Manual de aplicação ? Modelo Black Scholes

São Paulo, 2014
MANUAL DE APLICAÇÃO DO
MODELO BLACK SCHOLES
PARA A PRECIFICAÇÃO DE
OPÇÕES
Time:
Guilherme Sola
Raphael Noronha
Luiz Razuk
Mateus Schwening
NassimGhosn
Caio Conde
Mateus Ribeiro
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Objetivo do Manual
O presente manual tem como objetivo explicar os conceitos básicos referentes ao “Black
Scholes de precificação de opções – para ações que não pagam dividendos”
Basicamente, a estrutura do manual será dividida da seguinte forma:
1 – Objetivo do Modelo - Especifica de forma clara o motivo de utilizar de Black Scholes.
2 – Breve Explicação das definições de opções – De forma breve, define os conceitos e
expressões do mercado de opções, para que o leitor se familiarize com as variáveis que serão
utilizadas no modelo.
3 – Breve explicação do funcionamento das opções no Brasil- Esclarece sobre as
especificidades do mercado de opção no Brasil, dando enfoque na explicação do código de
uma opção no país.
4 – Hipóteses e Premissas- Explica-se quais são as hipóteses e premissas do modelo, para que
o leitor possa identificar quais as situações especificas em que o modelo pode ser utilizado.
5 – Explicação do Modelo – Apresenta de forma sintetizada a construção do modelo de Black
Scholes
6 – Aplicação – Explica para o leitor como aplicar o modelo de black Scholes nas planilhas
apresentadas.
7 – Apêndice – Alguns comentários finais para quem deseja obter maior profundidade no
assunto.
Manual de aplicação – Modelo Black Scholes
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1 – Objetivo do Modelo
O objetivo do “Modelo de Black Scholes de Precificação de Opções – para ações que não
pagam dividendos” é precificar opções em função do valor de sua ação, de forma
relativamente simples.
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2 – Breve Explicação e definições de opções
As opções são instrumentos financeiros “derivativos”. Esta nomenclatura deve-se ao fato de o seu
valor “derivar” de outro ativo financeiro. Existem dois principais tipos de opções: de compra ou
venda.
Opção de compra: dá o direito, ao seu dono, de exercer a compra de um determinado ativo por um
determinado preço e em um determinado dia. Tanto o preço quanto o dia de exercício estão contidos
no contrato de emissão da opção. Opções de compra também são normalmente chamadas de “call”.
Opção de venda: dá o direito, ao seu dono, de exercer uma venda de um ativo determinado por um
determinado preço e em um determinado dia. Tanto o preço quanto o dia de exercício estão contidos
no contrato de emissão da opção. Opções de venda também são normalmente chamadas de “put”.
O preço de exercício é normalmente denominado de “Strike”
Exemplificando o funcionamento das opções de compra
É vendida uma opção de compra da ação “PETR4”. A opção confere o direito de compra de uma ação
PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia “21/abr/2014”.
Data de exercício 21/abr/2014
Preço de exercício (strike) R$ 10,00
Assim teremos o seguinte, se na data de exercício a cotação da ação estiver acima de R$ 10,00 isso
significa que o dono da opção pode exercer o seu direito comprando uma ação de PETR4 por R$
10,00 (menos que o valor de mercado) e vender a opção por mais de R$ 10,00 (atual valor de
mercado). Assim, na data de exercício o valor da opção seria:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑜𝑝çã𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜 = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑎çã𝑜 − 𝑆𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒
Agora imaginemos que na data de exercício o preço de mercado da ação PETR4 esteja abaixo de R$
10,00. Nesse caso não faz sentido exercer a opção e pagar mais pela ação do que o seu valor de
mercado, neste caso o valor da opção seria “0”.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑜𝑝çã𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜 = 0
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Exemplificando o funcionamento das opções de venda
É vendida uma opção de venda da ação “PETR4”. A opção confere o direito de compra de vender uma
ação PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia “21/abr/2014”.
Assim teremos o seguinte, se na data de exercício a cotação da ação estiver abaixo de R$ 10,00 isso
significa que o dono da opção pode exercer o seu direito vendendo uma ação de PETR4 por R$ 10,00
(mais que o valor de mercado) e depois recomprar a ação menos de R$ 10,00 (atual valor de mercado).
Assim, neste caso, na data de exercício o valor da opção seria
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑜𝑝çã𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜 = 𝑆𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒 − 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑎çã𝑜
Agora imaginemos que na data de exercício o preço de mercado da ação PETR4 esteja acima de R$
10,00. Então não faz sentido exercer a opção e vender PETR4 por R$ 10,00 (menos que o seu valor de
mercado). Neste caso o valor da opção seria “0”.
Opções europeias e americanas
O nosso modelo tratará basicamente de opções europeias. Nesta modalidade o detentor da opção pode
exercer o seu direito apenas na data de exercício. Por outro lado existe a modalidade chamada “opções
americanas”, onde o detentor da opção pode exercer o seu direito a qualquer momento, até a data em
que a opção expira.
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3 – Breve Explicação do funcionamento das opções no Brasil
O código de uma opção
Toda opção é designada através de um código. O entendimento desse código é um meio de saber as
principais características de uma opção (preço de exercício, ativo objeto, etc). Opções da BM&F
possuem códigos com uma estrutura diferente das transacionadas na Bovespa, dessa forma dedicamos
um tópico para cada um destes mercados.
Código de opções da Bovespa
As opções, na Bovespa, possuem códigos compostos por 7 caracteres. Um exemplo tornará o
entendimento mais fácil
PETRD12
“PETR”
Os quatro primeiros caracteres indicam o ativo objeto. Neste caso temos uma opção de ações da
Petrobrás. Vale mencionar que o código da opção não indica que a ação em questão é preferencial ou
ordinária.
“D”
O quinto caractere indica duas coisas. Primeiro, se esta é uma opção de compra ou venda; segundo, o
mês de vencimento da opção. A tabela abaixo traduz o significado de qualquer caractere nesta posição
(quinto caractere):
JANEIRO
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
Opção de
compra
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Opção de
venda
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
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É importante lembrar que na Bovespa o vencimento de toda opção sempre ocorre na terceira
segunda-feira de cada mês. Assim, “D” significa que esta é uma opção de compra que vencerá na
terceira segunda-feira de Maio. Além disso, o código de opções da Bovespa o ano de vencimento.
“13”
Por fim, os dois últimos caracteres indicam o preço de exercício da opção (strike). Neste caso temos
um Strike de R$ 13,00.Deve-se adicionar que nem sempre o preço de strike da opção é o mesmo
representado pelo seu código, isto acontece pois o strike de uma opção pode ser ajustado por uma
gama variada de motivos: distribuições de dividendos, fracionamentos, agrupamentos, entre outros.
Código de opções da BM&F
As opções, na BM&F, possuem códigos compostos por 13 caracteres. Um exemplo tornará o
entendimento mais fácil
DOLZ15C185000
“DOL”
Os três primeiros caracteres indicam qual o ativo objeto, neste caso temos o dólar.
“Z”
O quarto caractere indica o mês de vencimento. A tabela abaixo traduz o significado de todo possível
quarto algarismo. Neste caso específico temos Dezembro como mês de vencimento do contrato.
Opção de
compra
JANEIRO
F
FEVEREIRO
G
MARÇO
H
ABRIL
J
MAIO
K
JUNHO
M
JULHO
N
AGOSTO
Q
SETEMBRO
U
OUTUBRO
V
NOVEMBRO
X
DEZEMBRO
Z
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“15”
O quinto e o sexto caracteres indicam o ano de vencimento da opção. Neste caso temos um
vencimento em 2015.
“C”
O sétimo caractere indica se esta é uma opção de venda ou compra. “C” significa uma opção de
compra e “P” uma opção de venda. Neste caso temos uma opção de compra.
“185000”
O preço de exercício da opção está representado no oitavo caractere até o décimo terceiro (último).
Neste caso temos um preço de exercício de R$ 1850,00.
Comentários finais
Assim como no caso da Bovespa o preço de exercício da opção, que está representado no seu código,
pode não permanecer exatamente o mesmo ao longo da vida da opção. Através do portal da Bovespa
sempre é possível buscar o preço de exercício atual de um contrato de opção.
Link: http://www.bmfbovespa.com.br/opcoes/opcoes.aspx?Idioma=pt-br
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4 – Hipóteses e Premissas do modelo
A existência de opções permite que para cada ativo seja possível um investidor utilizar uma estratégia
livre de risco. Esta estratégia baseia-se num portfólio que mescla o ativo em questão e sua opção, em
uma determinada proporção.
Como este portfólio tem o mesmo risco de um ativo livre de risco, supõe-se que o seu retorno seja o
mesmo de um ativo livre de risco. Caso o retorno do ativo livre de risco fosse maior não teria sentido
alguém formar tal portfólio, e caso o retorno do portfólio fosse maior não existiria sentido em alguém
investir no ativo livre de risco.
𝑹𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒇ó𝒍𝒊𝒐 = 𝑹𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒐 𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒊𝒔𝒄𝒐
O retorno do portfólio depende dos retornos da opção e da ação. O retorno da opção, por sua vez,
depende do retorno da ação (pois o valor da opção depende do valor da ação). Isso significa que dada
uma variação na cotação da ação, o valor da opção se move de forma que mantenha a relação
verdadeira
𝑹𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒇ó𝒍𝒊𝒐 = 𝑹𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒐 𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒊𝒔𝒄𝒐
Uma segunda conclusão disto é que a taxa de juros livre de risco é uma taxa adequada para calcular
o valor presente de uma opção.
Além disso, o modelo de Black Scholes é uma conclusão de um conjunto de premissas, estas podem
são sumarizadas abaixo:
 O comportamento do preço da ação corresponde a um modelo lognormal com desvio padrão e
média constante
 Não há custos de transação
 Todos os títulos são perfeitamente divisíveis
 Não existe oportunidade de arbitragem
 A negociação de títulos e ações é continua
 Os investidores podem tomar emprestado ou emprestar recursos à mesma taxa de juros livre
de risco
 A taxa de juros de curto prazo livre de risco é constante
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5 – Explicação do Modelo
O preço de uma opção de compra (Call), no modelo Black Scholes, é dado pela fórmula:
𝑐 = 𝑆𝑜𝑁 𝑑1 𝑒 −𝑞𝑇 − 𝑋𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2 )
Onde
So = preço do ativo objeto
T = tempo até a data de exercício da opção
r = taxa de juros livre de risco
q = taxa ao ano paga de dividendos pela ação. Isto é, a razão entre o valor anual pago em
dividendos pela ação e o seu preço.
A explicação para N(d1) e N(d2) é um pouco menos direta. N(X) é a função probabilidade
cumulativa padronizada. N(X) mede a probabilidade de uma variável com distribuição normal padrão
ser menor que “X”, graficamente temos:
Dessa forma, N(d1) mede essa probabilidade quando X é igual a d1, enquanto que N(d2) é esta
probabilidade quando X é igual a d2.
Além disso, d1 ed2 são calculados através das seguintes fórmulas:
𝑑1 =
ln
𝑆0
𝑥
+ 𝑟−𝑞+
𝜎2
2
𝑇
𝜎 𝑇
𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 𝑇
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Onde
X = preço de exercício (strike)
σ = é a volatilidade do preço da ação.
Por outro lado, o preço de uma opção de venda (Put), no modelo Black Scholes, é dado pela
fórmula:
𝑝 = −𝑆𝑜𝑁 −𝑑1 𝑒 −𝑞𝑇 + 𝑋𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2 )
Ressaltando que os cálculos de "𝑑1 " e “𝑑2 " são dados pelas mesmas fórmulas anteriormente
apresentadas.
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6 – Aplicação na planilha
O uso da planilha automatizada é simples e intuitivo. Primeiro, ao abrir o arquivo vá até a “sheet”
“cálculo da opção” e então insira todos os dados requeridos para o cálculo de uma opção:
Data de início e data de vencimento: nestes campos você deve inserir a data em que a opção foi
comprada e a data de exercício desta opção, respectivamente. Em caso de maiores dúvidas, sobre
como descobrir a data de exercício de uma opção (a sua data de vencimento), o capítulo 3 deste
manual traz uma rápida e simples explicação.
Opção Call ou PUT: neste campo o usuário deve escolher se está precificando uma opção de compra
(Call) ou de venda (Put). Em caso de dúvidas o capítulo 2 aborda de forma didática a distinção entre
estes tipos de opções.
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Volatilidade: neste campo deve ser inserido o desvio padrão dos retornos do ativo a quem a opção
se refere. Se for uma opção de compra da ação PETR4, deve ser inserido o desvio padrão anual deste
ativo (em percentual).
Taxa livre de risco: deve-se inserir a taxa de juros de um ativo livre de risco. É importante ressaltar
que a taxa deve estar expressa ao ano e deve ser inserida na forma percentual.
Taxa de dividendos da ação: neste campo deve ser inserida a razão, em porcentagem, entre o
quanto a ação paga em dividendos ao ano e o seu preço.
Preço do ativo objeto: é o campo mais fácil. Simplesmente é o preço atual do ativo que serve de
referência para a opção. Deve ser inserido em reais.
Preço de exercício: é o strike da opção. Se for uma opção de compra, indica por quanto o detentor
da opção terá o direito de comprar o ativo objeto na data de exercício. O preço de exercício da opção
é decidido no momento de emissão da opção, podendo mudar posteriormente. Este dado deve ser
inserido em reais.
Preço da opção: depois de inserir todos os dados necessários para a precificação da opção, segundo
este modelo, a planilha retornará, neste espaço, o preço o qual o modelo avalia a opção. A conclusão
seria a seguinte, “opções com preço abaixo do calculado aqui estariam subavaliadas, opções com
preço acima do calculado aqui estariam superavaliadas”.
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7 – Apêndice
No apêndice constam alguns comentários adicionais sobre o modelo de precificação utilizado, é
especialmente interessante para aqueles que desejarem se aprofundar no assunto. A sua leitura não é
necessária para o uso da planilha de precificação.
Cálculo de dias úteis
Uma dúvida que sempre surge quando se trabalha com taxa de juros é o cálculo de dias úteis. A
planilha faz essa contagem usando o método “inclusive e inclusive”, isto é, o primeiro e o último dia
(dia de compra e do exercício) são contados como dias em que a taxa de juros renderá.
Vale lembrar que o usuário da planilha pode ter em mente uma taxa de juros que faz contagem de dias
úteis de outra forma. Um exemplo seria a LTN, que faz o cálculo de dias úteis com a regra “inclusive e
exclusive”, ou seja, conta o dia de compra mas não conta o dia de exercício. Nesse caso a planilha
faria o cálculo contando 1 dia a mais, para reverter a situação basta o usuário colocar adiantar a data de
vencimento da opção em 1 dia.
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