Fórmula de Black-Scholes-Merton Os Conceitos Subjacentes a

Fórmula de
Black-Scholes-Merton
Prf. José Fajardo
FGV-EBAPE.
Os Conceitos Subjacentes
a Black-Scholes
• O preço da opção & o preço do ativo
dependem do mesmo recurso subjacente de
incerteza
• Nos podemos formar uma carteira que
consista de um ativo e de uma opção que
elimine este recurso de incerteza.
• A carteira é instantaneamente sem risco e
tem que ganhar instantaneamente à taxa
livre de risco.
• Isto nos da a Equação diferencial de BlackScholes.
A Derivação da Equação Diferencial de
Black-Scholes
∆S = µS ∆t + σS ∆B.....(1)
∂ ƒ

∂ƒ
∂ƒ
∂ 2ƒ
∆ ƒ = 
+ ½ 2 σ 2 S 2 ∆t +
σS ∆B.....(2)
µS +
S
t
S
∂S
∂
∂
∂


Construimos uma Carteira :
− 1 : Derivativo
∂ƒ
+
: Unidades
∂S
A equação (2) é conhecida como a formula de Ito
para uma função f(S).
A Derivação da Equação Diferencial de
Black-Scholes
O valor da carteira Π é dado por :
Π = −ƒ +
∂ƒ
S
∂S
A taxa de variação do valor no tempo ∆ t é dada por :
∆Π = − ∆ ƒ +
∂ƒ
∆S
∂S
Equação Diferencial de Black & Scholes
A taxa de retorno da carteira deve ser a taxa livre de risco. Daqui
∆Π = r Π∆ t
Substituim os ∆ ƒ e ∆S por (1) e (2) na equação para obter a
Equação Diferência l de Black - Scholes :
∂ ƒ + rS ∂ ƒ + ½ σ 2 S 2 ∂ 2 ƒ = r ƒ
∂t
∂S
∂ S2
Avaliação Neutra ao Risco
• A varíavel µ não aparece na equação de
Black-Scholes
• A equação é independente de todas as
variáveis afetadas pelo risco das preferências
• Logo a solucão da equação diferencial será a
mesma num mundo livre de risco como no
mundo real.
• Isto nos leva a uma avaliação Neutra em
relação ao Risco
Aplicando Avaliação Neutra ao
Risco
1. Asuma que o
retorno esperado do
preço do ativo é a
taxa livre de risco
2. Calcule o pago
esperado do
derivativo
3. Desconte a taxa
livre de risco
f = E Q (e − rT f ( ST ))
Formula de Black e Scholes
• A solução da Equação diferencial de Black e
Scholes , depende da condição de contorno.
• No caso de uma opção de compra e venda
Európéia, temos que
f(ST)=max{ST-X,0} ou f(ST)=max{X-ST,0}
• Com esta condição de contorno é possível
obter uma forma explícita para a solução!
As Formulas de Black-Scholes
c = S 0 N (d1 ) − X e − rT N (d 2 )
p = X e − rT N (−d 2 ) − S 0 N (− d1 )
onde d1 =
d2 =
ln(S 0 / X ) + (r + σ 2 / 2)T
σ T
ln(S / X ) + (r − σ 2 / 2)T
0
σ T
= d1 − σ T
As Formulas de Black-Scholes
Ou também
onde d1 =
d2 =
ln( S 0 e rT / X ) + σ 2T / 2
σ T
ln( S e rT / X ) − σ 2T / 2
0
σ T
= d1 − σ T
Parâmetros
• Da Formula de Black e Scholes, todos
os parâmetros necesários para calcular
o preço são observados , excepto 1, a
volatilidade.
• Podemos usar a volatilidade histórica.
• Ou a volatilidade Implícita
Volatilidade Implícita
• A Volatilidade Implicita de uma Opção é
a volatilidade para a qual o preço de
Black-Scholes é egual ao preço de
mercado
• Existe uma correspondencia 1 a 1 entre
preços e volatilidades implicitas
• Traders e brokers usualmente cotam
volatilidade implícita mas que preços.
Causas de Volatilidade
• Volatilidade é usualmente maior quando
o mercado esta aberto (i.e. o ativo é
negociado) que quando esta fechado
• Por esta razão o tempo é medido em
“trading days” e não días do calendario
quando uma opção é avaliada
Calculando o Preço de Uma
Opção de Compra
• Dados:
Preço Exercício (k)
Preço da Ação (S)
Taxa de juros ( r )
Volatilidade ( σ )
Prazo maturidade (n)
= 56,00
= 54,90
= 0,11 % ad ou 0,0011
= 40,00 %
ou 0,4000
= 44 dias
• Pede-se: Calcule o preço da Opção utilizando-se a
Fórmula de Black & Scholes
Exemplo
• Faça r=252*ln(1+i)
• Então r=252*ln(1,0011)=0,277
Logo
• d1=(ln(54,9/56)+(0,277+0.4^2/2)*44/252)./(0.4*(44/252)^1/2)
=0.254294
• d2=d1-0.4*(44/252)^1/2=0.087152
• N(d1)=0,6
• N(d2)=0,5347
• C=54,9*N(d1)-56*e^(-0.277*44/252)*N(d2)=4,4295
Calculando o Preço de Uma
Opção de Compra(Mercado)
• C(S, n, k, r, σ) = S .N(d1) - k / (1+ r )n . N(d2)
• C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d1) - 56/ (1+ 0,0011)44. N(d2)
• C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d1) - 53,35. N(d2)
• d1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r)n ) + σ2/2 . n/252] /[ σ. (n/252)1/2]
•
d1=[Log(54,90/53,35)+(0,4)2/2.44/252]/[0,4.(44/252)1/2]
• d1 = 0,2542
• d2 = 0,2542 - 0,4 . (44 / 252) 1/2
• d2 = 0,08715
Calculando o Preço de Uma
Opção de Compra
• C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d1) - 53,35. N(d2)
• C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N( 0,2542 ) - 53,35. N( 0,08715 )
• C(S, n, k, r, σ) = 54,90. 0,6004 - 53,35. 0,5347
• C(S, n, k, r, σ) = 4,43
Volatilidade Implicita
•
•
•
•
•
•
•
VALEI33
So=33,07
R=ln(1,09)
T=2/252
X=32,24
c=R$1,00
σ=?