OralMatemática discretaUm algoritmo de decisão para a lógica do

Um algoritmo de decisão para a lógica do plausível
Tiago Augusto dos Santos Boza¹
Hércules de Araujo Feitosa²
¹ Faculdade de Filosofia e Ciências – Unesp – Campus de Marília
² Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências – Unesp – Campus de Bauru
Resumo: Esse trabalho tem como objetivo apresentar a lógica proposicional do
plausível, originalmente introduzida em versão hilbertiana, em uma versão de tableaux. Com
isso, pretende-se obter um algoritmo decisório para determinação das fórmulas válidas para esta
lógica não-clássica, que é um caso particular lógica modal.
Palavras Chave: Tableaux, Plausível, Lógicas Modais.
A meta deste trabalho é a apresentação de um sistema de dedução para a Lógica
Proposicional do Plausível num algoritmo mais eficiente do que a abordagem hilbertiana, na
qual ela foi inicialmente apresentada.
O objetivo foi alcançado através do sistema de tableaux para esta lógica modal, que
aqui denotamos por TPl.
A Lógica Proposicional do Plausível (LPP), que foi introduzida por Feitosa, Grácio e
Nascimento (2009), inclui um novo operador modal, o operador do plausível, denotado por ∇,
e estende conservativamente a Lógica Proposicional Clássica (LPC):
(LPC) Axiomas da LPC
(MP) A, A → B ⊢ B.
Com o acréscimo dos seguintes axiomas e regra de dedução específicos para ∇:
(Ax1) (∇A∧∇B) → ∇(A∧B)
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(Ax2) (∇A∨∇B) → ∇(A∨B)
(Ax3) ∇A → A
(Ax4) ∇(A∨¬A)
(R∇) A↔B ⊢ ∇A↔∇B.
Tais axiomas e regras específicos possuem a motivação de capturar as seguintes noções
intuitivas, advindas do conceito de pseudotopologia:
(Ax1) Se A é plausível e B é plausível, então A∧B é plausível;
(Ax2) Se A é plausível ou B é plausível, então A∨B é plausível;
(Ax3) Se A é plausível, então A vale;
(Ax4) Todo teorema é plausível;
(R∇) Garante que se duas proposições A e B são equivalentes, então também são
equivalentes ∇A e ∇B.
Como modelos desta lógica, Feitosa, Grácio e Nascimento (2009) introduzem as
álgebras do plausível.
Esta versão proposicional foi motivada por uma lógica de primeira ordem acrescida de
um quantificador generalizado, um caso de lógica modulada, introduzida por Grácio (1999).
Uma lógica modulada é aquela que insere um novo quantificador, neste caso, o quantificador da
ubiquidade ou quantificador do plausível, denotado por U. Este novo quantificador não pode ser
definido a partir dos quantificadores lógicos clássicos “para todo” e “existe algum”. Grácio
denominou aquela lógica de Lógica do Plausível.
A Lógica do Plausível é determinada por todos os axiomas da Lógica Clássica de
Primeira Ordem, acrescidos de axiomas específicos para o novo quantificador U. Para
interpretar os elementos de tal lógica, Grácio introduziu os espaços pseudotopológicos, uma
variação do conceito de espaço topológico. As estruturas e modelos da Lógica do Plausível são
estruturas de primeira ordem estendidas por espaços pseudotopológicos sobre o domínio da
estrutura dada.
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Já a Lógica Proposicional do Plausível (LPP) mantém o conceito de espaço
pseudotopológico como ambiente semântico, mas faz a formalização lógica no contexto
proposicional.
O método dos tableaux é baseado em refutação, isto é, para se verificar a validade de
uma fórmula A, em um sistema lógico, considera-se como hipótese a sua negação, ou seja,
assumimos que vale ¬A e, então, utilizando uma estrutura que se assemelha a uma árvore
ordenada diádica, aplica-se regras do sistema de tableaux.
Agora, sucintamente, apresentamos um sistema de tableaux para a LPP.
O sistema de tableaux para a LPP será denotado por TPl. A linguagem de TPl é
determinada pelos seguintes itens:
(i) O alfabeto de TPl é constituído pelo alfabeto da LPC, acrescido do operador ∇;
(ii) O conjunto de fórmulas de TPl é definido recursivamente pelas fórmulas da LPC
acrescido da seguinte cláusula:
Se A é uma fórmula, então ∇A também é uma fórmula;
(iii) O conjunto de regras de dedução do sistema TPl é formado pelas regras de dedução
dos tableaux da LPC acrescido das regras de dedução específicas para o operador ∇, que são:
(R∇1) ∇A ⊢ A
(R∇2) ¬∇A, A ⊢
⊥, onde ⊥denota uma contradição qualquer;
(R∇3) ¬∇(A∧B) ⊢ ¬∇A∨¬∇B
(R∇4) ¬∇(A∨B) ⊢ ¬∇A∧¬∇B
(R∇5_A) ¬∇(A→B) ⊢ ¬∇(¬A∨B)
(R∇5_B) ¬∇(A↔B) ⊢ ¬∇((A→B)∧(B→A))
(R∇6) ⊩A↔B ⊢ (∇A∧∇B)∨(¬∇A∧¬∇B)
(iv) Um ramo do tableau fecha ao obtermos fórmulas contraditórias no mesmo ramo ou
ainda o símbolo de contradição denotado aqui por ⊥.
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As regras de dedução específicas do operador ∇ adicionam pelo menos uma nova
fórmula ao final de cada ramo que contém a premissa da regra.
A motivação intuitiva para as regras são as seguintes:
(R∇1) Naturalmente, segue do axioma (Ax3);
(R∇2) Esta regra nos permite a obtenção da validade do axioma (Ax4).
Notemos que esta regra dá exatamente o caráter algorítmico desejado. Já que, quando
encontramos uma expressão ¬∇A, então testamos A. Se A é válida, isto é, o tableau de ¬A
fecha, então incluímos o símbolo de contradição
⊥ e fechamos o tableau, pois quando A é
válida, existe um tableau que se fecha para ¬A. Em caso contrário, expandimos o tableau com
uma das outras regras:
(R∇3) e (R∇4) dão conta dos axiomas (Ax1) e (Ax2);
(R∇5_A) e (R∇5_B) têm apenas a função de dar caráter algorítmico ao tableau ao dizer
exatamente qual caminho a ser seguido;
(R∇6) Esta regra tem a incumbência de validar a regra (R∇), que apenas se aplica sobre
bicondicionais sabidamente válidas.
Finalmente, com estas regras mostramos que tal sistema é correto, completo e decisório,
ou seja, para cada fórmula dada podemos decidir se ela é válida ou não, através deste novo
sistema.
Referências:
[1] H. A. FEITOSA, M. C. NASCIMENTO, M. C. C. GRÁCIO. A propositional
version of the logic of the plausible. In: Cezar Mortari e Luiz Henrique Dutra. (Org.).
Simpósio Internacional Principia - Rumos da Epistemologia. Florianópolis: NEL/UFSC, v. 9, p.
185-196, 2009.
[2] M. C. C. GRÁCIO. Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Doctor Thesis
(in Portuguese), Institute of Philosophy and Human Sciences, State University of Campinas,
Campinas, Brazil, p. 194, 1999.
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