usando estes comandos.
In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
Out[17]=
H∗ Acha o polinômio característico da matriz do Exemplo 12.4 ∗L
CharacteristicPolynomial@matA, λD
45 − 39 λ + 11 λ2 − λ3
H∗ Retorna os autovalores da matriz do Exemplo 12.4 ∗L
Eigenvalues@matAD
85, 3, 3<
4
Rijo AL Capítulo 12.nb
In[18]:=
Out[18]=
In[19]:=
Out[19]=
H∗ Retorna os autovetores da matriz do Exemplo 12.4 ∗L
Eigenvectors@matAD
881, 2, 1<, 81, 0, 1<, 8−1, 1, 0<<
H∗ Retorna a lista dos
8autovalores, autovetores< da matriz do Exemplo 12.4 ∗L
Eigensystem@matAD
885, 3, 3<, 881, 2, 1<, 81, 0, 1<, 8−1, 1, 0<<<
Exemplo 12.5
Determinar os valores aproximados dos autovalores da matriz 10x10 definida por
aij = 9
In[20]:=
i + j - 1 se i + j § 11
21 - i - j se i + j > 11
H∗ Escreve a matriz aij ∗L
f@i_, j_D := i + j − 1 ê; i + j ≤ 11
f@i_, j_D := 21 − i − j ê; i + j > 11
matA = Array@f, 810, 10<D;
MatrixForm@matAD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y
i
j
z
j
j
z
2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
j
z
j
z
j
z
j
z
j
4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
j
z
j
z
j
z
j
j
z
7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 z
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
j
z
j
z
j
z
j
z
j
z
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
j
z
j
z
j
z
k 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 {
Out[23]//MatrixForm=
In[25]:=
Out[25]=
H∗ Retorna os valores aproximados dos autovalores da matriz aij ∗L
Eigenvalues@N@matADD
867.8404, −20.4317, 4.45599, −2.42592,
1.39587, −1., 0.756101, −0.629808, 0.55164, −0.512543<
Exemplo 12.6 Um caso particular importante ocorre quando dim E = 2. Vimos no Exemplo 2.6 que se {u,
v}Õ E é uma base então os vetores a u + b v e g u + d v são linearmente dependentes se, e somente se, ad - bg = 0.
Dados o operador A: E Ø E e a base {u, v} Õ E, sejam Au = au + cv e Av = bu + dv. Noutras palavras, a matriz do
operador A na base {u, v} é
J
a b
N
c d
Então (A - l I) u = (a - l)u + cv e (A - lI)v = bu + (d - l)v. Afim de que A - lI não seja invertível é necessário e
suficiente que os vetores (A - lI)u e (A - lI)v sejam L.D., ou seja, que (a - l)( d - l) - bc = 0, ou ainda, que l seja raiz
do polinômio
p(l) = l2 - (a +
d)l + ad - bc,
Rijo AL Capítulo 12.nb
5
chamado o polinômio característico do operador A.
Portanto, o número real l é um autovalor do operador A: E Ø E, onde dim E = 2, se, e somente se,
é uma raiz do polinômio característico do operador A, o qual, por definição, é p(l) = l2 - (a + d)l +
ad - bc, Os coeficientes dep(l) são tirados da matriz de A em relação a uma base qualquer de E.
Observação. A matriz do operador A muda quando se passa de uma base para outra. Mas o polinômio p(l) (isto é,
as expressões a + d e ad - bc, que são seus coeficientes) permanece (isto é, permanecem) sem alteração. No
presente caso (dim E =
2), é claro que a + d = traço de A, logo independe da base escolhida.
Exemplo 12.7
No caso da rotação R: 2 Ø 2 , R(x, y) = (x cos q - y sen q, x sen q + y cos q), b = - sen q, c
= sen q, d = cos q, logo o polinômio caracteristico de R é
p(l = l2 - H2 cos qL l + 1
Se q ∫ 0 e q ∫ 1800 , o trinômio p(l) não possui raiz real pois neste caso seu discriminante D = 4( cos2 q - 1) é
negativo. Conseqüentemente R só possui autovalores (reais) se q = 0 ou q = 1800 .
In[32]:=
H∗ Matriz do operador R ∗L
matR = 88Cos@θD, −Sin@θD<, 8Sin@θD, Cos@θD<<;
MatrixForm@matAD
J
Cos@θD −Sin@θD
N
Sin@θD Cos@θD
Out[33]//MatrixForm=
In[35]:=
Out[35]=
H∗ Acha o polinômio característico do operador R ∗L
CharacteristicPolynomial@matA, λD êê Simplify
1 + λ2 − 2 λ Cos@θD
Exemplo 12.8
Definamos o operador A: 2 Ø 2 pondo A(x, y) = (4x + 3y, x + 2y). Seu polinômio característico é p (l) =
- 6l + 5, cujas raízes são l1 = 1 e l2 = 5. Estes números são autovalores de A. Existem,
portanto, vetores não-nulos v1 , e v2 em 2 , tais que Av1 = v1 e Av2 = 5v2 . Pelo Teorema 12.2, v1 , e v2 formam uma
base de 2 , em relação à qual a matriz do operador A tem a forma diagonal:
l2
a =J
1 0
N
0 5
A fim de determinar os vetores v1 = (x, y) e v2 = (r, s) exprimimos as igualdades Av1 = v1 e Av2 = 5v2 em termos de
coordenadas, obtendo os sistemas lineares
4x + 3y = x
x + 2y = y
e
4r + 3s = 5r
r + 2s = 5s
Ambos os sistemas acima são indeterminados, e tinham que ser assim pois se v é autovetor de A, todo múltiplo av
6
Rijo AL Capítulo 12.nb
também é. Tomando uma solução não-nula de cada um desses sistemas obtemos v1 = (1, -1), v2 = (3,1) tais que {v1 ,
v2 } Õ 2 é uma base formada por autovetores de A.
Repetição do Exemplo 12.8 com o Mathematica.
In[26]:=
H∗ Matriz do operador A ∗L
matA = 884, 3<, 81, 2<<;
MatrixForm@matAD
J
4 3
N
1 2
Out[27]//MatrixForm=
In[28]:=
Out[28]=
In[29]:=
Out[29]=
H∗ Acha o polinômio característico da matriz do Exemplo 12.4 ∗L
CharacteristicPolynomial@matA, λD
5 − 6 λ + λ2
H∗ Retorna a lista dos
8autovalores, autovetores< da matriz do Exemplo 12.4 ∗L
Eigensystem@matAD
885, 1<, 883, 1<, 8−1, 1<<<
Exercícios
12.1 (12.19) O determinante da matriz a = J
a b
N é, por definição, o número det a = a d - b c. Mediante um
c d
cálculo direto, mostre que se
p q
m=J
N então det (a m) = det a. det m. Prove ainda que det a ∫ 0 se, e somente se, a é invertível. Conclua que,
r s
para toda matriz invertível m, tem-se det a = det( m-1 a m), logo todas as matrizes do operador A: E Ø E, com dim E =
2, têm o mesmo determinante, o qual é chamado o determinante do operador A.
Resposta:
In[147]:=
Out[149]=
In[150]:=
Out[150]=
H∗ Mostra que det Ha mL=det a.det m ∗L
matA = 88a, b<, 8c, d<<;
matM = 88p, q<, 8r, s<<;
[email protected] Det@matAD Det@matMD êê Simplify
True
H∗ Inversa de a se det a = a d − b c ∗L
Inverse@matAD
99
d
b
c
a
,−
=, 9−
,
==
−b c + a d
−b c + a d
−b c + a d
−b c + a d
De det( m-1 a m) = det m-1 det( a m) segue que det m-1 det a det m = det m-1 det m det a = det a, Portanto, det a =
det( m-1 a m).
Rijo AL Capítulo 12.nb
7
12.2 (12.20) Mostre que os subespaços vetoriais de C¶ (,  ) gerados por cada um dos conjuntos abaixo são invariantes pelo operador de deri
vação D: C¶ (, )ØC¶ (, ).
(a) {cos x, sen x};
(b) 8ex , x ex , x2 ex <.
Resposta:
Devemos mostrar que as imagens dos conjuntos {cos x, sen x} e 8ex , x ex , x2 ex < pelo operador derivação pertencem
a C¶ (, ). Com efeito,
(a) D({cos x, sen x}) = {-sen x, cos x}
Õ C¶ (, );
(b) D( 8ex , x ex , x2 ex <) = 8ex , H1 + xL ex , H2 x + x2 L ex <
Õ C¶ (, ).
12.3 (12.30) Sej a A: 2 Ø 2 o operador definido por A (x, y) = (y, 0). Quais são os autovalores de A? E os
0 1
autovetores? Se a = J
N
0 0
existe alguma matriz invertível p œ M (2 x 2) tal que p-1 ap seja uma matriz diagonal?
Resposta:
In[78]:=
H∗ Matriz do operador A ∗L
matA = 880, 1<, 80, 0<<;
MatrixForm@matAD
J
0 1
N
0 0
Out[79]//MatrixForm=
In[3]:=
Out[3]=
In[80]:=
Out[80]=
In[100]:=
Out[102]=
H∗ Retorna os autovalores do operador A ∗L
Eigenvalues@matAD
80, 0<
H∗ Retorna os autovetores do operador A ∗L
Eigenvectors@matAD
881, 0<, 80, 0<<
H∗ Determinação da matriz p ∗L
Clear@p1, p2, p3, p4D;
matP = 88p1, p2<, 8p3, p4<<;
[email protected] matP.880, 0<, 80, 0<<, 8p1, p2, p3, p4<D
88p1 → 0, p2 → 0, p3 → 0, p4 → 0<<
A matriz p é nula, portanto não invertível.
12.4 (12.31) Sej a A: 2 Ø 2 o operador definido por A (x, y) = (2x - y, x + 4y). Mostre que A possui um autovalor
2 −1
único igual a 3 e que o subespaço E3 tem dimensão 1. Conclua que se a = J
N então não existe uma matriz
1 4
invertível b œ M (2 x 2) tal que b-1 ab seja diagonal?
Resposta:
8
Rijo AL Capítulo 12.nb
In[125]:=
H∗ Matriz do operador A ∗L
matA = 882, −1<, 81, 4<<;
MatrixForm@matAD
J
2 −1
N
1 4
Out[126]//MatrixForm=
In[123]:=
Out[123]=
In[124]:=
Out[124]=
H∗ Retorna os autovalores do operador A ∗L
Eigenvalues@matAD
83, 3<
H∗ Retorna os autovetores do operador A ∗L
Eigenvectors@matAD
88−1, 1<, 80, 0<<
Existe apenas um autovetor (-1, 1), portanto o subespaço E3 tem dimensão 1.
In[135]:=
H∗ Determinação da matriz b ∗L
Clear@b1, b2, b3, b4D;
matB = 88b1, b2<, 8b3, b4<<;
[email protected] matB.883, 0<, 80, 3<<, 8b1, b2, b3, b4<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[137]=
88b1 → −b3, b2 → −b4<<
O determinante da matriz b = J
−b3 −b4
N é zero, portanto b é singular e consequentemente não invertível..
b3
b4
12.5 (12.32) Sej a A: 2 Ø 2 o operador definido por A (x, y) = (3x + y, 2x + 2y). Mostre que A possui os autova3 1
lores 4 e 1. Ache uma base {u, v} tal que Au = 4u e Av = v. Dada a matriz a = J
N ache uma matriz invertível
2 2
4 0
N
p œ M (2 x 2) tal que p-1 ap = J
0 1
Resposta:
In[111]:=
H∗ Matriz do operador A ∗L
matA = 883, 1<, 82, 2<<;
MatrixForm@matAD
J
3 1
N
2 2
Out[112]//MatrixForm=
In[31]:=
Out[31]=
In[30]:=
Out[30]=
H∗ Retorna os autovalores do operador A ∗L
Eigenvalues@matAD
84, 1<
H∗ Retorna os autovetores do operador A ∗L
Eigenvectors@matAD
881, 1<, 8−1, 2<<
A base procurada é {(1, 1}, (-1,2)}
Rijo AL Capítulo 12.nb
In[25]:=
Out[25]=
In[27]:=
Out[27]=
In[113]:=
H∗ Au = 4 u ∗L
matA.8u1 , u1 <
9
84 u1 , 4 u1 <
True
H∗ Av = v ∗L
matA.8−v1 , 2 v1 <
8−v1 , 2 v1 <
True
H∗ Determinação da matriz p ∗L
Clear@p1, p2, p3, p4D;
matP = 88p1, p2<, 8p3, p4<<;
[email protected] matP.884, 0<, 80, 1<<, 8p1, p2, p3, p4<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[115]=
99p1 → p3, p2 → −
A matriz p = J
In[70]:=
Out[71]=
p4
==
2
p3 −p4 ê 2
1 1
N.
N. Fazendo, por exemplo, p3= 1, p4 = −2, obtém-se a matriz p = J
p3
p4
1 −2
H∗ Verificação p−1 ap ∗L
matP = 881, 1<, 81, −2<<;
[email protected]
True
884, 0<, 80, 1<<