"do ângulo" "m e"

Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Questões
Q9.1 Quando uma fíta de vídeo ou de áudio é
rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola é
mais rápida no final do rebobinamento?
Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo
deve ser perfeitamente rígido para que todos os pontos do
corpo girem com a mesma velocidade angular e com a
mesma aceleração angular? Explique.
Q9.3 Qual é a diferença entre a aceleração
tangencial e a aceleração radial de um ponto em um corpo
que gira?
Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente
possuem a mesma velocidade escalar linear v. O módulo da
aceleração linear a também é o mesmo para todos os pontos
ao longo da corrente? Qual é a relação existente entre a
aceleração angular das duas rodas dentadas? Explique.
Q9.5 Na Figura 9.11, qual é a relação entre a
aceleração radial de um ponto sobre o dente de uma das
rodas e a aceleração radial de um ponto sobre o dente da
outra roda dentada? Explique o raciocínio que você usou
para responder a essa pergunta.
Q9.6 Um volante gira com velocidade angular
constante. Um ponto de sua periferia possui aceleração
tangencial? Possui aceleração radial? Essas acelerações
possuem um módulo constante? Possuem direção
constante? Explique o raciocínio usado em cada caso.
Q9.7 Qual é o objetivo do ciclo de rotação da
máquina de lavar roupa? Explique em termos dos
componentes da aceleração.
Q9.8 Embora a velocidade angular e a aceleração
angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento
angular θ, apesar de possuir módulo e sentido, não é
considerado um vetor. Isso porque o ângulo θ1 não segue as
regras da lei comutativa da adição vetorial (Equação (l .4)).
Prove essa afirmação do seguinte modo. Coloque um
dicionário apoiado horizontalmente sobre a mesa à sua
frente, com a parte superior voltada para você de modo que
você possa ler o título do dicionário. Gire a aresta mais
afastada de você a 90° em torno de um eixo horizontal.
Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a
aresta esquerda 90° se aproximando de você em torno de um
eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de θ1. A
lombada do dicionário deve ficar de frente para você, c você
poderá ler as palavras impressas na lombada. Agora repita
as duas rotações de 90°, porém em ordem inversa. Você
obtém o mesmo resultado ou não? Ou seja, θ2 + θ1 é igual a
θ2 + θ1,? Agora repita a experiência porém com um ângulo
de l ° cm vez de 90°. Você acha que um deslocamento
infinitesimal dê obedece à lei comutativa da adição e,
portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua resposta seja
afirmativa, como você relaciona a direção e o sentido de dê
com a direção e o sentido de tu?
Q9.9 Você consegue imaginar um corpo que
possua o mesmo momento de inércia para todos os eixos
possíveis? Em caso afirmativo, forneça um exemplo e, se
sua resposta for negativa. explique por que isso seria
impossível. Você pode imaginar um corpo que possua o
mesmo momento de inércia em relação a todos os eixos
passando em um ponto específico? Caso isso seja possível,
forneça um exemplo e diga onde o ponto deve estar
localizado.
Q9.10 Para maximizar o momento de inércia de
um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma e
como sua massa deve ser distribuída? Explique.
Q9.11
Como
você
poderia
determinar
experimentalmente o momento de inércia de um corpo de
forma irregular em relação a um dado eixo?
Q9.12 Um corpo cilíndrico possui massa M e raio
R. Pode sua massa ser distribuída ao longo do corpo de tal
modo que seu momento de inércia em relação ao seu eixo de
simetria seja maior do que AW2? Explique.
Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2
poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte
(d).
Q9.14 O momento de inércia I de um corpo rígido
em relação a um eixo que passa em seu centro de massa é
Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I seja
menor do que Icm? Explique.
Q9.15 Para que as relações de / fornecidas nas
partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam válidas, é necessário que
a barra tenha uma seção rota circular? Existe alguma
restrição sobre a área da seção reta para que essas relações
sejam válidas? Explique.
Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da
placa deve ser menor que a para que a expressão de I possa
ser aplicada. Porém, na parte (c), a expressão se aplica para
qualquer espessura da placa. Explique.
Q9.17 Na Figura 5.26a use as expressões
K
1
m v2 e K
2
1
I
2
2
para calcular a energia
cinética da caixa (considerando-a uma partícula única).
Compare os dois resultados obtidos. Explique esses
resultados.
Q9.18 A Equação (9.18) mostra que devemos usar
ycm para calcular U de um corpo com uma distribuição de
massas contínua. Porém no Exemplo 9.9 (Seção 9.5). y não
foi medido em relação ao centro de massa mas, sim, a partir
do ponto inferior da massa pendurada. Isso está errado?
Explique.
Q9.19 Qualquer unidade de ângulo — radiano,
grau ou revolução — pode ser usada em alguma equação do
Capítulo 9, porém somente ângulos em radianos podem ser
usados em outras. Identifique as equações para as quais o
uso do ângulo em radianos é obrigatório e aquelas para as
quais você pode usar qualquer unidade de ângulo, e diga o
raciocínio que foi usado por você em cada caso.
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Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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SEÇÃO 9.2
VELOCIDADE ANGULAR
ACELERAÇÃO ANGULAR
(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor
para t = 0, quando a corrente foi invertida?
(e) Calcule a velocidade angular média no intervalo
de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).
9.1 (a) Calcule o ângulo em radianos subtendido por
um arco de 1.50 m de comprimento ao longo de uma
9.7 O ângulo descrito por uma roda de bicicleta
circunferência de raio igual a 2.50 m. Qual é esse ângulo em girando é dado por
t a b t 2 c t 3 onde a, b e c são
graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14.0 cm subtende
um ângulo de 128° em um círculo. Qual é o raio da constante reais são constantes positivas tais que se t for dado
circunferência desse círculo? (c) E de 0.700 rad o ângulo entre em segundos, θ deve ser medido em radianos.
(a) Calcule a aceleração angular da roda em função do
dois raios de um círculo de raio igual a 1.50 m. Qual é o
comprimento do arco sobre a circunferência desse círculo tempo.
(b) Em que instante a velocidade angular instantânea
compreendido entre esses dois raios?
da roda não está variando?
9.2 A hélice de um avião gira a 1900 rev/min. (a)
SEÇÃO 9.3
Calcule a velocidade angular da hélice em rad/s. (b) Quantos
ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR
segundos a hélice leva para girar a 35°?
CONSTANTE
9.3 Considere o volante dos Exemplos 9.1 e 9.2
9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade
(Seção 9.2).
(a) Calcule a aceleração angular instantânea para t = angular de 1.50 rad/s.
(a) Se sua aceleração angular é constante e igual a
3.5 s. Explique porque seu resultado é igual à aceleração
0.300
rad/s²,
qual é sua velocidade angular para t = 2.50 s?
angular média para o intervalo entre 2,0 s e 5.0 s.
(b)
Qual
foi o deslocamento angular da roda entre t = t
(b) Calcule a velocidade angular instantânea para t =
=
2.50
s?
3.5 s. Explique por que seu resultado não é igual à velocidade
angular média para o intervalo entre 2.0 s e 5.0 s, embora 3.5 s
9.9 Um ventilador elétrico é desligado, e sua
corresponda ao valor médio desse intervalo de tempo.
velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min até
9.4 As lâminas de um ventilador giram com 200 rev/min em 4.00 s.
(a) Ache a aceleração angular em rev/s²e o número de
velocidade angular dada por
t
t 2 , onde = revoluções feitas no intervalo de 4.00 s.
(b) Supondo que a aceleração angular calculada no
5.00 rad/s e = 0.800 rad/s2.
(a) Calcule a aceleração angular em função do tempo, item (a) permaneça constante. durante quantos segundos a
(b) Calcule a aceleração angular instantânea a para t = mais a roda continuará a girar até parar?
3.00 s e a aceleração angular média αmed para o intervalo de
9.10 (a) Deduza a Equação (9.12) combinando a
tempo t = 0 até t = 3.00 s. Como essas duas grandezas podem
ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são Equação (9.7) com a Equação (9.11) para eliminar t.
(b) A velocidade angular da hélice de um avião cresce
diferentes?
de 12.0 rad/s até 16.0 rad/s quando ela sofre um deslocamento
9.5 Uma criança está empurrando um carrossel. O angular de 7.00 rad. Qual é a aceleração angularem rad/s²?
deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de
9.11 A lâmina rotatória de um misturador gira com
acordo com a relação
t
t
t 3 , onde = 0.400
aceleração angular constante igual a 1.50 rad/s².
rad/s e = 0.0120 rad/s2.
(a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para
(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em atingir uma velocidade angular de 36.0 rad/s?
função do tempo,
(b) Qual o número de revoluções descritas pela
(b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?
rotação da lâmina nesse intervalo de tempo?
(c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea
para t = 5.00 s e a velocidade angular média med para o
9.12 Um volante leva 4.00 s para girar através de um
intervalo de tempo de t = 0 até t = 5.00 s. Mostre que med não ângulo de 162 rad. Sua velocidade angular nesse instante Final
é igual a média das velocidades angulares para t = 0 até t = 5.00 é igual a 108 rad/s. Calcule
s e explique a razão dessa diferença.
(a) a velocidade angular no início desse intervalo de
4.00 s;
9.6 Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de
(b) a aceleração angular constante.
corrente contínua (de) é invertida, produzindo um
deslocamento angular do eixo do motor dado por
9.13 A roda de uma olaria gira com aceleração
2
3
2
3
angular
constante
igual a 2.25 rad/s². Depois de 4.00 s, o
t
250 rad s t 20 rad s t
1.50 rad s t .
ângulo descrito pela roda era de 60.0 rad. Qual era a velocidade
(a) Em que instante a velocidade angular do eixo do angular da roda no início do intervalo de 4.00 s?
motor se anula?
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a
9.14 A lâmina de uma serra circular de diâmetro igual
velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.
a 0.200 m começa a girar a partir do repouso. Em 6.00 s ela se
(c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do acelera com velocidade angular constante ate uma velocidade
motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o angular igual a 140 rad/s. Calcule a aceleração angular e o
momento em que a velocidade angular se anulou?
deslocamento angular total da lâmina.
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SEÇÃO 9.4 RELAÇÕES ENTRE A
9.15 Um dispositivo de segurança faz a lâmina de
CINEMÁTICA ANGULAR LINEAR E A
uma serra mecânica reduzir sua velocidade angular de um CINEMÁTICA
valor 1 ao repouso, completando 1.00 revolução. Com essa
9.19 O rotor principal de um helicóptero gira em um
mesma aceleração constante, quantas revoluções seriam
necessárias para fazer a lâmina parar a partir de uma plano horizontal a 90.0 rev/min. A distância entre o eixo do
rotor e a extremidade da lâmina é igual a 5.00 m. Calcule a
velocidade angular 2 sendo 2 = 3 1 ?
velocidade escalar da extremidade da lâmina através do ar se
(a) o helicóptero está em repouso no solo:
9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro à
(b) o helicóptero está subindo verticalmente a 4.00
periferia de uma roda. Você escurece a sala e usa uma câmara e
uma unidade estroboscópica que emite um flash a cada 0.050 s m/s.
para fotografar a roda enquanto ela gira em um sentido
9.20 Um CD armazena músicas em uma configuração
contrário ao dos ponteiros do relógio. Você dispara o
estroboscópio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre codificada constituída por pequenas reentrâncias com
quando a fita está na horizontal voltada para a direita com profundidade de 10 m. Essas reentrâncias são agrupadas ao
deslocamento angular igual a zero. Para as situações descritas a longo de uma trilha em forma de espiral orientada de dentro
seguir, faça um desenho da foto que você obterá para a para fora até a periferia do disco; o raio interno da espiral é
exposição no intervalo de tempo para cinco flashes (para t = 0: igual a 25.0 mm e o raio externo é igual a 58.0 mm. À medida
0.050 s; 0.100 s: 0.150 s: e 0.200 s): faça um gráfico de θ contra que o disco gira em um CD player, a trilha é percorrida com
uma velocidade linear constante de 1.25 m/s.
t e de a contra t desde t = 0 até t = 0.200 s.
(a) Qual é a velocidade angular do CD quando a parte
(a) A velocidade angular é constante e igual a 10.0
mais
interna
da trilha esta sendo percorrida? E quando a pane
rev/s.
(b) A roda parte do repouso com uma aceleração mais externa está sendo percorrida?
(b) O tempo máximo para a reprodução do som de um
angular de 25.0 rev/s².
(c) A roda está girando a 10.0 rev/s para t = 0 e varia CD é igual a 74,0 min. Qual seria o comprimento total da trilha
sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0 rev/s². desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma trilha
reta?
(c) Qual é a aceleração angular máxima para esse CD
9.17 Para t = 0, a roda de um esmeril possui
de
máxima
duração durante o tempo de 74.0 min? Considere
velocidade angular igual a 24,0 rad/s. Ela possui uma
aceleração angular constante igual a 30.0 rad/s' quando um como positivo o sentido da rotação do disco.
freio é acionado em t = 2.00 s. A partir desse instante ela gira
9.21 Uma roda gira com velocidade angular constante
432 rad à medida que pára com uma aceleração angular
de 6.00 rad/s.
constante,
(a) Calcule a aceleração radial de um ponto a 0.500 m
(a) Qual foi o deslocamento angular total da roda
do eixo, usando a relação arad = 2r.
desde t = 0 até o instante em que ela parou?
(b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule
(b) Em que instante ela parou?
2
(c) Qual foi o módulo da sua aceleração quando ela sua aceleração radial pela fórmula arad = v /r.
diminuía de velocidade?
9.22 Calcule a velocidade angular necessária (em
9.18 (a) Deduza uma expressão para um movimento rev/min) de uma ultracentrífuga para que a aceleração radial de
com aceleração angular constante que forneça θ – θ0 em função um ponto a 2.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto é,
400000 vezes maior do que a aceleração da gravidade).
de de α e de t (não use 0 na equação),
(b) Para t = 8.0 s, uma engrenagem gira em tomo de
9.23 Um volante de raio igual a 0.300 m parte do
um eixo fixo a 4.50 rad/s. Durante o intervalo precedente de 8.0
s ela girou através de um ângulo de 40.0 rad. Use o resultado da repouso e se acelera com aceleração angular constante de 0.600
2
parte (a) para calcular a aceleração angular constante da rad/s . Calcule o módulo da aceleração tangencial, da
aceleração radial e da aceleração resultante de um ponto da
engrenagem,
(c) Qual era a velocidade angular da engrenagem para periferia do volante
(a) no início:
t = 0?
(b) depois de ele ter girado um ângulo de 60.0°;
(c) depois de ele ter girado um ângulo de 120.0°.
9.24 Um ventilador de teto cujas lâminas possuem
diâmetro de 0.750 m está girando em torno de um eixo fixo
com uma velocidade angular inicial igual a 0.250 rev/s. A
aceleração angular é igual a 0.900 rev/s2.
(a) Calcule a velocidade angular depois de 0.200 s.
(b) Quantas revoluções foram feitas pela lâmina
durante esse intervalo de tempo?
(c) Qual é a velocidade tangencial de um ponto na
extremidade da lâmina para t = 0.200 s?
(d) Qual é o módulo da aceleração resultante de um
ponto na extremidade da lâmina para t = 0.200 s?
9.25 Uma propaganda afirma que uma centrífuga
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precisa somente de 0.127 m para produzir uma aceleração
radial de 3000 para 5000 rev/min. Calcule o raio necessário
9.32 Calcule o momento de inércia em relação a cada
dessa centrífuga. A afirmação da propaganda é viável?
um dos seguintes eixos para um eixo de 0.300 cm de diâmetro,
1.50 m de comprimento e massa igual a 0.0420 kg. Use as
9.26 (a) Deduza uma equação para a aceleração radial fórmulas da Tabela 9.2.
(a) Em relação a um eixo perpendicular à barra e
que inclua v e mas não inclua r.
(b) Você está projetando um carrossel para o qual um passando pelo seu centro,
(b) Em relação a um eixo perpendicular à barra e
ponto da periferia possui uma aceleração radial igual a 0.500
m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui passando em uma de suas extremidades,
(c) Em relação a um eixo longitudinal passando pelo
módulo igual a 2.00 m/s. Qual é a velocidade angular
centro da barra.
necessária para se atingir esses valores?
9.33 Quatro pequenas esferas, todas consideradas
massas puntiformes com massa de 0.200 kg, estão dispostas
nos vértices de um quadrado de lado igual a 0.400 m e
conectadas por hastes leves (Figura 9.21). Calcule o momento
de inércia do sistema em relação a um eixo
(a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu
centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);
(b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado
(um eixo ao longo da linha AB indicada na figura);
(c) passando pelo centro da esfera superior da
esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através do
9.28 Para t = 3.00 s, um ponto na periferia de uma ponto O.
roda com raio de 0.200 m possui uma velocidade tangencial
0.400 m
0.200 kg
igual a 50.0 m/s quando a roda está freando com uma
aceleração tangencial constante com módulo igual a 10.0 m/s2.
(a) Calcule a aceleração angular constante da roda.
(b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.00 s e t
= 0.
A
B
(c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda
O
entre t = 0 e t = 3.00 s?
(d) Em qual instante a aceleração radial toma-se igual
a g?
9.27 Um problema de furadeira. Ao furar um
buraco com diâmetro igual a 12.7 mm na madeira, no plástico
ou no alumínio, o manual do fabricante recomenda uma
velocidade de operação igual a 1250 rev/min. Para uma broca
com um diâmetro de 12.7 mm girando com uma velocidade
constante igual a 1250 rev/min, calcule
(a) a velocidade linear máxima de qualquer ponto da
broca;
(b) a aceleração radial máxima de qualquer ponto da
broca.
9.29 Os ciclos de rotação de uma máquina de lavar
Figura 9.21 – Exercício 9.33.
possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640
rev/min. O diâmetro interno do tambor é igual a 0.470 m.
(a) Qual é a razão entre a força radial máxima sobre a
9.34 Fator de Escala de /. Quando multiplicamos
roupa, quando a velocidade angular é máxima, e a força radial,
todas as dimensões de um objeto por um fator de escala/, sua
quando a velocidade angular é mínima?
(b) Qual é a razão da velocidade tangencial máxima massa e seu volume ficam multiplicados por / . a) O momento
da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a de inércia ficará multiplicado por qual fator? b) Sabendo que
um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia
velocidade angular é mínima?
(c) Calcule, em função de g a velocidade tangencial cinética relacional de 2,5 J, qual será a energia cinética do
objeto sem nenhuma redução de escala feito com o mesmo
máxima da roupa e a aceleração radial máxima.
material e girando com a mesma velocidade angular?
SEÇÃO 9.5
9.35 Uma roda de carroça é feita como indicado na
ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
Figura 9.22. O raio da roda é igual a 0,300 m e o aro possui
9.30 Pequenos blocos, todos com a mesma massa m, massa igual a 1.40 kg. Cada um dos seus oito raios, distribuídos
estão presos às extremidades e ao centro de uma barra leve de ao longo de diâmetros, possuem comprimento de 0.300 m e
comprimento igual a L. Calcule o momento de inércia do massa igual a 0.280 kg. Qual é o momento de inércia da roda
sistema em relação a um eixo perpendicular à barra passando em relação a um eixo perpendicular ao plano da roda e
em um ponto situado a ¼ do comprimento a partir de uma das passando pelo seu centro? (Use as fórmulas indicadas na
extremidades da barra. Despreze o momento de inércia da Tabela 9.2.)
barra leve.
9.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro
metálico de massa M e comprimento L. Cada extremidade
possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode
ser tratada com precisão como uma partícula neste problema.
Calcule o momento de inércia da batuta em relação ao eixo
usual de rotação (perpendicular à batuta e passando pelo seu
centro).
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(a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no
instante em que ela atinge o solo.
(b) A resposta encontrada no item (a) é igual, maior
ou menor do que a resposta do Exemplo 9.9? Explique sua
resposta usando conceitos de energia.
FIGURA 9.22
Exercício 9.35.
9.36 Uma hélice de avião possui massa de 117 kg e
comprimento igual a 2.08 m (de uma extremidade a outra). A
hélice está girando a 2400 rev/min em relação a um eixo que
passa pelo seu centro,
(a) Qual é sua energia cinética rotacional? Considere
a hélice como uma barra delgada,
(b) Supondo que ela não gire, de que altura ela deveria
ser largada em queda livre para que adquirisse a mesma energia
cinética?
9.43 Taxa de perda da energia cinética. Um corpo
rígido com momento de inércia I gira uma vez a cada T
segundos. A velocidade de rotação está diminuindo, de modo
que dT/dt > 0.
(a) Expresse a energia cinética da rotação do corpo
em termos de I e de T.
(b) Expresse a taxa de variação da energia cinética da
rotação do corpo em termos de I, de T e de dT/dt.
(c) Um volante grande possui I = 8,0 kg.m². Qual é a
energia cinética do volante quando o período de rotação é
igual a 1.5 s?
(d). Qual é a taxa de variação da energia cinética do
volante na parte (c) quando o período de rotação é igual a 1.5 s
e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0.0060 s?
9.44 Uma corda uniforme de 10.0 m de comprimento
e massa igual a 3.00 kg está presa ao teto de um ginásio e a
são outra extremidade está quase tocando o solo. Qual é a variação
da energia potencial gravitacional se a corda terminar esticada
equivalentes às unidades de joule. Explique por que a unidade
sobre o solo (sem espiras)?
"rad" não precisa ser incluída nessas unidades,
1
9.37 (a) Mostre que as unidades de
I
2
2
(b) Geralmente w é expresso em rev/min em vez de
9.45 Centro de massa de um objeto com massa
rad/s. Escreva uma expressão para a energia cinética rotacional
distribuída.
Qual é o trabalho realizado por um lutador para
de forma que se / for expresso em kg . m2 e for expresso em
elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg até uma
rev/min, a energia cinética será expressa em joules.
distância vertical igual a 0.700 m?
9.38 O prato de discos de um fonógrafo antigo possui
energia cinética igual a 0.0250 J quando gira com 45,0 rev/min.
Qual é o momento de inércia do prato do fonógrafo em relação
ao eixo de rotação?
SEÇÃO 9.6
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
9.46 Calcule o momento de inércia de um aro (um
anel fino) de raio R e massa M em relação a um eixo
9.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer
perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.
uma energia cinética igual a 500 J quando sua velocidade
angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual é o
9.47 Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de
momento de inércia necessário'?
madeira leve possui o mesmo momento de inércia de uma
casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e raio em relação
9.40 Uma corda leve e flexível é enrolada diversas
a um diâmetro?
vezes em tomo da periferia de uma casca cilíndrica com raio
de 0.25 m e massa igual a 40.0 N, que gira sem atrito em tomo
9.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo por
que os momentos de inércia das partes (a) e (b) da Tabela 9.2
meio de raios com momentos de inércia desprezíveis. O
são coerentes.
cilindro está inicialmente em repouso. A extremidade livre da
corda é puxada com uma força constante P até uma distância
9.49 Uma placa metálica fina de massa M tem forma
de 5.00 m, e nesse ponto a extremidade da corda se move a
retangular com lados a e b. Use o teorema dos eixos paralelos
6.00 m/s. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro,
para determinar seu momento de inércia em relação a um eixo
qual é o valor de P?
perpendicular ao plano da placa passando por um dos seus
vértices.
9.41 Desejamos armazenar energia em um volante de
70.0 kg que possui forma de um disco maciço uniforme com
9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane
raio R = 1.20 m. Para impedir danos estruturais, a aceleração
(d) da Tabela 9.2, ache o momento de inércia em relação a um
radial máxima de um ponto na sua periferia é igual a 3500 m/s².
eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu centro e
Qual é a energia cinética máxima que pode ser armazenada no
paralelo ao eixo indicado na figura,
volante?
(b) Ache o momento de inércia da placa em relação a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
9.42 Suponha que o cilindro maciço do dispositivo
centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).
descrito no Exemplo 9.9 (Seção 9.5) seja substituído por uma
casca cilíndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa M.
O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com momentos de
inércia desprezíveis.
5
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
*SEÇÁO 9.7
CÁLCULOS DE MOMENTO DE INÉRCIA
*9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e
informações da Tabela 9.2, ache o momento de inércia da
barra delgada de massa M e comprimento L indicado na
Figura 9.18 em relação a um eixo passando pelo ponto O
situado a uma distância arbitrária h de uma de suas
extremidades. Compare seu resultado com o encontrado no
Exemplo 9.12 (Seção 9.7).
*9.52 Use a Equação (9.20) para calcular o momento
de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa M
em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo seu centro.
*9.53 Use a Equação (9.20) para calcular o momento
de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L
em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua
extremidade.
*9.54 Uma barra delgada de comprimento L possui
massa por unidade de comprimento variando a partir da
extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx = x,
onde é constante com unidades de kg/m²,
(a) Calcule a massa total da barra em termos de e de
L.
(b) Use a Equação (9.20) para calcular o momento de
inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e
passando pela sua extremidade esquerda. Use a relação
encontrada na parte (a) para obter a expressão de / em termos
de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido
para uma barra delgada uniforme? Explique essa comparação,
(c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo
passando pela extremidade direita da barra. Como seu
resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)?
Explique esse resultado.
6
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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PROBLEMAS
1240 kg parte do repouso e acelera com aceleração tangencial
constante igual a 3.00 m/s2 em uma pista de teste circular com
raio de 60.0 m. Considere o carro como uma partícula,
(a) Qual é sua aceleração angular?
(b) Qual é sua velocidade angular 6.00 s depois do início?
(c) Qual é sua aceleração radial nesse instante?
(d) Faça um esboço de uma vista de topo mostrando a pista
circular, o carro, o vetor velocidade e os componentes do vetor
aceleração 6.00 s depois de o carro iniciar o movimento,
(e) Qual é o módulo da aceleração resultante e da força
arad
v
arad
r
resultante sobre o carro nesse instante?
(f) Qual é o ângulo formado entre a velocidade do carro
(Veja o Exercício 9.26.)
nesse instante e a aceleração resultante e entre a velocidade e a
9.56 (a) Prove que, quando um objeto parte do repouso e força resultante?
gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular
9.61 O volante de uma prensa de perfuração possui
constante, a aceleração radial de um ponto do objeto é
momento de inércia igual a 16,0 kg. M2 e gira a 300 rev/min. O
diretamente proporcional ao seu deslocamento angular,
(b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando volante fornece toda a energia necessária para a rápida operação
a aceleração resultante fez um ângulo de 36.9° com a direção de perfuração.
(a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a
radial inicial?
velocidade do volante se reduz devido a uma repentina operação
de perfuração que necessita de 4000 J de trabalho,
9.57 O rolo de uma impressora gira um ângulo:
(b) Qual deve ser a potência (em watts) fornecida ao volante
2
3
t
t
t
para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5.00 s?
= 3.20 rad/s2 e = 0,500 rad/s3.
9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar, com
(a) Calcule a velocidade angular do rolo em função do
massa
igual a 40.0 g, está preso à extremidade livre de um fio de
tempo,
(b) Calcule a aceleração angular do rolo em função do 2.50 m preso ao teto. O bolinho é puxado horizontalmente até
formar um ângulo de 36.9° com a vertical e a seguir é libertado,
tempo,
(a) Qual deve ser o módulo, a direção e o sentido da
(c) Qual é a velocidade angular positiva máxima, e para
velocidade angular do bolinho na primeira vez que a aceleração
qual valor de t isso ocorre?
angular se anula?
(b) Qual é o segundo instante em que t = 0?
*9.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0.33 m gira
(c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b), qual é o
2
com aceleração angular
t
t , onde = 1.80 rad/s
módulo, a direção e o sentido da aceleração radial do bolinho?
e = 0.25 rad/s³. Ela está em repouso para t = 0.
(d) Mostre que a resposta da parte (c) não depende do
(a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular comprimento do fio.
em função do tempo.
(b) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o
9.63 A correia de uma máquina de lavar a vácuo é enrolada
deslocamento angular positivo máximo da roda. {Sugestão: ligando um eixo de raio igual a 0.45 cm com uma roda de raio
Veja a Seção 2.7.}
igual a 2.00 cm. O arranjo envolvendo a correia, o eixo e a roda é
semelhante ao descrito na Figura 9.11 envolvendo a corrente e
9.59 Quando um carrinho de brinquedo é atritado contra o as rodas dentadas de uma bicicleta. O motor faz o eixo girar com
piso, ele acumula energia em um volante. O carrinho possui 60.0 rev/s e a correia faz a roda girar, que por sua vez está ligada
massa igual a 0.180 kg. e seu volante possui momento de inércia a um outro eixo que empurra a sujeira para fora do tapete que
igual a 4.00.10kg.m2. O carrinho possui comprimento igual a está sendo lavado a vácuo. Suponha que a correia não deslize
15.0 cm. Uma propaganda alega que a velocidade de escala do nem sobre o eixo nem sobre a roda.
carrinho pode atingir 700 km/h. A velocidade de escala é a
(a) Qual é a velocidade de um ponto sobre a correia?
velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de escala dado
(b) Qual é a velocidade angular da roda em rad/s?
pela razão entre o comprimento de um carro real e o
comprimento do carrinho de brinquedo. Considere um carro real
9.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450 rev/min.
de comprimento igual a 3.0 m.
Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma segunda
(a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h, qual deve polia com metade do diâmetro através de uma correia V. Uma
ser a velocidade de translação efetiva do carrinho?
serra circular de diâmetro igual a 0.208 m está montada sobre o
(b) Supondo que toda a energia cinética inicialmente mesmo eixo da segunda polia,
acumulada no volante possa ser convertida em energia cinética
(a) O operador não é cuidadoso, e a lâmina lança para trás
de translação do carrinho, qual foi a energia cinética um pequeno pedaço de madeira. A velocidade do pedaço de
inicialmente acumulada no volante?
madeira é igual à velocidade tangencial na periferia da lâmina.
(c) Qual será a velocidade angular inicial necessária para Qual é essa velocidade?
que o volante tenha a quantidade de energia cinética acumulada
(b) Calcule a aceleração radial nos pontos sobre a periferia
no item (b)?
da lâmina para entender por que o pó da madeira serrada não fica
grudado em seus dentes.
9.60 Um automóvel clássico Chevrolet Corvette 1957 com
9.55 Faça um desenho de uma roda situada no plano do
papel e girando no sentido anti-horário. Escolha um ponto sobre
a circunferência e desenhe um vetor r ligando o centro com
esse ponto,
(a) Qual é a direção e o sentido do vetor ?
(b) Mostre que a velocidade desse ponto é dada por
v
r.
(c) Mostre que a aceleração radial desse ponto é dada por
7
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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9.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma
aceleração angular constante enquanto gira em tomo de um eixo
fixo passando em seu centro,
(a) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial de
um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo é
igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o
deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do ponto
ao eixo.
(b) A aceleração radial de um ponto sobre a roda situado a
uma distância de 0.250 m do eixo varia de 25.0 m/s2 a 85.0 m/s2
para um deslocamento angular da roda igual a 15.0 rad. Calcule
a aceleração tangencial desse ponto,
(c) Mostre que a variação da energia cinética da roda
durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do
momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a
aceleração angular e vezes o deslocamento angular,
(d) Durante o deslocamento angular de 15.0 rad
mencionado na parte (b), a energia cinética da roda cresce de
20.0 J para 45.0 J. Qual é o momento de inércia da roda em
relação ao eixo de rotação?
ligando o pólo norte ao pólo sul. O tempo para a Terra completar
um giro é igual a 86164 s. Use o Apêndice F para calcular
(a) a energia cinética da Terra oriunda do movimento
de rotação em tomo desse eixo e
(b) a energia cinética da Terra oriunda do movimento
orbital da Terra em tomo do Sol.
(c) Explique como o valor do momento de inércia da
Terra nos informa que a massa da Terra está mais concentrada
perto do seu centro.
9.68 Um disco maciço uniforme de massa m e raio R
está apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.
Um pequeno objeto de massa w está colado na periferia do
disco. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno objeto
situado na extremidade de um raio horizontal, ache a velocidade
angular quando o pequeno objeto estiver verticalmente embaixo
do eixo.
9.69 Uma régua de um metro e massa igual a 0.160 kg
possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela
pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal. A régua é
mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada.
Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule
(a) a variação da energia potencial gravitacional
ocorrida;
(b) a velocidade angular da régua;
(c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta
ao eixo.
(d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade
de um objeto caindo de uma altura de 1.00 m a partir do repouso.
9.66 Os três objetos uniformes indicados na Figura 9.23
possuem a mesma massa m. O objeto A é um cilindro maciço de
raio R. O objeto B é uma casca cilíndrica de raio R objeto C é um
cubo maciço cuja aresta é igual a 2R. O eixo de rotação de cada
objeto é perpendicular à respectiva base e passa pelo centro de
massa do objeto.
(a) Qual dos objetos possui o menor momento de inércia?
Explique,
(b) Qual dos objetos possui o maior momento de inércia?
Explique,
(c) Como você compara esses resultados com o momento de
9.70 Exatamente uma volta de uma corda flexível de
inércia de uma esfera maciça uniforme de massa m e raio R em massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme maciço
relação a um eixo de rotação ao longo de um diâmetro da esfera? de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em tomo de um
Explique.
2R
eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das extremidades da
corda está presa ao cilindro. O cilindro começa a girar com
velocidade angular . Depois de uma revolução, a corda se
2R
desenrolou e nesse instante ela está pendurada verticalmente
tangente ao cilindro. Calcule a velocidade angular do cilindro e a
velocidade linear da extremidade inferior da corda nesse
instante. Despreze a espessura da corda. {Sugestão: Use a
Equação (9.18).}
A
B
2R
C
Figura 9.23 – Problema 9.66.
9.71 A polia indicada na Figura 9.24 possui raio R e
momento de inércia I. A corda não desliza sobre a polia e esta
gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cinético entre
o bloco A e o topo da mesa é C. O sistema é libertado a partir do
repouso, e o bloco B começa a descer. O bloco A possui massa
mA e o bloco B possui massa mB. Use métodos de conservação da
energia para calcular a velocidade do bloco B em função da
distância d que ele desceu.
FIGURA 9.24
- Problema 9.71.
9.67 A Terra, que não é uma esfera uniforme, possui
9.72 A polia indicada na Figura 9.25 possui raio 0.160
momento de inércia igual a 0.3308MR2 em relação a um eixo m e momento de inércia 0.480 kg.m2. A corda não desliza sobre
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a periferia da polia. Use métodos de conservação da energia para da parte (a) é menor do que h.
calcular a velocidade do bloco de 4.00 kg no momento em que
ele atinge o solo.
9.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R.
Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um
ponto situado a uma distância RH do centro do disco,
(a) Calcule o momento de inércia do disco com o
buraco em de inércia do disco que foi retirado do disco maciço.)
(b) Calcule o momento de inércia do disco com o
buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo centro do buraco.
4,00 kg
9.78 Um pêndulo é constituído por uma esfera
uniforme maciça com massa M e raio R suspensa pela
extremidade de uma haste leve. A distância entre o ponto de
suspensão na extremidade superior da haste e o centro da esfera
5,00 m
é igual a L. O momento de inércia do pêndulo 1^ para uma
rotação em torno do ponto de suspensão é geralmente
2.00 kg
aproximado como ML2,
(a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar que
FIGURA 9.25 - Problema 9.72.
se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezível, Ip será
somente 0.1 % maior do que ML2.
9.73 Você pendura um aro fino de raio R em um prego
(b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de L,
na periferia do aro. Você o desloca lateralmente até um ângulo qual será a razão entre Ihaste em relação a um eixo passando pelo
2
a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual é pivô e ML ?
sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de
9.79 Teorema dos eixos perpendiculares. Considere
equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)
um corpo rígido constituído por uma placa plana fina de forma
9.74 Um ônibus de passageiro em Zurique, na Suíça, arbitrária. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e
usa sua potência motora oriunda da energia acumulada em um imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no exterior
volante grande. Utilizando-se de energia da rede elétrica, a roda do corpo. Seja Ix, o momento de inércia em relação ao eixo Ox, Iy
é colocada em movimento periodicamente quando o ônibus para o momento de inércia em relação ao eixo Oy e I0 o momento de
em uma estação. O volante é um cilindro maciço de massa igual inércia do corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano e
a 1000 kg e raio igual a 1.80 m; sua velocidade angular máxima passando pelo ponto 0.
(a) Considerando elementos de massa mi, com
é igual a 3000 rev/min.
(a) Para essa velocidade angular, qual é a energia coordenadas (xi, yi), mostre que I0 = Ix + Iy. Essa relação é o
teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O não
cinética do volante?
(b) Se a potência média necessária para operar o ônibus precisa ser o centro de massa,
(b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1, e
for igual a 1.86.104 W, qual é a distância máxima que ele pode se
raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para
mover entre duas paradas?
achar o momento de inércia em relação a um eixo situado no
9.75 Dois discos metálicos, um com raio R1 = 2.50 cm e plano da arruela e que passa através de seu centro. Você pode
massa M1 = 0.80 kg e o outro com raio R2 = 5.00 cm e massa M2 usar as informações da Tabela 9.2.
= 1.60 kg, são soldados juntos e montados em um eixo sem atrito (c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o
momento de inércia de uma placa fina quadrada de massa M e
passando pelo centro comum (Figura 9.26).
lado L em relação a qualquer eixo situado no plano da placa e
(a) Qual é o momento de inércia dos dois discos?
2
(b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco menor, que passa através de seu centro é igual a ML /12. Você pode usar
e um bloco de l ,50 kg é suspenso pela extremidade livre do fio. as informações da Tabela 9.2.
Se o bloco é libertado do repouso a uma distância de 2.00 m
9.80 Uma haste uniforme fina é dobrada em forma de
acima do solo, qual é sua velocidade quando ele atinge o solo?
(c) Repita o cálculo da parte (b), agora supondo que o um quadrado de lado a. Sendo M a massa total, ache o momento
fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois de inércia em relação a um eixo situado no plano do quadrado e
casos a velocidade do bloco é maior? Explique por que isso deve que passa através de seu centro. (Sugestão: Use o teorema dos
eixos paralelos.)
ser assim.
9.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9.9
(Seção 9.5). suponha que a massa m que cai seja feita de
borracha, de modo que nenhuma energia mecânica é perdida
quando a massa atinge o solo. a) Supondo que o cilindro não
estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do
repouso a uma altura h acima do solo, até que altura essa massa
atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois
de colidir com o solo?
(b) Explique, em termos de energia, por que a resposta
*9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma
densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, = r,
onde uma constante positiva, a) Calcule o momento de inércia
do cilindro em relação a um eixo longitudinal que passa através
de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta é maior ou
menor do que o momento de inércia de um cilindro com mesma
massa e mesmo raio porém com densidade constante? Explique
qualitativamente por que esse resultado faz sentido.
9
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9.82 Estrelas de nêutrons e restos de supemovas. A
nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que
possui uma extensão de 10 anos-luz, localizada a uma distância
aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.27).
São os restos de uma explosão de uma supernova, observada da
Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo liberta energia
com uma taxa aproximada de
R2
R1
10
m = 1.50 kg
FIGURA 9.26 - Problema 9.75.
Figura 9.27 – Problema 9.82
R
PROBLEMAS DESAFIADORES
9.83 O momento de inércia de uma esfera com
densidade constante em relação a um eixo que passa através de
seu centro é dado por 2MR2/5 = 0.400MR2. Observações feitas
por satélites mostram que o momento de inércia da Terra é dado
por 0.3308MR2. Os dados geofísicos sugerem que a Terra é
constituída basicamente de cinco regiões: o núcleo central (de r
= 0 a r= 1220 km) com densidade média igual a 12.900 kg/m³ o
núcleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com densidade
média igual a 10900 kg/m³ , o manto inferior (de r = 3480 km a
r = 5700 km) com densidade média igual a 4900 kg/m³ o manto
superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com densidade média
igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos (de r = 6350 km a r =
6370 km) com densidade média igual a 2400 kg/m³.
(a) Mostre que o momento de inércia de uma esfera
oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante
é dado por:
I
8
15
R25 R15
(Sugestão: Forme a esfera oca pela superposição de
uma esfera grande com densidade e uma esfera pequena com
densidade - ).
(b) Confira os dados usando-os para calcular a massa
da Terra,
(c) Use os dados fornecidos para calcular o momento
de inércia da Terra em termos de MR2.
*9.84 Determine o momento de inércia de um cone
maciço uniforme em relação a um eixo que passa através de seu
centro (Figura 9.28). O cone possui massa M e altura h. O raio
do círculo da sua base é igual a R.
h
Eixo
Figura 9.28 – Problema 9.84
9.85 Em um CD, a música é codificada em uma
configuração de minúsculas reentrâncias dispostas ao longo de
uma trilha que avança formando uma espiral do interior à
periferia do disco. À medida que o disco gira no interior de um
CD player, a trilha é varrida com velocidade linear constante
= 1.25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta à medida que
o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar quando
o CD está girando. (Veja o Exercício 9.20.) Vamos ver qual é a
aceleração angular necessária para manter v constante. A
equação de uma espiral é dada por:
r
r0
, onde r0 é o raio da espiral para = 0 e
uma constante. Em
um CD, r0 é o raio interno da trilha espiral. Considerando como
positivo o sentido da rotação do CD,
deve ser positivo, de
modo que r e acrescem à medida que o disco gira.
(a) Quando o disco gira através de um pequeno ângulo
d , a distância varrida ao longo da trilha é ds = r d . Usando a
expressão anterior para r( ), integre ds para calcular a distância
total s varrida ao longo da trilha em função do ângulo total
descrito pela rotação do disco.
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(b) Como a trilha é varrida com velocidade linear
constante v, a distância total s encontrada na parte (a) é igual a
vt. Use esse resultado para achar 0em função do tempo. Existem
duas soluções para ; escolha a positiva e explique por que
devemos escolher essa solução.
c) Use essa expressão de (t) para determinar a
velocidade angular e a aceleração angular em função do
tempo. O valor de é constante?
(d) Em um CD, o raio interno da trilha é igual a 25.0
mm, o raio da trilha cresce 1.55 m em cada volta e o tempo de
duração é igual a 74.0 min. Calcule os valores de r0 e de ache
o número total de voltas feitas durante o tempo total da
reprodução do som.
(e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d),
faça um gráfico de (em rad/s) contra t e um gráfico de (em
rad/s2) contra t desde t = 0 até t = 74.0 min.
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Gabarito – Exercícios Ímpares
Exercício
Gabarito
9.1
0.600rad
(a)
(t) 0.4 0.036 t
(a)
rad/s (c)
9.9
= 1.30 rad/s,
= 0.700 rad/s
(a) 24s
(b) 68.8rev
10.5rad/s
9.13
9.17
9.19
(a)
(b)
(c)
18.0 m s 2
arad
0.180 m s2 ,0,0.180 m s2
0.180 m s2 ,0.377 m s2 ,0.418m s2
0.180 m s2 ,0.754 m s2 ,0.775m s2
9.25
10.7 cm; não
9.27
(a) 0.831m s
(b) 109 m/s²
9.29
(a) 2.29
(b) 1.51
(M/12+m/2)L2
9.31
(a)
(b)
(c)
0.064kg m2
0.032kg m2
0.032kg m2
9.35
0.193kg m 2
9.37
9.39
(b) K = π²I ²/1800
9.41
7.35 104 J
2
0.600kg m
K 2 2I T 2
(a)
9.43
(b)
dK dt
4 2 I T 3 dT dt
70J
0.56 J s
(c)
(d)
9.45
9.47
9.69
rad/s
(a) 211 rev/s. (b) 800 W
(a) 1.70 m/s (b) 84.8 rad/s
(b) 2.00 m/s² (d) 0.208 kg.m²
2.14 1029 J
33
(b) 2.66 10 J
(a) 0.784J (b) 5.42rad s
(c) 5.42m s (d) velocidade da partícula:
4.43m s
(a)
9.71
2 gd mB
C
9.73
9.75
mA
mA mB
I R2
g R 1 cos
(a)
9.77
2.25 10 3 kg m2 (b) 3.40m s
(c) 4.95m s
247 512 MR2
(a)
(b)
383 512 MR2
15.7 m s ,1.06 103 m s2 108g .
9.33
9.57
18.0 m s 2
v 3.00 m s, arad
(c)
9.53
9.61
9.63
9.65
9.67
(a)
9.23
1
M L2 3Lh 3h2
3
1 2
ML
3
2
(a) 6.4 t 1.5 t (b) 6.4 3 t
(c) máx 6.83rad s para t 2.13s
(a) 35.0km/h = 9.72 m/s (b) 8.51J (c) 652
3.60m s (b) 43.7m s
(a)
(b)
9.51
9.59
9.00 rev
(a) 540 rad
(b) 12.3s
(c) -8.17 rad/s²
9.15
1
M a 2 b2
3
(b) 0.4
(a)-1.25 rev/s2, 23.3 rev (b) 2.67 s.
9.11
9.21
rad
2
(a) α(t) = 2b-6ct (b) b/3c
9.7
Gabarito
9.49
(b) 6.27 cm (c) 1.05 m
(a) 42 rad/s² (b) 74 rad/s
9.3
9.5
Exercício
75 kg
Um eixo paralelo e a uma distância
2 15 R do centro da esfera
9.79
1
4
(b)
M R12 R22
3
MR 2 (b)maior.
5
5.97 1024 kg (b) 0.334MR 2
(a)
9.81
9.83
(b)
2
s r0
(a)
1
(b)
9.85
(c)
r02 2
2
v t r0
v2
v
2
0
r
2
(d) r0 2.50cm,
v t
r02 2
v t
3
2
0.247 m rad ,2.13 104 rev
12
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Gabarito – Exercícios Pares resolvidos
Cortesia: Editora Pearson
(a)
rev
2 rad 1 min
1900
x
199rad / s.
min
rev
60 s
9-2:
2
a ve
2
(b)
t
9-14:
(b)(35º x
9-4:
rad/180º)/(199 rad/s) = 3.07 x 10 -3 s.
0
dw
dt
(a) (t )
2 t ( 1.60 rad / s 3 )t.
, 0
27 rad / s.
108rad / s ( 27 rad / s)
33.8 rad / s 2 .
4.00 s
0
Da Eq. (9-7), com
0,
t
140 rad / s
23.33rad / s2 .
6.00 s
O ângulo é mais facilmente encontrado de :
(b) (3.0 s) = (-1.60 rad/s3)(3.0 s) = -4.80 rad/s2
t (70 rad / s)(6.00 s) 420rad .
ave
(3.0 s) (0)
2.20rad / s 5.00 rad / s
2.40 rad / s 2 , 9-16: A seguinte tabela dá as revoluções e o ângulo através
3.0 s
3.0 s
dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e em três
o qual é tão grande (em, módulo) quanto a aceleração para
situações distintas:
t = 3.0 s.
ave
9-6: =(250 rad/s) – (40.0 rad/s2)t – (4.50 rad/s3)t2, = -(40.0
rad/s2) – (9.00 rad/s3)t.
(a) Fazendo-se = 0 resulta em uma equação quadrática em t; o
único valor de tempo positivo para o qual = 0 é t = 4.23 s.
(b) At t = 4.23 s, = -78.1 rad/s2.
(c) At t = 4.23 s, = 586 rad = 93.3 rev.
(d) At t = 0, = 250 rad/s.
(e)
ave
9-8:
=
Os gráficos de
(a)
586rad
138rad / s.
4.23s
t
(a)
0
e
são os seguintes:
1.50 rad / s (0.300 rad / s2 )(2.50 s) 2.25rad / s
(b)
0
t 1/ 2 t 2
1
(0.300 rad / s2 )(2.50 s)2
2
(1.50 rad / s)(2.50 s)
4.69rad
9-10:
(a)Resolvendo a Eq. (9-7) para t resulta em:
t
0
.
Reescrevendo a Eq. (9-11) como:
1
t( 0
t)
0
2
encontramos:
1
(
2
0
0
0
1
1
2
(b)
0
e
substituindo
t
)
(c)
(
)
0
2
0
2
2
0
,
a qual quando re-agrupada resulta na Eq.
(9-12).
(b)
= (1/2)(1/∆ )(
2
-
2
0
) = (1/2)(1/(7.00 rad))((16.0
rad/s)2 – (12.0 rad/s)2) = 8 rad/s2.
9-12: (a)
A velocidade angular média é:
e portanto a velocidade angular inicial é:
162rad
40.5 rad / s,
4.00 s
9-18: (a) A Equação (9-7) é resolvida para
resultando em:
ave
2
t, or
0
t
1 2
t.
2
0
=
-
t,
13
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(b)
2
t
(c)
9-20:
s. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes
cálculos )
0.125rad / s 2 .
t2
t 5.5 rad / s.
9-30:
(a)
1.25m / s
1.25 m
50.0 rad / s,
21.55 rad / s,
3
25.0 x 10 m
58.0 x 10 3 m
ou 21.6 rad/s , para três algarismos significativos.
(b) (1.25 m/s)(74.0 min)(60 s/min) = 5.55 km.
(c)
50.0 rad / s 21.55 rad / s
3
2
De
ra d
r,
r
qual
é(1.25
1 rev / 2 rad
1 min/ 60 s
(b)
1.25 x 104 rad / s,
104
x
ra d
tan
(
2
r)
2
( r)
1
2
v
rad
9-28:
0.500m / s 2
0.250 rad / s.
2.00 m / s
(a)
tan
r
ra d
r
2
1.3 x 106 J .
10.0 m / s 2
0.200m
2(0.025 J )
2.25 x 10 3 kg m2 .
2 rad / s 2
(45 rev / min x
)
60 rev / min
2
50.0 rad / s
(9.80 m / s 2 )(0.200 m) 1.40 m / s.
1w 2
v
2g
9-42:
2
v 50.0 m / s
250rad / s,
r
0.200
e para t = 0, v = 50.0 m/s + (-10.0 m/s2)(0 – 3.00 s) = 80.0 m/s,
então = 400 rad/s.
(c) avet = (325 rad/s)(3.00 s) = 975 rad = 155 rev.
v
1
rev 2 rad / rev
(117 kg )(2.08 m)2 2400
x
24
min 60 s / min
Resolvendo a Eq. (9-17) para I, temos:
2K
PL
(b) Para t = 3.00 s, v = 50.0 m/s e
(d)
2
9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro é PL, onde L é o
comprimento da corda.Combinando as Equações (9-17), (9-13)
e a expressão para I , ver Tabela (9-2(g)), temos:
v.
(b) Do resultado da parte (a), temos:
v
9-38:
Combinando as Equações (9-13) e (9-15),
2
(9-2(b)),
K
(1.3 x106 J )
1.16 x103 m 1.16km.
2
mg (117kg )(9.80m / s )
I
r
14
(a) Da Eq. (9-17), com I da Tabela (9-2(f)),
11 2
mL
2 12
y
3.46 m / s .
2
Tabela
(b) De mgy = K,
2
rad
11 2
mL .
16
9-34: (a) Na expressão da Eq. (9-16), cad termo terá a massa
multiplicada por f 3 e a distância multiplicada por f, e então o
momento de inércia é multiplicado por f 3(f) 2 = f 5.
(b)
(2.5)(48)5 = 6.37 x 108.
2
((0.900 rev / s 2 x 2 rad / rev )(0.375m))2
(a)
2
1
1
MR 2
(0.042 kg )(1.5 x 10 3 m)2 4.73 x 10 8 kg m2 .
2
2
I
K
((0.430 rev / s x 2 rad / rev ) 4 (0.375m))2
9-26:
Da
9-36:
(d) Combinando as Equações (9-14) e (9-15),
2
3L
m
4
(b) Para esta vara fina o momento de inércia relativo ao seu eixo
é obtido considerando-a como um cilindro sólido e, da Tabela
(9-2(f)),
1.20 x 105 rev / min .
0.750m
(0.430rev / s x 2 rad / rev ) 1.01m / s.
2
2
2
1 2 1
I
ML
(0.042kg )(1.50 m)2 3.15 x 10 2 kg m2 .
3
3
rad/s)
9-24: (a)
= 0 + t = 0.250 rev/s + (0.900
rev/s2)(0.200 s) = 0.430 rev/s (note que desde que 0 e são
dados em termos das revoluções, não é necessário converter
para radianos).
(b) onda∆t = (0.340 rev/s)(0.2 s) = 0.068 rev.
(c) Aqui, a conversão para radianos deve ser realizada para que
se possa utilizar a Eq. (9-13), então
v r
L
m
4
1
1
ML2
(0.042kg )(1.50 m)2 7.88 x 10 3 kg m2 .
12
12
I
400,000 x 9.80 m / s 2
2.50 x 10 2 m
2
L
I m
4
9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes
maior que a sua largura, então a mesma pode ser considerada
como sendo uma vara fina
(a) Da Tabela (9-2(a)),
6.41 x 10 rad / s 2 .
(74.0 min)(60 s / min)
9-22:
A distância das massas relativo ao eixo são:
L L 3L e portanto da Eq. (9-16), o momento de inércia é:
, e ,
4 4 4
Esta
velocidade será alcançada em um tempo de:
50.0 m / s 1.40m / s
4.86 s após t = 3.00 s, ou para t = 7.86
10.0 m / s 2
P
1 w v2
2g L
(40.0 N )(6.00 m / s) 2
14.7 N .
2(9.80 m / s 2 )(5.00 m)
(a) Com I = MR2, a expressão para v é:
v
2 gh
.
1 M /m
Esta expressão é menor que aquela para um cilindro sólido. A
maior parte da massa está concentrada na sua borda, então, para
uma dada velocidade, a energia cinética do cilindro é maior.
Uma grande parte da energia potencial é convertida para
energia cinética do cilindro, e portanto, uma quantidade menor
está disponível para a massa em queda .
9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da
corda, então a variação na energia potencial gravitacional é:
1
mgL
2
1
(3.00kg )(9.80m / s 2 )(10.0 m)
2
147 J .
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
9-46: Na Eq. (9-19), Icm = MR2 e d = R2 , então IP = 2MR2.
9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se
encontrar o momento de inércia de uma corda fina relativo ao
eixo através de sua extremidade e perpendicular a corda, temos:
M 2
L
L M
12
2
1
I
Ma 2
12
Md 2
I P I cm
9-50:
(a)
(b)
1
I
Mb 2
12
2
t
2
M 2
L.
3
2
t2
t 2 (1.80 rad / s 2 )t (0.125rad / s 3 )t 2 .
6
t 3 (0.90 rad / s 2 )t 2 (0.042 rad / s 3 )t 3 .
(b) A velocidade angular positiva máxima ocorre quando
; a velocidade angular para este tempo é:
ou t =
2
2
1
2
2
1 (1.80 rad / s 2 ) 2
2 (0.25 rad / s 3 )
6.48 rad / s.
9-52: A análise é idêntica aquela do Exemplo 9-13, com o
limite inferior na integral sendo zero, o limite superior sendo O deslocamento angular máximo ocorre quando
2
igual a R, e a massa M
LpR . O resultado é:
1
I
NR 2 , o que está de acordo com a Tabela (9-2(f)).
2
9-54:
Para estes caso temos dm = dx.
(a) M
L
dm
0
x2
2
x dx
L2
.
2
L
0
t
o tempo
2
I
L
x4
4
x 2 ( x)dx
0
L
0
L4
4
M 2
L
2
0, para 15
(t = 0 é um ponto de inflexão e (0) não é
um máximo ) e o deslocamento angular para este tempo é:
2
3
2
2
2 3 2 (1.80 rad / s 2 )3
62.2 rad .
2
6
3 2 3 (0.25 rad / s 3 )
9-60:
(a)
tan
r
(b)
= 0,
3.00 m / s2
60.0 m
0.050rad / s2 .
(b) t (0.05rad / s2 )(6.00s) 0.300rad / s.
2
(c) ra d
r (0.300 rad / s )2 (60.0 m) 5.40 m / s 2 .
Isto é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme
de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de
massa é bem maior longe do eixo que quando mais próximo (d)
dele .
(c)
L
I
( L x ) 2 xdx
0
L
( L2 x 2 Lx 2 x 3 ) dx
0
L2
x2
2
2L
x3
3
x4
4
L
0
L4
12
M 2
L.
6
(e)
2
2
ra d
tan
6.18 m / s 2 ,
e o módulo da força é :
F = ma = (1240 kg)(6.18 m/s2) = 7.66 kN.
Este é um terço do resultado encontrado na parte (b), refletindo
(f) arctan
o fato de que mais a massa está concentrada no final .
9-56:
(5.40 m / s 2 ) 2 (3.00 m / s 2 ) 2
ra d
arctan
tan
(a) Para uma aceleração angular constante, temos:
5.40
3.00
60.9o.
2
9-62: (a) A aceleração angular será zero quando a
velocidade for um máximo, o que ocorre na parte inferior do
(b) Denotando como o ângulo que o vetor aceleração faz com circulo . De considerações de energia, a velocidade é:
a direção radial, e utilizando as Equações (9-14) e (9-15),
v =
2gh 2gR(1 cos ), onde é o
2
2
tan
rad
tan
r.
r
r
1
,
r 2 r 2
2
rad
então
r 2
1
2 tan
9-58: (a)
(9-5) e (9-3),
ângulo entre a vertical, livre, e
v
R
1
0.666rad .
2 tan36.9o
2g
(1 cos )
R
2(9.80 m / s 2 )
(1 cos36.9o ) 1.25 rad / s.
(2.50 m)
Por integrações sucessivas das Equações
(b)
será novamente igual a 0 quando a almôndega passa
através do ponto mais baixo.
(c)
rad
é direcionada em direção ao centro, isto é:
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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2
rad
R
2
(1.25 rad / s) (2.50 m) 3.93 m / s 2 .
rad
(d) rad = 2R = (2g/R)(1- cos
independente de R.
)R = (2g)(1 – cos
9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou
em energia cinética é:
K = (4.00 kg – 2.00 kg)(9.80 m/s2)(5.00 m) = 98.0 J.
Em termos da velocidade comum dos blocos, a energia
cinética
do
sistema é:
),
K
1
(m1 m2 )v 2
2
2
1 v
I
2 R
9-64: A segunda polia, com metade do diâmetro da primeira,
deve ter duas vezes a velocidade angular, e esta é a velocidade
1
(0.480 kg m 2 )
v 2 4.00 kg 2.00 kg
angular da lâmina da serra
2
(0.160 m)2
(a) (2(3450 rev/min))
Resolvendo para v, temos:
rad / s
0.208m
75.1 m / s.
98.0 J
30 rev / min
2
2
(b)
rad
v
2(3450 rev / min)
rad / s
30 rev / min
2
0.208 m
2
5.43 x 104 m / s 2 ,
9-74:
(a)
1 2
K
I
2
então a força segurando a serragem sobre a lâmina deveria ser
1 1
aproximadamente 500 vezes tão forte quanto a gravidade .
(1000kg )(0.90 m) 2
2 2
2.00 x 107 J .
9-66: Da Tabela (9-2), quantitativamente:
rad
IA
1
2
MR 2 , I B MR 2 and I C
MR 2 .
2
3
3000rev / min x
o qual é aproximadamente 18 min.
9-68: Utilizando considerações de energia, o sistema adquire
tanto energia cinética quanto ocorre a perda em sua energia
potencial , mgR. A energia cinética é:
1 2 1 2 1 2 1
1
K
I
mv
I
m( R) 2
(I mR2 ) 2 .
2
2
2
2
2
h =
I
1
mR2
2
2
e resolvendo para , obtemos:
4g
, e
3R
4g
.
3R
m 2
R
2
M
4
2
0
m 2
R
2
2
9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia é perdida, a altura
de recuo h está relacionada com a velocidade v por:
2
h = v , e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9,
2g
h
.
1 M / 2m
(b) Considerando o sistema como um todo, alguma parte da
energia potencial inicial da massa transformou-se em energia
cinética do cilindro. Considerando apenas a massa, a tensão na
corda realizou trabalho sobre a massa, então sua energia total
não é conservada .
IP
ML2
2
(4 mg / R)
,
( M 2m)
e a velocidade em qualquer parte da corda é:
v = R.
2
5
1
R
L
2
.
Se R = (0.05) L, a diferença é (2/5)(0.05)2 = 0.001.
(b) (Irod/ML2) = (mrod/3M), o qual é 0.33% quando
mrod = (0.01) M.
9-80:
Cada lado possui um comprimento a e massa
M
,
4
e
o momento de inércia de cada lado, relativo a um eixo
perpendicular ao lado e através do seu centro é:
1 M 2
a
12 4
Ma 2
.
48
Do Teorema dos Eixos Paralelos, o momento de inércia de cada
lado relativo ao eixo através do centro do quadrado é:
mg R.
Ma 2
48
Resolvendo para , temos:
0
2
9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos, o momento de
inércia é:Ip = (2/5)MR2 ML2, e
9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia
potencial gravitacional como estando no eixo, a energia
potencial inicial é nula ( a corda é empacotada círculos tendo o
eixo como centro ). Quando a corda é desenrolada seu centro de
massa está a uma distância de R abaixo do eixo. O
comprimento da corda é 2 R e metade desta distância é a
posição do centro de massa. Inicialmente toda parte da corda
está se movimentando com velocidade 0R, e quando a corda é
desenrolada, o cilindro possui uma velocidade angular , então
a velocidade da corda é R (a parte superior final da corda
possui a mesma velocidade tangencial que a borda do cilindro).
Da conservação de energia, e utilizando I = (1/2)MR2 para um
cilindro uniforme , temos:
M
4
2 rad / s
60 rev / min
K 2.00 x 107 J
1075s,
Pave 1.86 x 104 W
(b)
(a) O objeto A possui o menor momento de inércia, pois, dos
três objetos dados sua massa é a mais concentrada próxima ao
eixo.
(b) Por outro lado, o objeto B possui a massa concentrada o
mais distante do eixo.
(c) Como Iesfera = 2.5 MR2, a esfera deveria trocar o disco como
possuindo o menor quantidade de momento de inércia .
Utilizando
16
2.81m / s.
12.4 kg
r
v 2 12.4 kg.
9-82:
M a
4 2
2
Ma 2
.
3
(a) Do Exercício 9-43, a taxa de perda de energia é:
4 2 I dT resolvendo para o momento de
;
T 3 dt
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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inércia I em termos da potência P, temos:
PT 3 1
4 2 dT / dt
31
3
(5 x10 W )(0.0331 s)
1s
1.09 x1038 kg m2 .
4 2
4.22 x10 13 s
I
I
(b) R
5I
2M
5(1.08 x 1038 kg m2 )
9.9 x 103 m 10 km.
30
2(1.4)(1.99) x 10 kg )
R
R 2 (9.9 x 103 m)
1.9 x 106 m / s 6.3 x 10 3 c.
T
(0.0331s)
(c) 2
(d) M
V
M
6.9 x 1017 kg / m3 ,
3
(4 / 3) R
o qual é muito maior que a densidade de uma rocha comum, 14
ordens de grandeza, sendo comparável a densidade de massa
nuclear .
9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo
9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo
vertical ), temos:
R
R2 2
R4 4
r( z ) z , dm
z
dz
and
dI
z dz.
h
h2
2 h4
Então,
I
dI
R4
2 h4
h
0
z 4 dz
R4 5 h 1
[ z ]0
10 h 4
10
O volume de um cone circular é :
V
1 2 e sua massa é : 1
R h,
3
3
3
I
10
R 2 h, e portanto:
R2h 2 3
R
MR 2 .
3
10
R 4 h.
17