Regras do Produto e do Quociente

1. A regra do produto
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
A derivada do produto de duas funções
diferenciáveis é igual ao produto da primeira
função pela derivada da segunda, mais o produto
da segunda função pela derivada da primeira.
Regras do Produto e do Quociente
d
[f ( x )g ( x )] = f ( x )g ' ( x ) + g ( x )f ' ( x )
dx
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
1. A regra do produto
Regras do Produto e do Quociente
1.A regra do produto
Demonstração: Algumas demonstrações matemáticas, como a Regra da Soma, são imediatas.
Outras envolvem sutilezas que podem parecer
injustificadas. A demonstração que se segue
apresenta este último aspecto – soma e subtração
da mesma grandeza. Seja F(x) = f(x)g(x).
2.A regra do quociente
3.Simplificação de derivadas
4.Uma aplicação: pressão sanguínea
5
1. A regra do produto
1. A regra do produto
Na aula anterior, vimos que a derivada de
uma soma ou a diferença de duas funções é
simplesmente a soma ou a diferença de suas
derivadas. As regras para a derivada de um
produto ou de um quociente de duas funções não
são tão simples.
F ( x + ∆x ) − F ( x )
∆x
f ( x + ∆x )g ( x + ∆x ) − f ( x )g ( x )
= lim
∆x →0
∆x
f ( x + ∆x )g ( x + ∆x ) − f ( x + ∆x )g ( x ) + f ( x + ∆x )g ( x ) − f ( x )g ( x )
= lim
∆x →0
∆x
g ( x + ∆x ) − g ( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 

= lim f ( x + ∆x )
+ g( x )

∆x →0
∆x
∆x


g
(
x
+
∆
x
)
−
g
(
x
)



 lim g ( x ) lim f ( x + ∆x ) − f ( x ) 
=  lim f ( x + ∆x )  lim
+
  ∆x →0

 ∆x →0
  ∆x →0
  ∆x →0
∆x
∆x


= f ( x )g ' ( x ) + g ( x )f ' ( x )
F ' ( x ) = lim
∆x → 0
3
6
1
1. A regra do produto
1. A regra do produto
(
f (x) = ( x
f (x) = ( x
y = (3 x − 2x 2 )(5 + 4 x ).
Aplicando a Regra do Produto, podemos escrever
da
(Derivada
segunda )
(Primeira)
(
)
Segunda
(
= 12 x − 8 x
) + (15 − 20 x + 12x − 16 x
2
)
= 15 + 4 x − 24 x 2
−1
'
−1
−1
)
+1
−2
f '(x) =
)
2
'
1
x −1
+ 1− 2
x
x
x + x2 − x + 1
'
f (x) =
x2
2
x
+
1
f '(x) =
x2
da
(Derivada
primeira )
dy
d
d
= 3 x − 2x 2
[5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) dx 3 x − 2x 2 
dx
dx
= 3 x − 2 x 2 (4) + (5 + 4 x )(3 − 4 x )
(
)
d
d
+ 1)
( x − 1) + ( x − 1) ( x
dx
dx
+ 1) (1) + ( x − 1) ( − x )
f ( x ) = x −1 + 1 ( x − 1)
Exemplo 1: Ache a derivada de
7
1. A regra do produto
10
1. A regra do produto
No exemplo seguinte, note que o primeiro
passo para diferenciar consiste em escrever a
função original sob nova forma.
Temos agora duas regras de diferenciação
relativas a produtos – a Regra do Múltiplo
Constante e a Regra do Produto. A diferença
dentre essas duas regras é que a Regra do Múltiplo
Constante se refere ao produto de uma constante
e uma grandeza variável.
c é uma Constante
F ( x ) = cf ( x ), onde 
f(x) = Grandeza Variável
8
1. A regra do produto
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1. A regra do produto
Exemplo 2: Ache a derivada de
Enquanto que a Regra do Produto se refere
ao produto de duas grandezas variáveis
1 
f ( x ) =  + 1 ( x − 1).
x

F ( x ) = f ( x )g ( x ), onde f(x) e g(x) = Grandezas Variáveis
Reescreva a função e aplique então a Regra
do Produto para achar a derivada
O próximo exemplo compara essas duas
regras.
9
12
2
1. A regra do produto
2. A regra do quociente
Exemplo 3: Ache as derivadas das funções
a. y = 2 x ( x 2 + 3 x )
Vimos que, aplicando a Regra da Constante, a
Regra da Potência, a Regra do Múltiplo Constante e
as Regras da Soma e da Diferença, podemos
diferenciar qualquer função polinomial. Combinando
essas regras com a Regra do Quociente, podemos
agora diferenciar qualquer função racional.
b. y = 2( x 2 + 3 x )
a. Pela Regra do Produto
dy
d
d
 x 2 + 3 x  + ( x 2 + 3 x ) [ 2 x ]
= (2x )
dx
dx 
dx
= (2x )(2x + 3) + ( x 2 + 3 x )(2)
= 4x 2 + 6x + 2x 2 + 6 x
= 6 x 2 + 12x
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1. A regra do produto
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2. A regra do quociente
Exemplo 3: Ache as derivadas das funções
a. y = 2 x ( x 2 + 3 x )
A derivada do quociente de duas funções
diferenciáveis é igual ao produto do denominador
pela derivada do numerador, menos o produto do
numerador pela derivada do denominador, tudo
dividido pelo quadrado do denominador.
b. y = 2( x 2 + 3 x )
b. Pela Regra do Múltiplo Constante
d  f ( x )  g ( x )f ' ( x ) − f ( x )g ' ( x )
=
,
2
dx  g ( x ) 
[ g ( x )]
dy
d
 x 2 + 3 x 
=2
dx
dx 
= (2)(2 x + 3)
g(x ) ≠ 0
= 4x + 6
14
1. A regra do produto
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2. A regra do quociente
Demonstração: Seja F(x) = f(x)/g(x). Tal como na
Regra do Produto, a chave da demonstração
consiste em somar e subtrair a mesma expressão.
A Regra do Produto pode ser estendida a
produtos de mais de dois fatores. Por exemplo, se
f, g e h são funções diferenciáveis de x, então
d
[f ( x )g ( x )h( x )] = f ' ( x )g ( x )h( x ) + f ( x )g ' ( x )h( x ) + f ( x )g ( x )h' ( x )
dx
15
18
3
2. A regra do quociente
2. A regra do quociente
y=
f ( x + ∆x ) f ( x )
−
F ( x + ∆x ) − F ( x )
g ( x + ∆x ) g ( x )
= lim
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
g ( x )f ( x + ∆x ) − f ( x )g ( x + ∆x )
∆x
= lim
∆x → 0
g ( x )g ( x + ∆x )
g ( x )f ( x + ∆x ) − f ( x )g ( x ) + f ( x )g ( x ) − f ( x )g ( x + ∆x )
∆x
= lim
∆x → 0
g ( x )g ( x + ∆x )
F ' ( x ) = lim
=
lim
∆x → 0
3 − (1/ x )
3x − 1
3x − 1
=
=
x +5
x ( x + 5) x 2 + 5 x
dy ( x 2 + 5 x )(3) − (3 x − 1)(2 x + 5)
=
( x 2 + 5 x )2
dx
g ( x ) [f ( x + ∆x ) − f ( x )]
f ( x ) [ g ( x + ∆x ) − g ( x )]
− lim
∆x → 0
∆x
∆x
lim [ g ( x )g ( x + ∆x )]
=
3 x 2 + 15 x − (6 x 2 + 15 x − 2x − 5)
( x 2 + 5 x )2
=
3 x 2 + 15 x − 6 x 2 − 13 x + 5
( x 2 + 5 x )2
=
−3 x 2 + 2 x + 5
( x 2 + 5 x )2
∆x →0
=
 lim g ( x )  ⋅  lim f ( x + ∆x ) − f ( x )  −  lim f ( x ) ⋅  lim g ( x + ∆x ) − g ( x ) 
  ∆x →0

 ∆x →0
  ∆x →0
  ∆x →0
∆x
∆x
lim [ g ( x )g ( x + ∆x )]
∆x → 0
=
g ( x )f ' ( x ) − f ( x )g ' ( x )
[ g ( x )]
2
19
2. A regra do quociente
2. A regra do quociente
Exemplo 4: Ache a derivada de
Nem todo quociente deve necessariamente
ser diferenciado pela Regra do Quociente. Por
exemplo, cada um dos quocientes no próximo
exemplo pode ser considerado como o produto de
uma constante e uma função de x. Em tais casos, a
Regra do Múltiplo Constante é mais eficiente.
2x 2 − 4 x + 3
y=
2 − 3x
dy
=
dx
=
=
=
22
(2 − 3 x )
(
)
d
d
2 x 2 − 4 x + 3  − 2 x 2 − 4 x + 3
[2 − 3 x ]
dx 
dx
2
2
−
3
x
(
)
(
)
(2 − 3 x )(4 x − 4) − 2 x 2 − 4 x + 3 ( −3)
(2 − 3x )
2
8 x − 8 − 12 x 2 + 12 x + 6 x 2 − 12 x + 9
( 2 − 3x )
2
−6 x + 8 x + 1
2
(2 − 3x )
20
2
2. A regra do quociente
23
2. A regra do quociente
Exemplo 5: Ache a derivada de
y=
Exemplo 7: Escrevendo sob nova forma antes de
diferenciar.
3 − (1/ x )
x+5
Função Original
x 2 + 3x
6
5x 4
b. y =
8
−3(3 x − 2 x 2 )
c. y =
7x
9
d. y = 2
5x
a. y =
Comece escrevendo sob nova forma a função
original. Aplique então a Regra do Quociente e
simplifique o resultado.
21
Nova Forma
1 2
( x + 3x )
6
5
y = x4
8
−3
y=
(3 − 2x )
7
9 −2
y = (x )
5
y=
Diferenciar
Simplificar
1
(2 x + 3)
6
5
y ' = (4 x 3 )
8
−3
y' =
( −2)
7
9
y ' = ( −2x −3 )
5
1
1
x+
3
2
5
y ' = x3
2
6
y' =
7
18
'
y =− 3
5x
y' =
y' =
24
4
3. Simplificação de derivadas
4. Uma
sanguínea
aplicação:
pressão
Exemplo 8: Ache a derivada de
y=
(1 − 2 x )(3 x + 2)
5x − 4
Esta função contém um produto dentro
um quociente. Poderíamos primeiro multiplicar
fatores no numerador e aplicar então a Regra
Quociente. Entretanto, para adquirir prática
utilização da Regra do Produto dentro da Regra
Quociente, diferencie como segue.
de
os
do
na
do
25
3. Simplificação de derivadas
y' =
=
=
4. Uma
sanguínea
(5 x − 4)
28
4. Uma
sanguínea
d
d
[(1 − 2x )(3 x + 2)] − (1 − 2x )(3 x + 2) dx [5 x − 4]
dx
2
(5 x − 4)
aplicação:
Aplicando a Regra do Quociente,
(5 x − 4) [(1 − 2 x )(3) + (3 x + 2)( −2)] − (1 − 2 x )(3 x + 2)(5)
dP (t 2 + 1)(50t ) − (25t 2 + 125)(2t )
=
dt
(t 2 + 1)2
(5 x − 4)
(5 x − 4)(3 − 6 x − 6 x − 4) − (1 − 2x )(15 x + 10)
(5 x − 4)2
2
=
(5 x − 4)(−1 − 12 x ) − (15 x + 10 − 30 x 2 − 20 x )
(5 x − 4)2
=
− 5 x − 60 x 2 + 4 + 48 x + 5 x − 10 + 30 x 2
(5 x − 4)2
=
−30 x 2 + 48 x − 6 (−6) ⋅ (5 x 2 − 8 x + 1)
=
(5 x − 4)2
(5 x − 4)2
aplicação:
50t 3 + 50t − 50t 3 − 250t
(t 2 + 1)2
200t
=− 2
(t + 1)2
=
26
pressão
29
4. Uma
sanguínea
25t 2 + 125
,
t2 +1
aplicação:
pressão
Quando t = 5, a taxa de variação é
Exemplo 9: Na medida em que o sangue corre do
coração pelas artérias principais para as capilares
e de retorno pelas veias, a pressão sistólica cai
continuamente. Considere uma pessoa cuja pressão
sanguínea P (em milímetros de mercúrio) é dada
por
P=
pressão
dP
200(5)
=−
≈ −1,48 mm Hg/s
dt
262
Portanto, a pressão sanguínea está caindo a
uma taxa de 1,48 mm Hg por segundo quando t = 5
segundos.
0 ≤ t ≤ 10,
onde t é medido em segundos. A que taxa está
variando a pressão sanguínea 5 segundos após o
sangue deixar o coração?
27
30
5