matemática

MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Polinômios
e Equações
Algébricas
Polinômio
EM_V_MAT_017
Em Alexandria, na segunda metade do séc. III
d.C., Diofanto produziu o primeiro tratado de Álgebra conhecido, denominado “Aritmética”, resultado
de uma evolução gradual de trabalhos como os de
Euclides e Heron. Foi um dos primeiros a adotar o
chamado método sincopado que mesclava palavras
abreviadas e variáveis.
Os matemáticos hindus, destacando-se Brahmagupta e Bhaskara, se aproximaram mais de uma
notação abreviada, inclusive com a introdução do
conceito de número negativo.
Os árabes também alcançaram grandes avanços, com destaque para os “Rubaiyat” de Omar
Khayyam e a “Álgebra” de Al-Khowarizmi (de onde
provém o vocábulo algarismo) e que usou pela primeira vez o termo álgebra que significa “trocar de
termo” (um termo de uma equação).
No Renascimento (séc. XVI) diversos matemáticos desenvolveram a Álgebra e particularmente
os polinômios, notadamente a escola italiana com
Girolano Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia
(1500-1557) e Ludovico Ferrari (1522-1565).
Um importante marco foi a demonstração, em
1798, pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) do Teorema Fundamental da Álgebra.
Atualmente, diversos matemáticos desenvolvem trabalhos avançados sobre polinômios tanto em
Matemática pura como aplicada.
Chama-se polinômio inteiro em x a função P:
C C dada por:
P(x) = anxn + an–1 xn 1 +an 2xn 2 + ... + a1x + a0 = 0
onde an, an – 1, ..., a1, a0 são chamados coeficientes e
podem ser números reais ou complexos.
•• Monômio: é o polinômio que possui um único
termo. Ex.: p(x) = – 3 x 3.
•• Polinômio completo: é aquele que não possui
coeficientes nulos. Um polinômio completo de
grau n possui n+1 termos.
Valor numérico
O valor numérico de p(x) em b (b C) é a imagem de b pela função p, ou seja, P(x) = aobn + a1bn–1
+ a2bn–2 + ... + an–1b + an
``
Exemplos:
P(x) = 2x4 – 5x3 + 2x2 – x +1
2 . 22 –2 + 1 = –1
P(2) = 2 . 24 –5 . 23 +
P(x) = x3 – 2ix2 – x + (3i – 2)
–2) = 5i –2
P(i) = i3 – 4i.i2 – i + (3i
P(x) = x3 + 3x2 + 2x
=0
P(–1) = (–1)3 + 3.(–1)2 + 2.(–1)
P(1) = ao + a1 +a2 + ... + an−1 + an é a soma
dos coeficientes.
P(0) = ao é o termo independente.
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1
Raízes
Chamam-se raízes do polinômio P(x) os valores
de x ∈ C tais que P(x) = 0.
Um polinômio de grau n possui exatamente n
raízes reais ou complexas. Dessa forma, a quantidade
de raízes reais é no máximo n.
``
``
Exemplo:
x2 − 3x + 1 − (x2 − 5x + 1) =
x2 − 3x + 1 − x2 + 5x − 1 = 2x
Exemplo:
O polinômio P(x) = x3 + 2x2 − x − 2 é um polinômio completo de grau 3 e possui três raízes reais: −1 , 1 e 2.
Grau
Multiplicação de polinômios
Para multiplicar polinômios basta aplicar a distributividade da multiplicação.
Dado um polinômio P(x) com pelo menos um
termo de coeficiente não-nulo, o grau de P, indicado
por gr(P) é o maior dos expoentes da variável x nos
termos com coeficientes não-nulos.
Se P tem todos os coeficientes nulos, não se
define o grau de P.
``
o fato do sinal menos incidir sobre todos os termos
entre parênteses de acordo com a propriedade
distributiva da multiplicação.
Exemplos:
``
Exemplo:
(x3 +2x −1)⋅(x2 + x + 2) = x5 + x4 + 2x3 + 2x3 + 2x2 +
4x − x2 − x − 2 = x5 + x4 + 4x3 + x2 + 3x − 2
Note que se o produto de dois polinômios é nulo,
pelo menos um dos polinômios deve ser nulo.
p ⋅ q = 0 ⇔ p = 0 ou q = 0
P(x) = 2x3 −x + 1 ⇒ gr(P) = 3
P(x) = 1 + 2x −x4 ⇒ gr(P) = 4
P(x) = 3 ⇒ gr(P) = 0
Operações com polinômios
Adição e subtração de
polinômios
A adição e a subtração de polinômios são feitas
somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos
termos de mesmo grau em todas as variáveis.
``
Exemplos:
1) (4x2 − 3x) − (x2 −4x − 3) = 3x2 + x + 3
2) (x3 − 1) + (x4 − x3 +1) = x4
Frequentemente na subtração de polinômios é
preciso eliminar parênteses. Deve-se atentar para
2
O grau do produto é a soma dos graus dos
fatores.
gr(p ⋅ q) = gr(p) +gr(q)
No exemplo acima, o produto de fatores de
graus 3 e 2 teve graus 2 + 3 = 5.
Divisão de polinômios
Dados dois polinômios P(x) e D(x), de graus p e
q, respectivamente, dividir P(x) por D(x) é encontrar
dois polinômios Q(x) e R(x), denominados quociente
e resto, respectivamente, que satisfazem
P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x)
onde o grau de R(x) deve ser menor que o grau de
D(x) ou R(x) = 0.
Se gr(P) < gr(D), então Q(x) = 0 e R(x) = P(x).
Se gr(P) ≥ gr(D), a divisão pode ser efetuada pelo
seguinte algoritmo denominado Método da Chave.
I. Ordenam-se P(x) e D(x) segundo as potências
decrescentes de x, inclusive com os termos
do dividendo que possuem coeficiente 0.
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EM_V_MAT_017
P(x) = 0 ⇒ não se define gr(P)
II. Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro termo de D(x), obtendo-se o primeiro
termo do quociente.
III. Multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do
quociente e subtrai-se o resultado de P(x),
obtendo-se o primeiro resto parcial.
mo grau e têm todos os coeficientes iguais.
``
1) Calcular a, b e c de modo que se tenha, ∀x ∈ R, ax4
+(b +1)x2 + (2c −1) = x2 +1.
IV. Com o primeiro resto parcial e o divisor
D(x) repetem-se as operações, obtendo-se
o segundo termo do quociente e assim sucessivamente até se encontrar um resto de
grau menor que o divisor.
``
A igualdade se verifica ∀x ∈ R se os polinômios
forem idênticos, assim:
ax4 +(b + 1)x2 + (2c −1) = x2 +1 ⇔
a=0
b+1=1 b=0
2c – 1 = 1 c = 2
Exemplo:
Calcular (x3 + 2x –1) : (x2 + x + 2)
2) Obtenha A e B de forma que
B
A
1
=
+
para todo x ≠ 0 e x ≠ −1.
x+1
x
x(x +1)
B
A
1
=
+
⇔ 1 = A(x + 1) + Bx ⇔
x
+
1
x
x(x +1)
x3 + 0x2 + 2x − 1 x2 + x + 2
−x3 − x2 − 2x
Exemplos:
x−1
− x + 0x − 1
2
x2 + x + 2
1 = (A + B)x + A
x+1
Igualando os coeficientes temos:
Q(x) = x − 1 e R(x) = x + 1
A=1
A+B=1+B=0
O grau do quociente é a diferença dos graus
do dividendo e do divisor.
gr(Q) = gr(P) −gr(D)
No exemplo acima, o quociente tem grau
1 = 3 − 2.
A divisão de polinômios também pode ser
efetuada pelo método de Descartes ou método dos
coeficientes a determinar, que é uma aplicação da
identidade de polinômios. Nesse método, parte-se
da expressão P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x), onde gr(Q) =
gr(P) −gr(D) e gr(R)MAX = gr(D) −1. O quociente e o
resto são obtidos então igualando-se os coeficientes
dos dois lados.
``
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos quando têm
sempre o mesmo valor, qualquer que seja o valor
atribuído à variável.
B = –1
Exemplos:
1) Dividir P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 e D(x) =x3
+ 1.
Supondo Q(x) = ax + b e R(x) = cx2 + dx + e,
temos:
P = QD + R
⇒ x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = (ax + b)⋅(x3 + 1) +
(cx2 + dx + e)
⇒ x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = ax4 + bx3 + cx2 +
(a + d)x + (b + e)
EM_V_MAT_017
Dois polinômios idênticos são sempre de mes-
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3
P(a) = [a(−b/a) +b]⋅Q(−b/a) + R ⇔
R = P(−b/a)
``
d=3
e=3
Calcule o resto de P(x) = x3 + x2 + x + 1 por x + 1.
O resto será P(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = 0. Logo,
−1 é raiz de P(x).
⇒ Q(x) = x + 2 e R(x) = 3x + 3x + 3
2
2) Determine p e q de modo que x3 − 6x2 + px − 1 seja
divisível por x2 + 3x − q.
Devemos fazer o resto R(x) = 0 e adotar um quociente Q(x) = ax + b do primeiro grau. Assim,
x3 − 6x2 + px − 1 = (x2 + 3x − q) ⋅ (ax + b) ⇔ x3 − 6x2
+ px − 1 = ax3 + (b + 3a)x2 + (3b − aq)x −bq
a
``
a=1
b + 3a = b + 3 ⋅ 1 = −6 ⇔ b = −9
Exemplo:
P(2) = 23 + 2 ⋅ 22 + m⋅2 − 10 = 0 ⇔ m = −3
Regra de Ruffini-Horner
3b − aq = 3(−9) −1 ⋅ q = p ⇔ p + q = −27
Numa divisão de um polinômio P(x) por x − a:
1.°)dispomos a e os coeficientes de P(x), inclusive os nulos;
−bq = −1 ⇔ − (−9)q = −1 ⇔ q = −1/9
p = −27 − (−1/9) = −242/9
2.°)o coeficiente do primeiro termo do quociente
é igual ao coeficiente do primeiro termo do
dividendo;
Polinômio identicamente nulo: É aquele que é
nulo para qualquer valor da variável. Um polinômio
identicamente nulo tem todos os seus coeficientes
iguais a zero.
3.°) o coeficiente do segundo termo do quociente
é igual ao coeficiente do segundo termo do
dividendo mais o produto do coeficiente do
primeiro termo do quociente pelo segundo termo do binômio tomado com o sinal trocado;
4.°)em geral, o coeficiente do termo de ordem p
do quociente é igual ao coeficiente do termo
da mesma ordem do dividendo, mais o produto do coeficiente do termo antecedente do
quociente pelo segundo termo do binômio
tomado com o sinal trocado;
Se um polinômio de grau n possuir mais de n
raízes, então ele é identicamente nulo.
5.°)finalmente, obtém-se o resto da divisão
multiplicando o coeficiente do termo constante do quociente pelo segundo termo
do binômio tomado com o sinal trocado e
adicionando a esse produto o coeficiente do
termo constante do dividendo.
Teorema de D’Alembert
O resto da divisão de um polinômio P(x) por
ax +b, com a ≠ 0, é igual a P(−b/a).
Demonstração: na divisão de P(x) por ax +b o
resto deve ter grau zero. Assim, podemos dizer que
a divisão terá um quociente Q(x) e resto R(x) = R =
constante. Logo,
P(x) = (ax + b)⋅Q(x) + R(x) ⇔
P(x) = (ax + b)⋅Q(x) +R
Fazendo x = −b/a, teremos
O polinômio P(x) é divisível por ax +b, com
0 se, e somente se, P(−b/a) = 0.
Determine m para que o polinômio P(x) = x3 +2x2 +mx
−10 seja divisível por x −2.
Igualando os coeficientes dos termos de mesmo
grau, temos:
4
Exemplo:
``
Exemplo:
1) Dividir 2x3 − 5x2 + 3x − 4 por x − 2
Inicialmente alocar no dispositivo os coeficientes do
dividendo e o segundo termo do binômio com o sinal
trocado e então proceder como acima:
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EM_V_MAT_017
⇒
a=1
b=2
c=3
a+d=4
b+e=5
2
2
−5
3
−4
2
−1
1
−2
2.2+(−5)
2.(−1)+3
2.1+(−4)
Q(x) = 2x2 − x + 1 e R = −2
2) Determinar a e b para que o polinômio
x3 − ax2 + bx − 10 seja divisível por (x + 2)(x − 1).
1
−a
b
−10
−2
1
−2−a
4+a+b
−18 − 2a − 2b = 0
1
1
−1−a
3 + b=0
2a + 2b = −18 e b + 3 = 0 ⇔ b = −3 e a = −6
Ao longo da história, muitos matemáticos
dedicaram-se ao estudo da resolução das equações
polinomiais, tendo sido um dos grandes desafios da
Álgebra Clássica.
As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX e Bhaskara
no século XII, com importantes conclusões sobre a
resolução de equações de 1.o e 2.o graus.
Porém, só no século XVI, no Renascimento, é
que os matemáticos italianos Cardano, Tartaglia e
Ferrari começaram a propor fórmulas para resolver
equações de 3.o e 4.o graus.
Em 1798, Gauss demonstrou que “toda equação de grau n (n N*) admite pelo menos uma raiz
complexa”, o que ficou conhecido como o Teorema
Fundamental da Álgebra. Em 1824, o matemático
norueguês Abel demonstrou que uma equação do 5.o
grau não poderia ser resolvida através de fórmulas
envolvendo radicais, resultado demonstrado em 1829
por Galois e estendido a todas as equações polinomiais de grau maior que o 4.o.
As descobertas de Abel e Galois não significam,
no entanto, que nunca poderemos conhecer as raízes
de uma equação de grau maior que 4. Existem teoremas gerais que, associados a condições particulares,
permitem que descubramos soluções de equações
deste tipo.
Equação polinomial
ou algébrica
EM_V_MAT_017
Denominamos equação polinomial ou equação
algébrica de grau n a toda equação da forma:
O conjunto solução ou conjunto verdade de uma
equação algébrica, no conjunto universo U, é o subconjunto de U que contém as raízes da equação.
Duas equações são ditas equivalentes em U,
quando apresentam o mesmo conjunto solução
nesse domínio.
Quantidade de raízes
Teorema Fundamental da Álgebra: todo
polinômio de grau n ≥ 1 admite ao menos uma
raiz complexa.
Corolário 1: Toda equação polinomial de grau n
admite exatamente n raízes complexas.
Corolário 2: Todo polinômio
p(x) = anxn + an-1 xn-1 +an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = 0
de grau n pode ser colocado na forma fatorada:
P(x) = an (x − r1)⋅(x − r2)⋅...⋅(x − rn)
onde r1, r2, ..., rn são as raízes de P(x).
Corolário 3: Se um polinômio de grau n possuir
mais de n raízes, então ele é identicamente nulo.
``
Exemplo:
Verificar que uma raiz da equação x3 − 3x2 + 4x
− 2 = 0 é o número 1, obter as outras raízes e obter
a forma fatorada de P(x).
Podemos aplicar diretamente o algoritmo de
Ruffini:
1
1
−3
4
−2
1
−2
2
0
Como o resto da divisão por x −1 é 0, então 1 é
raiz de P(x).
O quociente é q(x) = x2 − 2x + 2, cujas raízes
são 1 ± i.
Raízes: 1, 1+ i e 1 − i. P(x) = (x − 1)⋅(x − 1 − i)⋅(x
−1 + i)
Multiplicidade
Dizemos que r é raiz de multiplicidade m (m ≥
1) da equação P(x) = 0 se, e somente se,
p(x) = anxn + an-1 xn-1 +an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = 0
onde ao, a1, ..., an são chamados coeficientes e podem
ser números reais ou complexos, e an ≠ 0 é chamado
coeficiente dominante.
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5
ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0
quando o polinômio P é divisível por (x−r)m e não é
divisível por (x−r)m+1.
Quando m =1 dizemos que r é uma raiz simples;
quando m = 2, dupla; tripla quando m = 3 etc.
``
Exemplos:
1) Verificar qual é a multiplicidade da raiz −3 na equação x4 +6x3 +11x2 +12x +18 = 0.
−3
−3
−3
1
1
1
1
6
3
0
−3
11
2
2
11
12
6
0
18
0
⇒ P(x) = (x + 3)2 ⋅ (x2 + 2) ⇒ −3 tem multiplicidade 2
``
Raízes complexas de equações
com coeficientes reais
Se um complexo z = a + bi, a ∈ R e b ∈ R, é
raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado z= a – bi também é raiz da
equação.
Corolários:
1)Toda equação algébrica de coeficientes reais
e grau ímpar admite pelo menos uma raiz
real.
2)Se o complexo z é raiz de multiplicidade m
de uma equação algébrica de coeficientes
reais, então o conjugado z também é raiz de
multiplicidade m da equação.
``
Exemplo:
Resolver a equação x4 + 4x3 − 17x2 + 26x − 14 = 0
sabendo que 1 −i é uma de suas raízes.
2) Qual é o grau de uma equação polinomial P(x) = 0
cujas raízes são 3, 2, −1 com multiplicidades 7, 6 e
10, respectivamente?
Como trata-se de uma equação de coeficientes reais, se
1 − i é raiz , então 1 + i também é raiz.
P(x) = k⋅(x − 3)7⋅(x − 2)6⋅(x + 1)10, com k ∈ * ⇒
gr(P) = 23
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:
Pesquisa de raízes
Raízes racionais de equações
com coeficientes inteiros
p
Se r = , p e q inteiros primos entre si, é uma
q
raiz racional da equação de coeficientes inteiros
p(x) = anxn + an-1 xn−1 +an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = 0
então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
``
Exemplo:
Verificar se a equação 2x3 + x2 + x − 1 = 0 admite raízes
racionais.
p
x= q ⇒ p ∈ {1, −1} e q ∈ {1, −1, 2, −2}
1
1
p
x= q ⇒ ∈ {1, −1, , – }
2
2
p(x) = 2x3 + x2 + x − 1
p(1) = 3
p(−1) = −3 P(1/2) = 0 p(−1/2) = −3/2
Logo, a única raiz racional da equação é 1/2.
6
Exemplo:
1
4
−17
26
−14
1−i
1
5−i
−13 − 6i
7 + 7i
0
1+i
1
6
−7
0
⇒ x2 + 6x − 7 = 0 ⇒ raízes: x = 1 ou x = −7
⇒ S = {1, −7, 1+i, 1−i}
Vale notar que esse exercício pode ser mais facilmente resolvido aplicando-se as relações de Girard
do próximo tópico.
Relações de Girard
Seja o polinômio P(x) = anxn + an−1 xn−1 +an−2xn−2
+ ... + a1x + a0 e Sk a soma dos produtos das raízes
tomadas em grupos de k, temos:
a
Sk = (–1)k n–k
an
``
Exemplo:
1) Sendo o polinômio P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 cujas
raízes são –1, –2 e –3.
S1 = – 1 + (– 2) + (– 3) = (–1)1 6 = – 6
1
S2 = (– 1)(– 2) + (– 1)(– 3) + (– 2)(– 3) = (– 1)2
11 = 1
1
S3 = (– 1)(– 2)(– 3) = (– 1)3 6 = – 6
1
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EM_V_MAT_017
P(x) = (x −r)m⋅Q(x) e Q(r) ≠ 0
2) Se a, b, c e d são as raízes da equação x4 − 2x3 + 3x2
−5x + 7 = 0, calcule o valor da expressão
E = 1 + 1 + 1 + 1.
a
b
c
d
bcd + acd + abd + abc =
abcd
(–5)
1 = 5
7
7
1
``
Exemplo:
P(x) = x3 − 3x2 − x + 3
P(0) = 3 e P(2) = 23 − 3⋅22 − 2 + 3 = −3
Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz
entre 0 e 2.
1)Se an = 1, o simétrico do coeficiente do 2.º
termo é a soma das raízes.
2)Se an = 1, o termo independente multiplicado
por (−1)n é o produto das raízes.
3)Qualquer raiz inteira não-nula de uma equação de coeficientes inteiros é um divisor do
termo independente.
4)Se as raízes da equação são todas positivas,
os seus coeficientes são alternadamente
positivos e negativos.
5)Uma equação de coeficientes positivos tem
todas as raízes reais negativas.
Teorema de Bolzano
Se um polinômio P(x) apresenta valores P(a) e
P(b) tais que P(a).P(b)< 0, então a equação admite
um número ímpar (pelo menos uma) de raízes reais
entre a e b.
Na verdade, 1 é raiz de P(x).
MMC e MDC de polinômios
O máximo divisor comum (MDC) entre polinômios é o polinômio unitário (coeficiente dominante 1)
formado pelos fatores comuns aos polinômios elevados aos seus menores expoentes, de forma que ele é o
polinômio de maior grau que divide todos aqueles.
As raízes comuns aos polinômios são também
raízes de seu MDC, com a menor multiplicidade.
Se o MDC de dois polinômios é 1, diz-se que eles
são primos entre si.
Quando os polinômios não estão na forma fatorada, o seu MDC pode ser obtido pelo método das
divisões sucessivas.
``
Exemplo:
Obtenha o MDC dos polinômios p(x) = x4 − 3x3
+ 3x − 3x + 2 e q(x) = x2 − 4x + 3.
1
3
x–
x2 + x + 4
← quocientes
10 10
2
x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2
10x −10
x2 − 4x + 3 10x −10
0
← restos
EM_V_MAT_017
1
⇒ MDC(p, q) = (10x – 10) = x – 1
10
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7
vale notar que a divisão por 10 se faz necessária para
que o MDC seja um polinômio unitário.
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre polinômios é o polinômio unitário formado por todos os
fatores que aparecem nos polinômios, comuns ou
não, elevados ao seu maior expoente, de forma que
ele é o polinômio de menor grau que é múltiplo de
todos aqueles.
Todas as raízes dos polinômios são raízes do
seu MMC.
Exemplo:
P(x) = x(x – 1)2(x – 2)3 e Q (x) = x3(x – 1)(x – 3)2.
MDC (P, Q) = x(x – 1)
MMC (P, Q) = x3(x – 1)2(x – 2)3(x – 3)2
Transformação de uma equação algébrica P1(x)
= 0 é toda operação com a qual se obtém uma nova
equação P2(y) = 0 cujas raízes estejam relacionadas
com as raízes da equação inicial através de uma
relação conhecida y = f(x).
P1(x) = 0 → equação primitiva
P2(y) = 0 → equação transformada
y = f(x) → relação de transformação
Transformação multiplicativa
É a transformação em que y = k⋅x (k ≠ 0). Para
obter a equação transformada basta substituir na
equação primitiva x = y/k
y = k.x ⇒ x = y
k
Exemplo:
Obter a equação cujas raízes são o dobro das raízes da
equação x3 + 5x2 − 7x + 11 = 0.
y
y = 2x ⇒ x =
2
y 3
y
y 2
+5
–7
+ 11 = 0
2
2
2
1 y3 + 5 y2 – 7 y + 11 = 0
8
4
2
⇔ y3 +10y2 − 28y + 88 = 0
y=x+a⇒x=y−a
``
Exemplo:
Obter a equação cujas raízes são 2 unidades
menores que as raízes de 2x3 − 5x − 2 = 0.
y=x−2⇒x=y+2
2(y + 2)3 − 5(y + 2) − 2 = 0 ⇔ 2y3 + 12y2 + 19y
+4=0
Transformada aditiva e divisão
de polinômios
Transformações
``
É a transformação em que y = x +a (a ∈ C).
Para obter a equação transformada basta substituir
na equação primitiva x = y −a.
Dada a equação primitiva P1(x) = anxn + an-1
x +an−2xn–2 + ... + a1x + a0 = 0 a sua transformada
aditiva é
n−1
P2(x +a) = Rn⋅(x +a)n +Rn−1⋅(x +a)n−1+ ... +R1⋅(x
+a) +Ro = 0
onde Ro, R1, ... , Rn são os restos das divisões sucessivas de P1 por x +a, que podem ser facilmente obtidos
com o auxílio do algoritmo de Briot-Ruffini.
``
Exemplo:
Dada a equação x3 − 2x2 + x + 1 = 0, obter sua transformada pela relação y = x + 2.
–2
–2
–2
–2
1
1
1
1
1
–2
–4
–6
–8
R3
1
– 17
R1
R0
⇒ (x + 2)3 – 8(x + 2)2 + 21(x + 2) − 17 = 0
⇒ y3 – 8y2 + 21y – 17 = 0
Transformação recíproca
É a transformação em que y = 1 , x 0. Para
x
obter a equação transformada basta substituir na
equação primitiva x = 1 .
y
y= 1
x
8
1
9
21
R2
x= 1
y
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EM_V_MAT_017
``
Transformação aditiva
``
par P(x) = 0 admite raízes 1 e −1. A divisão de
P(x) por x −1 e x +1 conduz a uma equação
recíproca de 1.ª espécie e grau par.
Exemplo:
Obter a equação cujas raízes são os inversos das raízes
da equação 5x3 + x2 − x + 1 = 0.
5
1 3 1 2 1
+
–
+1=0
y
y
y
I. Toda equação P(x) = 0, recíproca de 1.ª espécie e grau ímpar, admite a raiz −1. A divisão
de P(x) por x +1 conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par.
y3 – y2 + y + 5 = 0
Equações recíprocas
Uma equação polinomial P(x) = 0 é chamada
recíproca se, e somente se, é equivalente à sua transformada recíproca P 1 = 0.
x
Dada a equação recíproca P(x) = 0, se r é uma
raiz de multiplicidade m, então 1 também é raiz com
r
a mesma multiplicidade.
Uma equação polinomial P(x) = 0 é recíproca
se, e somente se, os coeficientes equidistantes dos
extremos são iguais 2 a 2 ou opostos 2 a 2.
Classificação
•• Equações recíprocas de 1.ª espécie: são
aquelas em que os coeficientes equidistantes
dos extremos são iguais.
•• Equações recíprocas de 2.ª espécie: aquelas
em que os coeficientes equidistantes dos
extremos são simétricos.
•• Forma normal: diz-se que uma equação recíproca está na forma normal se ela é de 1.ª
espécie e grau par.
Resolução da equação
recíproca normal
Sendo a equação recíproca normal
P(x) = A0x2k + A1x2k–1 +...+ A1x + A0 = 0
Dividindo a equação por xk, tem-se
A0 xk + 1k +A1 xk–1 + 1 +...+Ak–1 x+ 1
x
x
xk–1
+Ak=0
Fazendo y = x + 1 e usando a identidade
x
xp+1+ 1 =y. xp + 1p – xp–1 + 1 , onde p =
x
xp–1
xp+1
1, 2, 3,...
x0 + 10 = 2
x
1
x + 11 = y
x
2
x + 12 = y2 – 2
x
3
x + 13 = y3 – 3y ...
x
Substituindo as expressões obtidas, obtém-se
uma equação em y de grau k. Resolvendo a equação
em y, pode-se obter os valores de x.
``
Se uma equação é recíproca de 2.ª espécie e
grau par, então ela não possui termo central.
Propriedades
I. Toda equação recíproca de 2.ª espécie e grau
ímpar P(x) = 0 admite raiz 1. A divisão de P(x)
por x −1 conduz a uma equação recíproca de
1.ª espécie e grau par.
EM_V_MAT_017
I. Toda equação recíproca de 2.ª espécie e grau
Exemplo:
Resolva a equação x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 1 = 0.
Observando os coeficientes verificamos que trata-se de
uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par, ou seja,
na forma normal. Dividindo a equação por x2:
4
1
x2 – 4x + 5 – + 2 = 0
x
x
x2 +
1
1
–4 x+
+5=0
x
x2
1
1
x2 + 2 = y2 – 2
x
x
⇒ (y2 −2) −4y + 5 = 0 ⇒ y2 −4y +3 = 0 ⇔
Fazendo y = x +
y = 1 ou y = 3
1
i) x + = 1 ⇒ x2 − x +1 = 0
x
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x= 1
3
2
9
ii) x +
1
= 3 ⇒ x2 − 3x +1 = 0
x
x= 3
5
2
3. (PUC-Rio) Considere o polinômio p(x) = x3 + 2x2 – 1
a) Calcule o valor p(x) para x = 0, 1, 2.
b) Ache as três soluções da equação x3 + 2x2 = 1
x4 + x2 + 1
,x 1
x2 – 1
e x – 1. Determine o polinômio q(x) e as constantes A,
A
B e C tais que p(x) = q(x) + 2
e A = B +
x – 1 x2 – 1 x – 1
C , x 1 e x – 1.
x+1
1. (UFF) Considere o polinômio p(x) =
``
Solução: A = 3, B = 3/2 e C = – 3/2
x +0x +x + 0x
+1
x2 −1
−x4 +x2
x2 +2
4
3
2
``
Solução:
a) p(0) = – 1
p(1) = 1 + 2 – 1 = 2,
p(– 1) = – 1 + 2 – 1 = 0,
p(2) = 8 + 8 − 1 = 15 e
p(– 2) = −8 + 8 – 1 = – 1
b)x3 + 2x2 = 1 ⇔ p(x) = x3 + 2x2 – 1 = 0
Como p(– 1) = 0, então podemos aplicar o algoritmo
de Ruffini:
2x +0x +1
2
−1
−2x +2
2
p(x) =
3
x +x +1
= x2 + 2 + 2
x –1
x2 – 1
2
q(x) = x2 +2 e A = 3
3
C
B
=
+
x2 – 1 x – 1 x + 1
3 = B(x +1) + C(x −1)
(B + C)x + (B − C)
2
0
−1
1
1
−1
0
⇒ q(x) = x2 +x −1 = 0 que tem raízes – 1
3
4
1
⇒ S = {−1, – 1
2
5}
2
5 .
a) p(0) = −1, p(1) = 2, p(−1) = 0, p(2) = 15 e p(−2)
= −1
3=
b) S = {−1, – 1
B+C=0
B–C=3
2
5}
B = 3/2 e C = −3/2
2. (FGV) O polinômio P(x) = x2 + x + a é divisível por x + b
e por x + c, em que a, b e c são números reais, distintos
e não-nulos. Então b + c é igual a:
a) –1
4. (UERJ) Numa autoestrada verificou-se que a velocidade média do tráfego V, entre meio-dia e seis horas
da tarde, pode ser expressa pela seguinte função:
c) 2
d) 0
e) 1
``
Solução: E
P(−b) = b2 − b + a = 0
P(−c) = c2 − c + a = 0
⇒ b2 − c2 −(b − c) = 0 ⇔ (b − c)⋅(b + c − 1) = 0
Como b ≠ c, então b + c − 1 = 0 e b + c = 1
Outra forma de resolver essa questão é observar que,
se P(x) é divisível por x + b e x + c, então −b e −c são
raízes de P(x), logo a sua soma é (−b) + (−c) = −1/1
= −1 e b +c = 1.
10
V(t) = at3 + bt2 + ct + 40
Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é
o número de horas transcorridas após o meio-dia e a,
b e c são constantes a serem determinadas. Verificouse, ainda, que à 1hora, às 5horas e às 6horas da
tarde, as velocidades médias eram, respectivamente,
81km/h, 65km/h e 76km/h. O número de vezes, em
um determinado dia, em que a velocidade média do
tráfego atinge 92km/h, entre meio-dia e seis horas da
tarde, é exatamente igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
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EM_V_MAT_017
b) –2
``
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:
Solução:
V(1) = 81
41
p(x) = x3 + x + 10
a + b + c + 40 = 81⇒ a +b +c =
−2
V(5) = 65 125a + 25b + 5c + 40 = 65 ⇒ 25a
+ 5b + c = 5
−2
2
−21
60
−52
2
−17
26
0
x1 x2 x3 = 1
15
e ele rapidamente respondeu: “Uma solução do
sistema é x1 = 1 , x2 = 1 e x3 = 2 .” Em seguida
3
2
5
perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das
raízes da equação 30x3 − 37x2 + 15x − 2 = 0?
De pronto ele respondeu corretamente. A sua resposta
foi:
a) 7
300
b) 47
450
c) 101
600
d) 437
750
e) 469
900
q(x) = 2t − 17t + 26 onde ∆ = 289 − 208 = 81 e t
= 17 9 , então t = 6,5 ou t = 2.
4
Logo, a equação apresenta raiz 2 (dupla) e raiz 6,5
que não pertence ao domínio estabelecido. Portanto,
a velocidade em questão só é atingida uma vez, como
pode ser visto no gráfico abaixo.
v = 92
80
60
v = 2t3 – 21t2 + 60t + 40
40
20
2
3
4
5
x
``
5. (UERJ) As equações x3 + x + 10 = 0 e x3 − 19x − 30 =
0, em que x , têm uma raiz comum. Determine todas
as raízes não-comuns.
EM_V_MAT_017
−30
0
37
30
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 1
2
2
``
−19
−15
x1 + x2 + x3 =
16 − 84 + 120 – 52 = 0
Aplicando o algoritmo de Ruffini:
1
0
−2
6. (Fatec) Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como o “homem que calculava”, o sistema de
equações
2
2t3 −21t2 + 60t − 52 = 0
0
1
1
As raízes da 1.ª eq. são 1 2i e da 2.ª são 5 e 3.
2
V(t) = 2t − 21t + 60t + 40 = 92 ⇒
2
10
0
⇒ x2 − 2x − 15 = 0 ⇔ x = 5 ou x = −3
V(t) = 2t −21t + 60t + 40
Para t = 2
1
5
q(x) = x3 − 19x −30
a=2
b = – 21
c = 60
3
0
−2
⇒ x2 − 2x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ± 2i
216a + 36b + 6c + 40 = 76 ⇒ 36a
V(6) = 76
+ 6b + c = 6
a + b + c = 41
6a + b = 9
5a = 10
25a + 5b + c = 5
11a + b = 1
36a + 6b + c + 6
3
1
1
Solução:
Sendo p(x) = x3 + x + 10 e q(x) = x3 − 19x − 30 e r a
raiz comum, então p(r) = 0 e q(r) = 0, donde r é raiz
de p(x) = q(x).
Solução: E
A equação proposta é a equação de raízes x1, x2 e x3,
então a soma dos quadrados das raízes da equação é
1 2
1 2
2 2 1 1
4
+
+
= + +
= 100+225+4.36
3
2
5
9 4 25
900
= 469
900
⇒ x3 + x + 10 = x3 − 19x − 30 ⇔ x = −2 ⇒ r = −2
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11
7.
(FGV) Podemos afirmar que a equação
camos que existem três raízes reais: 0 é raiz simples
e 3 é raiz dupla.
x6 – 5x5 + 10x3 – 3x2 – 5x + 2 = 0 admite:
a) duas raízes duplas e duas raízes simples.
``
Então e = t ⋅ (t − 3)2 ⇒ e = t3 − 6t2 + 9t
b) duas raízes duplas e uma raiz tripla.
Para determinar os instantes dos encontros:
c) uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz tripla.
d) uma raiz tripla e três raízes simples.
t3 − 6t2 + 9t = 4t ⇔ t3 6t2 + 5t = 0 ⇔ t ⋅ (t2– 6t + 5)
=0
e) duas raízes triplas.
⇒ t = 0s; t = 1s e t = 5s
⇒ posição dos encontros: 0m; 4m e 20m
Solução: A
Posição mais afastada = 20m
As possíveis raízes racionais são ±1 e ±2. Aplicando o
algoritmo de Briot-Ruffini:
1
1
1
1
1
–5
–4
–3
–4
–5
0
–4
–7
–3
2
10
–3
–5
2
1
6
3
–2
0
1
–1
2
0
–1
2
0
–1
0
5 17
x2 – 5x + 2 = 0
2
Logo, a equação possui duas raízes duplas e duas raízes
simples.
9. Sabendo-se que a, b e c são as raízes da equação
x3 − x2 − 1 = 0, formar uma nova equação, cujas raízes
sejam os números b + c, c + a e a + b.
``
Solução:
a + b + c = −(− 1)/1 = 1
⇒ b + c = 1 − a; c + a = 1 − b; a + b = 1 − c
⇒y=1−x⇔x=1−y
(1 − y)3 −(1 − y)2 − 1 = 0 ⇒ y3 − 2y2 + y + 1 = 0
y3 − 2y2 + y + 1 = 0
10. (ITA) Determine a e b para que a equação
6x4 − ax3 + 62x2 − 35x + b − a = 0 seja recíproca de
primeira classe e resolva-a.
8. (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos,
uma competição. A curva abaixo, cuja equação é
e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos,
em que a, b, e c são números reais fixos.
``
Solução:
Recíproca de 1.ª classe ⇒ b – a = 6 ⇒ a = 35
– a = – 35
b = 41
⇒ 6x4 − 35x3 + 62 x2 − 35x + 6 = 0 ( x2)
35
6
+ 2 =0
⇒ 6x2 – 35x + 62 –
x
x
1
1
6 x2 + 2 – 35 x2 +
+ 62 = 0
x
x
1
1
x2 + 2 = y2 – 2
Fazendo y = x +
x
x
⇒ 6(y2 − 2) − 35y + 62 = 0 ⇒ 6y2 − 35y + 50 = 0
``
Solução:
Por meio da análise do gráfico e da equação, verifi-
12
a = 35, b = 41 e S = {1/3, 1/2, 2, 3}
11. (UFF) Resolva a equação
2x6 − 5x5 + 2x4 − 2x2 + 5x − 2 = 0.
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EM_V_MAT_017
No instante em que o ciclista parte da posição zero, o
corredor inicia um movimento, descrito pela equação
e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido.
Determine a posição mais afastada da origem na qual
o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.
⇒ y = 10/3 ou y = 5/2
1
5
=
⇔ 2x2 − 5x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 1/2
x+
x
2
1
10
=
⇔ 3x2 −10x + 3 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 1/3
x+
x
3
S = {1/3, 1/2, 2, 3}
``
Solução:
y 3 − 9y 2 + 31y − 24 = 5y ⇒ s1’= t 3 − 9t 2 + 31t
− 24
2x − 5x + 2x − 2x + 5x − 2 = 0
6
5
4
2
Temos uma equação recíproca de 2.ª espécie e grau
par, então:
1
–1
2
2
2
–5
–3
–5
2
–1
4
0
–1
–5
–2
–3
2
5
2
0
–2
0
Dividindo por (x −1) e (x +1), obtivemos um equação
recíproca normal:
2x − 5x + 4x − 5x + 2 = 0 ( x )
5
2
2x2 – 5x + 4 –
+ 2 =0
x
x
1
1
2 x2 + 2 – 5 x +
+4=0
x
x
1
1
x2 + 2 = y2 – 2
Fazendo ⇒ y1 = x +
x
x
⇒ 2(y2 − 2) − 5y + 4 = 0 ⇒ 2y2 − 5y = 0 ⇒ y = 0 ou
y = 5/2
1
x+
= 0 ⇔ x2 + 1 = 0 ⇔ x = ± i
x
5
⇔ 2x2 − 5x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 1/2
x+ 1 =
2
x
⇒ S = {± i, 2, 1/2}
4
3
2
2
12. Dois carros participam de um rally de regularidade. A
função s1 = t3 – 6t2 +16t – 6, representa a posição,
em quilômetros, do 1.º carro, em função do tempo
t, em horas. A posição do 2.º carro é representada
pela função s2 = 5t. Sabendo que eles se encontram
3 vezes durante o percurso, obtenha a equação que
deve respeitar o movimento do 1.º carro para que,
sem modificar a equação do movimento do 2.º carro,
os encontros ocorram todos 1 hora mais tarde.
``
10
y = 5 x
0,5
y = x3 – 9x2
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
s1’= t3 – 9t2 + 31t – 24
1. (Fatec) O polinômio f(x) dividido por ax + b, com a ≠ 0,
tem quociente q(x) e resto r
b
O resto da divisão de x⋅f(x) por x + é:
a
a) r2
b) a r
b
c) b r
a
d) – b r
a
a
e) – r
b
2. (FGV) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + 2 satisfaz as
P ( −1) = 0
, qualquer que
seguintes condições: 
3
P ( x ) − P ( − x ) = x
seja x real. Então:
a) P(1) = −1
b) P(1) = 0
c) P(2) = 0
Solução:
d) P(2) = −8
Encontro:
s1 = s2 ⇒ t3 − 6t 2 + 16t − 6 = 5t ⇒
t 3 − 6t 2 + 11t − 6 = 0
Para os encontros ocorrerem 1 hora mais tarde,
devemos formar uma nova equação de raízes y =
t +1, então
(y − 1)3 − 6(y − 1)2 + 11(y − 1) − 6 = 0
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O gráfico abaixo mostra as duas situações.
y 3 − 9y 2 + 26y − 24 = 0
Como a equação do 2.º carro não muda, devemos
ter:
e) P(2) = 12
3. (UFRJ) O polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d∈R, é
divisível por (x – 2).
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x) = 0.
4. (UFF) Um aluno dividiu o polinômio p(x) = ax2+ bx+c,
sucessivamente, por (x – 1), (x – 2) e (x – 3) e encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o
polinômio p(x).
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13
5. (UFF) Considere o polinômio de coeficiente reais
p(x) = x2 + ax + b. Determine os valores dos números
reais a e b para os quais sejam satisfeitas, simultaneamente, as seguintes condições:
I. p(x) seja divisível por x − 1;
II. o resto da divisão de p(x) por x − 2 seja igual ao
resto da divisão de p(x) por x − 3.
6. (UFF) O resto da divisão de p(x)= x3 + 2x2 + a por
q(x)= x2 + 1 é um polinômio cujo termo independente
é 8. Determine o valor do número real a.
a) Determine o valor de B.
7.
b) Resolva a inequação x3 −3x2 −x +3 > 0.
(PUC-Rio) Se o polinômio p(x) = x5 + 2ax4 + 2b é divisível por (x + 1)2, então a soma a + b vale:
a) 1
b) –1
14. (UERJ) Os zeros do polinômio p(x) = x3 −12x2 +44x − 48
formam uma PA. O conjunto solução da equação p(x) = 0
pode ser descrito por:
a) {0, 4, 8}
c) 2
b) {2, 4, 6}
d) − 1/2
c) {–1, 4, 9}
8. (P U C-Rio) Dado que as raízes do polinômio
p(x) = x3 + ax2 + bx + c são 0, 1 e −1, calcule p(2).
9. (UFF) Determine as constantes reais r, s e t de modo que
o polinômio p(x) = rx2 + sx + t satisfaça às seguintes
condições:
d) {–2, –4, –6}
15. (Fatec) Sabe-se que −1 é raiz dupla do polinômio
P(x) = 2x4 + x3 − 3x2 − x + 1. As outras raízes são
números:
a) imaginários puros.
I. p (0) = 1; e
b) reais negativos.
II. a divisão de p(x) por x2 + 1 tem como resto o polinômio 3x + 5.
c) irracionais.
10. (UFF) O resto da divisão do polinômio p(x) por (x − 1)3
é o polinômio r(x). Sabendo que o resto da divisão de
r(x) por x –1 é igual a 5, encontre o valor de p(1).
11. (UFSC) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e
por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto
(x + 1) . (x − 2) é da forma ax + b, com a, b ∈ R. O valor
numérico da expressão a + b é:
12. (UFF) Considere os polinômios p(x) = 2x3 + 2x2 + 7x – 1
e q(x) = 2x2 − x − 1. Calcule:
a) os valores do número complexo z tais que p (z) =
q (z);
b) o número real k e o polinômio do primeiro grau r(x)
tais que p(x) = (x – k) q(x) + r(x).
13. (UENF) O gráfico abaixo é a representação cartesiana
do polinômio y = x3 − 3x2 − x + 3.
d) racionais.
e) pares.
16. (FGV) Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta
2 + 3i e − 2 − 3i como suas raízes (i é a unidade imaginária). Qual o menor grau possível de P? Justifique.
17. (FGV) Resolva a equação x5 + x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 3
= 0 no conjunto dos números complexos.
18. (FGV) Dado o polinômio P(x) = x4 + x3 − 6x2 − 4x + k:
a) Resolva a equação P(x) = 0, para k = 8.
b) Determine o valor de k de modo que as raízes estejam em progressão aritmética de razão igual a 3.
19. (FGV)
a) Sejam a, b e c as raízes da equação
x3 − 4x2 + 6x − 1 = 0.
Calcule o valor da expressão:
1
1
1
.
+
+
ab ac bc
b) Resolva a equação x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0, sabendo
que a soma de duas raízes vale 4.
14
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EM_V_MAT_017
e) 1/2
20. (FGV)
d) 1
a) Um polinômio P do 3.º grau com coeficientes reais
é tal que P(2) = 0 e P(2 + i) = 0, onde i é a unidade
imaginária. Obtenha P sabendo-se que P(1) = 4.
b) A equação polinomial x3 + x2 + x + k = 0 tem uma
raiz igual a − 1. Obtenha o valor de k e as outras
raízes.
21. (Fuvest) O produto de duas das raízes do polinômio
p(x) = 2x3 − mx2 + 4x + 3 é igual a −1. Determinar:
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
22. (UFRJ) Encontre as raízes de x3 + 15x2 + 66x + 80 = 0,
sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.
23. (UFF) A função f: → definida por f(x) = mx3 + nx2
+ px + q, m ≠ 0, é sempre crescente e possui raízes
distintas. Sabendo-se que uma raiz é real, pode-se
afirmar que as outras
a) são complexas.
b) têm sinais contrários.
c) são nulas.
d) são positivas.
e) têm módulo unitário.
24. (UFF) Três raízes de um polinômio p(x) do 4.o grau estão
escritas sob a forma i576, i42 e i297. O polinômio p(x) pode
ser representado por:
e) 2
27. (Unicamp) Sabendo que a equação x3 − 2x2 + 7x − 4 = 0
tem raízes a, b e c, escreva, com seus coeficientes
numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes
a + 1, b + 1 e c + 1.
28. (Unicamp) Ache todas as raízes inclusive complexas da
equação x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = 0.
29. (Unicamp) Considere a equação:
1 

2 x 2 + 2  + 7
x 

1

x +  +4 =0
x

.
a) Mostre que x = i é raiz dessa equação.
b) Encontre as outras raízes da mesma equação.
30. (Unicamp) Para resolver equações do tipo x4 + ax3 +
bx2 + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo:
como x = 0 não é raiz, divide-se a equação por x2 e,
1
x
após fazer a mudança de variáveis u = x + , resolve-se
a equação obtida (na variável u). Observe que se x ∈ R
e x > 0, então u ≥ 2.
a) Ache as 4 raízes da equação x4 − 3x3 + 4x2 − 3x + 1
= 0.
b) Encontre os valores de b ∈ R para os quais a equação x4 − 3x3 + bx2 − 3x + 1 = 0 tem pelo menos
uma raiz positiva.
31. Transformar a equação x3 − 3x2 − x + 5 = 0 em outra
desprovida do termo do 2.º grau.
5
3
32. Dada a equação x 3 − x 2 + x − 2 = 0 . Reduzi-la à forma
2
4
inteira, conservando porém o coeficiente do seu primeiro
termo igual à unidade.
a) x4 + 1
b) x4 − 1
c) x4 + x2 + 1
33. (UERJ) A figura abaixo representa o polinômio P definido
por P(x) = x3 − 4x.
d) x4 − x2 + 1
e) x4 − x2 −1
25. (UFMG) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + 2 um polinômio em
que a e b são números inteiros. Sabe-se que 1+ 2 é uma
raiz de p(x). Considerando essas informações.
a) Determine os coeficientes a e b.
b) Determine todas as raízes de p(x).
26. (UFC) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e
b são números reais, possui o número complexo i como
uma de suas raízes. Então o produto a⋅b é igual a:
a) − 2
EM_V_MAT_017
b) − 1
c) 0
a) Determine as raízes desse polinômio.
b) Substituindo-se, em P(x), x por x − 3, obtém-se um
novo polinômio definido por y = P(x − 3). Determine as raízes desse novo polinômio.
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34. (IME) Forme a equação recíproca de segunda classe e
do 4.º grau que admite −2 como raiz.
2. (UFF) Os gráficos da função polinomial p e da reta r
estão representados na figura abaixo.
35. (ITA) Para que 2x4 + bx3 − bx − 2 = 0 tenha quatro
soluções reais distintas, devemos ter:
a) b um número real qualquer.
b) b = 0.
c) b > 0.
d) b < −1.
e) b > 4.
36. (ITA) Multiplicando por 2 as raízes da equação x3 – 2x2
+ 2x – 1 = 0 vamos obter raízes da seguinte equação:
a) 2y3 − 6y2 + 6y − 4 = 0
b) y3 − 4y2 + 8y − 8 = 0
c) 8y3 − 8y2 + 4y − 1 = 0
d) y3 − 8y2 + 8y + 8 = 0
a) Calcule o resto da divisão de p(x) por x − 3.
e) 4y − 4y − 4y − 8 = 0
b) Escreva a equação de r.
3
2
37. (ITA) Considere as afirmações:
I. A equação 3x − 10x + 10x − 3 = 0 só admite
raízes reais.
4
3
II. Toda equação recíproca admite um número par de
raízes.
III. As raízes da equação x3 + 4x2 − 4x − 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 − x − 2 = 0.
Então:
a) Apenas (I) é verdadeira.
c) Determine a expressão que define p, sabendo que
as três únicas raízes de p são reais.
3. (UFF) A equação –x4 + 11x3 − 38x2 + 52x − 24 = 0 tem
duas raízes iguais a 2. Dadas as funções reais f e g definidas, respectivamente, por f(x) = −x4 + 11x3 − 38x2 +
52x − 24 e g(x) = log(f(x)), determine o domínio de g.
4. (UFF) Uma parte do esboço do gráfico de uma função
polinomial f é dada na figura:
b) Apenas (II) é falsa.
c) Apenas (III) é verdadeira.
d) Todas são verdadeiras.
e) n.d.a.
O valor de n + s é:
a) 1
b) 4
c) 0
d) 6
e) 2
16
Sabe-se que a função f possui somente três raízes:
a raiz x = 2 e outras duas que são reais e simétricas.
Determine:
a) a expressão polinomial que define f.
b) o(s) intervalo(s) em que f é positiva.
5. (UFJF) Sabendo que os polinômios q1(x) = x2 – 9 e
q2(x) = x2 − 5x + 6 dividem o polinômio
p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, onde a, b, c e d são reais,
é incorreto afirmar que:
a) o polinômio q1(x) ⋅ q2(x) divide p(x).
b) 2, 3 e − 3 são raízes de p(x).
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EM_V_MAT_017
1. (UFF) O polinômio p(x) = x4 − 2x3 + 5x2 − 8x + 4 também
pode ser escrito sob a forma: p (x) = (x − 1)n (x2 + s), n ∈N e
s ∈ R.
c) o polinômio p(x) não possui raízes complexas.
y (x ) =
d) se d = 36, então a = 0.
e) se d é irracional, então p(x) possui uma raiz irracional.
6. (UFJF) A figura abaixo representa, no plano cartesiano,
parte do gráfico do polinômio com coeficientes reais
p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, intersectando o eixo x
nos pontos de abscissas x1, 0 e x2.
x 3 − 26 x 2 + 160x
3.600
em um ponto de AB que dista x metros de A,
conforme ilustra a figura abaixo.
Com base nessas informações, julgue os itens
seguintes.
(1) A distância entre os pontos A e B é igual a
10m.
(2) No ponto C do segmento AB, distante 4m de
B, a deflexão da viga é menor que 10cm.
(3) Sabendo‑se que a maior deflexão da viga é
Com base no gráfico é correto afirmar que:
a) d ≠ 0.
2
m e que uma das raízes do polinômio
25
2
x 3 − 26 x 2 + 160x
=
é igual a 18, conclui‑se
25
3.600
b) p(x) tem raiz complexa.
que a maior deflexão ocorre em um ponto D
c) (x − α) divide p(x)
que dista mais de 5m do ponto A.
igual a
d) o resto da divisão de p(x) por (x − β) é igual a M.
e) existe x [α, β] tal que p(x) < m.
7.
(UFMG) Seja o polinômio
P(x) =
n
∑ (n + 1− j )x
j
= nx + (n − 1)x 2 + (n − 2)x 3 + K + 2x n −1 + x n
j =1
em que o resto da divisão de P(x) por x −1 é 55.
Determine n.
8. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x3 – 2x2 + 5x
+ 26.
a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse
polinômio.
b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > - 2 .
9. (UFC) Seja P(x) um polinômio de grau n ≥ 1, com coeficientes reais. Sabendo que P(3 + i) = 2 − 4i, onde
i2 = − 1, calcule P(3 − i).
(4) O peso da viga e a sua dilatação devido ao
aumento da temperatura ambiente são fatores
que contribuem para a referida deflexão.
11. (IME) Prove que o polinômio
x 9999 + x 8888 + x 7777 + K + x 2222 + x 1111 + 1
é divisível por x 9 + x 8 + x 7 + K + x 2 + x + 1..
12. (UERJ) Para fazer uma caixa sem tampa com um único
pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16cm
de largura por 30cm de comprimento. De cada um dos
quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para
cima as abas resultantes. Determine a medida do lado
do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão,
para que a caixa formada tenha:
a) área lateral de 204cm2;
b) volume de 600cm3.
EM_V_MAT_017
13. (FGV)
10. (UnB) Uma viga metálica de seção transversal variável está presa nas suas extremidades, A e B, e sofre
uma deflexão (medida em metros) na vertical, em
relação ao segmento horizontal AB, dada por
a) A equação 2x3 − 8x2 + mx + 16 = 0, sendo m um
número real, tem raízes a, b e c, tais que: a = b +c.
1 + 1 + 1 .
Determine o valor de S, tal que S =
ab bc ac
b) O polinômio P(x) = 3x4 − 22x3 + 64x2 − 58x +13 é
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17


divisível por  x −  . Encontre as raízes da equa3
1


ção P(x) = 0 no conjunto dos números complexos.
14
1
3
14. (UFPR) Sabendo-se que i, 3 e  + i
 são raízes de
2
2


p(x) = x6 − 6x5 + 7x4 − x3 + 18x2 + ax + 12, onde i é a uni-
dade imaginária e a é número real, é correto afirmar:
λx2 − x − (λ + 1) = 0 possuam uma raiz comum.
b) Nesse caso, determine a raiz comum.
20. (Unicamp)
a) Resolva a equação: x4 − 5x − 6 = 0.
b) Mostre que, se a e b são números reais e se não
são ambos nulos, então as raízes da equação x4 +
ax + b = 0 não podem ser todas reais.
21. (Unicamp) Seja a um número real e seja
(( ) 1 também é raiz de p(x).
(( ) 4 também é raiz de p(x).
3 − x

p ( x ) = det  0
 0

(( ) O produto das raízes de p(x) é 14.
(( ) p(x) é divisível por x2 + x + 1.
15. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).
(01) O número real 1 (um) é uma das raízes do polinômio
p(x) = 2x4 − 5x3 + 5x2 −5x –3.
−1
a −x
4
2

−1 
1− x 
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação
p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação
p(x) = 0 tem uma única raiz real.
(02) Se o polinômio x + ax + bx + 3 admite três raízes
reais distintas, então uma das possibilidades é que
elas sejam 1, − 1 e 3.
22. (Unicamp) Dada a equação polinomial com coeficientes
reais x3 − 5x2 +9x −a = 0.
(04) O polinômio x3 + 3x − 2 possui (pelo menos) uma
raiz real.
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da equação.
(08)O polinômio f(x) = x3 + mx − 5 é divisível por x − 3
quando m é igual a 4.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.
3
Soma (
2
)
16. (Unesp) Considere a função polinomial de 3.º grau
p(x) = x3 − 3x +1.
a) Calcule p(−2), p(0), p(1) e p(2) e esboce o gráfico.
17. (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo
são dadas pelas raízes do polinômio 3x3 −13x2 +7x −1.
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
b) suas dimensões.
18. (Unesp) Considere a matriz
x

A = 0

2

x 
x
1−  .
2
0
x 
1
x
O determi-
nante de A é um polinômio p(x).
a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x).
b) Determine todas as raízes de p(x).
19. (Fuvest) Considere dois números reais λ e μ tais que
λ ≠ − 1, μ ≠ 1 e λ⋅μ ≠ 0.
a) Determine uma relação entre λ e μ, para que as
equações polinomiais λx3 − μx2 − x − (λ + 1) = 0 e
18
23. (UFF) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustível. Os níveis de combustível, H1 e H2,
em cada tanque, são dados pelas expressões: H1(t)
= 150 t3 − 190 t + 30 e H2(t) = 50 t3 + 35 t + 30,
sendo t o tempo em hora.
O nível de combustível de um tanque é igual ao
do outro no instante inicial (t = 0) e, também, no
instante:
a) t = 0,5h
b) t = 1,0h
c) t = 1,5h
d) t = 2,0h
e) t = 2,5h
24. (IME) Considere a, b e c números reais que a < b < c.
Prove que a equação abaixo possui exatamente duas
raízes, x1 e x2, que satisfazem a condição: a < x1 < b
< x2 < c.
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EM_V_MAT_017
b) Com base no item (a), responda, justificando, quantas raízes reais e quantas raízes complexas (não reais) tem p(x).
1
1
1
+
+
=0
x-a x-b x-c
29. (UFJF) Sendo a, b e c as raízes de x3 + x2 + 3x + 1 = 0,
forme a equação cujas raízes são a2, b2 e c2.
25. (ITA) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais
e grau 6 é recíproca de 2.ª espécie e admite i como raiz.
30. (ITA) Sabendo-se que a equação ax4 + bx3 + 5x + 3 =
0 é recíproca e tem 1 como raiz, o produto das raízes
reais desta equação é:
Se p(2) = −
105
255
e p(−2) =
, então a soma de todas
8
8
a) 2
as raízes de p(x) é igual a:
b) − 1
a) 10
c) 1
b) 8
d) 3
c) 6
e) 4
d) 2
e) 1
26. (Fuvest) Dado o polinômio p(x) = x2 ⋅ (x − 1) ⋅ (x2 − 4),
o gráfico da função y = p(x − 2) é melhor representado
por:
31. (ITA) Sejam a e b constantes reais. Sobre a equação
x4 − (a + b)x3 + (ab + 2)x2 −(a + b)x + 1 = 0 podemos
afirmar que:
a) não possui raiz real se a < b < −3.
b) não possui raiz real se a > b > 3.
c) todas as raízes são reais e a ≥ 2 e b ≥ 2.
d) possui pelo menos uma raiz real se −1 < a ≤ b < 1.
e) n.d.a.
32. (ITA) Sejam P(x) = x4 + a0x3 + a1x2 + a2x + a3 e
Q(x) = a3x4 + a2x3 + a1x2 + a0x − 1 dois polinômios,
sabendo-se que P(x) > 0 para todo x real, temos:
a) Q(a3) > −2
b) Q(a3) < −3
c) −2 < Q(a3) < −1
d) Q(a3) > −3
e) Nda.
33. (ITA) Sabendo-se que a equação, de coeficientes reais,
x6 − (a + b + c)x5 + 6x4 + (a − 2b)x3 − 3cx2 + 6x − 1 =
0 é uma equação recíproca de segunda classe, então o
número de raízes reais desta equação é:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
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e) 6
27. (IME) Seja a equação x3 + px2 + qx + r = 0 cujas raízes
são: a, b, c. Determine s, t, u em função de p, q, r, para
que a equação x3 + sx2 + tx + u = 0 tenha raízes bc,
ca e ab.
28. Dada a equação x + px + q = 0 obter a transformada
dos quadrados das diferenças das raízes.
3
34. (ITA) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação
2x6 − 4x5 + 4x − 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que:
a) todos são números reais.
b) 4 são números reais positivos.
c) 4 não são números reais.
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19
d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais.
e) 3 são números reais negativos.
35. (ITA) Seja a um número real tal que o polinômio
p(x) = x6 + 2x5 + ax4 − ax2 − 2x −1 admite apenas raízes
reais. Então:
a) a ∈ [2 , ∞[
b) a ∈ [-1 , 1]
c) a ∈ ]-∞ , − 7]
d) a ∈ [-2 , − 1[
e) a ∈ ]1 , 2[
36. A velocidade de um carro é expressa por V(t) =
6t4 − 35t3 + 62t2 − 35t + 86, onde V(t) é medida
em quilômetros por hora e t é o número de horas
de viagem. Esse veículo possui um sistema que toca
um alarme quando o carro atinge a velocidade de
80km/h. O número de vezes que o alarme toca após
a primeira hora de viagem é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
37. (IME)
a) Mostre que se p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a1x3 + a0x4,
então existe polinômio g(x) do 2.º grau, tal que p(x)
= x2 ⋅ g(x +x−1).
20
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b) Determine todas as raízes do polinômio
p(x) = 1 + 4x + 5x2 + 4x3 + x4.
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11. 5
12.
a) z = 0 ou z = 2i ou z = –2i
1. D
b) k = −
2. C
P(−1) = −a + b −c + 2 = 0
P(x) – P(– x) = x3 = 2ax3 + 2cx
1
3
a= ; b=− ; c =0
2
2
3.
13.
a) B = −3
b) S = ]−1, 1[ ∪ ]3, + ∞[
14. B
15. D
a) d = 10
b) S = {2, 5 , − 5 }
x2 3
4. p(x) = − x + 1
2 2
5. a = −5 e b = 4
16. 4
17. S = {−1, i, −i, i 3 , −i 3 }
18.
a) S = {1, −2, 2}
6. a = 10
EM_V_MAT_017
7.
b) k = 11305/256
E
19.
8. 6
9. r = −4, s = 3 e t = 1
10. 5
3
19x 1
e r( x ) =
+
2
2 2
a) 4
b) S = {−2, 1, 3}
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21
20.
a) P(x) = −2x3 +12x2 −26x +20
b) k = 1 e S = {−1, ± i}
21.
1. D
2.
a) m = 7
a) 4
b)  3 ; 1± 2 
2

23. A
2
x+2
3
1
c) p(x) = – (x − 1)(x + 3)(x − 4)
3
3. Dom(g) = ]1, 6[ − {2}
24. B
4.
b) y =
22. S = {−8, −5, −2}
25.
a) f(x) = 0,25 ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 3)
a) a = −4 e b = 3
b) ]−3, 2[ ∪ ]3, +∞[
5. A
b) S = {2, 1± 2 }
26. A
6. D
27. y3 − 5y2 + 14y − 14 = 0
7.
28. 1, 1
29.
i 3 ,−1 i
2
2
3
8.
a) a) Sim
b) O trinômio y = x2 − 4x + 13 possui Δ = −36 < 0,
logo é positivo.
a) Resposta pessoal.

b) S = ± i,


−7 + 33 −7 − 33 

,

4
4


30.
10
∀ x∈ R. p(x) = (x2 − 4x + 13) ⋅ (x + 2) > 0 ⇔ x +
2>0⇔x>−2
9. 2 + 4i
a) 1 (dupla) e 1
b) b ≤ 4
i 3
2
10. C, C, E, C
11.
31. y3 − 4y + 2 = 0
Logo, B é divisível por A.
12.
a) { − 2, 0, 2}
a) 3cm
b) S = {1, 3, 5}
34. 2x4 + 5x3 − 5x − 2 = 0
35. E
b) 5cm
13.
a) S = −1/2
36. B
37. B
( x1111 )10 − 1
=
x1111 − 1
B = ( x1111 )9 + ( x1111 )8 + ... + x1111 + 1
32. y3 − 5y2 + 3y − 16 = 0
33.
B = x 9999 + x 8888 + x 7777 + ... + x 2222 + x1111 + 1 =
b) V = {1/3, 1, 3 +2i, 3 −2i}
14. F, V, F, V
15. (02 + 04) = 06
16.
b) 3 raízes reais e nenhuma não-real.
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EM_V_MAT_017
a) p(−2) = −1, p(0) = 1, p(1) = −1, p(2) = 3
17.
a) 14
b) 1/3, 2 +
3,2–
18. p(x) = det(A) = x3 + 1 –
x3 + 1 – 1 –
3
x
. 2 – 2x2
2
x
. 2 – 2x2
2
p(x) = x3 − 2x2 − x + 2
19.
a) μ = −2λ
b) −1
20.
a)
1 ± i 11
2
, −1, 2
b) Resposta pessoal.
21.
a) S = {3, 1 + 2i, 1 − 2i}
b) ]−3, 5]
22.
a) a = 5
b) S = {2 + i, 2 − i, 1}
23. C
24. Resposta pessoal.
25. C
26. A
27. s = −q, t = pr e u = −r2
28. y3 + 6py2 + 9p2y + 4p3 + 27q2 = 0
29. x3 + 5x2 + 7y − 1 = 0
30. B
31. C
32. A
33. D
34. D
35. C
36. B
37.
EM_V_MAT_017
a) αg(x) = a0x2 + a1x + (a2 − 2a0)
b) S = – 1
i 3 , –3 i 5
2
2
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